diff --git "a/99E0T4oBgHgl3EQfgAA0/content/tmp_files/2301.02411v1.pdf.txt" "b/99E0T4oBgHgl3EQfgAA0/content/tmp_files/2301.02411v1.pdf.txt"
new file mode 100644--- /dev/null
+++ "b/99E0T4oBgHgl3EQfgAA0/content/tmp_files/2301.02411v1.pdf.txt"
@@ -0,0 +1,3029 @@
+arXiv:2301.02411v1  [math.AG]  6 Jan 2023
+QUELQUES ASPECTS ARITHMÉTIQUES ET GÉOMÉTRIQUES
+DES CYCLES ALGÉBRIQUES ET DES MOTIFS
+GIUSEPPE ANCONA
+Habilitation à diriger les recherches
+Soutenue le 17 Novembre 2022 devant le jury composé de :
+Yves André, examinateur
+Joseph Ayoub, rapporteur
+Jean-Benoît Bost, examinateur
+Anna Cadoret, rapporteur
+François Charles, rapporteur
+Carlo Gasbarri, examinateur
+Rutger Noot, garant
+Table des matières
+Remerciements
+3
+0.
+Introduction
+7
+1.
+A quoi servent les motifs ?
+10
+2.
+Cohomologies de Weil
+12
+3.
+Conjectures standard et moins standard
+18
+4.
+Exemples
+23
+5.
+Autodualité et conservativité
+29
+6.
+Positivité en caracteristique positive
+32
+7.
+Périodes p-adiques à la André
+39
+8.
+Motifs des schémas en groupes commutatifs
+46
+9.
+Construction de classes algébriques
+52
+Références
+57
+1
+
+
+MÉMOIRE HDR
+3
+Remerciements
+On m’avait souvent décrit l’Habilitation comme une formalité par laquelle il
+fallait passer. Je me rends compte qu’en fait d’une part j’ai pris plaisir à rédiger
+ce mémoire et d’autre part c’est avec un peu d’émotion que je m’approche à cette
+soutenance. Je serai entouré par des collègues et des amis qui me sont chers et
+j’aimerais par ces quelques lignes les remercier.
+Merci aux trois rapporteurs d’avoir accepté de consacrer leur temps à la lecture
+de mon mémoire. Joseph Ayoub a été mon encadrant de postdoc et c’est une figure
+centrale de la théorie des motifs. J’ai bénéficié de nombreuses discussions avec lui
+et c’est un grand honneur pour moi l’attention qu’il a porté à mes travaux.
+J’ai rencontré Anna Cadoret pendant ma thèse à l’occasion d’un groupe de travail
+organisé par son ANR. J’ai le souvenir d’une atmosphère détendue et ouverte vers
+les jeunes, comme il arrive rarement dans notre métier (atmosphère que l’on a
+essayé de reproduire avec la RéGA, puis le JAVA). J’ai toujours aimé l’originalité
+des questions qu’elle sait se poser et je me réjouis de ses appréciations à ce mémoire.
+François Charles était 2 ans avant moi à l’ENS, il a représenté pour plusieurs
+d’entre nous une référence. J’ai toujours été impressionné par ses fortes intuitions et
+je le remercie pour les échanges que l’on a eu et pour son intérêt pour mes résultats.
+Rutger Noot a été rapporteur de ma thèse et m’a beaucoup encouragé après :
+je lui en suis reconnaissant. Depuis que je suis à Strasbourg, j’ai pu profiter de
+sa culture mathématique à plusieurs reprises. C’était pour moi le choix naturel de
+garant et je le remercie d’avoir accepté.
+Il n’y a probablement aucune section de ce mémoire où le nom d’Yves André
+n’apparaisse pas. Bien que j’essaie constamment d’élargir mes intérêts et m’ouvrir
+à de nouveaux domaines, je finis toujours par y découvrir un théorème fondamental
+qui lui est dû. Sa présence dans mon jury est un honneur pour moi.
+J’ai suivi un cours de Jean-Benoît Bost en M2 : sa clarté et sa vision sont devenues
+une référence pour moi. Je le remercie pour son soutien depuis cette époque ; c’est
+un plaisir pour moi de l’avoir dans mon jury d’Habilitation.
+Les déjeuners à la cantine sont souvent enrichis par les digressions mathématiques
+(toujours passionnées) de Carlo Gasbarri. Je le remercie pour celles que l’on a eu,
+celles que l’on aura et d’avoir accepté de faire partie du jury.
+Je remercie Emiliano Ambrosi, Pierre Baumann, Mattia Cavicchi, Frédéric Cha-
+poton, Dragos Fratila, Florence Lecomte et Rutger Noot pour leurs relectures aux
+premières versions de ce texte.
+Certains des résultats présentés ici sont issus de collaborations avec des ma-
+thématiciens qui m’ont beaucoup appris. Je les remercie tous ici, à partir de ma
+première collaboratrice, Annette Huber, avec laquelle nous continuons à beaucoup
+échanger, jusqu’au plus jeune, Mattia Cavicchi, mathématicien doué à qui je sou-
+haite tout le meilleur pour ses débuts de carrière.
+Mes recherches mathématiques n’auraient pas pu avoir lieu sans les échanges, les
+conseils et les remarques de mes chers amis mathématiciens Olivier Benoist, Yohan
+Brunebarbe, Javier Fresán et Marco Maculan.
+
+4
+GIUSEPPE ANCONA
+Quand je repense à mon passé mathématique je dois remercier mon directeur de
+thèse Jörg Wildeshaus, ainsi que Frédéric Déglise qui était chercheur à Paris 13 à
+l’époque de ma thèse et qui m’a beaucoup appris.
+Pendant ces années à l’IRMA j’ai eu le plaisir de discuter de mathématiques
+avec de nombreux collègues, tant dans mon équipe que dans les autres. Je pense
+en particulier à Emilano Ambrosi, Dragos Fratila, Robert Laterveer, Yohann Le
+Floch, Adriano Marmora, Pierre Py et Ana Rechtman.
+L’ambiance au laboratoire est bonne, j’ai échangé avec à peu près tout le monde
+à l’occasion d’enseignements, conseils ou autre et j’ai souvent trouvé de l’empathie
+et de la bienveillance. Chers collègues qui lisez ces lignes, je vous en remercie !
+Le travail d’enseignant-chercheur a besoin d’un soutien administratif et technique
+considérable. Nous sommes gâté de ce point de vue-là à Strasbourg : je remercie en
+particulier Alexandra Carminati, Sandrine Cerdan, Pascale Igot, Delphine Karles-
+kind, Jessica Maurer-Spoerk, Alexis Palaticky et Alain Sartout.
+Je suis ému par la présence de plusieurs amis et collègues qui n’habitent pas
+à Strasbourg et qui ont fait de la route pour venir voir ma soutenance : Javier,
+Mattia, Olivier, Quentin et Yohan, merci ! Je suis également touché par la présence
+d’amis qui ont décidé de passer une heure de leur vie à me voir délirer devant des
+tableaux bleus : Joanne, Cédric, François... cela me touche beaucoup.
+Enfin, merci à tout ce qui est non-mathématique dans ma vie et qui la rend si
+heureuse. Je pense aux amis du tango de la belle association Hermosa : merci pour
+la bonne ambiance des milongas. Je pense aux amis du foot du terrain 5 : merci
+pour les matchs intenses et pour les après-matchs encore plus intenses. Je pense
+aux jogging avec Gianluca (accompagnés toujours de questionnements et conseils
+réciproques). Je pense aux jeunes parents avec lesquels on partage les apéros où
+l’on ne peut jamais terminer nos phrases ainsi que les fêtes regrettées le lendemain.
+Et évidemment je pense à ma famille pétillante. Merci à toutes les générations de la
+Nonna Michelina qui me chantait l’opéra pendant qu’elle préparait ses pâtes jusqu’à
+mes filles qui sautent toujours à mon cou. Merci à Anna qui a toujours envie de me
+voir donner un exposé et toujours la joie de le célébrer. Merci à ma mère qui nous
+a préparé un super pot (vous verrez...), à mon père qui me parlait de sciences en
+voiture pendant qu’il m’accompagnait au judo, à mes frères et à notre chambre à
+trois où on pratiquait tout sport possible, à la famille de Maglie qui nous a toujours
+accompagné avec amour et à ma belle famille avec qui on partage voyages, bonnes
+bouffes et discussions sur le monde.
+
+A Anna, compagna di viaggio.
+A Camilla e Gaia, il nostro viaggio.
+
+
+MÉMOIRE HDR
+7
+0. Introduction
+Le protagoniste de ce mémoire est un morphisme d’anneaux gradués 1 appelé
+application classe de cycle
+clX : CH(X) −→ H(X).
+Ici X est une variété projective et lisse définie sur un corps k, H est une cohomologie
+de Weil 2 et CH(X) est l’anneau de Chow à coefficients rationnels. Il faut penser
+à CH(X) comme un invariant de X de nature algébrique et à H(X) comme un
+invariant de nature topologique : l’application clX compare ces différentes natures.
+Les questions autour de clX peuvent se diviser grossièrement en trois classes :
+(1) Décrire l’image de clX,
+(2) Décrire le noyau de clX,
+(3) Décrire la structure multiplicative de clX.
+Par exemple, des conjectures qui entrent dans la première classe sont Hodge,
+Tate, la conjecture des périodes de Grothendieck, ou encore les conjectures stan-
+dard de type Künneth et de type Lefschetz. Dans la deuxième classe on trouve la
+conjecture de Bloch–Beilinson ou la conjecture de nilpotence. Certaines conjectures
+sont à cheval entre la première et la deuxième classe, par exemple la conjecture de
+conservativité ou la conjecture sur la dimension finie de Kimura. Rentrent dans la
+troisième classe les conjectures standard de type Hodge et de type « hom = num ».
+Pour décomposer l’étude dans ces trois classes on peut d’abord factoriser clX
+(comme morphisme d’anneaux) et obtenir le diagramme suivant :
+CH(X)
+p
+��
+clX
+�❖
+❖
+❖
+❖
+❖
+❖
+❖
+❖
+❖
+❖
+❖
+CH(X)/ ker clX � �
+i
+� H(X).
+L’anneau quotient CH(X)/ ker clX est également noté CH(X)/ hom et appelé an-
+neaux des cycles modulo l’équivalence homologique.
+Les questions appartenant à la classe (1) ci-dessus reviennent alors à l’étude de
+l’injection i et celles de la classe (2) à la projection p. Pour exprimer la classe (3)
+on considère l’équivalence numérique 3 et on complète le diagramme ainsi :
+1. La graduation dans CH(X) est induite par la codimension des sous-variétés et la multipli-
+cation est appelée produit d’intersection.
+2. Par exemple si k = C on pourra choisir la cohomologie singulière ou pour k de caractéristique
+p ≥ 0 et ℓ un nombre premier tel que ℓ ̸= p on pourra choisir la cohomologie ℓ-adique.
+3. Cette équivalence rend tous les points de la variété équivalents et les cycles de codimension
+complémentaire sont mis en dualité par le produit d’intersection.
+
+8
+GIUSEPPE ANCONA
+CH(X)
+p
+��
+clX
+�▼
+▼
+▼
+▼
+▼
+▼
+▼
+▼
+▼
+▼
+CH(X)/ hom� � i
+�
+q
+��
+H(X).
+CH(X)/ num
+(0.1)
+La compréhension de l’algèbre CH(X)/ num et de la projection q encode une bonne
+partie des questions de la classe (3) ci-dessus.
+Les conjectures principales sur les cycles algébriques s’expriment mieux si on
+passe aux motifs. Cela revient, grosso-modo, à considérer le diagramme (0.1) pour
+toutes les variétés X à la fois :
+CHM(k)
+π
+��
+R
+�▲
+▲
+▲
+▲
+▲
+▲
+▲
+▲
+▲
+▲
+Mot(k)� �
+I
+�
+π′
+��
+GrVect.
+NUM(k)
+(0.2)
+Ici R indique la réalisation des motifs de Chow vers les espaces vectoriels gra-
+dués : c’est une collection d’applications classe de cycle. On a de plus des foncteurs
+pleins π, π′ de projection vers les motifs homologiques et les motifs numériques et
+un foncteur fidèle I des motifs homologiques vers les espaces vectoriels gradués,
+également appelé réalisation.
+Le théorie des motifs est utile non seulement à la formulation de questions sur
+les cycles algébriques mais aussi à la démonstration de résultats sur ces derniers,
+voir la Section 1 pour une discussion de ce point. En guise d’exemple, voici une
+petite liste de résultats - certains issus de mes travaux - où l’on remarquera que
+les motifs n’apparaissent pas dans les énoncés et pourtant sont cruciaux dans leurs
+preuves.
+Théorème 0.1.
+(1) (Kahn [Kah03]) L’application classe de cycle est injective
+pour les produits de courbes elliptiques sur un corps fini.
+(2) (Kimura [Kim05]) Soit S un surface complexe projective et lisse dominée
+par un produit de courbes. Si l’application classe de cycle est surjective alors
+elle est injective.
+(3) [Anc21] Soit A une variété abélienne de dimension quatre, alors le produit
+d’intersection
+CH2(A)/num × CH2(A)/num −→ Q
+
+MÉMOIRE HDR
+9
+est de signature (ρ2 − ρ1 + 1; ρ1 − 1), où ρn = dimQ(CHn(A)/num).
+(4) [AHPL16] Soient S un schéma de base régulier et G un S-schéma en groupes
+commutatifs. Alors l’action du morphisme
+nG : G −→ G
+de multiplication par n décompose l’espace CH(G) en une somme finie de
+sous-espaces propres (de plus les valeurs propres sont des puissances expli-
+cites de n et la décomposition ne dépend pas de l’entier n ≥ 2 choisi).
+Par sa nature même, la théorie des motifs se mélange aux différentes cohomo-
+logies de Weil que l’on peut considérer. Ainsi, en fonction du corps de base k, on
+se retrouve à utiliser la théorie de Hodge (k = C), les représentations galoisiennes
+(k corps de nombres), l’arithmétique des nombres de Weil (k fini) ou encore de
+la théorie de Hodge p-adique (en caractéristique mixte). Cela dégage les aspects
+arithmétiques et géométriques de la théorie.
+Ces différentes théories cohomologiques ont des analogies, que l’on retrouve dans
+les motifs par des théorèmes ou des conjectures, ainsi que des différences, que la
+théorie des motifs vise à réparer, voir la Section 2.
+On peut distinguer les différents résultats dans le domaine des motifs d’une
+part par la partie du diagramme 0.2 que l’on étudie et d’autre part par la nature
+géométrique ou arithmétique du corps de base k qui est concerné. Pour aider la
+lecture du texte qui suivra, voici une répartition des travaux présentés.
+Arithmétique
+Géométrie
+CHM(k)
+§5 [Anc22]
+§8 [AEWH15, AHPL16]
+Mot(k)
+§7 [AF22]
+§9 [ACLS22]
+NUM(k)
+§6 [Anc21]
+Organisation du texte. Les premières sections du texte fournissent une intro-
+duction partielle à la théorie. Nous avons déjà mentionné que les motifs sont utiles
+à l’étude des cycles algébrique et donné le Théorème 0.1 comme exemple, mais
+nous n’avons pas dit pourquoi ils sont utiles : c’est le but de la Section 1. La Sec-
+tion 2 présente la théorie de Hodge et ses pendants arithmétiques ; on insiste sur
+les analogies mais surtout sur les différences. La Section 3 donne des conjectures
+sur les cycles algébriques et la Section 4 des exemples de motifs. Ces questions
+et ces exemples sont repris dans les sections successives où l’on présente différents
+résultats organisés selon le diagramme ci-dessus. Dans la Section 5 on démontre la
+conjecture de conservativité pour les motifs provenant de variétés abéliennes défi-
+nies sur un corps fini. La Section §6 concerne la conjecture standard de type Hodge
+et montre le Théorème 0.1(3). Dans la Section §7 on introduit une nouvelle classe de
+périodes p-adiques qui surgit dans l’étude des classes algébriques en caractéristique
+mixte. Dans la Section §8 on montre le Théorème 0.1(4) qui nécessite l’utilisation
+de techniques motiviques modernes. La Section §9 étudie les classes algébriques de
+certaines variétés hyper-kähler qui admettent une fibration lagrangienne.
+
+10
+GIUSEPPE ANCONA
+1. A quoi servent les motifs ?
+Dans un article du même titre [Del94a], Deligne expliquait que les motifs n’ont
+qu’une utilité essentiellement philosophique permettant de transférer des idées d’une
+cohomologie à l’autre, grosso-modo en appliquant le diagramme 0.2 à différentes
+cohomologies. Aujourd’hui on comprend que les motifs sont aussi un vrai outil tech-
+nique, comme l’avait envisagé Grothendieck. Deligne même revoit sa position dans
+son Bourbaki sur les multizétas et explique que les travaux de Brown sont « un des
+cas où la philosophie des motifs est non seulement un guide précieux, mais permet
+des démonstrations » [Del13].
+J’aimerais expliquer ici l’utilité des motifs notamment dans la théorie des cycles
+algébriques : une liste d’énoncés où leur utilisation est cruciale a déjà été donnée
+dans le Théorème 0.1. Plusieurs avertissements sont tout de même nécessaires. Pre-
+mièrement, je ne prétends pas que cet outil soit l’unique possible, beaucoup de
+résultats intéressants sur les anneaux de Chow ont été obtenus par d’autres mé-
+thodes. Deuxièmement, à l’heure actuelle les applications les plus impressionnantes
+des motifs apparaissent plutôt dans la théorie des périodes [Bro12, Ayo15] - on
+peut espérer que les applications majeures de la théorie aux anneaux de Chow sont
+encore à venir.
+Dans sa construction de la théorie des motifs purs (i.e. pour les variétés propres
+et lisses) Grothendieck avait imaginé un pont entre les cycles algébriques et, par
+exemple, la cohomologie ℓ-adique. Son idée était que la compréhension des premiers
+aurait impliqué ainsi des résultats sur la deuxième, par exemple les conjectures
+standard auraient impliqué les conjectures de Weil. En un sens cela semblait la
+direction raisonnable : les cycles étaient là depuis plus longtemps (on pourrait dire
+depuis le théorème de Bézout) et leur définition pouvait les faire paraître comme
+plus accessibles.
+On comprend aujourd’hui qu’ils sont plus mystérieux que ce que l’on aurait pu
+imaginer. Ceci est devenu flagrant probablement avec le théorème de Mumford
+[Mum68] qui montre que le groupe des 0-cycles ne peut pas, en général, être para-
+métré par une variété de type fini. En revanche beaucoup de progrès ont été faits
+sur la cohomologie. Ce pont maintient donc toute son utilité mais il faut plutôt le
+parcourir dans l’autre direction : on essaiera d’exploiter des informations cohomo-
+logiques et de les transposer sur les cycles via les motifs.
+La question naturelle qui se pose est alors pourquoi l’application classe de cycle
+ne serait pas elle-même suffisante pour un tel pont entre anneaux de Chow et
+cohomologie? Une réponse courte est que la cohomologie a des propriétés agréables
+(Künneth, Poincaré,. . .) que les anneaux de Chow n’ont pas. Les motifs sont une
+façon de réorganiser les applications classe de cycle de sorte à ce que l’on ait encore
+ces propriétés agréables.
+1.1. Motifs purs. Pour expliquer l’idée derrière la construction, prenons la situa-
+tion suivante (inspirée par le formalisme tannakien). Soit φ : H → G un morphisme
+de groupes et étudions le foncteur induit
+f = φ∗ : RepF (G) −→ RepF (H)
+(1.1)
+
+MÉMOIRE HDR
+11
+sur les représentations F-linéaires pour F un corps fixé. Supposons avoir à notre
+disposition pour cette étude uniquement la collection d’applications
+cV : V G −→ V H ⊂ f(V )
+(1.2)
+pour chaque V ∈ Rep(G). La donnée de cette collection est certainement moins
+agréable que la donnée de f. On peut tout de même retrouver f en remarquant que
+son action sur les morphismes est donnée par
+cW⊗V ∨ : HomG(V, W) = (W ⊗ V ∨)G −→ (W ⊗ V ∨)H = HomH(V, W).
+(1.3)
+Cette idée de passer de l’invariant à l’équivariant est l’étape essentielle dans la
+construction de Grothendieck des motifs. Dans ce cas pour chaque variété X, V sera
+son motif h(X) (objet abstrait de la catégorie en construction), V G sera l’anneau
+de Chow CH(X), f(V ) sera la cohomologie singulière (ou ℓ-adique,. . .) H(X), V H
+seront les classes de Hodge Hdg(X) (ou les classes Galois invariantes, . . .) et cV
+sera l’application classe de cycle clX. En résumant :
+V
+⇝
+h(X),
+V G
+⇝
+CH(X),
+f(V )
+⇝
+H(X),
+V H
+⇝
+Hdg(X),
+cV
+⇝
+clX .
+(1.4)
+Pour que la construction dans (1.3) soit applicable il faut donner un sens au dual
+d’un motif et au produit tensoriel de deux motifs. C’est ici qu’il est nécessaire de
+considérer des variétés propres et lisses. En effet la formule de Künneth et la dualité
+de Poincaré suggèrent h(X) ⊗ h(Y ) = h(X × Y ) et h(X)∨ = h(X) (à un twist de
+Tate près). L’espace Hom(h(X), h(Y )) sera alors contrôlé 4 par CH(X × Y ).
+Une fois que la construction de cette catégorie est faite on pourra imaginer -
+et essayer de démontrer - des analogies entre H(X) et h(X) qui ne seraient pas
+raisonnables avec CH(X) pour ensuite déduire des informations sur les anneaux
+de Chow en passant aux Hom dans la catégorie. Par exemple on pourra imaginer
+que H(X) et h(X) ont « la même dimension », ce qui ne peut pas avoir lieu avec
+CH(X) - voir l’analogie (1.1). Cette idée est à la base de la notion de dimension
+dans les motifs due à Kimura et O’Sullivan qui est l’ingrédient essentiel dans la
+preuve du Théorème 0.1(1) et joue également un rôle dans les parties (2) et (4) du
+même théorème.
+1.2. Motifs mixtes. La théorie a beaucoup évoluée depuis ses fondations. Comme
+la théorie de Hodge, qui a évolué d’abord avec les structures de Hodge mixtes as-
+sociées à des variétés qui ne sont pas forcément projectives ou lisses, pour arriver
+jusqu’aux modules de Hodge mixtes qui visent à étudier des familles de variétés
+sur des bases générales, également la théorie des motifs a eu une accélération si-
+gnificative avec la catégorie triangulée des motifs mixtes de Voevodsky jusqu’aux
+motifs relatifs sur une base générale [Ayo07, CD19]. Ces catégories sont liées par le
+formalisme des six foncteurs, tout comme les modules de Hodge mixtes. De plus,
+certains Hom dans ces catégories permettent de retrouver les anneaux de Chow.
