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int64 0
954
| question
stringlengths 34
1.36k
| targets
dict | explanation
stringlengths 0
1.3k
⌀ | category
stringclasses 28
values |
|---|---|---|---|---|
0
|
Quelles sont les affirmations vraies ?
|
{
"choices": [
"$x^3$ est une primitive de $3x^2+3$.",
"$x^3+3$ est une primitive de $3x^2$.",
"$\\ln(x^2+1)$ est une primitive de $\\frac 1{x^2+1}$.",
"$\\sqrt x$ est une primitive de $\\frac 1{2\\sqrt x}$ (sur $]0,+\\infty[$)."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
Pour vérifier si une fonction \(f\) est une primitive d'une fonction \(g\), on calcule la dérivée de \(f\) et on regarde si on obtient bien la fonction \(g\). La dérivée de $x^3$ et de $x^3+3$ est $3x^2$. La dérivée de $\ln(x^2+1)$ est $\frac {2x}{x^2+1}$ et non $\frac 1{x^2+1}$. La dérivée de $\sqrt x$ sur $]0,+\infty[$ est bien $\frac 1{2\sqrt x}$.
|
Equations_différentielles
|
1
|
Quelles sont les affirmations vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\cos(x)$ est une primitive de $\\sin(x)$.",
"$\\exp(x)$ est une primitive de $\\exp(x)$.",
"$x^4-3x^3+2x^2-8$ est une primitive de $4x^3-9x^2+4x$.",
"$4x^3+x^2-3x+6$ est une primitive de $x^4+2x-3$."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
Pour vérifier si une fonction \(f\) est une primitive d'une fonction \(g\), on calcule la dérivée de \(f\) et on regarde si on obtient bien la fonction \(g\).
$\cos'(x)=-\sin(x)$ ; $\exp'(x)=\exp(x)$ ; $(x^4-3x^3+2x^2-8)'=4x^3-9x^2+4x$ ; $(4x^3+x^2-3x+6)'=12x^2+2x-3$.
|
Equations_différentielles
|
2
|
Parmi les phrases suivantes, quelles sont les affirmations correctes ?
|
{
"choices": [
"L'opération du calcul de primitives est le contraire de l'opération du calcul de dérivées.",
"L'opération du calcul de dérivées est le contraire de l'opération du calcul de primitives.",
"Deux primitives d'une même fonction sur un intervalle sont égales à une constante près.",
"Si on connaît une primitive d'une fonction, alors on les connaît toutes."
],
"labels": [
1,
1,
1,
1
]
}
|
Tout est vrai ! Les calculs de dérivées et de primitives sont bien réciproques l'un de l'autre, et dès que l'on connaît une primitive \(F\) d'une fonction \(f\) sur un intervalle, alors toutes les primitives de \(f\) sur cet intervalle seront de la forme $F(x) + C$ (où $C$ est une constante).
|
Equations_différentielles
|
3
|
Pour chacune des équations différentielles suivantes, la fonction donnée est-elle solution ?
|
{
"choices": [
"Pour $y'=\\sin(x)$ la fonction $f(x) = \\cos(x)$ est solution.",
"Pour $y'=e^{2x}$ la fonction $f(x) = e^{2x}+1$ est solution.",
"Pour $y'=\\ln(x)$ la fonction $f(x) = \\frac1x$ est solution.",
"Pour $y'=\\frac{1}{e^x}$ la fonction $f(x) = 1-e^{-x}$ est solution."
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
Pour $y'=\sin(x)$ la fonction $f(x) = -\cos(x)$ est solution.
Pour $y'=e^{2x}$ la fonction $f(x) =\frac12 e^{2x}+1$ est solution.
C'est pour $y'=\frac1x$ que $f(x) = \ln(x)$ est solution.
Pour $y'=\frac{1}{e^x}=e^{-x}$ la fonction $f(x) = 1-e^{-x}$ est bien solution puisque $f'(x) = -(-e^{-x})=e^{-x} = \frac{1}{e^x}$.
|
Equations_différentielles
|
4
|
On considère la fonction \(f:x\mapsto 2 e^{-2x}-3\). Quelles sont les affirmations exactes ?
|
{
"choices": [
"\\(f\\) est une primitive de \\(- e^{-2x}-3x\\) sur \\(\\Rr\\).",
"\\(f\\) est une primitive de \\(-4 e^{-2x}\\) sur \\(\\Rr\\).",
"\\(f\\) est la primitive de \\(-4 e^{-2x}\\) sur \\(\\Rr\\) valant \\(-1\\) en \\(x=0\\).",
"\\(f\\) est la dérivée de \\(x\\mapsto - e^{-2x}\\)"
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
Pour vérifier si une fonction \(f\) est une primitive d'une fonction \(g\), on calcule la dérivée de \(f\) et on regarde si on obtient bien la fonction \(g\). La dérivée de $ e^{-2x}$ est $-2 e^{-2x}$ donc $f'(x)=-4 e^{-2x}$. De plus $f(0)=2 e^0-3=2-3=-1$.
|
Equations_différentielles
|
5
|
Quelles sont les affirmations vraies ?
|
{
"choices": [
"$x\\mapsto \\ln(x)$ est une primitive de $x\\mapsto 1/x$ sur $\\Rr$.",
"$x\\mapsto \\ln(x)$ est une primitive de $x\\mapsto 1/x$ sur $]-\\infty,0[$.",
"$x\\mapsto \\ln(x)$ est une primitive de $x\\mapsto 1/x$ sur $]0,+\\infty[$.",
"$x\\mapsto \\ln(-x)$ est une primitive de $x\\mapsto 1/x$ sur $]-\\infty,0[$."
