data/json/2025/math.json

{"id":1,"name":"1","problem":"1. $\\sqrt[3]{5} \\times 25^{\\frac{1}{3}}$ 의 값은? [2점]\\n\\n\\begin{itemize} \\item[1] 1 \\item[2] 2 \\item[3] 3 \\item[4] 4 \\item[5] 5 \\end{itemize}","answer":5,"score":2,"review":null}
{"id":2,"name":"2","problem":"2. 함수 \\( f(x) = x^3 - 8x + 7 \\)에 대하여 \\[ \\lim_{h \\to 0} \\frac{f(2 + h) - f(2)}{h} \\] 의 값은? [2점]\\n\\n\\begin{itemize} \\item[1] 1 \\item[2] 2 \\item[3] 3 \\item[4] 4 \\item[5] 5 \\end{itemize}","answer":4,"score":2,"review":null}
{"id":3,"name":"3","problem":"3. 첫째항과 공비가 모두 양수 \\(k\\)인 등비수열 \\(\\{a_n\\}\\)이 \\[ \\frac{a_4}{a_2} + \\frac{a_2}{a_1} = 30 \\] 을 만족시킬 때, \\(k\\)의 값은? [3점]\\n\\n\\begin{itemize} \\item[1] \\(1\\) \\item[2] \\(2\\) \\item[3] \\(3\\) \\item[4] \\(4\\) \\item[5] \\(5\\) \\end{itemize}","answer":5,"score":3,"review":null}
{"id":4,"name":"4","problem":"4. 함수 \\[ f(x) = \\begin{cases} 5x + a & (x < -2) \\\\ x^2 - a & (x \\geq -2) \\end{cases} \\] 가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 $a$의 값은? [3점]\\n\\n\\begin{itemize} \\item[1] 6 \\item[2] 7 \\item[3] 8 \\item[4] 9 \\item[5] 10 \\end{itemize}","answer":2,"score":3,"review":null}
{"id":5,"name":"5","problem":"5. 함수 \\( f(x) = (x^2 + 1)(3x^2 - x) \\)에 대하여 \\( f'(1) \\)의 값은? [3점]\\n\\n\\begin{itemize} \\item[1] \\( 8 \\) \\item[2] \\( 10 \\) \\item[3] \\( 12 \\) \\item[4] \\( 14 \\) \\item[5] \\( 16 \\) \\end{itemize}","answer":4,"score":3,"review":null}
{"id":6,"name":"6","problem":"6. \\(\\cos\\left(\\frac{\\pi}{2} + \\theta\\right) = -\\frac{1}{5}\\) 일 때, \\(\\frac{\\sin\\theta}{1 - \\cos^2\\theta}\\) 의 값은? [3점]\\n\\n\\begin{itemize} \\item[1] $-5$ \\item[2] $-\\sqrt{5}$ \\item[3] $0$ \\item[4] $\\sqrt{5}$ \\item[5] $5$ \\end{itemize}","answer":5,"score":3,"review":null}
{"id":7,"name":"7","problem":"7. 다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여\\n\\n\\[\\int_{0}^{x} f(t) \\, dt = 3x^3 + 2x\\]\\n\\n를 만족시킬 때, $f(1)$의 값은? [3점]\\n\\n\\begin{itemize} \\item[1] 7 \\item[2] 9 \\item[3] 11 \\item[4] 13 \\item[5] 15 \\end{itemize}","answer":3,"score":3,"review":null}
{"id":8,"name":"8","problem":"8. 두 실수 \\( a = 2 \\log \\frac{1}{\\sqrt{10}} + \\log_2 20, \\ b = \\log 2 \\) 에 대하여\\n\\n\\[ a \\times b \\]의 값은? [3점]\\n\\n\\begin{itemize} \\item[1] 1 \\item[2] 2 \\item[3] 3 \\item[4] 4 \\item[5] 5 \\end{itemize}","answer":1,"score":3,"review":null}
{"id":9,"name":"9","problem":"9. 함수 $f(x) = 3x^2 - 16x - 20$에 대하여\\n\\n\\[\\int_{-2}^a f(x) \\, dx = \\int_{-2}^0 f(x) \\, dx\\]\\n\\n일 때, 양수 $a$의 값은? [4점]\\n\\n\\begin{itemize} \\item[1] 16 \\item[2] 14 \\item[3] 12 \\item[4] 10 \\item[5] 8 \\end{itemize}","answer":4,"score":4,"review":null}