+4. Pour les variétés générales qui ne sont pas projectives et lisses l’argument ci-dessus suggère
+qu’il n’est pas raisonnable d’espérer un lien entre Hom(h(X), h(Y )) et des anneaux de Chow. Ef-
+fectivement dans les motifs de Voevodsky ces Hom n’ont pas d’interprétation en terme d’invariants
+classiques, voir aussi la Remarque 8.7(4).
+
+12
+GIUSEPPE ANCONA
+On dispose également de foncteurs de réalisation, par exemple vers les faisceaux
+constructibles, qui permettent de retrouver les applications classes de cycles.
+Tout comme dans le cas des variétés projectives et lisses expliqué plus haut, ces
+catégories ont l’avantage d’avoir des analogies avec les catégories cohomologiques.
+Par exemple on dispose d’une filtration de poids sur les motifs tout comme en théo-
+rie de Hodge mixte [Bon10]. (Une telle structure n’a pas de bons analogues dans
+les anneaux de Chow : par exemple un ouvert d’un espace affine a un anneau de
+Chow trivial alors que la filtration de poids en cohomologie peut être non triviale.)
+Un autre exemple est le résultat suivant d’Ayoub [Ayo14, Proposition 3.24] : une
+application f entre motifs au-dessus d’une base S est un isomorphisme si et seule-
+ment si la restriction de f en tout point de S l’est. Cet énoncé est bien entendu
+inspiré de son pendant pour les faisceaux constructibles ou étales.
+Ces nouvelles catégories présentent un deuxième avantage : on dispose main-
+tenant de beaucoup plus de flexibilité, analogue à celle permise par les modules
+de Hodge mixtes. Par exemple, si on veut étudier l’anneau de Chow d’une variété
+projective et lisse X, on pourrait avoir envie de stratifier X et d’étudier chaque
+strate, ou de fibrer X au-dessus d’une base et d’étudier comment les fibres varient.
+Ce genre de construction mène très souvent à des variétés qui ne sont pas lisses et
+pour lesquelles les anneaux de Chow et leur fonctorialité ne sont pas définis : ces
+catégories de motifs permettent, entre autre, de contourner ce problème.
+Ces techniques ont permis la construction de certains cycles « concrets », par
+exemple certains cycles prédits par la conjecture de Hodge joint au théorème de
+décomposition, qui étaient inaccessible par des méthodes directes. Notamment cela
+a été appliqué aux variétés de Shimura [Wil17], aux fibrés en quadriques [CDN22]
+et aux variétés hyper-kähler qui admettent une fibration lagrangienne [ACLS22].
+1.3. Complexes motiviques. Une troisième raison pour laquelle les motifs sont
+utiles à l’étude des cycles algébriques vient de leur définition moderne (depuis Voe-
+vodsky). Dans la théorie de Grothendieck les motifs sont des symboles formels et
+leur lien avec les cycles algébriques a lieu par construction. Dans les catégories mo-
+dernes les motifs sont des complexes de faisceaux et il est possible d’en construire
+un certain nombre explicitement. Leur lien avec les cycles algébriques est loin d’être
+une tautologie et c’est en fait un des résultats plus profond de la théorie. On peut
+alors espérer que certaines questions délicates sur les cycles algébriques puissent
+devenir concrètes dans leur pendant faisceautique. C’est ce qui se passe notam-
+ment dans la construction de la réalisation de Betti [Ayo10] ou dans la preuve du
+Théorème 0.1(4), voir Section 8.
+2. Cohomologies de Weil
+Dans cette section on rappelle la définition classique de structure de Hodge
+(Définition 2.1) ainsi qu’une formulation équivalente qui se prête à mieux décrire les
+propriétés de positivité (Définition 2.2). Le but principal de la section est de rappeler
+ces propriétés de positivité ainsi que des propriétés d’autodualité des structures de
+Hodge puis de montrer que leurs analogues en cohomologie ℓ-adique sont faux en
+général (Remarque 2.16 et Exemple 2.17). La définition de polarisation est cruciale,
+on essaie de la justifier dans la Remarque 2.12.
+
+MÉMOIRE HDR
+13
+D’autres différences entre la théorie de Hodge et ses analogues arithmétiques
+sont éparpillées un peu partout dans le texte, voir par exemple la Conjecture 3.18
+ou la Remarque 6.9.
+Définition 2.1. (Structure de Hodge, définition classique.) Une structure de Hodge
+pure de poids n ∈ Z est la donnée d’un Q-espace vectoriel de dimension finie V
+muni d’une décomposition
+V ⊗Q C =
+�
+p+q=n
+p,q∈Z
+V p,q
+(2.1)
+vérifiant V p,q = V q,p.
+Si on considère les espaces V {p,q} = V ⊗QR∩(V p,q +V q,p) on trouve la définition
+équivalente suivante.
+Définition 2.2. (Structure de Hodge, définition équivalente.) Une structure de
+Hodge pure de poids n ∈ Z est un triplet formé d’un Q-espace vectoriel de dimension
+finie V , d’une décomposition
+V ⊗Q R =
+�
+p≤q
+p+q=n
+p,q∈Z
+V {p,q}
+(2.2)
+en sous-espace réels et d’une structure complexe sur les espaces V {p,q} pour p ̸= q.
+Les paires (p, q) qui apparaissent dans la décomposition sont appelées les types
+de V .
+Remarque 2.3. (Lien entre les définitions.) Les deux présentations ci-dessus sont
+bien équivalentes. On remarque que, pour p < q, l’ espace V {p,q} ⊗ C est muni de
+deux structures complexes, par conséquent on a une décomposition
+V {p,q} ⊗ C = V p,q ⊕ V q,p,
+où V p,q est l’espace où les structures coïncident et V q,p est l’espace où elles sont
+conjuguées 5.
+La Définition 2.2 est plus pratique pour exprimer des propriétés de positivité 6,
+voir par exemple Définition 2.6.
+Exemple 2.4.
+(1) (Cohomologie singulière.) Si X est une variété projective et
+lisse sur les nombres complexes sa cohomologie singulière est munie d’une
+5. On pourrait inverser le rôle de ces deux espaces, dans ce cas il faudrait changer les signes
+dans la Définition 2.9 pour avoir les mêmes conventions de signe classiques.
+6. En revanche la structure tensorielle s’exprime mieux avec la Définition 2.1, par la règle
+(V ⊗ W )p,q =
+�
+a+c=p
+b+d=q
+V a,b ⊗ W c,d.
+Dans le cas réel on remarque que V {a,b} ⊗ W {c,d} a deux structures complexes quand a < b
+et c < d. Ceci induit une décomposition en deux espaces comme précédemment, celui où les
+structures coïncident contribue à (V ⊗ W )a+c,b+d et l’autre à (V ⊗ W )m,M où m et M sont le
+minimum et le maximum de la paire {a + d, b + c}.
+
+14
+GIUSEPPE ANCONA
+structure de Hodge fonctorielle en X, plus précisément Hn(X) est pure de
+poids n. Tous les théorèmes que l’on peut imaginer (Poincaré, Künneth,
+Lefschetz,. . .) respectent cette structure supplémentaire.
+(2) (Variétés abéliennes.) Dans le cas particulier d’une variété abélienne com-
+plexe A dont la variété analytique sous-jacente est Cg/Λ on a H1(A)⊗R =
+Λ⊗R = Cg, ce qui fait apparaître explicitement la structure complexe dans
+la Définition 2.2 de l’espace H1(A) ⊗ R.
+(3) (Twist de Tate.) En poids 2n il existe une seule structure de Hodge de
+dimension 1 à isomorphisme non unique près. On fixe une telle structure
+de Hodge et on la note Q(−n). Pour une structure de Hodge V on note
+V (−n) = V ⊗ Q(−n) et on l’appelle twist de Tate ; on choisit les Q(−n) de
+sorte à avoir l’identification Q(a) ⊗ Q(b) = Q(a + b).
+Traditionnellement on choisit Q(n) = (2iπ)nQ ⊂ C, puisque c’est la
+structure de Hodge qui apparaît naturellement dans la cohomologie sin-
+gulière de degré maximale. Ce choix particulier ne joue pas de rôle dans
+les constructions qui suivront, sauf pour la notion de polarisation, voir Re-
+marque 2.7(1).
+Remarque 2.5. (Autodualité.) Une structure de Hodge n’est pas, en général, au-
+toduale dans le sens où V et V ∨ ne sont pas en général isomorphes, même à un
+twist près (le seul twist pour lequel cette autodualité est raisonnable étant le poids).
+Par exemple prenons une structure de Hodge de poids 0 et supposons que la
+décomposition (2.2) ait deux facteurs non nuls V ⊗Q R = V {0,0} ⊕ V {−1,+1}. Sup-
+posons de plus que V {0,0} soit compatible avec la structure rationnelle et V {−1,+1}
+ne le soit pas, c’est-à-dire que l’on ait l’égalité dimQ(V {0,0}∩V ) = dimR V {0,0} mais
+dimQ(V {−1,+1} ∩ V ) < dimR V {−1,+1}.
+Si V était autodual on aurait en particulier une forme bilinéaire sur V pour
+laquelle V {0,0} et V {−1,+1} seraient l’orthogonal l’un de l’autre. Or comme une telle
+forme bilinéaire serait définie sur Q, l’espace V {−1,+1} serait forcé à être également
+compatible avec la structure rationnelle.
+Il se trouve que toutes les structures de Hodge provenant de la géométrie algé-
+brique sont autoduales. En fait même plus, elles sont munies d’une forme bilinéaire
+« aussi définie que possible », c’est l’objet de la définition de polarisation, rappelée
+ci-dessous.
+Définition 2.6. (Polarisation - poids pair.) Une polarisation sur une structure de
+Hodge V pure de poids 2n est une forme bilinéaire symétrique b sur le Q-espace
+vectoriel V telle que :
+(1) Les espaces V {p,q} sont orthogonaux deux à deux par rapport à b,
+(2) L’adjointe par rapport à b de la structure complexe sur V {p,q} est sa conju-
+guée,
+(3) La restriction de b aux facteurs V {n−a,n+a} est définie (−1)a-positive 7.
+7. C’est-à-dire définie positive si a est pair et définie négative si a est impair.
+
+MÉMOIRE HDR
+15
+Remarque 2.7.
+(1) Les deux premières propriétés de la dé���nition sont équi-
+valentes à l’existence d’un morphisme de structures de Hodge
+b : V ⊗ V −→ Q(−2n).
+Inversement, étant donné un tel b il est nécessaire de choisir une identi-
+fication Q(−2n) ⊗Q R ∼= R pour pouvoir exprimer la dernière propriété (de
+positivité). L’Exemple 2.4(3) fixe un tel choix.
+(2) Dans le cas V = H2n(X) on déduit qu’une polarisation est définie positive
+sur les classes algébriques, car elle l’est sur V {n,n}. C’est utile de connaître
+les signes sur les autres facteurs même pour la compréhension des classes
+algébriques, voir l’Exemple 4.9 et la Section 6.
+(3) Une polarisation est automatiquement non dégénérée donc les structures de
+Hodge qui la possèdent sont autoduales. D’autre part il y a des structures
+de Hodge autoduales, même simples, qui n’admettent pas de polarisation,
+voir l’Exemple 2.8. Autrement dit la polarisabilité est une notion plus forte
+que l’autodualité.
+Exemple 2.8. (Autodualité vs polarisation.) Construisons une structure de Hodge
+simple et autoduale qui n’admet pas de polarisation. Soit A une variété abélienne
+complexe de dimension 4 et très générale. Alors la partie primitive V = H4,prim(A)
+est une structure de Hodge simple, de type (0, 4), (1, 3) et (2, 2) et polarisable (par
+le Corollaire 2.14). Définissons une nouvelle structure de Hodge W où le Q-espace
+vectoriel est le même que V , ainsi que la décomposition, mais on inverse le rôle de
+la partie (0, 4) avec la partie (1, 3), c’est-à-dire
+W {0,4} = V {1,3},
+W {1,3} = V {0,4}
+et
+W {2,2} = V {2,2}.
+On prétend que W satisfait aux propriétés requises. Premièrement remarquons
+qu’une polarisation sur V induit un accouplement b sur W qui rend W autoduale.
+D’autre part ce b ne peut pas être une polarisation car les signes de la Définition
+2.6 ne sont pas respectés. Il reste à montrer que W n’admet pas de polarisation et
+pour cela il suffit de voir que b est l’unique accouplement sur W à scalaire près et
+donc que EndHS(W) = Q · Id . Or, par construction, on a EndHS(W) = EndHS(V ).
+Pour comprendre les endomorphismes de V , on prend le point de vue tannakien.
+Le groupe tannakien associé à H1(A) est GSp8 et la représentation sous-jacente à
+H4,prim(A) ⊂ H1(A)⊗4 est géométriquement irréductible, donc EndHS(V ) = Q · Id .
+Nous rappelons ci-dessous la définition de polarisation dans le cas de poids im-
+pair, elle est un peu moins agréable. Même si on s’intéresse seulement aux classes
+algébriques les groupes de cohomologie de degré impair peuvent être utiles (par
+exemple la cohomologie d’une variété abélienne A est contrôlée par son H1) mais
+il est souvent suffisant de se rappeler uniquement que la définition de polarisation
+est stable par produit tensoriel (et donc une polarisation sur H1(A) en induira une
+sur Hn(A) via Hn(A) = ΛnH1(A)).
+Définition 2.9. (Polarisation - poids impair.) Une polarisation sur une structure
+de Hodge V pure de poids 2n+1 est une forme bilinéaire alternée b sur le Q-espace
+vectoriel V telle que :
+(1) Les espaces V {p,q} soient orthogonaux entre eux par rapport à b,
+
+16
+GIUSEPPE ANCONA
+(2) L’adjointe par rapport à b de la structure complexe sur V {p,q} est sa conju-
+guée,
+(3) La forme bilinéaire symétrique b(·, i·) est définie (−1)a-positive sur les fac-
+teurs V {n−a,n+1+a}.
+Remarque 2.10.
+(1) La Remarque 2.7 s’applique également dans ce cas.
+(2) On pourrait vouloir travailler avec b(i·, ·) à la place de b(·, i·), dans ce cas
+les signes s’inverserait. On trouve plus agréable d’avoir de la positivité sur
+la « partie centrale » V {n,n+1}, c’est analogue à ce qui se passe dans la
+Définition 2.6 avec la partie centrale V {n,n}.
+Exemple 2.11. (Polarisations issues de la géométrie.) Soit X une variété algé-
+brique complexe de dimension dX. D’une part la dualité de Poincaré fournit une
+identification Hn(X) = H2dX−n(X)∨(−dX). D’autre part, le théorème de Lefschetz
+difficile donne un isomorphisme Hn(X) ∼= H2dX−n(X)(dX −n), au moyen du choix
+d’une section hyperplane L. En combinant les deux on obtient une forme bilinéaire
+non-dégénérée
+bL : Hn(X) ⊗ Hn(X) −→ Q(−2n).
+Celle-ci est bien un morphisme de structure de Hodge, mais elle n’a pas les signes
+demandés par une polarisation. Pour les obtenir, il faut modifier les signes de cer-
+tains facteurs de la décomposition de Lefschetz.
+Par exemple écrivons la décomposition de Lefschetz en degré six
+H6 = H6,prim ⊕ H4,prim(−1) ⊕ H2,prim(−2) ⊕ H0,prim(−3),
+elle est orthogonale par rapport à l’accouplement bL ci-dessus. La décomposition
+de Hodge de chacune de ces quatre structures de Hodge est encore orthogonale; la
+signature de bL est la suivante (où les cases vides sont pour les sous-espaces qui
+sont toujours réduits à zéro).
+signes bL
+H6,prim
+H4,prim(−1)
+H2,prim(−2)
+H0,prim(−3)
+(3, 3)
+-
++
+-
++
+(2, 4)
++
+-
++
+(1, 5)
+-
++
+(0, 6)
++
+Pour obtenir une polarisation il faudra donc changer le signe sur les facteurs
+H6,prim et H2,prim(−2).
+Remarque 2.12. (Pourquoi la définition de polarisation?) Considérons le change-
+ment de signe expliqué dans l’exemple ci-dessus. Il serait tentant, à première vue,
+de changer encore de signe, cette fois-ci par rapport à la décomposition en V {p,q},
+de sorte à avoir une forme quadratique définie positive dans la Définition 2.6. Le
+problème est que cette deuxième décomposition n’est pas en général définie sur Q
+et donc ce changement de signes donnerait une forme bilinéaire qui n’est pas définie
+sur Q.
+De manière générale, pour les structures de Hodge provenant de la géométrie,
+on ne peut pas espérer avoir une forme quadratique qui soit à la fois définie sur
+Q, compatible avec la décomposition de Hodge et définie positive, voir l’Exemple
+2.15. Il faut alors imaginer la Définition 2.6 comme la meilleure approximation d’un
+
+MÉMOIRE HDR
+17
+produit scalaire qui puisse exister pour les structures de Hodge issues des variétés
+algébriques. D’ailleurs la proposition ci-dessous montre que la polarisation a toutes
+les conséquences que l’on aimerait déduire d’un produit scalaire.
+Proposition 2.13. Soient V une structure de Hodge, b une polarisation sur V
+et W ⊂ V une sous-structure de Hodge. Alors la restriction de b à W est une
+polarisation. De plus l’orthogonal W ⊥ ⊂ V de W par rapport à b est une sous-
+structure de Hodge et on a l’égalité de structures de Hodge V = W ⊕ W ⊥.
+Corollaire 2.14. Soit X une variété complexe projective et lisse. Alors tout sous-
+structure de Hodge de la cohomologie singulière de X est polarisable.
+Exemple 2.15. (Polarisations vs produits scalaires.) Construisons une structure
+de Hodge V de poids zéro et d’origine géométrique telle que HomHS(V ⊗ V, Q(0))
+ne contient pas une forme quadratique définie positive.
+Soit E une courbe elliptique non CM et considérons H1(E). On a une décom-
+position de structures de Hodge H1(E) ⊗ H1(E)∨ = Q(0) ⊕ V , où V a dimension
+3 et types (0, 0) et (−1, 1).
+On prétend que HomHS(V, V ∨) = HomHS(V ⊗V, Q(0)) est un Q-espace vectoriel
+de dimension 1. Pour le montrer on prend le point de vue tannakien. On peut voir
+que le groupe tannakien associé à H1(E) est GL2 et que H1(E) est la représenta-
+tion standard. Le groupe GL2 agit sur V et on a l’identification HomHS(V, V ∨) =
+HomGL2(V, V ∨). D’autre part, la théorie classique des représentations nous dit que
+V est géométriquement irréductible et donc que HomGL2(V, V ∨) est un Q-espace
+vectoriel de dimension (au plus) 1.
+D’autre part l’espace HomHS(V ⊗V, Q(0)) contient une polarisation, par le Corol-
+laire 2.14, et donc cet espace est formé uniquement de multiples d’une polarisation.
+En particulier HomHS(V ⊗ V, Q(0)) ne peut pas contenir une forme quadratique
+définie positive.
+On peut aussi en déduire que H2(E × E) n’admet pas une forme quadratique
+définie positive qui respecte la structure de Hodge car V (−1) en est un facteur
+direct.
+Le reste de la section insiste sur les différences entre théorie de Hodge et cohomo-
+logie ℓ-adique, au regard notamment de la notion de polarisation et des propriétés
+d’autodualité.
+Remarque 2.16. (Polarisations en cohomologie ℓ-adique?) La proposition ci-dessus
+dit en particulier que les structures de Hodge issues de la géométrie algébrique
+forment une catégorie semi-simple et que chaque objet est autodual à un twist
+près. C’est une grande différence avec la cohomologie ℓ-adique : la semi-simplicité
+est seulement conjecturale et l’autodualité est fausse en général, voir l’Exemple
+2.17.
+La notion même de polarisation n’a pas d’analogue : on ne peut même pas
+formuler des propriétés de positivité analogues à celles de la Définition 2.6 pour la
+simple raison que la notion de positif n’a pas de sens dans Qℓ.
+On peut construire des accouplements sur la cohomologie ℓ-adique de la même
+façon qu’en théorie de Hodge, comme dans l’Exemple 2.11. On ne connait pas
+de formulation, même conjecturale, qui décrirait cette Qℓ-forme quadratique. Par
+
+18
+GIUSEPPE ANCONA
+ailleurs les invariants d’une telle forme quadratique, comme son symbole de Hilbert,
+ne contrôlent pas ceux des sous-formes quadratiques (contrairement à ce qui se passe
+avec la signature). Ceci suggère que même si on trouvait une propriété analogue à
+la Définition 2.6 pour les groupes de cohomologies Hn
+ℓ (X) elle pourrait ne pas être
+valable pour les facteurs directs de Hn
+ℓ (X).
+Exemple 2.17. (Non autodualité en cohomologie ℓ-adique.) Soient k un corps de
+type fini et E une courbe elliptique définie sur k telle que End(E)⊗Q soit un corps
+quadratique imaginaire. Prenons un nombre premier ℓ différent de la caractéristique
+de k et tel que End(E) ⊗ Qℓ = Qℓ ⊕ Qℓ. Alors l’action de End(E) ⊗ Qℓ donne une
+décomposition de représentations galoisiennes H1
+ℓ (E) = V ⊕ W. Le cup-produit in-
+duit une autodualité sur le H1
+ℓ (E), elle réalise W comme dual de V par la positivité
+de Rosati.
+D’autre part on prétend que V et W ne sont pas isomorphes comme repré-
+sentation de Galois, ce qui impliquera en particulier que V n’est pas autodual.
+En effet s’ils étaient isomorphes on aurait EndGal H1
+ℓ (E) = M2×2(Qℓ), or on a
+EndGal H1
+ℓ (E) ∼= End(E) ⊗ Qℓ comme prédit par la conjecture de Tate, montrée
+dans ce context par Tate, Faltings et Zarhin.
+Remarque 2.18. L’exemple ci-dessus dépend du nombre premier ℓ choisi. On s’at-
+tend à ce que l’on ne puisse pas trouver une représentation d’origine géométrique,
+« indépendante de ℓ » et non autoduale. Cette idée est rendue précise par les motifs,
+voir la Conjecture 3.5 et la remarque qui la suit.
