data/json/2025/math_30_calc.txt

30. 두 상수 \( a \ (1 \leq a \leq 2), \ b \)에 대하여 함수
\[ f(x) = \sin(ax + b + \sin x) \]
가 다음 조건을 만족시킨다.

\begin{itemize}
    \item[(가)] \( f(0) = 0, \quad f(2\pi) = 2\pi a + b \)
    \item[(나)] \( f'(0) = f'(t) \)인 양수 \( t \)의 최솟값은 \( 4\pi \)이다.
\end{itemize}

함수 \( f(x) \)가 \( x = \alpha \)에서 극대인 \(\alpha\)의 값 중 열린구간 \((0, 4\pi)\)에 속하는 모든 값의 집합을 \( A \)라 하자. 집합 \( A \)의 원소의 개수를 \( n \),
집합 \( A \)의 원소 중 가장 작은 값을 \( \alpha_1 \)이라 하면,
\[ n \alpha_1 - ab = \frac{q}{p} \pi \]
이다. \( p + q \)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.) [4점]