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
|
La fonction $\ln$ n'est définie et dérivable que sur $]0,+\infty[$. Pour tout $x$ de $]0,+\infty[$, $(\ln(x))'=1/x$ ; pour tout $x$ de $]-\infty,0[$, la fonction $x \mapsto \ln(-x)$ est bien définie et dérivable, et on a $(\ln(-x))'=-1/-x=1/x$.
|
Equations_différentielles
|
6
|
Soit $F$ une primitive d'une fonction $f$ et $G$ une primitive d'une fonction $g$ sur un intervalle $I$.
Quelles sont les affirmations vraies ?
|
{
"choices": [
"Si $f=g$ alors $F=G$.",
"Si $F=G$ alors $f=g$.",
"Si $f=g^2$ alors $F=G^2$.",
"Si $F=G+C$ (où $C$ est une constante) alors $f=g$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
Si $f=g$ alors $F=G+C$ (où $C$ est une constante).
On rappelle que $F'=f$ et $G'=g$, donc si $F=G+C$ alors en dérivant l'égalité on obtient $F'=f = (G+C)'=G'+0=g$. Remarquez par ailleurs que les primitives de $x^2$ sont $\frac{x^3}{3} + C$ (où $C$ est une constante) : ce ne sont les carrés des primitives de $x$ (qui sont $\frac{x^2}{2} + \widetilde{C}$, où $\widetilde{C}$ est une constante).
|
Equations_différentielles
|
7
|
Quelles sont les affirmations vraies ?
|
{
"choices": [
"Une primitive de $x^k$ est $\\frac{x^k}{k}$.",
"Une primitive de $\\ln(x)$ est $\\frac{1}{x}$.",
"Une primitive de $\\frac{1}{\\sqrt x}$ est $2\\sqrt{x}$.",
"Une primitive de $e^{ax}$ est $e^{ax}$ (où $a>0$ est une constante)."
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
Une primitive de $x^k$ est $\frac{x^{k+1}}{k+1}$.
C'est $\ln(x)$ qui est une primitive de $\frac{1}{x}$, l'inverse est faux.
Oui, une primitive de $\frac{1}{\sqrt x}$ est $2\sqrt{x}$ puisque $(2 \sqrt{x})' = 2 \times \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$.
Enfin, une primitive de $e^{ax}$ est $\frac1a e^{ax}$.
|
Equations_différentielles
|
8
|
Parmi les fonctions suivantes, laquelle est une primitive de $\sqrt x$ sur l'intervalle $]0,+\infty[$ ?
|
{
"choices": [
"$2x\\sqrt x$",
"$\\frac 1{2\\sqrt x}$",
"$x^2\\sqrt x$",
"$\\frac 23 x\\sqrt x$"
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
Equations_différentielles
|
|
9
|
Quelles sont les affirmations vraies ?
|
{
"choices": [
"$x^2 e^{1/x}$ est une primitive de $(2x-1) e^{1/x}$ sur $]-\\infty,0[$.",
"$\\ln(\\vert x\\vert)$ est une primitive de $1/x$ sur $\\Rr$.",
"$\\ln(x^2+x+1)$ est une primitive de $\\frac{2x}{x^2+x+1}$ sur $\\Rr$.",
"$ e^x\\ln(x)$ est une primitive de $ e^x\\ln(x)+ e^x/x$ sur $]0,+\\infty[$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
On calcule que $(x^2 e^{1/x})'=2x e^{1/x}+x^2 (-1/x^2) e^{1/x}=(2x-1) e^{1/x}$. Ensuite, la fonction $x \mapsto \ln(x^2+x+1)$ est bien définie sur $\Rr$ puisque $x^2+x+1>0$ pour tout nombre réel $x$. Mais on a : $(\ln(x^2+x+1))'=\frac{(x^2+x+1)'}{x^2+x+1}=\frac{2x+1}{x^2+x+1}$. La fonction $x \mapsto \frac1x$ n'est pas définie en $x=0$ : il est donc impossible de lui déterminer une primitive sur $\Rr$ ($x \mapsto\ln(\vert x\vert)$ est une primitive de $x \mapsto \frac1x$ seulement sur $\Rr^*$). Enfin, on calcule que $( e^x\ln(x))'= (e^x)'\ln(x)+ e^x (\ln(x))' = e^x \ln(x) + e^x \cdot \frac 1x$.