+3. Conjectures standard et moins standard
+Soient k un corps de base et H∗ une cohomologie de Weil. Considérons le dia-
+gramme (0.2) qui représente des catégories de motifs :
+CHM(k)
+π
+��
+R
+�▲
+▲
+▲
+▲
+▲
+▲
+▲
+▲
+▲
+▲
+Mot(k)� �
+I
+�
+π′
+��
+GrVect.
+NUM(k)
+on les considère toujours à coefficients rationnels. Pour chaque variété projective
+et lisse X, de dimension dX, on considère son motif h(X), on utilisera ce même
+symbole dans les différentes catégories, on précisera la catégorie concernée si cela
+est important.
+Le but de cette section est de donner une collection de conjectures qui permettent
+d’avoir une intuition sur les motifs. Ces conjectures sont essentiellement classiques,
+hormis la Conjecture 3.5 d’autodualité et la Conjecture 3.7 de positivité qui sont
+nouvelles à notre connaissance.
+La section est organisée en trois sous-sections. La première présente les conjec-
+tures principales de la théorie (qui essentiellement entrainent les autres conjectures).
+La deuxième sous-section présente les conjectures dite standard de Grothendieck.
+La dernière porte sur la notion de dimension finie de Kimura.
+
+MÉMOIRE HDR
+19
+Avec les techniques actuelles ces conjectures sont hors de portée en toute généra-
+lité, mais il est possible en démontrer des cas particuliers, comme on le verra dans
+les sections successives.
+Conjectures principales.
+Conjecture 3.1. (Chow–Künneth.) Il existe une décomposition (non unique)
+h(X) =
+2dX
+�
+n=0
+hn(X)
+dans la catégorie CHM(k) telle que R(hn(X)) = Hn(X).
+Remarque 3.2.
+(1) (Non unicité.) Le facteur h0(X) existe toujours. Pour le
+construire il suffit de considérer une application constante de X vers X :
+elle sera bien l’identité sur le H0(X) et nulle sur les autres groupes. Le
+facteur ainsi défini dépend de l’image de cette application constante, ou
+plus précisément de sa classe modulo équivalence rationnelle. En particulier
+une telle décomposition ne peut pas être unique en général.
+(2) (Autodualité.) On peut conjecturer l’existence d’une décomposition de Chow–
+Künneth qui ait la propriété supplémentaire d’être autoduale, c’est-à-dire
+que si on considère la dualité de Poincaré h(X)∨ = h(X)(dX) alors le fac-
+teur hn(X)∨ correspond à h2dX−n(X)(dX). D’un point de vue de cycles
+algébriques cela veut dire que les projecteurs pn sont donnés par une collec-
+tion de cycles dans X×X telle que σ∗pn = p2d−n, où σ : X×X → X×X est
+l’inversion des deux facteurs. Ce n’est pas automatique de construire une
+décomposition autoduale à partir d’une décomposition de Chow–Künneth :
+même si l’on pose p2d−n = σ∗pn on pourrait avoir que les projecteurs pn et
+σ∗pn ne sont pas orthogonaux.
+Conjecture 3.3. (Conservativité.) Tous les foncteurs du diagramme (0.2) sont
+conservatifs, c’est–à-dire un morphisme entre motifs est en fait un isomorphisme
+si son image via un de ces foncteurs du diagramme l’est.
+Définition 3.4. On dit qu’un motif est de poids n s’il est facteur direct d’un motif
+de la forme hn(X).
+Conjecture 3.5. (Autodualité.) Si M est un motif de poids n (toujours à coeffi-
+cients rationnels) alors il existe un isomorphisme (non unique)
+M ∨ ∼= M(n).
+Remarque 3.6.
+(1) (Autodualité des motifs vs autodualité en cohomologie.)
+Les groupes de cohomologies Hn(X) jouissent de ce type d’autodualité via
+la dualité de Poincaré et l’isomorphisme de Lefschetz difficile (qui dépend
+du choix d’une section hyperplane), mais en général les facteurs directs
+de Hn(X) n’ont pas cette propriété d’autodualité, voir l’Exemple 2.17.
+Ceci n’est pas en contradiction avec la conjecture ci-dessus : les exemples
+construits ne sont pas la réalisation d’un motif à coefficients rationnels.
+
+20
+GIUSEPPE ANCONA
+(2) (Lien avec les conjectures classiques.) Cette conjecture est nouvelle à notre
+connaissance. Nous trouvons sa formulation naturelle et elle nous a guidé
+dans l’étude de la conjecture de conservativité, voir la Section 5. Elle suit par
+ailleurs de conjectures classiques de positivité (notamment la Conjecture
+3.15 que l’on verra plus loin), de la même manière que l’autodualité pour
+les structures de Hodge suit des propriétés de positivité des polarisations,
+voir la Proposition 2.13 et la remarque qui la suit.
+Conjecture 3.7. (Positivité.) Supposons que le corps de base k soit de caractéris-
+tique p. Soient M un motif homologique sur k et
+q : Sym2 M →
+1
+un morphisme dans Mot(k). Supposons que q soit la réduction modulo p d’une
+application �q : Sym2 �
+M →
+1 définie en caractéristique zéro. Définissons qZ comme
+la restriction de q à toutes les classes algébriques Z(M) = Hom(1, M) de M et qB
+comme la réalisation singulière de �q.
+Supposons que qB soit une polarisation. Alors qZ est définie positive.
+Remarque 3.8.
+(1) (Sur la relevabilité.) L’hypothèse de relevabilité à la ca-
+ractéristique zéro est vérifiée dans des cas intéressants, par exemple les
+variétés abéliennes. Dans ce cas, les classes algébriques qui se relèvent à
+la caractéristique zéro vérifient automatiquement la conjecture, voir la Re-
+marque 2.7. Soulignons tout de même qu’il y a en général des classes algé-
+briques qui ne sont pas relevables, même dans le cas des variétés abéliennes.
+(2) (Lien avec les conjecture classique.) Cette conjecture est nouvelle et nous ne
+savons pas si elle peut se déduire de conjectures classiques. Nous trouvons
+sa formulation naturelle et elle nous a guidé dans l’étude de la conjecture
+standard de type Hodge, voir la Section 6.
+Conjectures standard.
+Conjecture 3.9. (Künneth.) Dans la catégorie Mot(k) des motifs homologiques,
+il existe une décomposition
+h(X) =
+2dX
+�
+n=0
+hn(X)
+telle que la réalisation de hn(X) soit Hn(X).
+Remarque 3.10. (Lien avec Chow–Künneth.) Cette conjecture est bien sûr une
+conséquence de la Conjecture 3.1.
+Remarquons qu’une décomposition de Künneth est automatiquement unique et
+autoduale par définition d’équivalence homologique : il s’agit de la graduation de
+GrVect et de la dualité de Poincaré en cohomologie. C’est une différence avec la
+décomposition de Chow–Künneth, voir la Remarque 3.2.
+Conjecture 3.11. (Lefschetz.) Soient dX la dimension de X et L une section
+hyperplane de X. Alors pour tout n ≤ dX il existe une correspondance γn dans
+X × X dont la réalisation en degré dX + n induit un isomorphisme
+R(γn) : HdX+n(X)
+∼
+−−→ HdX−n(X)(−n)
+
+MÉMOIRE HDR
+21
+qui est l’inverse du cup produit par Ln.
+Remarque 3.12. (Lien avec l’autodualité.) La Conjecture standard de type Les-
+chetz 3.11 implique la Conjecture standard de type Künneth 3.9, c’est un argument
+classique de Kleiman [Kle68].
+Inversement, si X vérifie Künneth alors la conjecture de type Lefschetz est équi-
+valente à l’autodualité hn(X)∨ ∼= hn(X)(n) du motif homologique hn(X). Cette
+équivalence se déduit de la Proposition 4.5. Elle montre en particulier que la conjec-
+ture de type Lefschetz ne dépend pas de la section hyperplane L choisie et elle suit
+de la Conjecture d’autodualité 3.5.
+Conjecture 3.13. (hom = num.) Le foncteur π′ est une équivalence.
+La quatrième et dernière des conjectures standard est celle de type Hodge. Pour
+la formuler il est nécessaire d’introduire la proposition suivante.
+Proposition 3.14. (cf. [Anc21, §3]) Supposons que X vérifie la conjecture stan-
+dard de type Lefschetz (Conjecture 3.11). Choisissons une section hyperplane L.
+Alors le motif homologique hn(X) admet une décomposition en parties primitives
+et il est possible de construire un accouplement
+qX,n,L : hn(X) ⊗ hn(X) → Q(−n)
+de façon analogue à la construction d’une polarisation sur la cohomologie singulière
+d’une variété algébrique complexe 8, voir l’Exemple 2.11.
+De plus, si on restreint l’accouplement
+qX,2n,L(2n) : h2n(X)(n) ⊗ h2n(X)(n) → Q
+aux classes algébriques Zn(X)/ hom = HomMot(k)(1, h2n(X)(n)) on obtient une Q-
+forme quadratique
+qZ,hom : Zn(X)/ hom ⊗ Zn(X)/ hom → Q
+dont le noyau est formé exactement par les cycles numériquement triviaux 9. En
+particulier qZ,hom induit une forme quadratique sur les cycles modulo équivalence
+numérique
+qZ : Zn(X)/ num ⊗ Zn(X)/ num → Q
+qui est non dégénérée.
+Conjecture 3.15. (Conjecture standard de type Hodge.) La forme quadratique
+qZ : Zn(X)/ num ⊗ Zn(X)/ num → Q
+introduite ci-dessus est définie positive.
+Remarque 3.16. (Lien avec la conjecture de positivité.) La conjecture standard
+de type Hodge (Conjecture 3.15) ne demande pas la relevabilité de X à la caracté-
+ristique zéro et en ce sens elle est plus générale que la Conjecture de positivité 3.7.
+D’autre part pour les variétés relevables la Conjecture 3.7 est plus générale que la
+8. En particulier, si k = C et H∗ est la cohomologie singulière, R(qX,n,L) est la polarisation
+classique induite par L.
+9. Autrement dit, la conjecture hom = num pour X est équivalente à dire que qZ,hom est non
+dégénérée.
+
+22
+GIUSEPPE ANCONA
+conjecture standard de type Hodge, car elle s’applique à des polarisations abstraites
+qui ne seraient pas forcément celles provenant d’une section hyperplane.
+Remarque 3.17. (Positivité en caractéristique zéro.) En caractéristique zéro, la
+forme quadratique introduite ci-dessus qZ : Zn(X)/ hom ⊗ Zn(X)/ hom → Q est
+définie positive : c’est une conséquence des propriétés de positivité d’une polari-
+sation (dites relations de Hodge–Riemann), voir Remarque 2.7. En particulier, en
+caractéristique zéro, la conjecture standard de type Lefschetz implique les autres
+conjectures standard.
+Une autre différence entre la caractéristique zéro et la caractéristique positive se
+trouve dans la conjecture suivante.
+Conjecture 3.18. Considérons l’application classe de cycle ℓ-adique clX : CH(X) →
+Hℓ(X). Alors le Q-espace vectoriel Im clX est de dimension finie. Plus précisément
+l’application canonique Im clX ⊗QQℓ → Hℓ(X) est injective.
+Remarque 3.19. Cette conjecture est une conséquence de la conjecture hom =
+num car l’équivalence numérique commute à l’extension des scalaires. En carac-
+téristique zéro elle est connue : on utilise les théorèmes de comparaison pour se
+reporter à la cohomologie singulière.
+Motifs de dimension finie.
+Conjecture 3.20. (Dimension finie.) Tout motif de Chow M admet une décom-
+position (non unique)
+M = M+ ⊕ M−
+vérifiant ΛNM+ = 0 et SymN M− = 0 pour un naturel N assez grand.
+Remarque 3.21.
+(1) (Lien avec les autres conjectures.) Supposons que M =
+h(X) admet une décomposition de Chow–Künneth (Conjecture 3.1). Alors
+M+ =
+�
+h2n(X)
+et
+M− =
+�
+h2n+1(X)
+devraient vérifier la conjecture ci-dessus. En effet la conservativité (Conjec-
+ture 3.3) prédit qu’il suffit de vérifier ces relations en cohomologie, or la réa-
+lisation de M+ est un espace vectoriel gradué de dimension finie concentré
+en degrés pairs, par conséquence toute puissance N-ème extérieure l’annule
+dès que N est plus grand que la dimension totale.
+Le raisonnement est analogue pour M−. On remarque que la réalisation
+est concentrée en degré impair et que, par la règle des signes de Koszul, une
+puissance symétrique sur un motif ou une variété devient une puissance
+extérieure sur les groupes de cohomologie.
+(2) (Applications.) Au delà d’être une conjecture naturelle, la notion de di-
+mension finie s’est avéré être utile : elle est stable par plusieurs opérations,
+dont le produit tensoriel et le passage à un facteur direct, elle est vérifiée au
+moins par les courbes, et elle permet de déduire la conservativité pour tous
+les foncteurs tensoriels quotient (notamment π et π′ de (0.2)). Cela a permis
+à Kimura de déduire la conjecture de Bloch pour les surfaces dominées par
+
+MÉMOIRE HDR
+23
+un produit de courbes [Kim05], voir le Théorème 0.1(1). En appliquant ces
+propriétés de conservativité au Frobenius, Kahn a déduit que l’application
+classe de cycle est injective pour les produits de courbes elliptiques sur un
+corps fini [Kah03], voir le Théorème 0.1(2).
+4. Exemples
+Dans cette section on discute des exemples de motifs. Ces exemples sont organisés
+dans trois sous-sections. Dans la première on présente des cas classiques où les
+conjectures de la section précédente sont vérifiées. La deuxième sous-section montre
+des subtilités (assez amusantes!) entre les différentes réalisations. La dernière partie
+étudie les motifs de variétés abéliennes CM. Tous les exemples de cette section sont
+repris à plusieurs endroits dans le texte.
+On continue à travailler avec le diagramme (0.2) :
+CHM(k)
+π
+��
+R
+�▲
+▲
+▲
+▲
+▲
+▲
+▲
+▲
+▲
+▲
+Mot(k)� �
+I
+�
+π′
+��
+GrVect.
+NUM(k)
+et h(X) indiquera le motif d’une variété X dans les différentes catégories, on préci-
+sera la catégorie concernée si cela est important.
+Quelques évidences des conjectures de la Section 3.
+Proposition 4.1. Soient h(X) ∈ Mot(k) un motif homologique, f un endomor-
+phisme de h(X) et pn(f) le polynôme caractéristique de f agissant sur Hn(X).
+Supposons que pn(f) et pm(f) soient premiers entre eux pour tous les n ̸= m.
+Alors h(X) admet la décomposition de Künneth
+h(X) =
+�
+n=0
+hn(X),
+voir la Conjecture 3.9. De plus les projecteurs de cette décomposition appartiennent
+à l’algèbre Q[f].
+Remarque 4.2.
+(1) La preuve est élémentaire : on applique l’identité de Be-
+zout entre pn(f) et �
+n̸=m pm(f), voir [KM74].
+(2) On peut appliquer cette proposition à toute variété projective et lisse définie
+sur un corps fini et à f leur Frobenius : les polynômes pn(f) vont bien entre
+premiers être eux par les conjectures de Weil.
+La proposition s’applique aussi aux variétés abéliennes sur un corps quel-
+conque. Dans ce cas f est la multiplication par un entier N.
+(3) Ces résultats ne s’étendent pas automatiquement à une décomposition de
+Chow–Künneth (Conjecture 3.1), notamment pour les variétés sur un corps
+
+24
+GIUSEPPE ANCONA
+fini c’est une question ouverte. On dispose d’une décomposition de Chow–
+Kunneth pour les variétés abéliennes [DM91], mais pour cela il faut utiliser
+la transformée de Fourier, voir Section 8.
+Proposition 4.3. Soient M un motif homologique et f un endomorphisme de M.
+Alors f est inversible si et seulement si son action en cohomologie l’est.
+Remarque 4.4.
+(1) La preuve est élémentaire : on applique Cayley–Hamilton.
+(2) Cette question donne une réponse affirmative à la Conjecture 3.3 de conser-
+vativité pour le foncteur
+I : Mot(k) −→ GrVect
+pour les endomorphismes. On peut partiellement étendre le résultat aux
+morphismes quelconques de la façon suivante.
+Proposition 4.5. Soient M et N deux motifs homologiques et considérons deux
+applications f : M → N et g : N → M. Supposons que I(f) et I(g) soient des
+isomorphismes en cohomologie, alors f et g sont des isomorphismes.
+Remarque 4.6.
+(1) C’est une conséquence de la Proposition 4.3 appliquée
+aux endomorphismes fg et gf.
+(2) On remarquera que ce n’est pas une solution complète de la conservativité
+pour I : étant donné un morphisme f il faut être capable d’en construire
+un dans l’autre sens. Cette proposition est tout de même utile comme on
+peut le voir dans la proposition ci-dessous, ainsi que dans la Section 5.
+Proposition 4.7. (Kleiman [Kle68]) Soit A une variété abélienne de dimension g.
+Alors son motif homologique admet une décomposition de Künneth
+h(A) =
+2g
+�
+n=0
+hn(A)
+et un isomorphisme de motifs en algèbres de Hopf graduées
+2g
+�
+n=0
+hn(A) =
+2g
+�
+n=0
+Symn h1(A)
+qui donne en cohomologie l’isomorphisme classique 10 H∗(A) = Λ∗H1(A). De plus
+A vérifie la conjecture standard de type Lefschetz (Conjecture 3.5 et Conjecture
+3.11)
+h2g−n(A)(g) = hn(A)∨ ∼= hn(A)(n).
+Démonstration. La décomposition de Künneth a déjà été discutée dans la Remarque
+4.2(3).
+On considère l’inclusion diagonale ∆ : A ֒→ An. Elle induit une application
+h(∆) : h(A)⊗n → h(A) qui donne une application Symn h1(A) → hn(A). De façon
+analogue on construit une application dans l’autre sens en partant du morphisme
+de somme s : An → A.
+10. Le changement de puissance symétrique en alternée est le même que celui dans la Remarque
+3.21(1).
+
+MÉMOIRE HDR
+25
+On peut maintenant appliquer la Proposition 4.5 et déduire �2g
+n=0 hn(A) ∼=
+�2g
+n=0 Symn h1(A). Les applications construites ci-dessus respectent les structures
+d’algèbre de Hopf par définition de ces dernières, ce sont d’ailleurs les structures
+d’algèbre de Hopf qui forcent ces applications à être des isomorphismes en cohomo-
+logie.
+L’égalité h2g−n(A)(g) = hn(A)∨ est donnée par la dualité de Poincaré, voir la
+Remarque 3.10. Pour l’autodualité hn(A)∨ ∼= hn(A)(n) on se réduit au cas n = 1,
+grâce à l’égalité Symn h1(A) = hn(A).
+Pour h1(A)∨ ∼= h1(A)(1) on applique encore la Proposition 4.5. Une applica-
+tion est donnée par l’opérateur de Lefschetz Lg−1 : h1(A) → h2g−1(A)(g − 1) =
+h1(A)∨(−1). Pour l’autre sens, fixons une isogénie entre A et sa duale A∨, ce qui
+donne un isomorphisme h1(A) ∼= h1(A∨). Il s’agit alors de construire une applica-
+tion de h1(A)∨(−1) vers h1(A∨). C’est la donné d’un diviseur sur A×A∨, le diviseur
+de Poincaré convient.
+□
+Remarque 4.8. Les résultats de la proposition ci-dessus sont valables même dans
+CHM(k) mais leur preuve est plus délicate et repose sur la transformée de Fourier
+pour les anneaux de Chow de variétés abéliennes, voir aussi la Section 8.
+Motifs et théorèmes de comparaison.
+Exemple 4.9. (Réduction supersingulière et Q-structures.) Soit S une surface K3
+complexe de rang de Picard maximal et choisissons un premier p de bonne réduction
+tel que la réduction Sp soit supersingulière. La surface quartique de Fermat avec
+p ≡ −1 (4) est un tel exemple [SK79]. Dans ce cas le motif homologique vérifie
+h(S) =
+1 ⊕ h2(S0) ⊕
+1(−2)
+et
+h2(S0) =
+1(−1)⊕20 ⊕ h2,tr(S).
+Le motif h2,tr(S) est appelé motif transcendant. Sa réalisation singulière est une
+structure de Hodge de dimension 2 et de type (0, 2). Sa réduction modulo p est
+isomorphe à
+1(−1)⊕2.
+Notons M le motif h2,tr(S)(1), VB sa réalisation singulière, Mp sa réduction
+modulo p, et Zp les classes algébriques en caractéristique p, c’est-à-dire Zp =
+Hom(1, Mp). Remarquons que VB et Zp sont des Q-espaces vectoriels de dimen-
+sion 2.
+Considérons les identifications
+VB ⊗Q Qℓ = Rℓ(M0) = Rℓ(Mp) = Zp ⊗Q Qℓ,
+(4.1)
+où la première est donnée par le théorème de comparaison d’Artin entre cohomologie
+singulière et ℓ-adique, la deuxième suit du théorème de changement de base propre
+et lisse et la dernière vient de la propriété de supersingularité. On peut imaginer
+l’identification VB ⊗Q Qℓ = Zp ⊗Q Qℓ comme un isomorphisme de périodes. C’est
+ce point de vue qui a inspiré le travail présenté dans la Section 7.
+Il est naturel de se demander si les deux Q-structures VB et Zp sont respectées
+sous cette identification. Expliquons pourquoi la réponse est non. Si on considère
+le cup-produit sur VB et Zp on déduit deux Q-formes quadratiques qB et qZ. Si les
+espaces étaient égaux on aurait, en particulier, que ces deux formes quadratiques
+
+26
+GIUSEPPE ANCONA
+seraient isomorphes. Or qB est définie positive par les relations de Hodge–Riemann
+et qZ est définie négative par le théorème de l’indice de Hodge 11.
+Remarque 4.10. Gardons les notations de l’exemple ci-dessus. C’est intéressant de
+regarder les Q-formes quadratiques qB et qZ non seulement à la place à l’infini mais
+aussi aux autres completions de Q. L’identification (4.1) montre l’égalité qB ⊗Qℓ =
+qZ ⊗ Qℓ pour tout ℓ ̸= p. La seule place qui reste à déterminer est en p. Or elle
+est déterminée par les autres places 12 et en particulier qB ⊗ Qp ̸= qZ ⊗ Qp puisque
+qB ⊗ R ̸= qZ ⊗ R.
