data/json/2025/math_14.txt

14. 그림과 같이 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 선분 \(\mathrm{AB}\) 위에 \(\overline{\mathrm{AD}} : \overline{\mathrm{DB}} = 3 : 2\)인 점 \(\mathrm{D}\)를 잡고, 점 \(\mathrm{A}\)를 중심으로 하고 점 \(\mathrm{D}\)를 지나는 원을 \(O\), 원 \(O\)와 선분 \(\mathrm{AC}\)가 만나는 점을 \(\mathrm{E}\)라 하자.  
\(\sin A : \sin C = 8 : 5\)이고, 삼각형 \(\mathrm{ADE}\)와 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이의 비가 \(9 : 35\)이다. 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 외접원의 반지름의 길이가 \(7\)일 때, 원 \(O\) 위의 점 \(\mathrm{P}\)에 대하여 삼각형 \(\mathrm{PBC}\)의 넓이의 최댓값은? (단,\( \ \overline{\mathrm{AB}} < \overline{\mathrm{AC}}\)) [4점]

\begin{itemize}
    \item[1] $18 + 15 \sqrt{3}$
    \item[2] $24 + 20 \sqrt{3}$
    \item[3] $30 + 25 \sqrt{3}$
    \item[4] $36 + 30 \sqrt{3}$
    \item[5] $42 + 35 \sqrt{3}$
\end{itemize}