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Equations_différentielles
|
10
|
Quelles sont les affirmations vraies ?
|
{
"choices": [
"Une primitive de $\\sin(x)e^{\\cos(x)}$ est $-e^{\\cos(x)}$.",
"Une primitive de $\\cos(x^3+x)$ est $\\sin(x^3+x)$.",
"Une primitive de $\\ln(x)$ est $x\\ln(x)-x$ (sur $]0,+\\infty[$).",
"Une primitive de $4x^3+4x$ est $(x^2+1)^2$."
],
"labels": [
1,
0,
1,
1
]
}
|
Une primitive de $\sin(x)e^{\cos(x)}$ est bien $-e^{\cos(x)}$ puisque $(-e^{\cos(x)})' = -(-\sin(x))e^{\cos(x)} = \sin(x) e^{\cos(x)}$.
La dérivée de $\sin(x^3+x)$ est $(3x^2+1)\cos(x^3+x)$, donc $\sin(x^3+x)$ n'est pas une primitive de $\cos(x^3+x)$. Oui une primitive de $\ln(x)$ est $x\ln(x)-x$ puisque la dérivée de cette-dernière donne bien $\ln(x) + x \cdot \frac 1x - 1 = \ln(x)$.
Enfin, la dérivée de $(x^2+1)^2$ est $2 \times 2x \times (x^2+1) = 4x^3+4x$, donc $(x^2+1)^2$ est bien une primitive de $4x^3+4x$.
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Equations_différentielles
|
11
|
Soit $f : I \to \Rr$ une fonction définie sur un intervalle. Soit $F$ une primitive de $f$.
$C$ désigne une constante.
Quelles sont les affirmations vraies ?
|
{
"choices": [
"Si $f(x)=0$ sur $I$ alors $F(x)=C$.",
"Si $f(x)=x$ alors $F(x) = x^2+C$.",
"Si $f(x) \\times \\cos(x) = 1$ alors $F(x) = \\frac{1}{\\sin(x)} + C$.",
"Si $f( \\ln(x) ) = 0$ alors $F(x) = e^x + C$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
0
]
}
|
Si $f$ est la fonction nulle, alors $F$ est une fonction constante.
Si $f(x)=x$, alors $F(x) = \frac12 x^2+ C$. Les autres affirmations sont fantaisistes : lorsqu'on dérive $\frac{1}{\sin(x)} + C$ on obtient $\frac{-\cos(x)}{\sin^2(x)}$ qui n'est pas du tout l'inverse de $\cos(x)$. Et si $F(x) = e^x + C$, alors $f(x) = F'(x) = e^x$ ce qui donne $f(\ln(x)) = e^{\ln(x)} = x \neq 0$ !
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Equations_différentielles
|
12
|
On considère la fonction $f:x\mapsto 2 e^{-x}+3$. Parmi les équations différentielles suivantes, quelles sont celles dont $f$ est solution ?
|
{
"choices": [
"$y'=-y+3$",
"$y'=y-4 e^{-x}-3$",
"$y'=2y+3$",
"$y'=-2 e^{-x}$"
],
"labels": [
1,
1,
0,
1
]
}
|
Pour vérifier si une fonction \(f\) est solution d'une équation différentielle du premier ordre, on remplace \(y\) par \(f(x)\), \(y'\) par \(f'(x)\) et on regarde si l'égalité est vraie pour tout \(x\) (égalité entre fonctions). Ici \(f'(x)=-2 e^{-x}\). Donc \(f'(x)=-f(x)+3=f(x)-4 e^{-x}-3\) pour tout réel \(x\). Par contre \(2f(x)+3\) n'est pas la même fonction que \( f'(x)\).
|
Equations_différentielles
|
13
|
Parmi les fonctions suivantes, quelles sont celles qui sont solutions de l'équation différentielle \(y'=2y-10\).
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"\\(f:x\\mapsto 4 e^{2x}+5\\)",
"\\(f:x\\mapsto e^{2x}+5\\)",
"\\(f:x\\mapsto 2 e^x+5\\)",
"\\(f:x\\mapsto 2x+5\\)"
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
|
Pour vérifier si une fonction \(f\) est solution d'une équation différentielle du premier ordre, on remplace \(y\) par \(f(x)\), \(y'\) par \(f'(x)\) et on regarde si l'égalité est vraie pour tout \(x\) (égalité entre fonctions). La dérivée de \( e^{2x}\) étant \(2 e^{2x}\), on constate que l'égalité \(f'(x)= 2f(x)-10\) a seulement lieu pour \(4 e^{2x}+5\) et \(e^{2x}+5\) parmi les solutions proposées.
|
Equations_différentielles
|
14
|
Parmi les fonctions suivantes quelles sont celles qui sont des solutions de l'équation différentielle $y'=xy$ ?
|
{
"choices": [
"$f(x) = \\exp(x^2)$",
"$f(x) = 2\\exp(x^2/2)$",
"$f(x) = 0$",
"$f(x) = 1$"
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
On calcule $f'(x)$ dans chaque cas et on observe si elle vérifie l'équation $f'(x) = x f(x)$.