+Une remarque amusante : observons que la forme quadratique qZ reconnait le
+nombre premier p, c’est en effet le seul nombre premier pour lequel qB ⊗ Qp ̸=
+qZ ⊗ Qp. En particulier si on fait varier p parmi tous les premiers à réduction
+supersingulière on trouvera des Q-formes quadratiques toujours différentes.
+Plus sérieusement, remarquons que les Qp-espaces VB ⊗QQp et Zp⊗QQp ont une
+interprétation cohomologique : VB ⊗Q Qp est isomorphe à la réalisation p-adique
+de M, encore par le théorème de comparaison d’Artin, et Zp ⊗Q Qp est la partie
+Frobenius invariante de la réalisation crystalline de Mp. Il est naturel alors de se
+demander si la relation qB⊗Qp ̸= qZ⊗Qp peut s’obtenir par des méthodes purement
+p-adiques, par exemple via la théorie de Hodge p-adique. La réponse est oui, elle
+sera esquissé dans la Section 6. Ces techniques permettront par ailleurs de montrer
+des cas de la Conjecture de positivité 3.7, voir encore la Section 6.
+Exemple 4.11. (Périodes.) Considérons la catégorie CHM(Q) des motifs définis
+sur le corps Q. Elle est munie de deux foncteurs vers les Q-espaces vectoriels gradués
+RB, RdR : CHM(Q) −→ GrVectQ
+la réalisation singulière, ou de Betti, et la réalisation de de Rham algébrique. Les
+théorèmes de comparaison fournissent une identification
+RB ⊗Q C = RdR ⊗Q C
+essentiellement induite par l’integration des formes différentielles algébriques sur
+des simplexes topologiques. Les coefficients complexes qui apparaissent dans cette
+identification sont appelés périodes et sont attendus être aussi transcendants que
+possible.
+Le formalisme tannakien montre l’existence d’isomorphismes
+RB ⊗Q Q ∼= RdR ⊗Q Q
+de foncteurs monoïdaux (mais on ne sait pas en construire un explicitement). Mon-
+trons qu’en revanche il ne peut pas y avoir d’isomorphisme monoïdal entre RB et
+RdR et même que l’on a
+RB ⊗Q R ̸∼= RdR ⊗Q R.
+Pour le montrer il suffit de trouver un motif M muni d’une application
+q : Sym2 M −→
+1
+11. Voir respectivement la Définition 2.6 et la Conjecture 3.15, qui est connue pour les divi-
+seurs. Les formes quadratiques qu’y apparaissent sont obtenues à partir du cup-produit par un
+changement de signe.
+12. Cela suit de la formule du produit sur les symboles de Hilbert, l’argument sera détaillé dans
+la Section 6.
+
+MÉMOIRE HDR
+27
+telle que les réalisations RB(q) et RdR(q) sont deux formes quadratiques avec si-
+gnature différente.
+Par exemple on peut prendre M tel que RB(M) soit une structure de Hodge
+de poids 0 et types (−1, 1) et (0, 0) et q tel que RB(q) soit une polarisation de
+RB(M), voir Définition 2.6. Alors la signature de la forme quadratique RB(q) est
+(dim RB(M)0,0, 2 · dim RB(M)−1,1).
+D’autre part la réalisation RdR(q) respecte la filtration de de Rham et donc
+l’espace Fil1RdR(q) est isotrope ce qui force la signature (s+, s−) de RdR(q) à
+vérifier s+ ≥ dim Fil1RdR(q). Or dim Fil1RdR(q) = dim RB(M)−1,1, il suffit donc
+de trouver un exemple où l’on a dim RB(M)−1,1 > dim RB(M)0,0 pour conclure.
+De tels exemples se trouvent dans la catégorie engendrée par les courbes d’équa-
+tion Cn : y2 = xn−1, voir [Sch15]. Plus précisément M sera 13 la partie G-invariante
+du motif h2(CN
+n )(1) pour certains entiers n, N et pour un groupe fini G convenable
+agissant sur CN
+n et défini sur Q.
+Notons par ailleurs que, par le théorème de comparaison de de Rham, RB ⊗Q R
+est isomorphe à la cohomologie de de Rham classique du lieu complexe sous-jacent,
+calculée à l’aide des formes différentielles C∞ à coefficients réels. En particulier on
+vient de montrer que, pour les variétés algébriques définies sur R, il ne peut pas
+y avoir d’isomorphisme naturel entre la cohomologie de de Rham algébrique de la
+variété et la cohomologie de de Rham classique du lieu complexe.
+Motifs de variétés abéliennes CM. La Proposition 4.7 montre que le motif
+d’une variété abélienne A est contrôlé par son h1(A). Si A est une variété abélienne
+CM on peut utiliser l’action CM pour décomposer h1(A) et donc le motif de A
+tout entier. Cette décomposition est bien utile : Clozel l’avait déjà utilisée pour
+un résultat sur la conjecture hom = num (voir le Théorème 5.4) et on l’utilisera
+également pour les Conjectures de conservativité et de positivité, voir les Section 5
+et 6.
+D’autre part, bien qu’élémentaire, cette décomposition n’est pas digeste à la
+première lecture, on encourage à y revenir au fur et à mesure de ses applications.
+Exemple 4.12. Soit A une variété abélienne simple de dimension g définie sur un
+corps fini. Fixons une polarisation et considérons l’involution de Rosati induite sur
+End(A) ⊗ Q. Par Honda–Tate il existe un corps CM de degré 2g et une inclusion
+F ⊂ End(A) ⊗ Q tels que l’involution laisse stable F et agit comme la conjugaison
+complexe sur F.
+Considérons l’action de F sur le motif h1(A) dans la catégorie CHM(k)�
+F des
+motifs de Chow à coefficients dans une clôture galoisienne �F de F. Elle décompose
+le motif
+h1(A) = L1 ⊕ . . . ⊕ L2g
+(4.2)
+en une somme de 2g facteurs échangés par l’action du groupe de Galois Gal( �F/Q)
+et la réalisation de chaque facteur est une droite propre pour l’action de F. De plus
+le choix d’une polarisation induit un morphisme dans CHM(k)
+q1 : h1(A) ⊗ h1(A) −→
+1(−1).
+13. Remarquons que le premier candidat que l’on pourrait imaginer, à savoir M = h2(S)(1)
+avec S une surface, ne peut pas fonctionner. En effet pour les surface on a l’inégalité opposée :
+h1,1 > h0,2, voir [Sch15, Proposition 22].
+
+28
+GIUSEPPE ANCONA
+Par rapport à cet accouplement, une droite propre est orthogonale à toutes les
+autres hormis sa conjuguée complexe.
+À l’aide de la formule hn(A) = Symn h1(A) on déduit une décomposition de
+hn(A) dans CHM(k)�
+F en somme de facteurs dont la réalisation a dimension un :
+chaque facteur correspond au produit tensoriel de n différents Li. De plus l’accou-
+plement qn = Symn q1 rend la réalisation d’une telle droite orthogonale à toutes les
+autres hormis sa conjuguée complexe.
+Remarque 4.13. Gardons les notations de l’exemple ci-dessus.
+(1) Soient α1, . . . , α2g les valeurs propres de l’action du Frobenius sur h1(A)
+comptées avec multiplicité. Quitte à les renuméroter on a αi · α2g−i = q,
+où q est le cardinal du corps de base. Cette symétrie des valeurs propres
+provient de l’accouplement parfait q1.
+Les valeurs propres de l’action du Frobenius sur hn(A) sont données par
+tous les produits possibles de n distincts αi. La dimension de l’espace des
+classes Galois-invariantes dans H2n(A)(n) est alors donnée par le nombre
+de collections {αi1, . . . , αi2n} vérifiant
+αi1 · . . . · αi2n = qn.
+(4.3)
+La conjecture de Tate prédit que chaque droite propre de H2n(A)(n) cor-
+respondant à une telle collection contient une classe algébrique.
+Cette conjecture est connue pour les diviseurs. Une droite propre contient
+donc une intersection de diviseurs si et seulement si la collection αi1, . . . , αi2n
+vérifie
+αij · αi2n−j = q,
+∀j,
+(4.4)
+quitte à renuméroter.
+(2) Soit F0 le plus grand sous-corps totalement réel de �F. Le groupe de Galois
+Gal( �F /F0) est d’ordre deux, engendré par la conjugaison complexe. Son
+action recolle la décomposition de l’exemple ci-dessus en une décomposition
+de hn(A) dans la catégorie CHM(k)F0 des motifs de Chow à coefficients dans
+F0. Cette décomposition est orthogonale par rapport à l’accouplement qn.
+Les facteurs obtenus sont de rang un ou deux.
+(3) L’action du groupe de Galois Gal( �F /Q) recolle la décomposition de l’exemple
+ci-dessus en une décomposition de hn(A) dans la catégorie CHM(k) des mo-
+tifs de Chow à coefficients rationnels. Cette décomposition est orthogonale
+par rapport à l’accouplement qn. Le rang des facteurs obtenus varie et vaut
+au plus 2g.
+Par la description du point (1) on remarque que chaque facteur de
+h2n(A)(n) rentre dans une des trois catégories suivantes :
+(a) La réalisation du facteur est engendrée par des classes qui sont toutes
+intersections de diviseurs,
+(b) La réalisation du facteur est Frobenius invariante mais ne contient au-
+cune intersection de diviseurs,
+(c) Le Frobenius agissant sur la réalisation du facteur n’a aucun vecteur
+fixe.
+
+MÉMOIRE HDR
+29
+Pour les questions de cycles algébriques c’est surtout la classe (b) qui est
+intéressante. Si A est de dimension quatre les facteurs de ce type ont tou-
+jours rang deux. Pour le montrer il s’agit d’étudier les quadruplets vérifiant
+(4.3) mais qui ne vérifient pas (4.4). C’est une étude élémentaire mais dont
+la combinatoire est délicate, voir [Anc21, §7] pour les détails.
+5. Autodualité et conservativité
+Cette section concerne les Conjectures 3.3 et 3.5 de conservativité et d’autodua-
+lité et les résultats que l’on peut obtenir pour les variétés abéliennes. On notera
+CHM(k)ab,
+Mot(k)ab
+et
+NUM(k)ab
+les catégories de motifs engendrées par les motifs de variétés abéliennes.
+On commence par rappeler les théorèmes fondamentaux de semisimplicité de
+Jannsen et de nilpotence de Kimura, puis on en déduit les Conjectures 3.3, et 3.5
+pour CHM(k)ab, avec k = C.
+Dans une deuxième partie on explique le contenu de [Anc22] qui étudie ces
+conjectures pour k = Fq. Il faudra combiner les théorèmes de Jannsen et Kimura
+avec les décompositions de l’Exemple 4.12 induites par la multiplication complexe.
+Cette méthode est inspirée par un travail de Clozel [Clo99] que nous rappellons
+également.
+Théorème 5.1. (Jannsen [Jan07]) La catégorie NUM(k) des motifs numériques
+est semisimple.
+Théorème 5.2. (Kimura–O’Sullivan [Kim05, O’S05]) Le noyau du foncteur de
+projection
+πnum : CHM(k)ab −→ NUM(k)ab
+est nilpotent. En particulier le foncteur πnum est conservatif et toute décomposition
+dans NUM(k)ab se relève en une décomposition dans CHM(k)ab. L’énoncé reste
+valable si on remplace NUM(k)ab par Mot(k)ab (ou n’importe quelle catégorie ten-
+sorielle quotiente).
+Proposition 5.3. La Conjecture d’autodualité 3.5 et la conjecture hom = num
+sont vraies pour tout motif dans CHM(C)ab. De plus le foncteur de réalisation
+singulière
+R : CHM(C)ab −→ GrVectQ
+est conservatif (cf. Conjecture 3.3).
+Démonstration. La conjecture standard de type Lefschetz est vraie pour les variétés
+abéliennes (Proposition 4.7). En caractéristique zéro, on peut en déduire hom =
+num (Remarque 3.17).
+De plus, on peut munir hn(A) d’un accouplement
+hn(A) ⊗ hn(A) →
+1(−n)
+dont la réalisation singulière est une polarisation (Proposition 3.14). On en déduit
+que pour tout facteur direct M du motif homologique hn(A) la restriction de l’ac-
+couplement à M induit un isomorphisme M ∼= M ∨(−n). (Ce fait est impliqué par
+la Proposition 2.13 et c’est le point crucial où on l’utilise que les motifs sont définis
+
+30
+GIUSEPPE ANCONA
+sur C. ) L’autodualité pour les motifs homologiques se relève aussi dans CHM(C)ab
+par le Théorème 5.2.
+Passons maintenant à la conservativité et considérons le diagramme (0.2). Encore
+par le Théorème 5.2, il suffira de démontrer la conservativité de la réalisation des
+motifs homologiques I : Mot(C)ab → GrVectQ. D’autre part, la conjecture hom =
+num déduite au début de la preuve dit que les catégories Mot(C)ab et NUM(C)ab
+coincident. En particulier, par le Théorème 5.1, I est un foncteur entre catégories
+semisimples, il est donc conservatif.
+□
+Dans la suite de la section on travaille sur un corps fini k = Fq. Ce qui rem-
+placera l’utilisation de la polarisation dans la preuve ci-dessus est la multiplication
+complexe, via les décompositions de l’Exemple 4.12.
+Théorème 5.4. (Clozel [Clo99]) Soit A une variété abélienne sur un corps fini.
+Alors il existe une infinité de nombres premiers ℓ tels que l’équivalence numérique
+coïncide avec l’équivalence homologique pour la cohomologie ℓ-adique.
+Démonstration. On se ramène au cas où A est simple. Soient Q ⊂ F0 ⊂ �F les corps
+de nombres introduits dans l’Exemple 4.12 et la Remarque 4.13(2). (Ces corps
+dépendent de A et plus précisément du choix d’un corps CM dans ses endomor-
+phismes.)
+Fixons un nombre premier ℓ tel qu’il existe une place λ de F0 au-dessus de ℓ telle
+que la complétion (F0)λ ne contienne pas �F. On va montrer qu’un tel ℓ convient.
+Remarquons qu’il y a une infinité de tels ℓ et que l’on peut estimer leur densité
+avec Chebotareff.
+Considérons les classes algébriques de codimension n que l’on voit comme classes
+dans h2n(A)(n) et soit q2n l’accouplement construit dans l’Exemple 4.12. Puisqu’il
+est non dégénéré il suffit de voir que pour chaque classe algébrique non nulle γ il
+existe une classe algébrique δ telle que q2n(γ, δ) ̸= 0. On vérifie que la question est
+stable par changement de coefficients et on travaille avec les cycles à coefficients
+dans F0 et la réalisation λ-adique Rλ à valeurs dans les (F0)λ-espaces vectoriels.
+Dans ce cas on utilise la décomposition de la Remarque 4.13(2) en plans et droites.
+Il suffit alors de travailler avec un seul de ces facteurs M et supposer que γ vit
+dans M. Dans ce cas, si la forme quadratique q2n est sans vecteur isotrope sur M
+le choix δ = γ convient.
+Si M a dimension un cela suit du fait que q2n est non dégénérée sur chaque
+facteur de la décomposition et donc sur M. Si M a dimension deux alors il admet
+au plus deux droites isotropes. Ces deux droites existent au moins sur M ⊗F0 �F : il
+s’agit de la décomposition en droites de l’Exemple 4.12. Montrons que ces droites
+ne sont pas contenues dans le (F0)λ-espace vectoriel Rλ(M). Pour cela il suffira de
+construire un endomorphisme f : M → M dans la catégorie CHM(k)F0 dont ces
+droites sont des droites propres et de valeurs propres appartenant à �F − F0. Cela
+donnera la conclusion voulue puisqu’on a que (F0)λ ne contient pas �F.
+La construction de ce f procède ainsi. Considérons la décomposition (4.2). Quitte
+à changer la numérotation, le motif M est de la forme
+M = (L1 ⊗ . . . ⊗ L2n) ⊕ (¯L1 ⊗ . . . ⊗ ¯L2n),
+où ¯· est la conjugaison complexe. Fixons un ordre sur les Li, ceci permet de réaliser
+M comme facteur direct de h1(A)⊗2n dans la catégorie CHM(k)F0. On peut alors
+
+MÉMOIRE HDR
+31
+définir f par l’action induite par un générateur de F ⊂ End(A) ⊗ Q sur le premier
+terme du produit tensoriel et l’identité sur les autres 2n − 1.
+□
+Proposition 5.5. La conjecture d’autodualité 3.5 est vraie pour les motifs de
+CHM(Fq)ab de poids pair et dont la réalisation a dimension un.
+Démonstration. Soient X un tel motif et n son poids (pair). On a une variété
+abélienne A, telle que X est facteur direct de hn(A).
+On veut montrer que X ∼= X∨(−n). Par le Théorème 5.2 il suffit de montrer
+πnum(X) ∼= πnum(X)∨(−n). Par la semisimplicité de Jannsen, il suffit alors de
+montrer que Hom(πnum(X), πnum(X)∨(−n)) ̸= 0. Cet énoncé peut se démontrer
+après extension des scalaires. On étend les scalaires au corps F0 de la Remarque
+4.13(2).
+On utilise la décomposition de cette même remarque. Par semisimplicité on peut
+supposer que X soit un facteur direct d’un des facteurs M de cette décomposition.
+Rappelons que l’on dispose d’un accouplement qn non-dégénéré sur M et que M a
+dimension un ou deux.
+Si M a dimension un alors X = M et on a terminé. Si M a dimension deux,
+remontons aux motifs homologiques, via le Théorème 5.2. On pourra alors utiliser
+la réalisation et il suffira de montrer que l’accouplement restreint à la droite qui
+est la réalisation de X reste non-dégénéré, autrement dit que la droite n’est pas
+isotrope. (C’est ici que l’on utilisera que le poids est pair. Remarquons notamment
+que si le poids est impair l’accouplement sur M est alterné et donc toute droite est
+isotrope.)
+La subtilité est que la catégorie des motifs homologiques dépend a priori de
+la cohomologie choisie mais la bonne nouvelle est qu’il suffit d’étudier une seule
+cohomologie bien choisie. On utilise alors la cohomologie λ-adique comme dans
+la preuve du Théorème 5.4 avec le même choix de λ : on y avait montré que la
+réalisation de M est sans vecteurs isotropes.
+□
+Théorème 5.6. Les foncteurs de réalisation ℓ-adique
+Rℓ : CHM(Fq)ab −→ GrVectQℓ
+sont conservatifs.
+Démonstration. Soit f : X → Y une application dans CHM(Fq)ab telle que Rℓ(f) :
+Rℓ(X) → Rℓ(Y ) soit un isomorphisme. On veut montrer que f est un isomorphisme
+également.
+Par le Théorème 5.2 il suffira de travailler avec l’équivalence homologique. En
+utilisant la décomposition de Künneth, il suffira de supposer que Rℓ(X) et Rℓ(Y )
+sont concentrés en un même degré cohomologique.
+Supposons d’abord que Rℓ(X) et Rℓ(Y ) aient dimension un. On dispose d’ap-
+plications
+1 −→ Y ⊗ X∨ ∼= Y ∨ ⊗ X −→
+1,
+où la première et la dernière application sont obtenues par adjonction à partir de
+f et l’isomorphisme central vient de la Proposition 5.5.
+Dans ce cas les réalisations des applications ci-dessus sont des isomorphismes et
+par la Proposition 4.5 on a
+1 ∼= Y ⊗ X∨ donc X ∼= Y .
+
+32
+GIUSEPPE ANCONA
+Travaillons maintenant dans le cas général : soit d la dimension de Rℓ(X) et
+Rℓ(Y ). Supposons que leur degré cohomologique soit pair (sinon il faudra remplacer
+des produits extérieurs par des produits symétriques dans la suite). L’application
+Λdf : ΛdX −→ ΛdY
+retombe dans le cas particulier de la dimension un traité au-dessus. C’est donc un
+isomorphisme et on dispose de l’application (Λdf)−1.
+On peut maintenant construire une application g : Y → X via
+Y ∼= ΛdY ⊗ (Λd−1Y )∨ −→ ΛdX ⊗ (Λd−1X)∨ ∼= X
+où le premier et le dernier isomorphisme viennent du lemme ci-dessous et l’applica-
+tion centrale est (Λdf)−1⊗(Λd−1f)∨. Par construction, Rℓ(g) est un isomorphisme,
+on conclut alors par la Proposition 4.5.
+□
+Lemme 5.7. ([O’S05, Lemma 3.2]) Soit M un motif homologique dont la réalisa-
+tion est concentrée en un degré pair et de dimension d, alors
+M ∼= ΛdM ⊗ (Λd−1M)∨
+Démonstration. Le motif ΛdM est un facteur direct de M ⊗ Λd−1M. Ceci fournit
+deux applications entre M et ΛdM ⊗ (Λd−1M)∨ dans les deux directions. Leur
+réalisation est un isomorphisme, on conclut par la Proposition 4.5.
+□
+6. Positivité en caracteristique positive
+Dans cette section nous étudions la Conjecture de positivité 3.7. Le résultat
+principal dit que la conjecture est vérifiée pour les motifs de dimension 2 et à
+réduction supersingulière (Théorème 6.1). Nous expliquons ensuite comment ap-
+pliquer ce résultat pour déduire la Conjecture standard de type Hodge 3.15 pour
+certaines variétés, par exemples les variétés abéliennes de dimension quatre. Puis
+nous discutons le rôle de l’hypothèse de dimension 2.
+Théorème 6.1. Soient M un motif homologique sur un corps k de caractéristique
+p et q : Sym2 M →
+1 un morphisme dans Mot(k). Supposons que q soit la réduction
+modulo p d’une application �q : Sym2 �
+M →
+1 définie en caractéristique zéro.
+Définissons qZ comme la restriction de q à toutes les classes algébriques Z(M) =
+Hom(1, M) de M et qB comme la réalisation singulière de �q.
+Supposons que qB soit une polarisation et supposons avoir M ∼=
+1⊕2. Alors qZ
+est définie positive.
+Remarque 6.2. (Sur les hypothèses : relevabilité et rang 2.) Il n’est pas rare d’avoir
+des motifs qui se relèvent à la caractéristique zéro. Par exemple il est attendu que
+tout motif sur un corps fini se relève, car la conjecture de Tate prédit qu’un tel
+motif serait de type abélien. En général, même si un motif se relève, ses classes
+algébriques ne se relèveront pas à la caractéristique zéro, ce qui rend les résultats de
+positivité difficiles, puisqu’ils ne peuvent pas se déduire des propriétés de positivité
+des polarisation, voir Définition 2.6.
