data/json/2025/math_29_geom.txt

29. 두 초점이 $\mathrm{F}(c, 0)$, $\mathrm{F'}(-c, 0)$ $(c > 0)$인 쌍곡선 $x^2 - \frac{y^2}{35} = 1$이 있다. 이 쌍곡선 위에 있는 제1사분면 위의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 직선 $\mathrm{PF'}$ 위에 $\overline{\mathrm{PQ}} = \overline{\mathrm{PF}}$인 점 $\mathrm{Q}$를 잡자.  
삼각형 $\mathrm{QF'F}$와 삼각형 $\mathrm{FF'P}$가 서로 닮음일 때,  
삼각형 $\mathrm{PFQ}$의 넓이는 $\frac{q}{p}\sqrt{5}$이다. $p+q$의 값을 구하시오.  

(단, $\overline{\mathrm{PF'}} < \overline{\mathrm{QF'}}$이고, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]