C'est le cas pour la fonction définie par $f(x) = 2\exp(x^2/2)$ (dont la dérivée est $f'(x) = 2x\exp(x^2/2)$) et pour $f(x) = 0$ (de dérivée $f'(x)=0$).
|
Equations_différentielles
|
15
|
Soit la fonction $f(x) = \cos(x)$.
De quelle(s) équation(s) différentielle(s) $f$ est-elle solution ?
|
{
"choices": [
"$y' = y$",
"$y'' = -y$",
"$y' - y = -\\sin(x) - \\cos(x)$",
"$y'' = - y'$"
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
D'une part $f'(x) = -\sin(x)$, donc $f'(x)-f(x) = -\sin(x) - \cos(x)$.
D'autre part $f''(x) = -\cos(x)$, donc $f'' = -f$. En revanche, on a $f'(x) \neq f(x)$ et $f''(x) \neq -f'(x)$.
|
Equations_différentielles
|
16
|
Soit l'équation différentielle $y'=2x(y+x)-1$. Quelles sont les affirmations vraies ?
|
{
"choices": [
"$y= e^{x^2}-x$ est une solution.",
"Cette équation différentielle n'a pas de solution constante.",
"$y=-x$ est une solution.",
"$y= e^{x^2}-x+1$ est une solution."
],
"labels": [
1,
1,
1,
0
]
}
|
Equations_différentielles
|
|
17
|
Soit l'équation différentielle $xy'-3y=0$. Quelles sont les affirmations vraies ?
|
{
"choices": [
"$x^3+1$ est une solution.",
"$x^3$ est une solution.",
"$ e^{3x}$ est une solution.",
"La fonction nulle est la seule solution constante."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
Pour une solution constante $y=C$, $y'=0$ donc $3y=0$ donc $y$ est la fonction nulle (et réciproquement, la fonction nulle est bien solution). Pour $y=x^3$, $xy'-3y=x \cdot 3x^2-3x^3=0$ donc $x^3$ est solution. Pour $y=x^3+1$, $xy'-3y=x \cdot 3x^2-3x^3-3=-3$ donc $x^3+1$ n'est pas solution. Pour $y= e^{3x}$, $xy'-3y=x \cdot 3 e^{3x}-3 e^{3x}=3(x-1) e^{3x}$, ce qui n'est pas la fonction nulle, donc $y= e^{3x}$ n'est pas solution.
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Equations_différentielles
|
18
|
Soit $f$ une solution de l'équation différentielle $y'=y^2 + 1$.
Quelles sont les affirmations vraies sur la fonction $f$ ?
|
{
"choices": [
"$f$ est une fonction croissante.",
"$f$ est une fonction décroissante.",
"$f'$ est une fonction positive.",
"$f$ peut être une fonction constante."
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
Si $f$ est solution de l'équation $y'=y^2 + 1$, alors on a $f'(x) = f^2(x) + 1$ et donc $f'(x) \geq 1 > 0$. Ainsi $f'$ est strictement positive, et par conséquent $f$ est strictement croissante.
|
Equations_différentielles
|
19
|
Soit l'équation différentielle $y'- 2xy = 4x$.
Quelles sont les affirmations vraies concernant les solutions de cette équation ?
|
{
"choices": [
"$y = -2$ est une solution.",
"$y = +2$ est une solution.",
"$y = e^{x^2}+2$ est une solution.",
"$y = e^{x^2}-2$ est une solution."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
Si $y=C$ est constante, alors $y'=0$ et on a $0-2x \cdot C = 4x$ donc $C=-2$ est la seule solution constante de notre équation différentielle. D'autre part, la dérivée de \(e^{x^2}\) étant \(2x e^{x^2}\), on vérifie en remplaçant dans l'équation différentielle que \(e^{x^2}-2\) est solution puisqu'alors $y'-2xy = 2xe^{x^2}-2x(e^{x^2}-2)=4x$. En revanche \(e^{x^2}+2\) n'est pas solution puisque $y'-2xy = 2xe^{x^2}-2x(e^{x^2}+2) = -4x$.
|
Equations_différentielles
|
20
|
Soit \(f\) une solution de l'équation différentielle \(y'=2y-x^3\). On sait que la courbe représentative de \(f\) passe par le point \(A(1,2)\). Quelle est la pente de sa tangente au point \(A\) ?
|
{
"choices": [
"\\(-1\\)",
"\\(1\\)",
"\\(2\\)",
"\\(3\\)"
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
La pente de la tangente au point $A(1,2)$ est le nombre $f'(1)$. Or on sait que \(f(1)=2\) puisque la courbe représentative de \(f\) passe par \(A(1,2)\). De plus, comme \(f\) est solution de l'équation différentielle \(y'=2y-x^3\), on a - en considérant cette égalité pour la fonction $f$ et pour $x=1$ : \(f'(1)=2f(1)-1^3=2\times 2 -1=3\).