+L’hypothèse restrictive dans le théorème ci-dessus est la dimension deux. La
+façon d’utiliser ce résultat pour déduire la conjecture standard de type Hodge pour
+certaines variétés est la suivante. On décompose le motif d’une variété donnée autant
+que possible. Certains facteurs ne posséderont pas de classes algébriques, d’autres
+
+MÉMOIRE HDR
+33
+en posséderont uniquement certaines pour lesquels la conjecture standard de type
+Hodge peut se déduire des cas connus : par exemple ce sont des classes qui se
+relèvent à la caractéristique zéro ou qui sont construites à partir de diviseurs. Enfin,
+ils resteront parfois des facteurs qui possèdent des classes algébriques qui ne se
+ramènent pas à des cas connus. Le point est alors de trouver des variétés pour
+lesquels ces derniers facteurs sont de dimension deux. Un exemple est donné dans
+le corollaire ci-dessous.
+Corollaire 6.3. Soit A une variété abélienne de dimension quatre définie sur un
+corps de caractéristique p. Alors
+(1) La Conjecture standard de type Hodge 3.15 est vraie pour A,
+(2) Le produit d’intersection
+CH2(A)/num × CH2(A)/num −→ Q
+est de signature (ρ2 − ρ1 + 1; ρ1 − 1), où ρn = dimQ(CH2(A)/num),
+(3) Il y a une infinité de nombres premiers ℓ ̸= p pour lesquels l’équivalence nu-
+mérique sur A coïncide avec l’équivalence homologique pour la cohomologie
+ℓ-adique.
+Démonstration. Par un argument de spécialisation on peut supposer que le corps de
+définition est fini. On peut alors utiliser la décomposition de la Remarque 4.13(3).
+Les facteurs qui sont a priori mystérieux pour la Conjecture standard de type Hodge
+3.15 sont ceux de type (b), dans la notation de la même remarque. Il se trouve que
+tous ces facteurs de toutes les variétés abéliennes de dimension quatre sont bien de
+dimension deux. Ce fait est un petit miracle combinatoire, voir [Anc21, §7] pour
+les détails ou la Remarque 4.13(3) pour un aperçu.
+Les points (1) et (2) sont en fait équivalents. Cette équivalence n’utilise pas le
+fait que A est une variété abélienne mais uniquement la dimension quatre. Elle se
+déduit de la décomposition en parties primitives.
+Si le corps de définition est fini le point (3) est un cas particulier du Théorème 5.4
+de Clozel. Pour se ramener aux corps finis on spécialise et on utilise la Proposition
+3.14.
+□
+Remarque 6.4.
+(1) (Dimension supérieure.) Pour les variétés abéliennes de
+dimension quelconque on pourra encore utiliser la décomposition de la Re-
+marque 4.13(3). En général les facteurs (b) de la remarque auront dimension
+plus grande que deux. On peut tout de même trouver des exemples spo-
+radiques pour lesquels ces facteurs de type (b) ont rang 2 et déduire la
+conjecture standard de type Hodge à l’aide du Théorème 6.1. Ceci a été
+récemment étudié par Koshikawa [Kos22].
+(2) (Supersingularité vs Frobenius invariant.) On remarquera un petit décalage
+entre l’hypothèse de supersingularité M ∼=
+1⊕2 du Théorème 6.1 et la
+caractérisation des facteurs (b). Tout d’abord remarquons que ces deux
+descriptions sont équivalentes sous la conjecture de Tate.
+Inconditionnellement, a priori, parmi les facteurs de type (b) certains
+pourraient ne pas posséder de classe algébrique : ces facteurs pourront être
+négligés à l’étude de la conjecture standard de type Hodge. Pour les autres
+on a besoin de montrer que dès qu’un facteur a une classe algébrique il est
+
+34
+GIUSEPPE ANCONA
+engendré par des classes algébriques. Ceci se montre en utilisant l’action
+CM mais l’argument nécessite de travailler avec l’équivalence numérique.
+Si on travaillait avec l’équivalence homologique on se trouverait devant
+des problèmes similaires à ceux qui empêchent l’argument de Clozel du
+Théorème 5.4 de fonctionner pour tout nombre premier ℓ.
+Définition 6.5. (Symbole de Hilbert.) Soit q une Q-forme quadratique de dimen-
+sion deux et ν = 2, 3, 5, . . ., ∞ une place de Q. On définit le symbole de Hilbert
+εν(q) de q en ν comme étant +1 si q(x, y) = z2 a une solution non-nulle dans la
+complétion Qν et −1 sinon.
+Proposition 6.6. Gardons les notations du Théorème 6.1 et soit n l’unique entier
+tel que la réalisation singulière de �
+M soit une structure de Hodge de type (−n, +n).
+Alors qZ est définie positive si et seulement si
+εp(qZ) = (−1)nεp(qB),
+(6.1)
+ce qui est encore équivalent au fait que qZ ⊗ Qp est isomorphe à qB ⊗ Qp si et
+seulement si n est pair.
+Remarque 6.7. L’idée de la preuve de cette proposition a déjà été introduite dans
+l’Exemple 4.9 et la remarque qui le suit. Cette proposition est par ailleurs le point
+crucial où l’hypothèse de la dimension deux est nécessaire.
+Démonstration. Tout d’abord on remarque que, pour tout nombre premier ℓ ̸= p,
+on a qB ⊗ Qℓ ∼= qZ ⊗ Qℓ, c’est la combinaison du théorème de comparaison d’Artin
+et du changement de base propre et lisse en cohomologie ℓ-adique. Cela implique
+en particulier que εℓ(qZ) = εℓ(qB), mais aussi que le discriminant de qB et qZ
+coïncident dans Q∗/(Q∗)2, car un nombre rationnel est un carré s’il l’est dans
+presque toute complétion.
+D’autre part, en suivant la Définition 2.6, on a que qB est (−1)n-définie positive.
+Cela implique en particulier que ε∞(qB) = (−1)n, et que le discriminant de qB
+est positif. On en déduit que qZ a discriminant positif et donc, puisqu’on est en
+rang deux, que qZ est définie positive ou définie négative. La positivité de qZ est
+équivalente alors à ε∞(qZ) = +1.
+A l’aide de la formule du produit sur les symboles de Hilbert on a
+�
+ν
+εν(qZ) = 1 =
+�
+ν
+εν(qB).
+(6.2)
+En simplifiant les facteurs ℓ-adiques on obtient ε∞(qZ)·εp(qZ) = ε∞(qB)·εp(qB) et
+donc ε∞(qZ)·εp(qZ) = (−1)n ·εp(qB). On conclut que ε∞(qZ) = +1 si et seulement
+si la formule (6.1) est satisfaite.
+La dernière équivalence de la proposition suit du fait que deux Qp-formes qua-
+dratiques non-dégénérées de même rang sont isomorphes si et seulement si elles ont
+le même discriminant et le même symbol de Hilbert.
+□
+Démonstration du Théorème 6.1. Par la proposition précédente on est ramené à un
+problème purement p-adique. Ce dernier a en plus une interprétation cohomologique
+qui permet de le traduire en une question de théorie de Hodge p-adique. Pour
+expliquer cette traduction définissons VB,p comme la réalisation étale p-adique de
+�
+M et VZ,p comme la partie Frobenius invariante de la réalisation cristalline de M.
+
+MÉMOIRE HDR
+35
+Chacun de ces deux Qp-espaces vectoriels de dimension deux est muni d’une forme
+quadratique induite respectivement par �q et q. Ces deux formes quadratiques ne sont
+rien d’autre que qB ⊗Qp et qZ ⊗Qp. La première identification suit du théorème de
+comparaison d’Artin. La deuxième vient du fait que la partie Frobenius invariante
+contient toujours l’espace engendré par les classes algébriques et dans ce cas cette
+inclusion est une égalité par dimension.
+Le théorème de comparaison p-adique montré par Faltings fournit un isomor-
+phisme
+VB,p ⊗ Bcris = VZ,p ⊗ Bcris
+(6.3)
+fonctoriel, compatible à toutes les structures que l’on pourrait imaginer et en par-
+ticulier avec les formes quadratiques qB et qZ. On conclut à l’aide des deux phéno-
+mènes suivants.
+(a) La matrice de changement de base est calculable dans Mat2×2(Bcris). Elle
+ne dépend que de l’entier n de la filtration de Hodge et de l’algèbre End(VB,p) des
+endomorphismes de VB,p comme représentation galoisienne.
+(b) La description de cette matrice est suffisante pour déduire que qB ⊗ Qp et
+qZ ⊗ Qp sont isomorphes si et seulement si n est pair.
+□
+On passe maintenant à la description des deux phénomènes (a) et (b) de la fin
+de la preuve ci-dessus. Si le deuxième est élémentaire le premier est une propriété
+remarquable de la théorie de Hodge p-adique qui la différencie de la théorie de
+Hodge classique.
+Exemple 6.8. Supposons avoir deux R-formes quadratiques définies et de dimen-
+sion deux q1(x, y) = a1x2 + b1y2 et q2(x, y) = a2x2 + b2y2 et une identification
+q1 ⊗R C = q2 ⊗R C. Supposons savoir que la matrice de changement de base de
+l’identification est
+�i
+0
+0
+i
+�
+.
+On pourra alors en déduire que q1 et q2 ne sont pas isomorphes (une est définie
+négative et l’autre est définie positive). Les arguments au point (b) dans la preuve
+du Théorème 6.1 sont tout aussi élémentaires et ressemblent à cet exemple, avec R
+et C qui sont remplacés par Qp et Bcris.
+Remarque 6.9. (Théorème de comparaison p-adique vs classique.) Le théorème
+de comparaison p-adique
+Rp ⊗ Bcris = Rcris ⊗ Bcris,
+(6.4)
+dont (6.3) en est une instance, est souvent considéré comme l’analogue p-adique du
+théorème de comparaison entre cohomologie singulière et cohomologie de de Rham
+algébrique
+RB ⊗ C = RdR ⊗ C
+(6.5)
+que l’on a discuté dans l’Exemple 4.11. En fait le théorème de comparaison p-
+adique a des avantages par rapport à sa version classique, que l’on liste ci-dessous.
+(C’est grâce à ces propriétés que l’on peut notamment calculer certaines matrices
+de changement de base et déterminer des relations entre leurs entrées, cf. le point
+(a) de la preuve du Théorème 6.1.)
+
+36
+GIUSEPPE ANCONA
+Rappelons que les réalisations classiques d’un motif M possèdent des structures
+supplémentaires. En particulier, RdR(M) est munie d’une filtration, RB(M) est
+munie d’une structure de Hodge, Rp(M) est munie de l’action du groupe de Galois
+d’un corps p-adique et Rcris(M) est un ϕ-module filtré, i.e. elle est munie d’une
+filtration et d’une action du Frobenius absolu ϕ.
+Rappelons aussi que les coefficients des matrices qui apparaissent dans les com-
+paraisons (6.4) ou (6.5) sont appelés périodes.
+(1) L’anneau Bcris est muni des actions du Frobenius absolu ϕ et du groupe
+de Galois absolu de Qp ainsi que d’une filtration 14. La comparaison (6.4)
+respecte ces trois structures. Quand on dispose d’objets cohomologiques
+suffisamment concrets, comme ceux de (6.3), on peut explicitement décrire
+ces structures sur les périodes.
+Le corps C en revanche n’est pas muni de structures qui imiterait la filtra-
+tion ou la structure de Hodge. Connaître la structure de Hodge sous-jacente
+à RB(M) n’aide pas à avoir des informations sur les périodes complexes du
+motif M.
+(2) Dans [Fal89], Faltings montre une équivalence de catégories entre certains
+ϕ-modules filtrés, dits admissibles, et certaines représentations de groupes
+de Galois de corps p-adiques, dites cristallines. La condition d’admissibi-
+lité est toujours vérifiée par les modules d’origine géométrique, i.e. par les
+réalisations de motifs.
+Cette équivalence est en plus compatible au théorème de comparaison
+(6.4). En particulier, des périodes dans Bcris qui ont un certain comporte-
+ment par rapport à ϕ et à la filtration doivent correspondre à un unique
+ϕ-module filtré et donc aussi à une unique représentation de Galois. Autre-
+ment dit, les périodes p-adique associées à un motif donné sont caractérisées
+par leur comportement par rapport à deux structures : Frobenius et filtra-
+tion.
+Une structure de Hodge est beaucoup plus riche qu’une filtration. Par
+exemple, pour deux variétés d’une même famille, les espaces vectoriels filtrés
+correspondant seront isomorphes alors que les structures de Hodge ne le
+seront pas, en général 15. On ne peut pas avoir une équivalence de catégories
+entre ces deux structures cohomologiques.
+(De façon informelle, le passage du cas complexe (6.5) au cas p-adique
+(6.4) correspond à enrichir la structure de de Rham et à réduire celle de
+Hodge suffisamment pour avoir deux structures équivalentes. En effet, la
+réalisation cristalline hérite la filtration de de Rham mais elle possède en
+plus l’action du Frobenius absolu ϕ. D’autre part, d’après la conjecture
+de Mumford-Tate, une structure de Hodge est grosso-modo équivalente à
+une représentation de Galois d’un corps de nombres, or sur Rp(M) on ne
+regarde que l’action d’un certain de ses sous-groupes de décomposition.)
+14. Certaines structures sont définies dans un plus gros anneau noté BdR. On ignore ici ce point
+pour simplifier l’exposition.
+15. Si on considère la courbe elliptique Et : y2 = x(x − 1)(x − t) pour t ∈ Q − {0, 1} et le motif
+Mt = h1(E) alors RdR(Mt) est la donnée d’un Q-espace vectoriel de dimension 2 muni d’une
+droite à l’intérieur. En revanche la structure de Hodge RB(Mt) détermine Et à isogénie près,
+notamment il y aura des structures de Hodge CM et d’autres qui ne le sont pas.
+
+MÉMOIRE HDR
+37
+(3) La condition d’admissibilité, discutée au point précédent, se trouve être re-
+lativement élémentaire à vérifier, grâce à [CF00]. Ceci permet de construire
+facilement des ϕ-modules filtrés admissibles et donc des matrices de pé-
+riodes avec action de Frobenius et filtration prescrites.
+On ne dispose pas de méthode élémentaire de construction de périodes
+complexes. Il s’agit d’intégrales de formes différentielles algébriques qui sont
+souvent difficiles à calculer. Leurs relations sont prédites par la conjectures
+des périodes de Grothendieck et restent mystérieuses.
+En résumant, le point (a) de la preuve du Théorème 6.1 est le calcul de la matrice
+de périodes associée à (6.3). Ce calcul procède comme suit : on décrit l’action de
+ϕ et la filtration sur ces pédiodes (point (1) ci-dessus), puis on montre que cette
+description caractérise les périodes en question (point (2)), enfin on construit de
+telles périodes (point (3)).
+Exemple 6.10. (Un calcul de périodes.) Soit M un motif comme dans le Théorème
+6.1 pour lequel on veut montrer la relation (6.1). Cela passe par le calcul de la ma-
+trice de périodes de (6.3). Ce calcul dépend de l’entier n (défini dans la Proposition
+6.6) et de l’algèbre End(VB,p) des endomorphismes de VB,p comme représentation
+galoisienne.
+Supposons n = 1 : on doit alors montrer que qZ ⊗ Qp et qB ⊗ Qp ne sont pas
+isomorphes, voir la Proposition 6.6. Supposons également que End(VB,p) soit le
+corps Qp2, l’unique extension non ramifiée de degré 2 de Qp. Comme Bcris contient
+toutes les extensions non ramifiées, on peut alors écrire (6.3) comme
+(VB,p ⊗Qp Qp2) ⊗Qp2 Bcris = (VZ,p ⊗Qp Qp2) ⊗Qp2 Bcris.
+(6.6)
+L’action de End(VB,p) = Qp2 sur VB,p décompose VB,p ⊗Qp Qp2 en deux droites
+échangées par le groupe de Galois Gal(Qp2/Qp). En particulier on peut choisir
+deux vecteurs vB et wB échangés par le groupe de Galois et appartenant à ces
+droites.
+L’algèbre Qp2 agit également sur VZ,p, grâce à l’équivalence de catégories de
+Faltings, voir aussi le point (2) de la Remarque 6.9. On peut alors construire vZ et
+wZ de façon analogue. De plus, comme (6.3) est compatible à cette action, il existe
+deux périodes α, β ∈ Bcris telles que
+αvB = vZ
+et
+βvB = vZ.
+Je prétends qu’elles satisfont aux relations
+ϕ(α) = β
+et
+ϕ(β) = α
+(6.7)
+ainsi que
+α ∈ Fil1 − Fil2
+et
+β ∈ Fil−1 − Fil0.
+(6.8)
+En effet Gal(Qp2/Qp) est engendré par le Frobenius et d’autre part l’action du
+Frobenius sur VB,p et VZ,p est triviale par définition. Quant à la relation sur la
+filtration, on la déduit du fait que les droites propres que l’on a construites doivent
+être isotropes, or la droite définie par la filtration sur la réalisation cristalline de M
+doit aussi l’être, en particulier elle doit coïncider avec une de ces droites propres
+(après extension des scalaires).
+Les relations (6.7) et (6.8) sont un exemple du principe (1) expliqué dans la
+Remarque 6.9.
+
+38
+GIUSEPPE ANCONA
+Considérons maintenant le Qp2 espace vectoriel
+P = {γ ∈ Bcris,
+ϕ2(γ) = γ,
+γ ∈ Fil1 − Fil2
+et
+ϕ(γ) ∈ Fil−1 − Fil0}.
+Je prétends qu’il a dimension 1, autrement dit que n’importe quel élément de P est
+en fait une période de M construite ci-dessus. Ceci est un exemple du principe (2)
+expliqué dans la Remarque 6.9.
+Pour le montrer remarquons d’abord qu’une période α de M est inversible dans
+Bcris. On peut alors considérer l’espace P/α ⊂ Bcris, il correspondra à
+α−1P = {λ ∈ Bcris,
+ϕ2(λ) = λ,
+λ ∈ Fil0 − Fil−1
+et
+ϕ(λ) ∈ Fil0 − Fil−1}.
+Or cet espace est Qp2 ⊂ Bcris par [Fon94, Théorème 5.3.7].
+Pour conclure construisons une période t avec les propriétés
+t, ϕ(t) ∈ B∗
+cris,
+ϕ2(t) = p · t,
+t ∈ Fil1 − Fil2
+et
+ϕ(t) ∈ Fil0 − Fil1.
+De ces propriétés on déduit que α = t/ϕ(t) ∈ P, autrement dit α est une période
+du motif M, et α · ϕ(α) = 1/p. Cette dernière relation implique que qZ ⊗ Qp et
+qB ⊗ Qp ne sont pas isomorphes par un calcul élémentaire qui est analogue à celui
+de l’Exemple 6.8.
+La construction de t suit le principe (3) expliqué dans la Remarque 6.9. Consi-
+dérons le ϕ-module filtré N = Q2
+p muni du Frobenius
+ϕ =
+�
+0
+1/p
+1
+0
+�
+et de la filtration
+Fil−1 = N, Fil0 = Qp · e2, Fil1 = 0.
+On vérifie que c’est un ϕ-module admissible, donc il existe une représentation de
+Galois V qui lui correspond par l’équivalence de catégorie de Faltings et qui donne
+une comparaison V ⊗ Bcris = N ⊗ Bcris = B2
+cris. Puisque cette identification est
+compatible à toutes les structures, on voit que les vecteurs de V ⊂ B2
+cris sont
+exactement de la forme (t, ϕ(t)) où t satisfait aux propriétés voulues.
+Remarque 6.11. (Généralisations possibles.) La partie p-adique de l’argument
+présenté se généralise aux motifs de dimension plus grande : les principes généraux
+expliqués dans la Remarque 6.9 restent valables, les calculs de l’Exemple 6.10 de-
+viennent plus compliqués mais peuvent être traités. Dans un travail avec Adriano
+Marmora [AM22] nous avons pu en déduire une généralisation de la formule (6.1).
+En suivant l’argument de la Proposition 6.6 cela donne la positivité du symbole de
+Hilbert à l’infini ε∞(qZ) = +1. Malheureusement cette information ne suffit pas à
+déduire que qZ est défini positive, c’est le point crucial où l’on utilisait l’hypothèse
+de dimension 2.
+Pour passer à la dimension supérieure il faudrait trouver un invariant défini en
+toute place, tel que la place à l’infini soit contrôlée par toutes les places finies et
+d’autre part tel que l’invariant à l’infini détermine toute la signature. Une tenta-
+tive pourrait passer par la cohomologie galoisienne : les k-formes quadratiques non
+dégénérées et de rang donné sont en bijection avec H1(k, O) où O est un k-groupe
+
+MÉMOIRE HDR
+39
+orthogonal de rang convenable. L’application
+H1(Q, O) −→
+�
+ν
+H1(Qν, O).
+est injective, c’est le théorème d’Hasse–Minkowski. Son défaut de surjectivité est
+justement contrôlé par la formule du produit des symboles de Hilbert. Le problème
+déjà soulevé se reformule alors ainsi : l’application
+H1(Q, O) −→
+�
+ν̸=∞
+H1(Qν, O)
+n’est plus injective.
+On peut alors essayer d’exploiter plus d’informations géométriques de notre si-
+tuation et faire surgir des groupes plus petits. Par exemple les motifs qui appa-
+raissent dans le problème sont munis non seulement d’une forme quadratique mais
+aussi de l’action d’un corps CM. Ajouter cette donnée au problème correspond à
+étudier la cohomologie galoisienne d’un tore maximal T du groupe orthogonal O.
+On dispose encore d’un principe local-global : l’application
+H1(Q, T ) −→
+�
+ν
+H1(Qν, T ).
+est injective. Le point crucial serait alors d’avoir l’injectivité aussi de l’application
+H1(Q, T ) −→
+�
+ν̸=∞
+H1(Qν, T ).
+Malheureusement elle n’est pas injective : on peut calculer son noyau à l’aide de la
+suite exacte de Poitou–Tate.
+7. Périodes p-adiques à la André
+Dans cette section nous présentons un travail en collaboration avec Dragos Fra-
+tila. Les motivations sont d’origine géométrique - l’étude des classes algébriques en
+caractéristique p - mais le résultat final est plutôt arithmétique : on construit une
+algèbre de périodes p-adiques ainsi qu’un cadre tannakien pour l’étudier.