{"id":10,"name":"10","problem":"10. 닫힌구간 $[0, 2\\pi]$ 에서 정의된 함수 $f(x) = a \\cos bx + 3$이\\nx = \\frac{\\pi}{3}$ 에서 최댓값 13을 갖도록 하는 두 자연수 $a$, $b$의 \\n순서쌍 $(a, b)$에 대하여 $a + b$의 최솟값은? [4점]\\n\\n\\begin{itemize} \\item[1] 12 \\item[2] 14 \\item[3] 16 \\item[4] 18 \\item[5] 20 \\end{itemize}","answer":3,"score":4,"review":null}
{"id":11,"name":"11","problem":"11. 시각 $t=0$일 때 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $\\mathrm{P}$의 시각 $t \\ (t \\geq 0)$에서의 위치 $x$가\\n\\n\\[ x = t^3 - \\frac{3}{2}t^2 - 6t \\]\\n\\n이다. 출발한 후 점 $\\mathrm{P}$의 운동 방향이 바뀌는 시각에서의 점 $\\mathrm{P}$의 가속도는? [4점]\\n\\n\\begin{itemize} \\item[1] 6 \\item[2] 9 \\item[3] 12 \\item[4] 15 \\item[5] 18 \\end{itemize}","answer":2,"score":4,"review":null}
{"id":12,"name":"12","problem":"12. $a_1 = 2$인 수열 $\\{a_n\\}$과 $b_1 = 2$인 등차수열 $\\{b_n\\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여\\n\\n\\[ \\sum_{k=1}^n \\frac{a_k}{b_{k+1}} = \\frac{1}{2}n^2 \\]\\n\\n을 만족시킬 때, $\\sum_{k=1}^5 a_k$의 값은? [4점]\\n\\n\\begin{itemize} \\item[1] 120 \\item[2] 125 \\item[3] 130 \\item[4] 135 \\item[5] 140 \\end{itemize}","answer":1,"score":4,"review":null}
{"id":13,"name":"13","problem":"13. 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$가\\n\\n\\[ f(1) = f(2) = 0, \\quad f'(0) = -7 \\]\\n\\n을 만족시킨다. 원점 $\\mathrm{O}$와 점 $\\mathrm{P}(3, f(3))$에 대하여 선분 $\\mathrm{OP}$가 곡선 $y = f(x)$와 만나는 점 중 $\\mathrm{P}$가 아닌 점을 $\\mathrm{Q}$라 하자.  \\n곡선 $y = f(x)$와 $y$축 및 선분 $\\mathrm{OQ}$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $A$,  \\n곡선 $y = f(x)$와 선분 $\\mathrm{PQ}$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $B$라 할 때,  \\n$B - A$의 값은? \\hfill [4점]\\n\\n\\begin{itemize} \\item[1] $\\frac{37}{4}$ \\item[2] $\\frac{39}{4}$ \\item[3] $\\frac{41}{4}$ \\item[4] $\\frac{43}{4}$ \\item[5] $\\frac{45}{4}$ \\end{itemize}","answer":5,"score":4,"review":"Removed figure."}
{"id":14,"name":"14","problem":"14. 삼각형 \\(\\mathrm{ABC}\\)에서 선분 \\(\\mathrm{AB}\\) 위에 \\(\\overline{\\mathrm{AD}} : \\overline{\\mathrm{DB}} = 3 : 2\\)인 점 \\(\\mathrm{D}\\)를 잡고, 점 \\(\\mathrm{A}\\)를 중심으로 하고 점 \\(\\mathrm{D}\\)를 지나는 원을 \\(O\\), 원 \\(O\\)와 선분 \\(\\mathrm{AC}\\)가 만나는 점을 \\(\\mathrm{E}\\)라 하자.  \\n\\(\\sin A : \\sin C = 8 : 5\\)이고, 삼각형 \\(\\mathrm{ADE}\\)와 삼각형 \\(\\mathrm{ABC}\\)의 넓이의 비가 \\(9 : 35\\)이다. 삼각형 \\(\\mathrm{ABC}\\)의 외접원의 반지름의 길이가 \\(7\\)일 때, 원 \\(O\\) 위의 점 \\(\\mathrm{P}\\)에 대하여 삼각형 \\(\\mathrm{PBC}\\)의 넓이의 최댓값은? (단,\\( \\ \\overline{\\mathrm{AB}} < \\overline{\\mathrm{AC}}\\)) [4점]\\n\\n\\begin{itemize} \\item[1] $18 + 15 \\sqrt{3}$ \\item[2] $24 + 20 \\sqrt{3}$ \\item[3] $30 + 25 \\sqrt{3}$ \\item[4] $36 + 30 \\sqrt{3}$ \\item[5] $42 + 35 \\sqrt{3}$ \\end{itemize}","answer":4,"score":4,"review":"Removed figure and the statement referring to the figure."}