|
Equations_différentielles
|
21
|
Soit \(f\) une solution de l'équation différentielle \(y'=y+3x\). On sait de plus que la courbe représentative de \(f\) passe par le point \(A(-1,2)\). Quelles sont les affirmations exactes ?
|
{
"choices": [
"La pente de la tangente à la courbe de \\(f\\) au point \\(A\\) est \\(-1\\).",
"La pente de la tangente à la courbe de \\(f\\) au point \\(A\\) est \\(4\\).",
"La tangente à la courbe de \\(f\\) au point \\(A\\) admet pour équation : \\(y=-x+1\\).",
"La tangente à la courbe de \\(f\\) au point \\(A\\) admet pour équation : \\(y=4x+6\\)."
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
La pente de la tangente au point $A(-1,2)$ est le nombre $f'(-1)$. Or on sait que \(f(-1)=2\) puisque la courbe représentative de \(f\) passe par \(A(-1,2)\). De plus, comme \(f\) est solution de l'équation différentielle \(y'=y+3x\), en considérant cette égalité pour la fonction $f$ et pour $x=-1$, on a : \(f'(-1)=f(-1)+3\times (-1)=2-3=-1\). La pente de la tangente en \(A\) est donc \(-1\). Enfin, les coordonnées du point \(A\) vérifient l'équation de cette tangente, ce qui permet d'obtenir que l'ordonnée à l'origine vaut bien $+1$ (on sait aussi plus directement que l'équation de la tangente est $y = (-1) (x-(-1))+1 = -x+1$).
|
Equations_différentielles
|
22
|
Soit l'équation différentielle $x y' = y - x$ définie pour $x\in ]0,+\infty[$.
Quelles sont les fonctions solutions de cette équation, quelle que soit la constante $C$ ?
|
{
"choices": [
"$f(x) = x-C\\ln(x)$",
"$f(x) = x-\\ln(x)+C$",
"$f(x) = Cx-x\\ln(x)$",
"$f(x) = x-C$"
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
Seule la fonction $f(x) = Cx-x\ln(x)$, avec $f'(x) = C-\ln(x)-1$, vérifie l'équation différentielle. On a en effet $x f'(x) = Cx - x \ln(x) - x = f(x) - x$. Pour les autres fonctions proposées, les calculs de $x f'(x)$ et de $f(x)-x$ diffèrent.
|
Equations_différentielles
|
23
|
Soit $f$ une solution de l'équation différentielle $y' = \cos(x) y$, vérifiant $f(\frac\pi3)=3$. On considère la courbe représentative de \(f\).
Quelles sont les affirmations vraies ?
|
{
"choices": [
"La tangente en $x=\\frac\\pi3$ a pour équation $y=\\frac32x + 3 $.",
"La tangente en $x=\\frac\\pi3$ a pour équation $y=\\frac32(x-\\frac\\pi3) + 3$.",
"La tangente en $x=\\frac\\pi2$ est horizontale.",
"La tangente en $x=\\frac\\pi3$ est horizontale."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
En $x=\frac\pi2$, par l'équation différentielle on a $f'(\frac\pi2) = 0$ (car $\cos\frac\pi2=0$), donc la tangente est horizontale.
En $x=\frac\pi3$, on obtient $f'(\frac\pi3) = \cos(\frac\pi3) y(\frac\pi3) = \frac12 \times 3 = \frac32$, donc la pente de la tangente en $x=\frac\pi3$ est $\frac32$. Cette tangente passe par le point $(\frac\pi3,3)$ donc son équation est $y=\frac32(x-\frac\pi3) + 3$.
|
Equations_différentielles
|
24
|
Les solutions de l'équation différentielle $y'=-y$ sont :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$e^{-x}+C$ avec $C$ constante réelle.",
"$e^{x}+C$ avec $C$ constante réelle.",
"$C e^{-x}$ avec $C$ constante réelle.",
"$C e^{x}$ avec $C$ constante réelle."
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
Les solutions de l'équation différentielle $y'=ay$ sont les fonctions $C e^{ax}$ avec $C$ constante réelle. Ici, $a=-1$.
|
Equations_différentielles
|
25
|
Les solutions de l'équation différentielle $y'+2y=0$ sont :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$e^{-2x}+C$ avec $C$ constante réelle.",
"$e^{2x}+C$ avec $C$ constante réelle.",
"$C e^{2x}$ avec $C$ constante réelle.",
"$C e^{-2x}$ avec $C$ constante réelle."
