data/json/2025/math_26_geom.txt

26. 자연수 $n \ (n \geq 2)$에 대하여 직선 $x = \frac{1}{n}$ 이 두 타원
\[
C_1 : \frac{x^2}{2} + y^2 = 1, \quad C_2 : 2x^2 + \frac{y^2}{2} = 1
\]
과 만나는 제1사분면 위의 점을 각각 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$라 하자. 타원 $C_1$ 위의 점 $\mathrm{P}$에서의 접선의 $x$절편을 $\alpha$, 타원 $C_2$ 위의 점 $\mathrm{Q}$에서의 접선의 $x$절편을 $\beta$라 할 때, 
\[
6 \leq \alpha - \beta \leq 15
\]
가 되도록 하는 모든 $n$의 개수는? [3점]

\begin{itemize}
    \item[1] 7
    \item[2] 9
    \item[3] 11
    \item[4] 13
    \item[5] 15
\end{itemize}