{"id":15,"name":"15","problem":"15. 상수 \\(a \\ (a \\neq 3\\sqrt{5})\\)와 최고차항의 계수가 음수인 이차함수 \\(f(x)\\)에 대하여 함수\\n\\n\\[\\ng(x) =\\n\\begin{cases}\\nx^3 + ax^2 + 15x + 7 & (x \\leq 0) \\\\\\nf(x) & (x > 0)\\n\\end{cases}\\n\\]\\n\\n이 다음 조건을 만족시킨다.\\n\\n\\begin{itemize}\\n\\item[(가)] 함수 \\(g(x)\\)는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.\\n\\item[(나)] \\(x\\)에 대한 방정식 \\(g'(x) \\times g'(x - 4) = 0\\)의 서로 다른 실근의 개수는 4이다.\\n\\end{itemize}\\n\\n\\(g(-2) + g(2)\\)의 값은? [4점]\\n\\n\\begin{itemize}\\n\\item[1] 30\\n\\item[2] 32\\n\\item[3] 34\\n\\item[4] 36\\n\\item[5] 38\\n\\end{itemize}","answer":2,"score":4,"review":null}
{"id":16,"name":"16","problem":"16. 방정식\\n\\[\\n\\log_2(x-3) = \\log_4(3x-5)\\n\\]\\n를 만족시키는 실수 \\(x\\)의 값을 구하시오. [3점]","answer":7,"score":3,"review":null}
{"id":17,"name":"17","problem":"17. 다항함수 \\( f(x) \\)에 대하여 \\( f'(x) = 9x^2 + 4x \\)이고 \\( f(1) = 6 \\)일 때, \\( f(2) \\)의 값을 구하시오. [3점]","answer":33,"score":3,"review":null}
{"id":18,"name":"18","problem":"18. 수열 $\\{a_n\\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여\n\n\\[\na_n + a_{n+4} = 12\n\\]\n\n를 만족시킬 때, $\\sum_{n=1}^{16} a_n$의 값을 구하시오. [3점]","answer":96,"score":3,"review":null}
{"id":19,"name":"19","problem":"19. 양수 \\(a\\)에 대하여 함수 \\(f(x)\\)를\n\\[\nf(x) = 2x^3 - 3ax^2 - 12a^2x\n\\]\n라 하자. 함수 \\(f(x)\\)의 극댓값이 \\(\\frac{7}{27}\\)일 때, \\(f(3)\\)의 값을 구하시오. [3점]","answer":41,"score":3,"review":null}
{"id":20,"name":"20","problem":"20. 곡선 \\( y = \\left( \\frac{1}{5} \\right)^{x-3} \\)과 직선 \\( y = x \\)가 만나는 점의 \\( x \\)좌표를 \\( k \\)라 하자. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \\( f(x) \\)가 다음 조건을 만족시킨다.\n\\[\nx > k \\text{인 모든 실수 } x \\text{에 대하여} \\\\\nf(x) = \\left( \\frac{1}{5} \\right)^{x-3} \\quad \\text{이고} \\quad f(f(x)) = 3x \\text{이다.}\n\\]\n\\[\nf\\left( \\frac{1}{k^3 \\times 5^{3k}} \\right) \\text{의 값을 구하시오. [4점]}\n\\]","answer":36,"score":4,"review":null}
{"id":21,"name":"21","problem":"21. 함수 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 4$가 다음 조건을 만족시키도록 하는 두 정수 $a, b$에 대하여 $f(1)$의 최댓값을 구하시오. [4점]\n\n\\[\n\\text{모든 실수 } \\alpha \\text{에 대하여 } \\lim_{x \\to \\alpha} \\frac{f(2x+1)}{f(x)} \\text{의 값이 존재한다.}\n\\]","answer":16,"score":4,"review":null}