+Des telles périodes devraient avoir des analogies avec les périodes complexes que
+l’on a rencontré dans l’Exemple 4.11. Les périodes p-adiques de Fontaine possèdent
+des propriétés cohomologiques analogues à celles des périodes complexes et même
+plus fortes (Remarque 6.9). Par contre les propriétés arithmétiques des périodes
+complexes, comme leur transcendence ou leur lien avec les fonctions spéciales, n’ont
+pas de bon analogue dans les périodes p-adiques de Fontaine [And90].
+Pendant que notre travail avançait nous avons découvert qu’André avait tissé
+des liens similaires [And95, And03]. Son travail nous a été utile pour raffiner notre
+étude et notamment pour formuler la condition de ramification (Définition 7.10).
+Motivation. Le point de départ vient d’une remarque de Tate : la conjecture de
+Tate prédit l’existence de classes algébriques mais elle ne prédit pas quelle classe
+cohomologique est algébrique [Mil07, Aside 6.5]. Une façon d’interpréter cette re-
+marque est que l’on a une description du Qℓ-espace vectoriel engendré par les classes
+algébrique mais on n’a pas de description du Q-espace vectoriel engendré par ces
+dernières. C’est un point délicat qui est présent dès le travail de Tate sur la conjec-
+ture de Tate pour les diviseurs sur les variétés abéliennes sur un corps fini [Tat66],
+
+40
+GIUSEPPE ANCONA
+et plus récemment dans le travail de Charles sur la conjecture de Tate pour les
+diviseurs sur les surfaces K3 [Cha13].
+Un exemple élémentaire qui illustre cette subtilité est le suivant : il existe des
+Qℓ-droites dans la cohomologie ℓ-adique d’une variété X, disons définie sur un corps
+fini, qui sont Galois invariantes et pourtant elles ne contiennent pas d’élément du
+Q-espace vectoriel Im clX. Pour construire de tels exemples prenons X une surface
+abélienne, ou une K3, et fixons deux classes de diviseurs α et β linéairement indé-
+pendantes. Prenons maintenant une constante c ∈ Qℓ−Q. Alors la droite engendrée
+par α + cβ convient. Pour le montrer on peut utiliser le produit d’intersection et le
+fait qu’il est défini à coefficients rationnels.
+Un échec : cas ℓ-adique. Faute de savoir décrire le Q-espace vectoriel des classes
+algébriques, un premier pas est de le comparer à un autre Q-espace vectoriel. C’est
+notamment ce que l’on a fait dans l’Exemple 4.9 et la remarque qui le suit.
+Prenons une variété Xp définie sur Fp et supposons qu’elle se relève à une va-
+riété X définie sur Q. Au moyen d’un plongement σ : Q ֒→ C on dispose d’une
+identification
+H∗
+B(X(C), Q) ⊗ Qℓ = H∗
+ℓ (Xp)
+(7.1)
+induite par le théorème de comparaison d’Artin et le changement de base propre et
+lisse. Sous cette identification on peut étudier la position du Q-espace vectoriel Zp
+des classes algébriques sur Xp par rapport à H∗
+B(X(C), Q). Le premier fait que l’on
+remarque est que l’intersection Zp ∩H∗
+B(X(C), Q) contient le Q-espace vectoriel Z0
+des classes algébriques sur X. Inspiré par les différentes versions de la conjectures
+des périodes de Grothendieck on peut se demander si cette inclusion est en fait une
+égalité.
+Après avoir montré que cette question a réponse affirmative dans certains cas,
+nous avons compris que la réponse est négative en général. Les cas affirmatifs sont
+les surfaces à rang de Picard maximal - par une méthode similaire celle présentée
+dans l’Exemple 4.9 - et les variétés abéliennes CM [AF22, §10]. Il est possible de
+construire des contre-exemples avec le carré d’une courbe elliptique non CM. L’ar-
+gument suit en fait la technique qui a permis à André de montrer que l’analogue
+de la conjecture des périodes de Grothendieck est fausse pour le théorème de com-
+paraison p-adique. En effet (7.1) dépend du choix de σ. On peut faire varier σ en
+utilisant le groupe de Galois absolu du corps de nombre sur lequel X est défini. Dans
+certains cas on sait que l’action de ce groupe de Galois sur H∗
+ℓ (Xp) est hautement
+non triviale [Ser72], ce qui permet faire varier le Q-espace vectoriel H∗
+B(X(C), Q)
+et notamment de le faire rencontrer Zp de façon inattendue.
+Cas p-adique. Fixons une fois pour toutes un plongement Q ⊂ Qp. Prenons
+comme auparavant une variété X définie sur Q à bonne réduction et notons Xp
+sa réduction. On dispose de la comparaison entre cohomologie de de Rham et co-
+homologie cristalline
+H∗
+dR(X, Q) ⊗ Qp = H∗
+cris(Xp, Qp)
+due à Berthelot.
+Notons par Zp le Q-espace vectoriel des classes algébriques sur Xp et par Z0 le
+Q-espace vectoriel des classes algébriques sur X. On a comme dans le cas ℓ-adique
+l’inclusion
+Z0 ⊂ Zp ∩ H∗
+dR(X, Q)
+
+MÉMOIRE HDR
+41
+et on peut encore une fois se demander si cette inclusion est en fait une égalité.
+Conjecture 7.1. (pGPCw : Analogue p-adique de la version faible de la conjecture
+des périodes de Grothendieck.)
+Est-ce que l’inclusion Z0 ⊂ Zp ∩ H∗
+dR(X, Q) est une égalité ?
+Pour rendre cette question raisonnable il est nécessaire d’imposer une condition
+de ramification que l’on discutera plus tard et que l’on ignore pour l’instant (Défini-
+tion 7.10). Cette question apparaît comme l’analogue p-adique de la version faible
+de la conjecture des périodes de Grothendieck (appelée parfois conjecture de de
+Rham–Betti [And04, §7]). La remarque ci dessous fait le lien entre cette conjecture
+et différentes conjectures classiques sur les cycles algébriques.
+Tout comme son pendant classique, cette conjecture prédit de la transcendence.
+En effet elle prédit qu’une classe algébrique en caractéristique p qui n’est pas re-
+levable à la caractéristique zéro ne peut pas être dans H∗
+dR(X, Q), autrement dit,
+au moins une de ses coordonnées par rapport à une base de H∗
+dR(X, Q) doit être
+transcendante. La version forte de la conjecture de Grothendieck p-adique prédira
+de façon précise le degré de transcendance de toutes ces coordonnées (Conjecture
+7.13).
+Remarque 7.2. (pGPCw vs conjectures classiques.) Comparons maintenant la
+question qui a été soulevée au paragraphe précédent, notée (pGPCw), avec trois
+conjectures classiques que nous rappelons de façon informelle (voir [And04, §7] pour
+plus de détails). Ces trois conjectures sont la conjecture de Hodge (HC), la version
+faible de la conjecture des périodes de Grothendieck (GPCw) et la conjecture de
+Hodge variationnelle p-adique de Fontaine et Messing (pHC).
+(HC) Une classe rationnelle en cohomologie singulière est algébrique si et seule-
+ment si elle appartient au bon degré de la filtration de de Rham.
+(GPCw) Une classe rationnelle en cohomologie de de Rham est algébrique si et
+seulement si elle est rationnelle pour la cohomologie singulière
+(pHC) Une classe algébrique en cohomologie cristalline se relève à la caractéris-
+tique zéro si et seulement si elle appartient au bon degré de la filtration de
+de Rham.
+De façon informelle, on peut voir (pGPCw) comme « le produit fibré de (pHC) et
+(GPCw) au-dessus de (HC) ».
+(pGPCw)
+→
+(GPCw)
+↓
+↓
+(pHC)
+→
+(HC)
+La partie droite du diagramme concerne la caractéristique zéro, celle de gauche la
+caractéristique mixte. La conjectures du bas comparent une structure rationnelle
+et une filtration, celles du haut comparent deux structures rationnelles.
+Définition 7.3. (Périodes p-adiques à la André.) Soit M ∈ Mot(Q) un motif
+homologique 16 à bonne réduction et soit Mp ∈ Mot(Fp) sa réduction. Notons leurs
+16. Tout comme dans le cas classique on travaillera qu’avec des motifs vérifiant hom = num,
+par exemple les motifs issues de produits de courbes elliptiques : ceci est nécessaire pour avoir des
+catégories tannakiennes.
+
+42
+GIUSEPPE ANCONA
+classes algébriques par
+Z0(M) = HomMot(Q)(1, M)
+et
+Zp(M) = HomMot(Fp)(1, Mp).
+Considérons le théorème de comparaison de Berthelot
+RdR(M) ⊗Q Qp = Rcris(Mp).
+(7.2)
+Pour tout choix de base B de Zp(M) et B′ de RdR(M) définissons MatB,B′(M)
+comme la matrice ayant comme vecteurs colonnes les coordonnées de B par rapport
+à B′. Nous appelons les coefficients de cette matrice les périodes p-adique d’André
+de M et définissons Pp(M) ⊂ Qp comme la Q-algèbre engendrée par ces périodes.
+Remarque 7.4. (Périodes classiques vs périodes p-adiques à la André.)
+(1) Si un élément de B est une classe algébrique qui n’est pas relevable à la
+caractéristique zéro au moins une de ses périodes devrait être transcendante
+par la Conjecture 7.1.
+(2) La matrice MatB,B′(M) dépend bien du choix des bases B et B′, par contre
+l’algèbre Pp(M) n’en dépend pas.
+(3) Pour que l’espace Zp(M) ne soit pas réduit à zéro il faut que M contienne
+des facteurs directs de poids zéro. Il faut typiquement imaginer M =
+h2n(X)(n) pour une variété X à bonne réduction. De plus, pour avoir des
+périodes intéressantes, il faut que M admette des classes algébriques mo-
+dulo p qui ne sont pas relevables, sinon toutes les périodes p-adiques seraient
+algébriques.
+(4) Contrairement au cas classique, la matrice de périodes p-adique n’est pas
+carrée, en effet l’inégalité 17 #B′ ≤ #B est stricte en général.
+(5) Il est possible de définir les périodes p-adiques pour les motifs mixtes. Il
+faut dans ce cas considérer uniquement les motifs mixtes vérifiant (7.2) -
+cette relation n’est automatique pour les variétés ouverte.
+Exemple 7.5.
+(1) (Courbes elliptiques CM et valeurs Gamma.) Considérons
+E une courbe elliptique CM. Les périodes complexes de son h1(E) sont un
+produit de certaines valeurs spéciales de la fonction gamma ΓC en certains
+rationnels explicites dépendant uniquement du corps CM. Il n’y a pas de pé-
+riode p-adique associée à h1(E), puisqu’il n’y a pas de classe algébrique dans
+le h1(E), par contre on peut considérer le motif M = h1(E) ⊗ h1(E)∨. Ses
+classes algébriques correspondent aux endomorphismes de E. Pour avoir des
+périodes p-adiques intéressantes considérons un premier p à réduction su-
+persingulière, autrement tous les endomorphismes se relèveraient et toutes
+les périodes seraient algébriques. Il s’agit de décrire l’action de ces endo-
+morphismes par rapport à une base de H1
+dR(E, Q). Ce genre de calculs
+a été traités par Coleman et Ogus [Col90, Ogu90]. On y voit apparaître
+des produits de valeurs spéciales de la fonction gamma p-adique Γp en des
+rationnels.
+17. Point technique : cette inégalité a encore besoin de l’hypothèse hom = num. On utilise le
+fait que l’équivalence numérique commute à l’extension des scalaires, voir la Conjecture 3.18 et la
+remarque qui la suit.
+
+MÉMOIRE HDR
+43
+(2) (Motifs de Kummer et logarithme.) Considérons le motif de Tate mixte de
+type Kummer Ka = h1(Gm, {1, a})∨, avec a ∈ Q. Ce motif s’insère dans
+une suite exacte
+0 −→
+1(+1) −→ Ka −→
+1 −→ 0
+qui est non scindée pour a ̸= 0, 1, −1. En particulier ce motif n’a pas de
+classe algébrique non nulle, qui est la raison d’avoir considéré Ka et non
+pas son dual h1(Gm, {1, a}). Sa matrice de périodes complexes est
+�2πi
+log(a)
+0
+1
+�
+.
+Fixons un nombre premier p. Pour a ̸≡ 0, 1 [p], le motif Ka a bonne
+réduction. De plus les motifs de Tate sur un corps fini forment une catégorie
+semisimple, en particulier la suite exacte ci-dessus se scinde modulo p. On
+en déduit que le motif possède une classe algébrique non nulle modulo p
+qui est donc non relevable. Sa matrice de périodes p-adiques est
+�logp(a)
+1
+�
+dont l’analogie avec son pendant complexe est encore une fois frappante.
+Cette matrice s’obtient à partir du calcul de la matrice du Frobenius agis-
+sant sur RdR(Ka) qui est dû à Deligne [Del89, §2.9]. On y voit apparaître le
+logp(a1−p) et on trouve curieux que le passage de la matrice de Frobenius à
+la matrice de périodes corrige cet exposant. (La correction de logp(a1−p) à
+logp(a) aurait pu s’obtenir en changeant de base, or pour ces motifs on dis-
+pose de bases canoniques et toutes les matrices décrites ci-dessus utilisent
+uniquement ces bases).
+(3) (Fonctions hypergéométriques.) Soient M et N deux motifs non isomorphes
+mais dont les réductions modulo p le sont. Alors le motif M ⊗ N ∨ a une
+classe algébrique modulo p non relevable qui est justement associée à cet
+isomorphisme. Ses périodes p-adiques sont les coordonées de RdR(N) par
+rapport à RdR(M).
+Par exemple on peut considérer M = h1(E) et N = h1(E′) où E et
+E′ sont deux relèvements non isogènes d’une courbe elliptique ordinaire
+sur un corps fini. On peut notamment choisir E comme le relèvement ca-
+nonique de Serre–Tate et E′ comme une courbe elliptique non CM. Les
+périodes p-adiques qui apparaissent dans ce cas là sont décrites par Katz
+[Kat80]. On y voit notamment apparaître des valeurs spéciales de fonctions
+hypergéométriques.
+(4) (Matrice du Frobenius.) Soit f ∈ End(Mp) un endomorphisme modulo p.
+On peut considérer la matrice de son action par rapport à une base de
+RdR(M). Ses coefficients pourront s’interpréter comme périodes p-adiques
+à la André en regardant f comme une classe algébrique modulo p du motif
+M ⊗ M ∨. D’intérêt particulier est le cas où f est le Frobenius : certains
+auteurs [Fur07, Bro17] ont définis les périodes p-adique associés à M comme
+ses coefficients.
+
+44
+GIUSEPPE ANCONA
+Le point de vue des périodes p-adiques à la André est meilleure pour
+plusieurs raisons. Entre autres, il donne des bornes plus fine à la trans-
+cendance ainsi qu’une interprétation motivique de certaines relations natu-
+relles, comme celles provenant du polynôme caractéristique du Frobenius,
+voir [AF22, Remark 9.7].
+Transcendance. Comme expliqué dans la Remarque 7.4, la Conjecture 7.1 prédit
+la transcendance de certaines périodes p-adiques. Le prochain but est de donner
+une borne au degré de transcendance de ces périodes (Théorème 7.6) ainsi qu’une
+conjecture qui prédira ce degré (Conjecture 7.13). On montrera que cette dernière
+conjecture implique en fait la Conjecture 7.1, voir la Proposition 7.12.
+Gardons les notations de la Définition 7.3. Considérons les catégories tanna-
+kiennes ⟨M⟩ et ⟨Mp⟩ engendrées par M et Mp ainsi que les groupes tannakiens
+GdR(M) et Gcris(Mp) associés aux foncteurs fibres RdR et Rcris.
+Dans le cadre des périodes classiques, Grothendieck démontre que leur degré de
+transcendence est borné par la dimension de GdR(M). Notre résultat principal en
+est l’analogue p-adique.
+Théorème 7.6. Le degré de transcendance des périodes p-adiques vérifie l’inégalité
+degtrPp(M) ≤ dim GdR(M) − dim Gcris(Mp).
+Remarque 7.7. (Transcendance classique vs transcendance p-adique.)
+(1) Cette inégalité pourrait sembler plus forte que celle du cas complexe mais
+la matrice rectangulaire des périodes p-adiques est en général plus petite
+que celle des périodes complexes. Elles ont la même taille uniquement dans
+le cas de réduction supersingulière ce qui revient à Gcris(Mp) = {1}.
+(2) Dans le cadre complexe, le point crucial est d’interpréter les périodes comme
+les coordonnées d’un C-point du foncteur T (M) = Isom⊗
+⟨M⟩(RB, RdR). Par
+la théorie tannakienne ce foncteur est représentable par une variété affine
+sur Q. L’action naturelle de GdR(M) = Aut⊗
+⟨M⟩(RdR) sur T (M) rend cette
+variété un torseur.
+Dans le cas p-adique le foncteur Zp n’est pas un foncteur fibre, pour des
+questions de dimension, ce qui le fait sortir du cadre tannakien. C’est tout
+de même un foncteur lax-monoïdal (ce qui revient à dire que le produit de
+classes algébriques est une classe algébrique).
+Le foncteur Isom⊗
+⟨M⟩(Zp, RdR) est vide en général, encore pour des rai-
+sons de dimension. On peut en revanche considérer les transformations na-
+turelles tensorielles ou les plongements.
+Théorème 7.8. L’inclusion de foncteurs Emb⊗
+⟨M⟩(Zp, RdR) ⊆ Nat⊗
+⟨M⟩(Zp, RdR)
+est une égalité. Ces foncteurs sont représentables par une variété H(M) affine sur
+Q. L’action naturelle de GdR(M) sur H(M) est transitive. De plus on a un iso-
+morphisme H(M)Qp = GdR(M)Qp/Gcris(Mp).
+
+MÉMOIRE HDR
+45
+Remarque 7.9. (Théorème 7.6 implique Théorème 7.8.) En analogie avec le cas
+classique on peut interpréter
+Zp ⊗ Qp ֒→ Rcris = RdR ⊗ Qp
+(7.3)
+comme un Qp-point de H(M). L’évaluation en ce point donne un morphisme d’al-
+gèbres
+eval : O(H(M)) −→ Qp.
+(7.4)
+Par construction, l’image de ce morphisme est l’algèbre Pp(⟨M⟩) engendrée par
+toutes les périodes p-adiques de tous les motifs appartenant à la catégorie ⟨M⟩.
+Contrairement au cas classique, ces périodes contiennent strictement celles de M,
+en général. Cela vient du fait que l’inclusion Zp(M)⊗n ⊂ Zp(M ⊗n) est stricte en
+général : c’est le défaut d’une formule de Künneth pour les classes algébriques.
+Le Théorème 7.8 et les relations
+Pp(M) ⊂ Pp(⟨M⟩) = Im eval ⊂ Qp.
+(7.5)
+prouvent le Théorème 7.6 et même l’inégalité plus forte
+degtrPp(M) ≤ degtrPp(⟨M⟩) ≤ dim H(M) = GdR(M) − Gcris(Mp).
+(7.6)
+La définition suivante est inspirée de travaux d’André [And95, And03].
+Définition 7.10. (Condition de ramification.) On dit qu’un motif N est CM si
+End(N) est un corps de nombres tel que dimQ End(N) = dim RdR(N).
+On dit que le nombre premier p ne ramifie pas dans ⟨M⟩ si, pour tout N dans
+⟨M⟩ qui est CM, le nombre premier p ne ramifie pas dans le corps de nombre
+End(N).
+Exemple 7.11. Soit A une variété abélienne. Dans le cas où N = h1(A), imposer
+que End(N) soit un corps de nombres tel que dimQ End(N) = dim RdR(N) revient
+à demander que A soit simple et CM. Dans ce cas demander que p ne ramifie pas
+dans End(N) correspond à demander que p ne ramifie pas dans son corps CM.
+Proposition 7.12. Pour un motif M ′ fixé, les nombres premiers qui ramifient
+dans ⟨M ′⟩ sont en nombre fini.
+Conjecture 7.13. (p-GPCs : Analogue p-adique de la version forte de la conjecture
+des périodes de Grothendieck.)
+Si p ne ramifie pas dans ⟨M⟩ alors l’application d’évaluation (7.4) est injective.
+De façon équivalente, l’espace homogène H(M) est connexe et le Qp-point de H(M)
+induit par (7.3) vit au-dessus du point générique de H(M) (ou encore l’inégalité
+degtrPp(⟨M⟩) ≤ dim H(M) = GdR(M) − Gcris(Mp) est en fait une égalité.)
+Proposition 7.14. Si M vérifie la Conjecture 7.13 alors pour tout N dans ⟨M⟩
+on a une
+Z0(N) = Zp(N) ∩ RdR(N),
+c’est-à-dire la Conjecture 7.1 (pGPCw) a réponse affirmative pour N.
+
+46
+GIUSEPPE ANCONA
+Remarque 7.15.
+(1) Les preuves des résultats de cette section utilisent des
+techniques tannakiennes. Comme déjà mentionné, notamment dans la Re-
+marque 7.7(2), on ne peut pas utiliser les résultats classiques tel quels mais
+il faut plutôt adapter leurs preuves.
+(2) La condition de ramification (Définition 7.10) est inspirée d’une condition
+qu’André a imposée dans l’étude de ce genre de questions pour les variétés
+abéliennes à réduction supersingulière. Il avait remarqué que ces variétés
+pouvaient avoir des périodes p-adiques vérifiant des relations algébriques
+non motiviques. Comme mentionné dans l’Exemple 7.5(1), les périodes qui
+apparaissent pour de tels motifs sont liées aux valeurs spéciales de la fonc-
+tion Gamma p-adique. Ces dernières se trouvent être plus souvent algé-
+briques que leurs analogues complexes.
+(3) Assez peu est connu sur la conjecture classique des périodes de Grothen-
+dieck. La version forte a été démontrée pour les courbes elliptiques CM par
+Chudnovsky [Chu80]. Le cas particulier de la courbe elliptique de Fermat
+implique notamment la transcendance de ΓC(1/3). La version faible (voir
+(GPCw) de la Remarque 7.2) a été montrée pour les diviseurs sur les varié-
+tés abéliennes et sur les surfaces K3 par Bost et Charles [BC16], en utilisant
+entre autre le théorème du sous-groupe analytique de Wüstholtz [Wüs89].
+Ce sont des résultats difficiles et on peut s’attendre à ce que leurs analogues
+p-adiques le soient aussi.