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
Les solutions de l'équation différentielle $y'=ay$ sont les fonctions $C e^{ax}$ avec $C$ constante réelle. Ici, $a=-2$ puisque $y' +2y = 0$ se réécrit comme $y' = -2y$.
|
Equations_différentielles
|
26
|
De quelle(s) équation(s) différentielle(s) $4 e^{3x}$ est-elle une solution ?
|
{
"choices": [
"$y'=3y$",
"$3y'=y$",
"$y'=4y$",
"$4y'=y$"
],
"labels": [
1,
0,
0,
0
]
}
|
Les solutions de l'équation différentielle $y'=ay$ sont les fonctions $C e^{ax}$ avec $C$ constante réelle. Ici, $a=3$ et $C=4$.
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Equations_différentielles
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27
|
Parmi les fonctions suivantes, quelles sont celles solutions de l'équation différentielle $y' = 3y$ ?
|
{
"choices": [
"$f(x) = 3e^{2x}$",
"$f(x) = 2e^{3x}$",
"$f(x) = e^{-3x}$",
"$f(x) = e^{-2x}$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
La forme générale des solutions est $y(x) = Ce^{3x}$ où $C$ est une constante réelle.
|
Equations_différentielles
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28
|
Parmi les fonctions suivantes, quelles sont celles solutions de l'équation différentielle $y' = \frac1e y$ ?
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{
"choices": [
"$f(x) = C\\exp(x/e)$",
"$f(x) = C\\exp(ex)$",
"$f(x) = Ce\\exp(x)$",
"$f(x) = C\\frac{\\exp(x)}{e}$"
],
"labels": [
1,
0,
0,
0
]
}
|
La forme générale des solutions de $y' = ay$ est $y(x) = C \exp(ax) = Ce^{ax}$. Ici $a = \frac 1 e$, donc la forme générale des solutions est $y(x) = C\exp(x/e)$.
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Equations_différentielles
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29
|
Que peut-on dire des solutions de l'équation différentielle $y'=ay$ ?
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{
"choices": [
"Ce sont toutes des fonctions croissantes sur $\\Rr$.",
"Ce sont toutes des fonctions décroissantes sur $\\Rr$.",
"Si $a\\ge 0$, ce sont des fonctions croissantes sur $\\Rr$.",
"Ce sont toutes des fonctions monotones sur $\\Rr$."
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
Les solutions de l'équation différentielle $y'=ay$ sont les fonctions $C e^{ax}$ avec $C$ constante réelle. Si $a\ge 0$, ce sont des fonctions croissantes pour $C\ge 0$ et décroissantes pour $C\le 0$. Si $a\le 0$, ce sont des fonctions décroissantes pour $C\ge 0$ et croissantes pour $C\le0$. Dans tous les cas, ce sont toutes des fonctions monotones sur $\Rr$.
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Equations_différentielles
|
30
|
Soit $f: x\mapsto -2 e^{3x}$. Quelles sont les affirmations vraies ?
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{
"choices": [
"$f$ est la seule solution de l'équation différentielle $y'=3y$ dont la courbe représentative passe par le point $A(0,3)$.",
"$f$ est la seule solution de l'équation différentielle $y'=3y$ qui tend vers $-\\infty$ lorsque $x$ tend vers $+\\infty$.",
"$f$ est la seule solution de l'équation différentielle $y'=3y$ valant $-2$ en $x=0$.",
"$f$ est la seule solution de l'équation différentielle $y'=3y$ dont la dérivée en $x=0$ est $-6$."
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
|
Les solutions de l'équation différentielle $y'=3y$ sont les fonctions $f_C:x\mapsto C e^{3x}$ avec $C$ constante réelle. $f=f_{-2}$ est donc bien solution de $y'=3y$. $f_C(0)=C$ : la valeur de la constante $C$ correspond à la valeur de la fonction en $x=0$. Ainsi $f(x) = -2e^{3x}$ est bien la seule solution valant $-2$ en $x=0$. Par contre, $f(0)\ne 3$ donc sa courbe représentative ne passe pas par $A(0,3)$. Puisque d'après l'équation différentielle on a $f_C'(0)=3 f_C(0) = 3C$, alors $f$ est la seule solution telle que $f'_C(0)=-6$ car cela impose $C=-2$. Enfin, dès que $C<0$, $C e^{3x}$ tend vers $-\infty$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ donc $f$ n'est pas la seule fonction ayant cette propriété.
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Equations_différentielles
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31
|
Soit l'équation différentielle $y' +5y =0$.
Quelles sont les affirmations vraies ?
|
{
"choices": [
"Les solutions générales sont $y(x) = Ce^{-5x}$.",
"Les solutions générales sont $y(x) = Ce^{5x}$.",
"La solution vérifiant $y(1)=0$ est $y(x) = e^{-5x}$.",
"La solution vérifiant $y(1)=0$ est $y(x) = e^{5x}$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
0
]
}
|
Les solutions générales sont $y(x) = Ce^{-5x}$. Si $y(1)=0$ alors $C=0$ et $y$ est la solution nulle partout.
|
Equations_différentielles
|
32
|
Pour quelles valeurs de $a$ et $b$ la fonction $y(x) = 7e^{-5x}$ est-elle solution de $y'=ay$ avec $y(0)=b$ ?