{"id":22,"name":"22","problem":"22. 모든 항이 정수이고 다음 조건을 만족시키는 모든 수열 \\( \\{a_n\\} \\) 에 대하여 \\( |a_1| \\) 의 값의 합을 구하시오. [4점]\n\n\\begin{itemize}\n    \\item[(가)] 모든 자연수 $n$에 대하여\n    \\[\n    a_{n+1} = \n    \\begin{cases} \n    a_n - 3 & (|a_n| \\text{이 홀수인 경우}) \\\\\n    \\frac{1}{2}a_n & (a_n = 0 \\ \\text{또는} \\ |a_n| \\text{이 짝수인 경우})\n    \\end{cases}\n    \\]\n    \\text{이다.}\n    \\item[(나)] $|a_m| = |a_{m+2}|$인 자연수 $m$의 최솟값은 $3$이다.\n\\end{itemize}","answer":64,"score":4,"review":null}
{"id":23,"name":"23_prob","problem":"23. 다항식 \\((x^3 + 2)^5\\)의 전개식에서 \\(x^6\\)의 계수는? [2점]\n\n\\begin{itemize}\n    \\item[1] 40\n    \\item[2] 50\n    \\item[3] 60\n    \\item[4] 70\n    \\item[5] 80\n\\end{itemize}","answer":5,"score":2,"review":null}
{"id":24,"name":"24_prob","problem":"24. 두 사건 \\( A, B \\) 에 대하여\n\n\\[\n\\mathrm{P}(A|B) = P(A) = \\frac{1}{2}, \\quad \\mathrm{P}(A \\cap B) = \\frac{1}{5}\n\\]\n\n일 때, \\( \\mathrm{P}(A \\cup B) \\) 의 값은? [3점]\n\n\\begin{itemize}\n    \\item[1] \\( \\frac{1}{2} \\)\n    \\item[2] \\( \\frac{3}{5} \\)\n    \\item[3] \\( \\frac{7}{10} \\)\n    \\item[4] \\( \\frac{4}{5} \\)\n    \\item[5] \\( \\frac{9}{10} \\)\n\\end{itemize}","answer":3,"score":3,"review":null}
{"id":25,"name":"25_prob","problem":"25. 정규분포 \\( \\mathrm{N}(m, 2^2) \\)을 따르는 모집단에서 크기가 256인 표본을 임의추출하여 얻은 표본평균을 이용하여 구한 \\( m \\)에 대한 신뢰도 95\\%의 신뢰구간이 \\( a \\leq m \\leq b \\)이다. \\( b - a \\)의 값은?\n(단, \\( Z \\)가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, \\( \\mathrm{P}(|Z| \\leq 1.96) = 0.95 \\)로 계산한다.) [3점]\n\n\\begin{itemize}\n    \\item[1] 0.49\n    \\item[2] 0.52\n    \\item[3] 0.55\n    \\item[4] 0.58\n    \\item[5] 0.61\n\\end{itemize}","answer":1,"score":3,"review":null}
{"id":26,"name":"26_prob","problem":"26. 어느 학급의 학생 16명을 대상으로 과목 A와 과목 B에 대한 선호도를 조사하였다. 이 조사에 참여한 학생은 과목 A와 과목 B 중 하나를 선택하였고, 과목 A를 선택한 학생은 9명, 과목 B를 선택한 학생은 7명이다. 이 조사에 참여한 학생 16명 중에서 임의로 3명을 선택할 때, 선택한 3명의 학생 중에서 적어도 한 명이 과목 B를 선택한 학생일 확률은? [3점]\n\n\\begin{itemize}\n    \\item[1] $\\frac{3}{4}$\n    \\item[2] $\\frac{4}{5}$\n    \\item[3] $\\frac{17}{20}$\n    \\item[4] $\\frac{9}{10}$\n    \\item[5] $\\frac{19}{20}$\n\\end{itemize}","answer":3,"score":3,"review":null}
{"id":27,"name":"27_prob","problem":"27. 숫자 \\( 1, 3, 5, 7, 9 \\)가 각각 하나씩 적혀 있는 5장의 카드가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 1장의 카드를 꺼내어 카드에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는 시행을 한다. 이 시행을 3번 반복하여 확인한 세 개의 수의 평균을 \\(\\overline{X}\\)라 하자. \\( V(a\\overline{X} + 6) = 24 \\)일 때, 양수 \\(a\\)의 값은? [3점]\n\n\\begin{itemize}\n    \\item[1] 1\n    \\item[2] 2\n    \\item[3] 3\n    \\item[4] 4\n    \\item[5] 5\n\\end{itemize}","answer":3,"score":3,"review":"Removed figure."}