+Le seul cas où la Conjecture 7.13 est vérifiée est pour le motif de Kum-
+mer Ka de l’Exemple 7.5(2). Cela suit de la transcendence des valeurs
+spéciales du logarithme p-adique [Ber77]. Le premier cas ouvert intéressant
+serait celui des courbes elliptiques à réduction supersingulière, ce qui don-
+nerait notamment la transcendence de Γp(1/3), pour p ≡ 2[3]. La version
+faible semble aussi difficile. Une petit résultat dans cette direction a été
+donné dans le cas des courbes elliptique non CM à réduction supersingu-
+lière [AF22, Proposition 3.5].
+8. Motifs des schémas en groupes commutatifs
+Cette section résume deux travaux en collaboration avec Stephan Enright-Ward,
+Annette Huber et Simon Pepin Lehalleur [AEWH15, AHPL16]. Ils portent sur
+l’anneau de Chow et le motif d’un schéma en groupes commutatifs et généralisent
+les théorèmes de Beauville [Bea86] et Deninger–Murre [DM91] qui traitent le cas
+des schémas abéliens. Nous expliquons quelles sont les subtilités qui apparaissent
+quand on quitte le cadre des schémas en groupes projectifs. Les motifs de Voevodsky
+deviennent essentiels, non seulement leur existence mais aussi la nature de leur
+construction : c’est un exemple du principe expliqué au §1.3.
+Dans ce qui suit S est une variété de type fini et lisse sur un corps k qui jouera
+le rôle d’une base fixée. Tout S-schéma en groupe que l’on considérera sera lisse et
+de type fini à fibres connexes. Certains énoncés sont valables dans des meilleures
+généralités. Pour un S-schéma lisse f : X → S, CH(X) indique l’anneau de Chow
+de l’espace total X. On continue à travailler avec les coefficients rationnels.
+
+MÉMOIRE HDR
+47
+Théorème 8.1. (Beauville [Bea86], Deninger–Murre [DM91]) Soient A un S-
+schéma abélien de dimension relative g et nA : A → A le morphisme de multi-
+plication par n. Alors on a une décomposition
+CHi(A) =
+g+i
+�
+r=i
+CHi
+(r)(A)
+où CHi
+(r)(A) = {α ∈ CHi(A), n∗
+Aα = nrα, ∀n ∈ Z}.
+Remarque 8.2.
+(1) Ce théorème a été démontré par Beauville dans le cas
+S = Spec(k) et Deninger–Murre dans le cas général. Les deux résultats
+utilisent de façon cruciale la transformée de Fourier que l’on rappelle plus
+loin.
+(2) Quand S = Spec(k), on a l’inclusion
+ker cli
+A ⊇
+g+i
+�
+r̸=2i
+CHi
+(r)(A)
+(8.1)
+qui vient du fait que n∗
+A agit sur la cohomologie de degré s comme ns · Id .
+(3) La décomposition du théorème induit une bigraduation sur l’anneau CH∗
+(•)(A).
+Quand S = Spec(k), la nouvelle graduation scinde la filtration de Bloch–
+Beilinson qui est conjecturée avoir certaine propriétés par rapport à l’appli-
+cation classe de cycle, notamment l’inclusion (8.1) devrait être une égalité.
+La filtration de Bloch–Beilinson est conjecturée exister pour tous les an-
+neaux de Chow de toutes les variétés projectives et lisses sur k, mais en
+général cette filtration ne se scinde pas.
+Démonstration. Soient A∨ le schéma abélien dual, P ∈ CH1(A × A∨) le diviseur
+associé au fibré de Poincaré et π1, π2 les projections de A×A∨ sur les deux facteurs.
+On définit la transformée de Fourier
+FA : CH∗(A) −→ CH∗(A∨),
+α �→ (π2)∗(exp(P) · π∗
+1α).
+On vérifie que c’est un isomorphisme, dont l’inverse est essentiellement FA∨. On en
+déduit la décomposition
+CHi(A) =
+�
+s
+{α ∈ CHi(A),
+FA(α) ∈ CHs(A)}.
+(8.2)
+Ensuite un calcul direct permet de voir comment n∗
+A agit sur chaque facteur de la
+décomposition (8.2). On retrouve ainsi la décomposition de l’énoncé et l’identifica-
+tion CHi
+(r)(A) = {α ∈ CHi(A),
+FA(α) ∈ CHg+i−r(A)}.
+□
+Nous montrons la généralisation suivante.
+Théorème 8.3. Soient G un S-schéma en groupes commutatifs de dimension re-
+lative d et nG : G → G le morphisme de multiplication par n. Alors on a une
+décomposition
+CH∗(G) =
+2d
+�
+r=0
+CH∗
+(r)(G)
+où CH∗
+(r)(G) = {α ∈ CH∗(G), n∗
+Gα = nrα, ∀n ∈ Z}.
+
+48
+GIUSEPPE ANCONA
+Remarque 8.4.
+(1) On ne sait pas définir une transformée de Fourier pour
+un tel G : l’application π2 n’est pas propre, donc (π2)∗ n’existe pas, et de
+plus le dual d’un tel G est un 1-motif en général et non pas une variété.
+(2) Le premier cas non trivial pour les groupes non projectifs est donné par
+S = Spec(k) et G qui admet une suite exacte
+0 −→ Gm −→ G −→ A −→ 0
+où A est une variété abélienne. Dans ce cas le Théorème 8.3 est facile pour
+Gm et connu pour A mais on ne peut pas le déduire directement pour G.
+Le problème est que cet énoncé se comporte bien pour les sommes directes
+mais mal pour les suites exactes. L’énoncé qui suivra sera plus adapté à ce
+genre de dévissage.
+Définition 8.5. Soient Sm/S la catégorie des S-schémas lisses de type fini et
+PSh(S) la catégorie des préfaisceaux sur Sm/S à valeur dans les Q-espaces vec-
+toriels. Soient Q(G) ∈ PSh(S) le préfaisceau qui associe à chaque Y ∈ Sm/S le
+Q-espace vectoriel ayant comme base l’ensemble HomS(Y, G) et G ∈ PSh(S) celui
+qui associe à chaque Y ∈ Sm/S le Q-espace vectoriel HomS(Y, G) ⊗Z Q. La loi de
+groupe de G induit une transformation naturelle
+sG : Q(G) −→ G.
+Par construction de DM(S), la catégorie des motifs relatifs 18, les préfaisceaux ci-
+dessus induisent des motifs et la transformation naturelle un morphisme entre eux
+que l’on notera
+αG/S : M(G/S) −→ M1(G/S).
+Le motif M(G/S) est appelé le motif de G et le motif M1(G/S) est appelé le
+1-motif de G.
+Théorème 8.6. Gardons les notations de la définition ci-dessus. Alors le motif
+Symr M1(G/S) est nul pour r assez grand et le morphisme αG/S se prolonge en un
+unique morphisme de motifs en algèbres de Hopf
+ϕG/S : M(G/S) −→
+�
+r=0
+Symr M1(G/S)
+(8.3)
+qui est de plus un isomorphisme.
+Remarque 8.7.
+(1) (Motifs vs faisceaux.) Ce théorème n’est pas une consé-
+quence formelle d’un énoncé sur les préfaisceaux. Remarquons par exemple
+que le faisceau Symr G n’est pas nul, puisque G est un faisceau en espaces
+vectoriels.
+Un phénomène plus subtile est le suivant : le théorème montre en parti-
+culier l’existence d’applications non nulles de M1(G/S) vers M(G/S). En
+revanche, il n’y a pas d’application non nulle du faisceau G vers Q(G).
+18. On considère ici uniquement la version stable de cette catégorie, c’est-à-dire la catégorie
+obtenue après ⊗-inversion du motif de Lefschetz. Il y a plusieurs descriptions de la catégorie
+stable DM(S). Il se trouve qu’elles sont équivalentes sous des hypothèses assez générales qui sont
+notamment satisfaites pour les bases S que l’on considère. La version qui est adaptée à la Définition
+8.5 est celle des motifs étales étudiés par Ayoub. Cette catégorie DM(S) est obtenue à partir de
+D(PSh(S)) en localisant pour imposer la descente étale et l’invariance par A1-homotopie, puis en
+stabilisant.
+
+MÉMOIRE HDR
+49
+Esquissons l’argument. Soient α : G → Q(G) une telle transformation na-
+turelle et idG ∈ G(G) l’application identité. La naturalité de α implique
+qu’il suffit de voir que α(idG) = 0. Posons α(idG) = ai · fi où ai sont des
+nombres rationnels et les fi sont des endomorphismes de G.
+Pour montrer ai · fi = 0 considérons la naturalité par rapport aux mor-
+phismes nG de multiplication par n :
+idG
+❴
+�
+✤
+� � ai · fi
+❴
+�
+G
+nG
+�
+α � Q(G)(G)
+nG
+�
+G
+α � Q(G)(G)
+nG = n · idG ✤
+� � nai · fi
+� ai · (nG ◦ fi).
+On prétend que l’égalité � nai · fi = � ai · (nG ◦ fi) force tous les fi à
+être nuls. tout d’abord supposons par l’absurde qu’il y avait un fi, disons
+f1, qui n’était pas de torsion. Alors la liste des morphismes nG ◦ f1 serait
+infinie et on pourrait choisir un n tel que nG ◦ f1 n’apparaisse pas dans la
+liste des fi. Ceci contredirait l’égalité � nai · fi = � ai · (nG ◦ fi).
+On peut alors supposer que les fi soient tous de torsion et on peut donc
+choisir un n tel que les nG ◦ fi soient tous nuls. L’égalité � nai · fi =
+� ai · (nG ◦ fi) = 0 implique alors � ai · fi = 0.
+(2) (Décomposition de Chow–Künneth.) On continue à noter par nG : G → G
+le morphisme de multiplication par n. Remarquons que son action sur
+M1(G/S) vaut n · Id. En particulier l’isomorphisme (8.3) donne une dé-
+composition de M(G/S) en espaces propres par rapport à l’action de nG.
+On en déduit par ailleurs que cette décomposition est une décomposition
+de Chow–Künneth relative (voir la Conjecture 3.1 pour le cas absolu).
+(3) (Décomposition de l’anneau de Chow.) La décomposition du point (2)
+donne une décomposition de
+HomDM(S)(M(G/S),
+1(p)[q])
+(8.4)
+en espaces propres par rapport à l’action de nG. Comme ces Hom cal-
+culent 19 les groupes de Chow supérieurs [CD19, Corollary 14.2.14] on dé-
+duit le Théorème 8.3.
+(4) (Décomposition de motifs vs décomposition d’anneaux de Chow.) Pour les
+schémas abéliens G = A les décompositions des anneaux de Chow au point
+(3) permettent de retrouver celle du motif au point (2) comme l’ont remar-
+qué Deninger et Murre. Le point est de considérer A ×S A comme schéma
+abélien sur A et d’appliquer le Théorème 8.1 à ce schéma abélien : la dia-
+gonale se décomposera alors en somme de vecteurs propres. D’autre part la
+19. Les constructions de Grothendieck et de Voevodsky ont une convention de covariance diffé-
+rente, notamment les motifs de Chow se plongent dans les motifs de Voevodsky par un foncteur
+contravariant. C’est la raison pour laquelle l’objet
+1(p)[q] apparaît à droite dans la formule (8.4).
+
+50
+GIUSEPPE ANCONA
+diagonale s’interprète comme l’identité du motif M(A/S) et on peut veri-
+fier que cette décomposition de Id ∈ End(M(A/S)) est une décomposition
+en somme de projecteurs orthogonaux.
+Pour un G général, la formule
+EndDM(S)(M(G/S)) = HomDM(S)(M(G/S) ⊗ M(G/S)∨,
+1)
+ne permet pas de relier ce groupe à l’anneau de Chow de G ×S G. En effet
+la dualité de Poincaré identifie, à un twist et shift près, M(G/S)∨ avec
+Mc(G/S) qui n’est pas, en général, M(G/S). Dans ce cas la décomposition
+des anneaux de Chow du Théorème 8.3 ne permet pas de retrouver celle
+des motifs au point (2).
+(L’argument ci-dessus montre qu’en général les endomorphismes d’un
+motif sont reliés aux groupes de Chow uniquement dans le cas propre et
+lisse. Cela a déjà été signalé au §1.1 et c’est le point qui limite la construction
+classique de Grothendieck au cadre propre et lisse.)
+(5) (Voevodsky vs Chow.) Dans le cas G = A d’un schéma abélien, une formule
+M(A/S) ∼=
+�
+r=0
+Symr M1(A/S)
+(8.5)
+a été montré par Künnemann encore à l’aide de la transformée de Fourier
+[Kün94]. Une version plus faible, valable pour les motifs homologiques, a
+été discutée dans la Proposition 4.7.
+A l’époque de [Kün94] on ne disposait pas des motifs de Voevodsky et
+le travail a été fait dans les motifs de Chow. Dans ce cas l’existence du
+motif M1(A/S) présent dans la formule (8.5) n’est pas du tout triviale :
+il faut construire un projecteur convenable de End(M(A/S)). Ce motif est
+en revanche facile à définir dans le cadre de Voevodsky (Définition 8.5). Un
+des avantage des motifs de Voevodsky sur les motifs de Chow est notam-
+ment cette possibilité de disposer facilement de motifs par des constructions
+faisceautiques : c’est le principe que nous avons mentionné au §1.3.
+Démonstration. La preuve se base sur deux dévissages qui font chacun l’objet d’un
+article. Un premier dévissage sert à se réduire au cas d’un corps algébriquement clos
+S = Spec(K), [AHPL16]. Le deuxième [AEWH15] est une réduction aux cas des
+variétés abéliennes, ce qui nous ramène essentiellement au résultat de Künnemann
+[Kün94].
+Réduction à S = Spec(K). Pour le premier dévissage on utilise le théorème
+suivant d’Ayoub [Ayo14, Proposition 3.24]. Si f : M → N est un morphisme de
+motifs dans DM(S) alors pour voir si f est un isomorphisme il suffit de voir si son
+tiré en arrière en tout point géométrique l’est.
+Soit i : Spec(K) → S un point géométrique. Pour compléter le premier dévissage
+il suffit alors de montrer que
+i∗ϕG/S = ϕG×SSpec(K)/ Spec(K).
+(8.6)
+La formule (8.6) est en fait le point technique du travail. Pour tout morphisme
+g : T → S, le foncteur g∗ est caractérisé par la propriété que, pour tout S-schéma
+lisse X, on ait le changement de base
+g∗M(X/S) = M(X ×S T/T )
+(8.7)
+
+MÉMOIRE HDR
+51
+comme pour la cohomologie à support compact. Or parmi les deux motifs qui
+interviennent dans le morphisme ϕG/S, seulement M(G/S) est de cette forme. Le
+point est alors de trouver une résolution de M1(G) par un complexe dont tous les
+termes sont des sommes d’objets de la forme M(X/S) en tous les degrés et toutes
+les flèches de connections sont induites par des morphismes de S-schémas.
+Nous construisons une telle résolution inspirée par des construction de [Bre70].
+On utilise uniquement des X qui sont des puissances de G. Avec les notations de
+la Définition 8.5 on peut écrire son début sous la forme
+· · · −→ Q(G × G)
+tG
+−→ Q(G)
+sG
+−→ G,
+où tG([g1, g2]) = [g1] + [g2] − [g1 + g2].
+Réduction à G = A. Pour le deuxième dévissage fixons un corps algébriquement
+clos K et considérerons S = Spec(K). Dans la suite on allégera la notation en
+enlevant les /S.
+Le théorème de Chevalley nous dit qu’un groupe algébrique sur un corps K
+s’insère dans une suite exacte
+0 −→ L −→ G −→ A −→ 0,
+où A est une variété abélienne et L est un groupe linéaire. On peut alors raisonner
+par récurrence sur la dimension de L et se ramener à
+0 −→ Ga −→ G −→ H −→ 0
+(8.8)
+ou
+0 −→ Gm −→ G −→ H −→ 0,
+(8.9)
+où dans les deux cas H est un groupe pour lequel l’énoncé est connu. Le cas (8.8)
+est facile : par homotopie l’énoncé pour G est équivalent à l’énoncé pour H. Pour
+le cas (8.9) l’argument est plus délicat.
+Premièrement, la suite exacte (8.9) donne une suite exacte au niveau des fonc-
+teurs des points. Si on applique Symn a cette dernière on obtient un triangle
+Symr−1 M1(H) ⊗ M1(Gm) −→ Symr M1(G) −→ Symr M1(H),
+où on a utilisé Sym2 M1(Gm) = 0 [Voe00, Corollary 2.1.5]. Cette suite exacte permet
+de déduire par récurrence que Symr M1(G) s’annule pour r assez grand.
+Deuxièmement, on complète le Gm-fibré G −→ H en un A1-fibré ¯G −→ H avec
+une section nulle. Le triangle de localisation par rapport à la section donne
+M(G) −→ M( ¯G) −→ M(H)(1)[2],
+or par homotopie M( ¯G) = M(H). On utilise maintenant l’hypothèse de récurrence
+et on en déduit le diagramme
+M(G)
+�
+ψ
+�✤
+✤
+✤
+✤
+✤
+✤
+M(H)
+�
+ϕH
+�
+M(H)(1)[2]
+ϕH(1)[2]
+�
+�
+r Symr M1(G)
+� �
+r Symr M1(H)
+� �
+r Symr M1(H)(1)[2].
+(8.10)
+
+52
+GIUSEPPE ANCONA
+L’existence de ψ suit de la commutativité du carré de droite. Cette commutativité
+n’est pas gratuite, elle utilise la définition de l’application ϕH.
+Par hypothèse de récurrence on déduit que l’application ψ est un isomorphisme.
+Malheureusement la récurrence n’est pas terminée puisqu’on ne sait pas lier ψ à
+ϕG. L’existence de ψ a tout de même une conséquence importante : M(G) est un
+motif de dimension finie, voir la Remarque 3.21(2).
+On montre que la réalisation de ϕG est un isomorphisme. On peut alors appliquer
+la Proposition 4.5 à ϕG et ψ−1 pour déduire que ϕG est un isomorphisme après
+passage au quotient par l’équivalence homologique. On peut ensuite utiliser les
+propriétés des motifs de dimension finie pour conclure que ϕG est un isomorphisme
+même avant passage au quotient (voir la Remarque 3.21(2), cf. le Théorème 5.2
+dans le cas pur).
+□
+Remarque 8.8.
+(1) La notion de dimension finie dans les motifs a toujours
+été appliquée pour les motifs purs : elle ne se comporte pas bien par suite
+exacte et on connait des exemples de motifs mixtes qui ne sont pas de
+dimension finie. À notre connaissance cette preuve est le premier exemple
+d’application de ces idées aux motifs mixtes.
+(2) Le Théorème 8.6 a permis à Huber et Kings de construire le polylogarithme
+pour tous les schémas en groupes commutatifs.
+(3) Le Théorème 8.6 donne une description du motif d’un groupe algébrique
+commutatif G en terme d’un motif assez simple, M1(G). On pourrait espérer
+que cela puisse aider à une meilleure compréhension des anneaux de Chow
+de G.
+9. Construction de classes algébriques
+Cette section concerne la conjecture standard de type Lefschetz, introduite dans
+la Conjecture 3.11. Dans un travail en cours en collaboration avec Mattia Cavicchi,
+Robert Laterveer et Giulia Saccà, nous étudions cette conjecture pour les variétés
+hyper-kähler qui admettent une fibration lagrangienne. Le point de départ est une
+idée récente de Voisin [Voi22] que l’on regarde dans la perspective du théorème de
+décomposition.
+Nous nous concentrerons dans la suite sur les variétés complexes, la conjecture
+standard de type Lefschetz est alors une instance particulière de la conjecture de
+Hodge. De façon assez surprenante elle en est aussi le pilier principal : André dé-
+montre que sous la conjecture standard de type Lefschetz le transport parallèle de
+classes algébriques est encore algébrique [And96]. Il en déduit que cette conjecture
+impliquerait la conjecture de Hodge pour les variétés abéliennes.
+La conjecture standard de type Lefschetz est connue pour les variétés abéliennes,
+voir la Proposition 4.7, et on sait en déduire le cas des surfaces. Plus récemment
+Charles et Markmann l’ont montrée pour les variétés hyper-kähler de type KS[n],
+[CM13].
+La dimension d’une variété X sera notée dX et la dimension de la fibre générique
+d’un morphisme f sera notée df. Même en présence de faisceaux pervers on utilisera
+la convention classique pour les degrés cohomologiques.
+9.1. Une approche naïve. Considérons une variété projective et lisse X et sup-
+posons qu’elle admette un morphisme f : X → B vers une base B qui est aussi
+
+MÉMOIRE HDR
+53
+projective et lisse. Nous nous demandons jusqu’à quel point connaître la conjecture
+standard de type Lefschetz pour B et pour les fibres lisses de f peut aider pour
+montrer la conjecture standard de type Lefschetz pour X.
+Le théorème de décomposition implique en particulier une décomposition 20 de
+structures de Hodge
+Hn(X) =
+�
+a+b=n
+Ha(B,pRbf∗Q).
+(9.1)
+Soient η un diviseur sur X qui soit relativement ample, LB un diviseur ample sur
+B et β son tiré en arrière sur X. Le théorème de décomposition fournit aussi les
+isomorphismes
+∪ηb : Ha(B,pRdf−bf∗Q)
+∼
+−−→ Ha(B,pRdf+bf∗Q),
+(9.2)
+∪βa : HdB−a(B,pRbf∗Q)
+∼
+−−→ HdB+a(B,pRbf∗Q).
+(9.3)
+La combination de (9.1), (9.2) et (9.3) peut suggérer que la conjecture standard
+de type Lefschetz se ramène à montrer que les inverses de ces isomorphismes sont
+algébriques et à première vue on pourrait penser que ces derniers se ramènent
+uniquement à l’étude des fibres de f et de la base B. Mais il faut en fait faire
+attention à un certain nombre de subtilités.
+(1) Les faisceaux pervers pRbf∗Q dépendent aussi des fibres singulières du mor-
+phisme f.
+(2) Inverser l’action de LB sur la cohomologie de B ne suffit pas à inverser β.
+En effet f ∗ H(B) ⊂ H(X) ne représente que le facteur H∗(B,pR0f∗Q) de la
+décomposition (9.1).
+(3) Même si on était capables de construire des correspondances algébriques Ληb
+et Λβa qui agiraient comme les inverses de (9.2) et (9.3) il n’est pas clair de
+pouvoir les mettre ensemble pour déduire une correspondance algébrique
+Λn : HdX+n(X)
+∼
+−−→ HdX−n(X). Il faudrait par exemple contrôler comment
+Ληb agit sur les degrés pervers différents de b. C’est délicat, notamment
+parce que les opérateurs η et β ne sont pas bigradués en général.
