data/json/2023/math_30_geom.txt

30. 좌표공간에 정사면체 $\mathrm{ABCD}$가 있다. 정삼각형 $\mathrm{BCD}$의 외심을 중심으로 하고 점 $\mathrm{B}$를 지나는 구를 $S$라 하자.

구 $S$와 선분 $\mathrm{AB}$가 만나는 점 중 $\mathrm{B}$가 아닌 점을 $\mathrm{P}$, 구 $S$와 선분 $\mathrm{AC}$가 만나는 점 중 $\mathrm{C}$가 아닌 점을 $\mathrm{Q}$, 구 $S$와 선분 $\mathrm{AD}$가 만나는 점 중 $\mathrm{D}$가 아닌 점을 $\mathrm{R}$라 하고, 점 $\mathrm{P}$에서 구 $S$에 접하는 평면을 $\alpha$라 하자.

구 $S$의 반지름의 길이가 $6$일 때, 삼각형 $\mathrm{PQR}$의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영의 넓이는 $k$이다. $k^2$의 값을 구하시오. [4점]