{"id":28,"name":"28_prob","problem":"28. 집합 \\( X = \\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \\} \\)에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 \\( f : X \\to X \\)의 개수는? [4점]\n\n\\[\n\\begin{aligned}\n    &\\text{(가) } f(1) \\times f(6) \\text{의 값이 6의 약수이다.} \\\\\n    &\\text{(나) } 2f(1) \\leq f(2) \\leq f(3) \\leq f(4) \\leq f(5) \\leq 2f(6)\n\\end{aligned}\n\\]\n\n\\begin{itemize}\n    \\item[1] 166\n    \\item[2] 171\n    \\item[3] 176\n    \\item[4] 181\n    \\item[5] 186\n\\end{itemize}","answer":2,"score":4,"review":null}
{"id":29,"name":"29_prob","problem":"29. 정규분포 $\\mathrm{N}(m_1, \\sigma_1^2)$을 따르는 확률변수 $X$와 정규분포 $\\mathrm{N}(m_2, \\sigma_2^2)$을 따르는 확률변수 $Y$가 다음 조건을 만족시킨다.\n\\[\n\\text{모든 실수} \\ x \\text{에 대하여} \\quad \\mathrm{P}(X \\leq x) = \\mathrm{P}(X \\geq 40 - x) \\quad \\text{이고} \\quad \\mathrm{P}(Y \\leq x) = \\mathrm{P}(X \\leq x + 10)\\text{이다.}\n\\]\n$\\mathrm{P}(15 \\leq X \\leq 20) + \\mathrm{P}(15 \\leq Y \\leq 20)$의 값을 다음 표준정규분포표를 이용하여 구한 것이 $0.4772$일 때, $m_1 + \\sigma_2$의 값을 구하시오.\n(단, $\\sigma_1$과 $\\sigma_2$는 양수이다.) [4점]\n\n\\[\n\\begin{array}{|c|c|}\n\\hline\nz & \\mathrm{P}(0 \\leq Z \\leq z) \\\\\n\\hline\n0.5 & 0.1915 \\\\\n1.0 & 0.3413 \\\\\n1.5 & 0.4332 \\\\\n2.0 & 0.4772 \\\\\n\\hline\n\\end{array}\n\\]","answer":25,"score":4,"review":"'오른쪽' changed to '다음'."}
{"id":30,"name":"30_prob","problem":"30. 탁자 위에 5개의 동전이 일렬로 놓여 있다. 이 5개의 동전 중 1번째 자리와 2번째 자리의 동전은 앞면이 보이도록 놓여 있고, 나머지 자리의 3개의 동전은 뒷면이 보이도록 놓여 있다. 이 5개의 동전과 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.\n\n주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 \\( k \\)일 때,  \n\\[\nk \\leq 5 \\quad \\text{이면 } k\\text{번째 자리의 동전을 한 번 뒤집어 제자리에 놓고,}\n\\]\n\\[\nk = 6 \\quad \\text{이면 모든 동전을 한 번씩 뒤집어 제자리에 놓는다.}\n\\]\n\n위의 시행을 3번 반복한 후 이 5개의 동전이 모두 앞면이 보이도록 놓여 있을 확률을 \\(\\frac{q}{p}\\)이다. \\( p+q \\)의 값을 구하시오.  \n(단, \\( p \\)와 \\( q \\)는 서로소인 자연수이다.) [4점]","answer":19,"score":4,"review":"Removed figure."}
{"id":31,"name":"23_calc","problem":"23. $\\lim_{x \\to 0} \\frac{3x^2}{\\sin^2 x}$ 의 값은? [2점]\n\n\\begin{itemize}\n    \\item[1] 1\n    \\item[2] 2\n    \\item[3] 3\n    \\item[4] 4\n    \\item[5] 5\n\\end{itemize}","answer":3,"score":2,"review":null}