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{
"choices": [
"$a = -5$ et $b=7$",
"$a = 5$ et $b=7$",
"$a = 5$ et $b=0$",
"$a = 0$ et $b=7$"
],
"labels": [
1,
0,
0,
0
]
}
|
La solution de $y'=ay$ vérifiant $y(0)=b$ est $y(x) = b e^{ax}$. Donc on identifie : $a = -5$ et $b=7$.
|
Equations_différentielles
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33
|
Soit $f$ la solution de l'équation différentielle $y'+3y=0$ telle que $f'(0)=-6$. Quelles sont les affirmations vraies ?
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{
"choices": [
"La courbe représentative de $f$ passe par $A(0,2)$.",
"La courbe représentative de $f$ passe par $A(0,-6)$.",
"$f$ est toujours négative.",
"$f$ est une fonction décroissante sur $\\Rr$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
Comme $f$ est solution de l'équation différentielle, $f'(0)+3f(0)=0$ donc $f(0)=2$ donc la courbe représentative de $f$ passe par le point de coordonnées $(0,2)$ et ne passe pas par celui de coordonnées $(0,-6)$. De plus, $f(x)=2 e^{-3x}$ et $f'(x)=-6 e^{-3x}$ donc $f$ est toujours positive et $f'$ est toujours négative. Par conséquent $f$ est décroissante sur $\Rr$.
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Equations_différentielles
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34
|
Soit $f$ la solution de l'équation différentielle $y'=4y$ telle que $f(1)= e^4$.
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
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{
"choices": [
"La courbe représentative de $f$ passe par le point $A(1, e^4)$.",
"La courbe représentative de $f$ passe par le point $B(0,1)$.",
"La pente de la tangente à la courbe de $f$ en $x=1$ est $4$.",
"On n'a pas assez de données pour déterminer la pente de la tangente à la courbe de $f$ en $x=0$."
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
|
Equations_différentielles
|
|
35
|
Soit l'équation différentielle $y' = ay$ avec $a>0$.
Quelles sont les affirmations vraies ?
|
{
"choices": [
"Il n'y a pas de solutions constantes.",
"Il y a une seule solution constante.",
"Toute solution vérifie $y(x) \\ge 0$.",
"Toute solution $y(x)$ tend vers $0$ lorsque $x$ tend vers $-\\infty$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
Les solutions générales sont $y(x) = Ce^{ax}$. La solution est constante dans le seul cas où $C=0$ ($y$ est alors la solution partout nulle). Puisque $a>0$, on sait que $Ce^{ax}$ tend vers $0$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$. Attention, si $C<0$ alors la fonction $y$ est strictement négative et décroissante.
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Equations_différentielles
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36
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Soit la solution de l'équation différentielle $y'= 2y$ vérifiant $y(0) = -1$.
Quelles sont les affirmations vraies ?
|
{
"choices": [
"La solution est toujours négative.",
"La solution est une fonction décroissante.",
"La pente de la tangente en $x=0$ vaut $1$.",
"La pente de la tangente en $x=1$ vaut $-2e^2$."
],
"labels": [
1,
1,
0,
1
]
}
|
Les solutions générales sont $y(x) = Ce^{2x}$. Comme $y(0)=-1$ alors $C = -1$.
La solution est donc $f(x) = -e^{2x}$.
La pente de la tangente en $x_0$ est donnée par $f'(x_0)$.
Comme $f(0)=-1$ alors $f'(0) = -2$, la pente de la tangente en $x=0$ vaut $-2$.
De façon générale, comme $f(x) = -e^{2x}$, alors $f'(x) = -2e^{2x}$ qui est une fonction toujours négative : ainsi $f$ est une fonction décroissante. La pente de sa tangente en $x=1$ vaut bien $f'(1) = -2e^2$.
|
Equations_différentielles
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37
|
Soit l'équation différentielle $2y'+4y=3$. Quelles sont les affirmations vraies ?
|
{
"choices": [
"La seule solution constante est $y=3/2$.",
"La seule solution constante est $y=3/4$.",
"Les solutions sont $C e^{-4x}-3$ avec $C$ constante réelle.",
"Les solutions sont $C e^{-2x}+3/4$ avec $C$ constante réelle."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
La seule solution constante est $y=3/4$ : c'est ce qu'on retrouve dans l'équation différentielle lorsqu'on cherche $y$ constante avec donc $y'=0$ : l'équation devient $2y = 3/2$ donc $y = 3/4$.
On peut réécrire l'équation différentielle $y'=-2y+3/2$, dont les solutions sont $C e^{-2x}+3/4$ avec $C$ constante réelle.
