data/json/2025/math_30_geom.txt

30. 좌표평면에 한 변의 길이가 $4$인 정사각형 $\mathrm{ABCD}$가 있다.
\[
|\overrightarrow{\mathrm{XB}} + \overrightarrow{\mathrm{XC}}| = |\overrightarrow{\mathrm{XB}} - \overrightarrow{\mathrm{XC}}|
\]
를 만족시키는 점 $\mathrm{X}$가 나타내는 도형을 $S$라 하자. \\
도형 $S$ 위의 점 $\mathrm{P}$에 대하여
\[
4\overrightarrow{\mathrm{PQ}} = \overrightarrow{\mathrm{PB}} + 2\overrightarrow{\mathrm{PD}}
\]
를 만족시키는 점을 $\mathrm{Q}$라 할 때, $\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AQ}}$의 최댓값과 \\
최솟값을 각각 $M, m$이라 하자. $M \times m$의 값을 구하시오. [4점]