{"id":32,"name":"24_calc","problem":"24. \\[\n\\int_{0}^{10} \\frac{x+2}{x+1} \\, dx\n\\]\n의 값은? [3점]\n\n\\begin{itemize}\n    \\item[1] $10 + \\ln 5$\n    \\item[2] $10 + \\ln 7$\n    \\item[3] $10 + 2\\ln 3$\n    \\item[4] $10 + \\ln 11$\n    \\item[5] $10 + \\ln 13$\n\\end{itemize}","answer":4,"score":3,"review":null}
{"id":33,"name":"25_calc","problem":"25. 수열 $\\{a_n\\}$에 대하여 $\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{n a_n}{n^2 + 3} = 1$ 일 때, \n\\[\n\\lim_{n \\to \\infty} \\left( \\sqrt{a_n^2 + n} - a_n \\right) \\text{의 값은?} \\ [3 \\text{점}] \n\\]\n\n\\begin{itemize}\n    \\item[1] $\\frac{1}{3}$\n    \\item[2] $\\frac{1}{2}$\n    \\item[3] $1$\n    \\item[4] $2$\n    \\item[5] $3$\n\\end{itemize}","answer":2,"score":3,"review":null}
{"id":34,"name":"26_calc","problem":"26. 그림과 같이 곡선 $y = \\sqrt{\\frac{x+1}{x(x+\\ln x)}}$ 과 $x$축 및 두 직선 $x=1, \\ x=e$로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는? [3점]\n\n\\begin{itemize}\n    \\item[1] $\\ln(e+1)$\n    \\item[2] $\\ln(e+2)$\n    \\item[3] $\\ln(e+3)$\n    \\item[4] $\\ln(2e+1)$\n    \\item[5] $\\ln(2e+2)$\n\\end{itemize}","answer":1,"score":3,"review":"Removed figure and the statement referring to the figure."}
{"id":35,"name":"27_calc","problem":"27. 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 \\( f(x) \\)에 대하여 함수 \\( g(x) \\)를\n\n\\[\ng(x) = f(e^x) + e^x\n\\]\n\n이라 하자. 곡선 \\( y = g(x) \\) 위의 점 \\( (0, g(0)) \\)에서의 접선이 \\( x \\)축이고 함수 \\( g(x) \\)가 역함수 \\( h(x) \\)를 가질 때, \\( h'(8) \\)의 값은? [3점]\n\n\\begin{itemize}\n    \\item[1] \\( \\frac{1}{36} \\)\n    \\item[2] \\( \\frac{1}{18} \\)\n    \\item[3] \\( \\frac{1}{12} \\)\n    \\item[4] \\( \\frac{1}{9} \\)\n    \\item[5] \\( \\frac{5}{36} \\)\n\\end{itemize}","answer":1,"score":3,"review":null}
{"id":36,"name":"28_calc","problem":"28. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x)$가\n\n\\[\nf'(x) = -x + e^{1 - x^2}\n\\]\n\n이다. 양수 $t$에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(t, f(t))$에서의 접선과 곡선 $y=f(x)$ 및 $y$축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $g(t)$라 하자. $g(1) + g'(1)$의 값은? [4점]\n\n\\begin{itemize}\n    \\item[1] $\\frac{1}{2} e + \\frac{1}{2}$\n    \\item[2] $\\frac{1}{2} e + \\frac{2}{3}$\n    \\item[3] $\\frac{1}{2} e + \\frac{5}{6}$\n    \\item[4] $\\frac{2}{3} e + \\frac{1}{2}$\n    \\item[5] $\\frac{2}{3} e + \\frac{2}{3}$\n\\end{itemize}","answer":2,"score":4,"review":null}
{"id":37,"name":"29_calc","problem":"29. 등비수열 ${a_n}$이 \\[\n\\sum_{n=1}^\\infty (|a_n| + a_n) = \\frac{40}{3}, \\quad \\sum_{n=1}^\\infty (|a_n| - a_n) = \\frac{20}{3}\n\\]\n를 만족시킨다. 부등식\n\\[\n\\lim_{n \\to \\infty} \\sum_{k=1}^{2n} \\left((-1)^ \\frac{k(k+1)}{2} \\times a_{m+k} \\right) > \\frac{1}{700}\n\\]\n을 만족시키는 모든 자연수 $m$의 값의 합을 구하시오. [4점]","answer":25,"score":4,"review":null}