+Dans le cas des variétés hyper-kähler qui admettent une fibration lagrangienne on
+peut espérer contourner ces problèmes : le théorème du support de Ngô donne une
+description explicite des faisceaux pervers pRbf∗Q, un argument de Voisin permet
+grosso-modo de construire une deuxième fibration lagrangienne qui inverse le rôle
+de η et β, enfin Shen et Yin ont montré que les opérateurs η et β sont en fait
+bigradués pour les fibrations lagrangiennes.
+Proposition 9.1. Soit f : X → B une application entre variétés projectives, lisses
+et connexes et soit U l’ouvert de B sur lequel l’application est lisse.
+(1) Supposons que la fibre générique vérifie la conjecture standard de type Lef-
+schetz et que
+pRbf∗Q = IC((Rbf∗Q)|U).
+(9.4)
+20. Une telle décomposition n’est pas unique en général, seulement la filtration perverse associée
+l’est. Deligne, puis De Cataldo, ont proposé des décompositions qui se comportent mieux que les
+autres [Del94b, dC13].
+
+54
+GIUSEPPE ANCONA
+Alors il existe des correspondances dans X ×B X dont l’action sur la coho-
+mologie relative induit des isomorphismes pRdf+bf∗Q
+∼
+−−→ pRdf−bf∗Q.
+(2) Supposons qu’il existe des correspondances dans X×BX dont l’action sur la
+cohomologie relative induit des isomorphismes pRdf+bf∗Q
+∼
+−−→ pRdf−bf∗Q.
+Alors il existe une décomposition du motif
+h(X) =
+�
+b
+h(B,pRbf∗Q)
+(9.5)
+où R(h(B,pRbf∗Q)) = H∗(B,pRbf∗Q). De plus chaque facteur de la décom-
+position est autodual à un twist près.
+Remarque 9.2. (Autour de la preuve.) La preuve de (1) est facile. Soit Y la fibre
+générique de f. L’hypothèse sur Y dans (1) fournit des correspondances dans Y ×Y ,
+dont les adhérences donnent des correspondances dans X ×B X. Leur action sur
+la cohomologie relative IC((Rbf∗Q)|U) est contrôlée par leur action sur le système
+local (Rbf∗Q)|U et donc par l’action sur la cohomologie de Y .
+Pour (2) on suit l’argument classique qui montre que Lefschetz implique Kün-
+neth [Kle68]. Par rapport au cas absolu on prendra garde au fait que la décom-
+position (9.5) n’est pas unique. L’action des correspondances relatives ne respecte
+pas cette graduation mais seulement la filtration associée. Par ailleurs on ne sait
+pas démontrer que toute décomposition cohomologique (9.1) est la réalisation d’une
+décomposition motivique (9.5) mais seulement qu’il en existe au moins une qui est
+d’origine motivique.
+Corollaire 9.3. Soit f : X → P1 une fibration de Lefschetz dont la fibre générique
+vérifie la conjecture standard de type Lefschetz (par exemple f est une fibration en
+surfaces). Alors il existe une décomposition du motif
+h(X) =
+�
+b
+h(P1,pRbf∗Q)
+(9.6)
+où R(h(P1,pRbf∗Q)) = H∗(P1,pRbf∗Q). De plus chaque facteur de la décomposition
+est autodual à un twist près.
+Remarque 9.4. (Du relatif à l’absolu.) Toute variété de dimension trois admet
+une fibration de Lefschetz après éclatement le long d’une courbe C. D’autre part
+la formule de l’éclatement
+h(BlC(X)) = h(X) ⊕ h(C)(−1),
+due à Manin [Man68], montre que la conjecture standard de type Lefschetz pour
+X se ramène à celle pour BlC(X). Si l’on veut étudier la conjecture standard de
+type Lefschetz pour une variété X de dimension trois on peut donc supposer que X
+admet une telle fibration. Ce qui manque au corollaire ci-dessus pour déduire cette
+conjecture est l’existence d’une décomposition
+h(P1,pRbf∗Q) =
+2
+�
+a=0
+ha(P1,pRbf∗Q),
+où R(ha(P1,pRbf∗Q)) = Ha(P1,pRbf∗Q), telle que chaque facteur de la décomposi-
+tion soit autodual à un twist près.
+
+MÉMOIRE HDR
+55
+Pour construire cette décomposition on pourrait vouloir utiliser l’isomorphisme
+(9.3) et essayer de construire une correspondance algébrique qui induise l’inverse.
+C’est une question qui ressemble au problème original de construction de l’inverse
+de l’opérateur de Lefschetz. On ne sait pas si c’est un problème plus simple, voir
+aussi la Remarque 9.8.
+Théorème 9.5. Soit X une variété hyper-kähler de dimension 2n et f : X → Pn
+une fibration lagrangienne dont toutes les fibres sont irréductibles. Supposons que
+le schéma en groupes Aut0(f) soit polarisable (au sens de Ngô). Alors
+h(X) =
+2n
+�
+b=0
+h(Pn,pRbf∗Q)
+(9.7)
+où R(h(Pn,pRbf∗Q)) = H∗(Pn,pRbf∗Q). De plus chaque facteur de la décomposition
+est autodual à un twist près.
+Démonstration. On utilise le théorème du support de Ngô, [Ngô10] : quand les
+fibres sont toutes irréductibles on a bien l’hypothèse (9.4). D’autre part la fibre
+générique est une variété abélienne, donc elle vérifie la conjecture standard de type
+Lefschetz. On peut alors utiliser la Proposition 9.1 pour conclure.
+□
+Corollaire 9.6. Soit X une variété hyper-kähler de dimension 2n de rang de Pi-
+card 2 qui admet une fibration lagrangienne. Supposons que pour toute fibration
+lagrangienne g de n’importe quel variétés hyper-kähler birationnelle à X, les fibres
+de g soient irréductibles et le schéma en groupes Aut0(g) soit polarisable. Alors la
+conjecture standard de type Lefschetz est vraie pour X.
+Démonstration. Fixons f : X → Pn une fibration lagrangienne et soit η et β les
+diviseurs introduits dans §9.1. Un argument de Voisin [Voi22] montre grosso-modo
+l’existence d’une fibration lagrangienne g : X → Pn où le rôle de η et β est inversé.
+En fait g existe seulement sur une variété hyper-kähler qui est birationnelle à X,
+mais elles ont le même motif [Rie16].
+On peut alors appliquer le théorème ci-dessus à f et g pour déduire deux décom-
+positions du motif h(X) dont tous les facteurs sont autoduaux. Il n’est pas clair que
+ces deux décompositions soient compatibles, voir aussi le point (3) dans §9.1. Mais
+un théorème de Shen et Yin montre que les opérateurs η et β sont bigradués pour
+les fibrations lagrangiennes : on peut voir que ceci force les deux décompositions
+à être compatibles. La bidécomposition que l’on en déduit est plus fine que (9.1)
+et a tous les facteurs autoduaux, ce qui implique la conjecture standard de type
+Lefschetz.
+□
+Le corollaire ci-dessus s’applique par exemple aux variétés hyper-kähler construites
+par Laza–Saccà–Voisin [LSV17].
+Remarque 9.7. (Généralisations.) On souhaite se débarrasser de l’hypothèse d’ir-
+réductibilité des fibres dans le théorème ci-dessus, ce qui permettrait de l’enlever
+aussi dans son corollaire et de pouvoir l’appliquer à beaucoup plus de variétés.
+Si les fibres ne sont pas irréductible les faisceaux pervers pRbf∗Q ne vérifient plus
+(9.4). Cependant le théorème du support de Ngô décrit aussi la nature des faisceaux
+pervers supportés sur les sous-variétés strictes de la base. Il montre l’existence
+
+56
+GIUSEPPE ANCONA
+de certaines variétés abéliennes contenues dans certaines fibres singulières dont la
+cohomologie contrôle les faisceaux pervers. On pense qu’une variante stratifiée de
+la Proposition 9.1 devrait s’appliquer à ce contexte général. On utilisera encore que
+les variétés abéliennes vérifient la conjecture standard de type Lefschetz.
+Remarque 9.8. (Du relatif à l’absolu, suite.) Reprenons les notations de la Re-
+marque 9.4. On souhaiterait montrer l’existence d’une décomposition
+h(P1,pRbf∗Q) =
+2
+�
+a=0
+ha(P1,pRbf∗Q),
+(9.8)
+où R(ha(P1,pRbf∗Q)) = Ha(P1,pRbf∗Q), telle que chaque facteur de la décomposi-
+tion soit autodual à un twist près : ceci montrerait la conjecture standard de type
+Lefschetz pour les variétés de dimension trois.
+Pour construire cette décomposition on pourrait vouloir utiliser l’isomorphisme
+(9.3) induit par la classe β et essayer de construire une correspondance algébrique
+qui induise l’inverse. Inspirés par l’idée de Voisin esquissé dans la preuve du co-
+rollaire ci-dessus on peut essayer de construire une nouvelle fibration g : X → P2
+telle que β soit relativement ample (ces constructions sont toujours possibles après
+éclatement). Une telle fibration induit une décomposition
+h(X) =
+2
+�
+a=0
+h(P2,pRag∗Q)
+(9.9)
+où ∪β : h(P2,pR0g∗Q)
+∼
+−−→ h(P2,pR2g∗Q) admet un inverse algébrique. Le problème
+est qu’en général la décomposition (9.9) n’induit pas la décomposition (9.8). C’est
+encore lié au fait que les actions de η et β ne sont pas bigraduées en général.
+
+MÉMOIRE HDR
+57
+Références
+[ACLS22]
+Giuseppe Ancona, Mattia Cavicchi, Robert Laterveer, and Giulia Saccà. Standard
+conjectures for some lagrangian fibrations. prépublication, 2022.
+[AEWH15] Giuseppe Ancona, Stephen Enright-Ward, and Annette Huber. On the motive of a
+commutative algebraic group. Documenta Math., 20 :807–858, 2015.
+[AF22]
+Giuseppe Ancona and Dragos Fratila. Algebraic classes in mixed characteristic and
+André’s p-adic periods. prépublication, 2022.
+[AHPL16]
+Giuseppe Ancona, Annette Huber, and Simon Pepin Lehalleur. On the relative motive
+of a commutative group scheme. Algebr. Geom., 3(2) :150–178, 2016.
+[AM22]
+Giuseppe Ancona and Adriano Marmora. The Hilbert symbol in the Hodge standard
+conjecture. prépublication, 2022.
+[Anc21]
+Giuseppe
+Ancona.
+Standard
+conjectures
+for
+abelian
+fourfolds.
+Invent.
+Math.,
+223(1) :149–212, 2021.
+[Anc22]
+Giuseppe Ancona. Conservativity of realization functors on motives of abelian type
+over finite fields. Proceedings of "Motives and Complex Multiplication", Fresán, Jet-
+chev, Jossen and Pink editors, 2022.
+[And90]
+Yves André. p-adic Betti lattices. In p-adic analysis (Trento, 1989), volume 1454 of
+Lecture Notes in Math., pages 23–63. Springer, Berlin, 1990.
+[And95]
+Yves André. Théorie des motifs et interprétation géométrique des valeurs p-adiques
+de G-functions (une introduction). In Number theory (Paris, 1992–1993), volume
+215 of London Math. Soc. Lecture Note Ser., pages 37–60. Cambridge Univ. Press,
+Cambridge, 1995.
+[And96]
+Yves André. Pour une théorie inconditionnelle des motifs. Inst. Hautes Études Sci.
+Publ. Math., (83) :5–49, 1996.
+[And03]
+Yves André. Period mappings and differential equations. From C to Cp. Tôhoku-
+Hokkaidô lectures in arithmetic geometry. With appendices : A : Rapid course in
+p-adic analysis by F. Kato, B : An overview of the theory of p-adic unifomization
+by F. Kato, C : p-adic symmetric domains and Totaro’s theorem by N. Tsuzuki,
+volume 12. Tokyo : Mathematical Society of Japan, 2003.
+[And04]
+Yves André. Une introduction aux motifs (motifs purs, motifs mixtes, périodes), vo-
+lume 17 of Panoramas et Synthèses [Panoramas and Syntheses]. Société Mathéma-
+tique de France, Paris, 2004.
+[Ayo07]
+Joseph Ayoub. Les six opérations de Grothendieck et le formalisme des cycles évanes-
+cents dans le monde motivique. I. Astérisque, (314) :x+466 pp. (2008), 2007.
+[Ayo10]
+Joseph Ayoub. Note sur les opérations de Grothendieck et la réalisation de Betti. J.
+Inst. Math. Jussieu, 9(2) :225–263, 2010.
+[Ayo14]
+Joseph Ayoub. La réalisation étale et les opérations de Grothendieck. Ann. Sci. École
+Norm. Sup., 47 :1–141, 2014.
+[Ayo15]
+Joseph Ayoub. Une version relative de la conjecture des périodes de Kontsevich-Zagier.
+Ann. of Math. (2), 181(3) :905–992, 2015.
+[BC16]
+Jean-Benoît Bost and François Charles. Some remarks concerning the Grothendieck
+period conjecture. J. Reine Angew. Math., 714 :175–208, 2016.
+[Bea86]
+Arnaud Beauville. Sur l’anneau de Chow d’une variété abélienne. Math. Ann.,
+273(4) :647–651, 1986.
+[Ber77]
+Daniel Bertrand. Sous-groupes à un paramètre p-adique de variétés de groupe. Invent.
+Math., 40(2) :171–193, 1977.
+[Bon10]
+Mikhail V. Bondarko. Weight structures vs. t-structures ; weight filtrations, spectral
+sequences, and complexes (for motives and in general). J. K-Theory, 6(3) :387–504,
+2010.
+[Bre70]
+Lawrence Breen. Extensions of abelian sheaves and Eilenberg-MacLane algebras.
+Invent. Math., 9 :15–44, 1969/1970.
+[Bro12]
+Francis Brown. Mixed Tate motives over Z. Ann. of Math. (2), 175(2) :949–976, 2012.
+
+58
+GIUSEPPE ANCONA
+[Bro17]
+Francis
+Brown.
+Notes
+on
+motivic
+periods.
+Commun.
+Number
+Theory
+Phys.,
+11(3) :557–655, 2017.
+[CD19]
+Denis-Charles Cisinski and Frédéric Déglise. Triangulated categories of mixed motives.
+Springer Monographs in Mathematics. Springer, Cham, 2019.
+[CDN22]
+Mattia Cavicchi, Frédéric Déglise, and Jan Nagel. Motivic decompositions of families
+with tate fibers : smooth and singular cases. prépublication, 3(2), 2022.
+[CF00]
+Pierre Colmez and Jean-Marc Fontaine. Construction des représentations p-adiques
+semi-stables. Invent. Math., 140(1) :1–43, 2000.
+[Cha13]
+François Charles. The Tate conjecture for K3 surfaces over finite fields. Invent. Math.,
+194(1) :119–145, 2013.
+[Chu80]
+G. V. Chudnovsky. Algebraic independence of values of exponential and elliptic func-
+tions. In Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Helsinki,
+1978), pages 339–350. Acad. Sci. Fennica, Helsinki, 1980.
+[Clo99]
+Laurent Clozel. Equivalence numérique et équivalence cohomologique pour les variétés
+abéliennes sur les corps finis. Ann. of Math. (2), 150(1) :151–163, 1999.
+[CM13]
+François Charles and Eyal Markman. The standard conjectures for holomorphic sym-
+plectic varieties deformation equivalent to Hilbert schemes of K3 surfaces. Compos.
+Math., 149(3) :481–494, 2013.
+[Col90]
+Robert F. Coleman. On the Frobenius matrices of Fermat curves. In p-adic analysis
+(Trento, 1989), volume 1454 of Lecture Notes in Math., pages 173–193. Springer,
+Berlin, 1990.
+[dC13]
+Mark Andrea A. de Cataldo. Hodge-theoretic splitting mechanisms for projective
+maps. J. Singul., 7 :134–156, 2013. With an appendix containing a letter from P.
+Deligne.
+[Del89]
+P. Deligne. Le groupe fondamental de la droite projective moins trois points. In Galois
+groups over Q (Berkeley, CA, 1987), volume 16 of Math. Sci. Res. Inst. Publ., pages
+79–297. Springer, New York, 1989.
+[Del94a]
+Pierre Deligne. à quoi servent les motifs ? In Motives (Seattle, WA, 1991), volume 55
+of Proc. Sympos. Pure Math., pages 143–161. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1994.
+[Del94b]
+Pierre Deligne. Décompositions dans la catégorie dérivée. In Motives (Seattle, WA,
+1991), volume 55 of Proc. Sympos. Pure Math., pages 115–128. Amer. Math. Soc.,
+Providence, RI, 1994.
+[Del13]
+Pierre Deligne. Multizêtas, d’après Francis Brown. Number 352, pages Exp. No. 1048,
+viii, 161–185. 2013. Séminaire Bourbaki. Vol. 2011/2012. Exposés 1043–1058.
+[DM91]
+Christopher Deninger and Jacob Murre. Motivic decomposition of abelian schemes
+and the Fourier transform. J. Reine Angew. Math., 422 :201–219, 1991.
+[Fal89]
+Gerd Faltings. Crystalline cohomology and p-adic Galois-representations. In Algebraic
+analysis, geometry, and number theory (Baltimore, MD, 1988), pages 25–80. Johns
+Hopkins Univ. Press, Baltimore, MD, 1989.
+[Fon94]
+Jean-Marc Fontaine. Le corps des périodes p-adiques. Astérisque, (223) :59–111, 1994.
+With an appendix by Pierre Colmez, Périodes p-adiques (Bures-sur-Yvette, 1988).
+[Fur07]
+Hidekazu Furusho. p-adic multiple zeta values. II. Tannakian interpretations. Amer.
+J. Math., 129(4) :1105–1144, 2007.
+[Jan07]
+Uwe Jannsen. On finite-dimensional motives and Murre’s conjecture. In Algebraic
+cycles and motives. Vol. 2, volume 344 of London Math. Soc. Lecture Note Ser.,
+pages 112–142. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2007.
+[Kah03]
+Bruno Kahn. Équivalences rationnelle et numérique sur certaines variétés de type
+abélien sur un corps fini. Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), 36(6) :977–1002 (2004),
+2003.
+[Kat80]
+Nicholas M. Katz. p-adic L-functions, Serre-Tate local moduli, and ratios of solutions
+of differential equations. In Proceedings of the International Congress of Mathemati-
+cians (Helsinki, 1978), pages 365–371. Acad. Sci. Fennica, Helsinki, 1980.
+
+MÉMOIRE HDR
+59
+[Kim05]
+Shun-Ichi Kimura. Chow groups are finite dimensional, in some sense. Math. Ann.,
+331(1) :173–201, 2005.
+[Kle68]
+Steven Kleiman. Algebraic cycles and the Weil conjectures. In Dix esposés sur la
+cohomologie des schémas, pages 359–386. North-Holland, Amsterdam, 1968.
+[KM74]
+Nicholas M. Katz and William Messing. Some consequences of the Riemann hypothesis
+for varieties over finite fields. Invent. Math., 23 :73–77, 1974.
+[Kos22]
+Teruhisa Koshikawa. The numerical Hodge standard conjecture for the square of a
+simple abelian variety of prime dimension. prépublication, 3(2), 2022.
+[Kün94]
+Klaus Künnemann. On the Chow motive of an abelian scheme. In Motives, volume
+55.1 of Proceedings of Symposia in pure mathematics, pages 189–205. American ma-
+thematical society, 1994.
+[LSV17]
+Radu Laza, Giulia Saccà, and Claire Voisin. A hyper-Kähler compactification of the
+intermediate Jacobian fibration associated with a cubic 4-fold. Acta Math., 218(1) :55–
+135, 2017.
+[Man68]
+Ju. I. Manin. Correspondences, motifs and monoidal transformations. Mat. Sb. (N.S.),
+77 (119) :475–507, 1968.
+[Mil07]
+J. Milne. The tate conjecture over finite fields. pages 1–27. 2007. Available on the
+author’s webpage.
+[Mum68]
+D. Mumford. Rational equivalence of 0-cycles on surfaces. J. Math. Kyoto Univ.,
+9 :195–204, 1968.
+[Ngô10]
+Bao Châu Ngô. Le lemme fondamental pour les algèbres de Lie. Publ. Math. Inst.
+Hautes Études Sci., (111) :1–169, 2010.
+[Ogu90]
+Arthur Ogus. A p-adic analogue of the Chowla-Selberg formula. In p-adic analysis
+(Trento, 1989), volume 1454 of Lecture Notes in Math., pages 319–341. Springer,
+Berlin, 1990.
+[O’S05]
+Peter O’Sullivan. The structure of certain rigid tensor categories. C. R. Math. Acad.
+Sci. Paris, 340(8) :557–562, 2005.
+[Rie16]
+Ulrike Rieß. On Beauville’s conjectural weak splitting property. Int. Math. Res. Not.
+IMRN, (20) :6133–6150, 2016.
+[Sch15]
+Stefan Schreieder. On the construction problem for Hodge numbers. Geom. Topol.,
+19(1) :295–342, 2015.
+[Ser72]
+Jean-Pierre Serre. Propriétés galoisiennes des points d’ordre fini des courbes ellip-
+tiques. Invent. Math., 15(4) :259–331, 1972.
+[SK79]
+Tetsuji Shioda and Toshiyuki Katsura. On Fermat varieties. Tôhoku Math. J. (2),
+31(1) :97–115, 1979.
+[Tat66]
+John Tate. Endomorphisms of abelian varieties over finite fields. Invent. Math., 2 :134–
+144, 1966.
+[Voe00]
+Vladimir Voevodsky. Triangulated categories of motives over a field. In Cycles, trans-
+fers, and motivic homology theories, volume 143 of Ann. of Math. Stud., pages 188–
+238. Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 2000.
+[Voi22]
+Claire Voisin. On the Lefschetz standard conjecture for Lagrangian covered hyper-
+Kähler varieties. Adv. Math., 396 :Paper No. 108108, 29, 2022.
+[Wil17]
+Jörg Wildeshaus. Intermediate extension of Chow motives of Abelian type. Adv.
+Math., 305 :515–600, 2017.
+[Wüs89]
+G. Wüstholz. Algebraische Punkte auf analytischen Untergruppen algebraischer Grup-
+pen. Ann. of Math. (2), 129(3) :501–517, 1989.
+IRMA, Université de Strasbourg 7, rue René Descartes, 67000 Strasbourg
+Email address: ancona@math.unistra.fr
+URL: http://irma.math.unistra.fr/~ancona/
+