{"id":38,"name":"30_calc","problem":"30. 두 상수 \\( a \\ (1 \\leq a \\leq 2), \\ b \\)에 대하여 함수\n\\[ f(x) = \\sin(ax + b + \\sin x) \\]\n가 다음 조건을 만족시킨다.\n\n\\begin{itemize}\n    \\item[(가)] \\( f(0) = 0, \\quad f(2\\pi) = 2\\pi a + b \\)\n    \\item[(나)] \\( f'(0) = f'(t) \\)인 양수 \\( t \\)의 최솟값은 \\( 4\\pi \\)이다.\n\\end{itemize}\n\n함수 \\( f(x) \\)가 \\( x = \\alpha \\)에서 극대인 \\(\\alpha\\)의 값 중 열린구간 \\((0, 4\\pi)\\)에 속하는 모든 값의 집합을 \\( A \\)라 하자. 집합 \\( A \\)의 원소의 개수를 \\( n \\),\n집합 \\( A \\)의 원소 중 가장 작은 값을 \\( \\alpha_1 \\)이라 하면,\n\\[ n \\alpha_1 - ab = \\frac{q}{p} \\pi \\]\n이다. \\( p + q \\)의 값을 구하시오. (단, \\(p\\)와 \\(q\\)는 서로소인 자연수이다.) [4점]","answer":17,"score":4,"review":null}
{"id":39,"name":"23_geom","problem":"23. 두 벡터 \\(\\vec{a} = (k, 3)\\), \\(\\vec{b} = (1, 2)\\)에 대하여 \\(\\vec{a} + 3\\vec{b} = (6, 9)\\)일 때, \\(k\\)의 값은? [2점]\n\n\\begin{itemize}\n    \\item[1] \\(1\\)\n    \\item[2] \\(2\\)\n    \\item[3] \\(3\\)\n    \\item[4] \\(4\\)\n    \\item[5] \\(5\\)\n\\end{itemize}","answer":3,"score":2,"review":null}
{"id":40,"name":"24_geom","problem":"24. 꼭짓점의 좌표가 $(1, 0)$이고, 준선이 $x = -1$인 포물선이 점 $(3, a)$를 지날 때, 양수 $a$의 값은? [3점]\n\n\\begin{itemize}\n    \\item[1] 1\n    \\item[2] 2\n    \\item[3] 3\n    \\item[4] 4\n    \\item[5] 5\n\\end{itemize}","answer":4,"score":3,"review":null}
{"id":41,"name":"25_geom","problem":"25. 좌표공간의 두 점 \\( \\mathrm{A}(a, b, 6) \\), \\( \\mathrm{B}(-4, -2, c) \\)에 대하여 \n선분 \\( \\mathrm{AB} \\)를 \\( 3:2 \\)로 내분하는 점이 \\( z \\)축 위에 있고,  \n선분 \\( \\mathrm{AB} \\)를 \\( 3:2 \\)로 외분하는 점이 \\( xy \\)평면 위에 있을 때,  \n\\( a + b + c \\)의 값은? [3점]\n\n\\begin{itemize}\n    \\item[1] 11\n    \\item[2] 12\n    \\item[3] 13\n    \\item[4] 14\n    \\item[5] 15\n\\end{itemize}","answer":3,"score":3,"review":null}
{"id":42,"name":"26_geom","problem":"26. 자연수 $n \\ (n \\geq 2)$에 대하여 직선 $x = \\frac{1}{n}$ 이 두 타원\n\\[\nC_1 : \\frac{x^2}{2} + y^2 = 1, \\quad C_2 : 2x^2 + \\frac{y^2}{2} = 1\n\\]\n과 만나는 제1사분면 위의 점을 각각 $\\mathrm{P}$, $\\mathrm{Q}$라 하자. 타원 $C_1$ 위의 점 $\\mathrm{P}$에서의 접선의 $x$절편을 $\\alpha$, 타원 $C_2$ 위의 점 $\\mathrm{Q}$에서의 접선의 $x$절편을 $\\beta$라 할 때, \n\\[\n6 \\leq \\alpha - \\beta \\leq 15\n\\]\n가 되도록 하는 모든 $n$의 개수는? [3점]\n\n\\begin{itemize}\n    \\item[1] 7\n    \\item[2] 9\n    \\item[3] 11\n    \\item[4] 13\n    \\item[5] 15\n\\end{itemize}","answer":1,"score":3,"review":null}
{"id":43,"name":"27_geom","problem":"27. 그림과 같이 $\\overline{\\mathrm{AB}} = 6$, $\\overline{\\mathrm{BC}} = 4\\sqrt{5}$ 인 사면체 $\\mathrm{ABCD}$에 대하여 선분 $\\mathrm{BC}$의 중점을 $\\mathrm{M}$이라 하자. 삼각형 $\\mathrm{AMD}$가 정삼각형이고, 직선 $\\mathrm{BC}$는 평면 $\\mathrm{AMD}$와 수직일 때, 삼각형 $\\mathrm{ACD}$에 내접하는 원의 평면 $\\mathrm{BCD}$ 위로의 정사영의 넓이는? [3점]\n\n\\begin{itemize}\n    \\item[1] $\\frac{\\sqrt{10}}{4} \\pi$\n    \\item[2] $\\frac{\\sqrt{10}}{6} \\pi$\n    \\item[3] $\\frac{\\sqrt{10}}{8} \\pi$\n    \\item[4] $\\frac{\\sqrt{10}}{10} \\pi$\n    \\item[5] $\\frac{\\sqrt{10}}{12} \\pi$\n\\end{itemize}","answer":1,"score":3,"review":"Removed figure and the statement referring to the figure."}
{"id":44,"name":"28_geom","problem":"28. 좌표공간에 $\\overline{\\mathrm{AB}} = 8$, $\\overline{\\mathrm{BC}} = 6$, $\\angle \\mathrm{ABC} = \\frac{\\pi}{2}$인 직각삼각형 $\\mathrm{ABC}$와 선분 $\\mathrm{AC}$를 지름으로 하는 구 $S$가 있다. 직선 $\\mathrm{AB}$를 포함하고 평면 $\\mathrm{ABC}$에 수직인 평면이 구 $S$와 만나서 생기는 원을 $O$라 하자. 원 $O$ 위의 점 중에서 직선 $\\mathrm{AC}$까지의 거리가 $4$인 서로 다른 두 점을 $\\mathrm{P}$, $\\mathrm{Q}$라 할 때, 선분 $\\mathrm{PQ}$의 길이는? [4점]\n\n\\begin{itemize}\n    \\item[1] $\\sqrt{43}$\n    \\item[2] $\\sqrt{47}$\n    \\item[3] $\\sqrt{51}$\n    \\item[4] $\\sqrt{55}$\n    \\item[5] $\\sqrt{59}$\n\\end{itemize}","answer":4,"score":4,"review":"Removed figure."}
{"id":45,"name":"29_geom","problem":"29. 두 초점이 $\\mathrm{F}(c, 0)$, $\\mathrm{F'}(-c, 0)$ $(c > 0)$인 쌍곡선 $x^2 - \\frac{y^2}{35} = 1$이 있다. 이 쌍곡선 위에 있는 제1사분면 위의 점 $\\mathrm{P}$에 대하여 직선 $\\mathrm{PF'}$ 위에 $\\overline{\\mathrm{PQ}} = \\overline{\\mathrm{PF}}$인 점 $\\mathrm{Q}$를 잡자.  삼각형 $\\mathrm{QF'F}$와 삼각형 $\\mathrm{FF'P}$가 서로 닮음일 때,  삼각형 $\\mathrm{PFQ}$의 넓이는 $\\frac{q}{p}\\sqrt{5}$이다. $p+q$의 값을 구하시오.  \n\n(단, $\\overline{\\mathrm{PF'}} < \\overline{\\mathrm{QF'}}$이고, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]","answer":107,"score":4,"review":"Removed figure."}
{"id":46,"name":"30_geom","problem":"30. 좌표평면에 한 변의 길이가 $4$인 정사각형 $\\mathrm{ABCD}$가 있다.\\[|\\overrightarrow{\\mathrm{XB}} + \\overrightarrow{\\mathrm{XC}}| = |\\overrightarrow{\\mathrm{XB}} - \\overrightarrow{\\mathrm{XC}}|\\]를 만족시키는 점 $\\mathrm{X}$가 나타내는 도형을 $S$라 하자. \\\\도형 $S$ 위의 점 $\\mathrm{P}$에 대하여\\[4\\overrightarrow{\\mathrm{PQ}} = \\overrightarrow{\\mathrm{PB}} + 2\\overrightarrow{\\mathrm{PD}}\\]를 만족시키는 점을 $\\mathrm{Q}$라 할 때, $\\overrightarrow{\\mathrm{AC}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{AQ}}$의 최댓값과 최솟값을 각각 $M, m$이라 하자. $M \\times m$의 값을 구하시오. [4점]","answer":316,"score":4,"review":"Removed figure."}