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Equations_différentielles
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38
|
Soit l'équation différentielle $3y'=y-3$. Quelles sont les affirmations vraies ?
|
{
"choices": [
"La seule solution constante est $y=1$.",
"La seule solution constante est $y=3$.",
"Les solutions sont $C e^{3x}+1$ avec $C$ constante réelle.",
"Les solutions sont $C e^{x/3}+3$ avec $C$ constante réelle."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
La seule solution constante est $y=3$ : c'est ce qu'on retrouve dans l'équation différentielle lorsqu'on cherche $y$ constante avec donc $y'=0$ : l'équation devient $y-3 = 0$ donc $y = 3$.
On peut réécrire l'équation différentielle $y'=\frac 13y-1$, dont les solutions sont $C e^{x/3}+3$ avec $C$ constante réelle.
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Equations_différentielles
|
39
|
Soit $f(x) = e^x+3$.
De quelle(s) équations(s) différentielle(s) cette fonction est-elle solution ?
|
{
"choices": [
"$y' - y = e^x$",
"$y' = y -3$",
"$3y'-y=0$",
"$y'-3y=0$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
Lorsqu'on dérive $f$, on obtient $f'(x) = e^x = (e^x+3)-3 = f(x) - 3$ : ainsi $f$ est solution de l'équation différentielle $y' = y - 3$. On vérifie en remplaçant dans les autres équations différentielles $y$ par $f$ (et $y'$ par $f'$) que les égalités ne sont pas vérifiées, donc que $f$ n'est pas une solution.
|
Equations_différentielles
|
40
|
Soit l'équation différentielle $y' = 2y + \cos(x)$.
Quelles sont les affirmations vraies ?
|
{
"choices": [
"Les solutions de l'équation homogène associée sont les $y(x) = C\\sin(x)$.",
"Les solutions de l'équation homogène associée sont les $y(x) = C\\cos(x)$.",
"Une solution particulière est $y(x) = \\frac15\\sin(x)-\\frac25\\cos(x)$.",
"Une solution particulière est $y(x) = e^{2x}$."
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
L'équation homogène est $y'=2y$, dont les solutions sont les $y_h(x) = Ce^{2x}$.
Une solution particulière de l'équation $y' = 2y +\cos(x)$ est $y_p(x) = \frac15\sin(x)-\frac25\cos(x)$.
Les solutions générales sont alors $y(x) = y_h(x) + y_p(x)$.
|
Equations_différentielles
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41
|
Soit l'équation différentielle $y'=2y-2x+1$.
Quelles sont les affirmations vraies ?
|
{
"choices": [
"La seule solution constante est $y(x) = x - \\frac 12$.",
"$y(x) = x$ est une solution particulière.",
"$y(x) = 3e^{2x} + x$ est une solution particulière.",
"$y(x) = x^2$ est une solution particulière."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
Si l'on recherche une solution constante $y=C$, avec donc $y'=0$, on obtient dans l'équation différentielle $0 = 2C - 2x + 1$ et donc $C = x - \frac 12$. Mais ceci n'est pas une constante ! Donc il n'existe aucune solution constante. Pour $f(x) = x$ et $f'(x) = 1$, on constate en remplaçant que $f$ est bien solution de l'équation différentielle puisque $f' = 1 = 2x - 2x + 1$. Il en va de même pour $f(x) = 3e^{2x} + x$, avec $f'(x) = 6e^{2x} + 1$ puisque $6e^{2x}+1 = 2(3e^{2x}+x) - 2x + 1$. En revanche, pour $f(x) = x^2$, et donc $f'(x) = 2x$, l'équation différentielle n'est pas vérifiée puisque $2x \neq 2x^2 - 2x +1$.
|
Equations_différentielles
|
42
|
Quelles sont les valeurs de $a$, $b$ et $c$ telles que $f:x\mapsto ax^2+bx+c$ soit solution de l'équation différentielle $y'+2y=4x^2+2x-1$ ?
|
{
"choices": [
"$a=4$, $b=2$, $c=-1$",
"$a=2$, $b=-1$, $c=0$",
"$a=2$, $b=-1$, $c=-1$",
"$a=4$, $b=-3$, $c=1$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
On a \(f'(x)=2ax+b\) donc \(f'(x)+2f(x)=2ax^2+(2a+2b)x+b+2c\). Ce polynôme doit être égal à \(4x^2+2x-1\). On calcule alors \(a\), \(b\) et \(c\) en identifiant les coefficients : $2a=4$ ; $2a+2b=2$ ; $b+2c=-1$. On obtient $a=2$, puis $b=1-a=-1$, et enfin $c=(-1-b)/2=0$.
|
Equations_différentielles
|
43
|
Parmi les fonctions suivantes, quelles sont celles qui sont solutions sur \(\Rr\) de l'équation différentielle \(y'=2y+ e^{2x}\) et qui valent \(2\) en \(x=0\) :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"\\(x\\mapsto 2 e^{2x}\\)",
"\\(x\\mapsto x e^{2x}\\)",
"\\(x\\mapsto x e^{2x}+2\\)",
"\\(x\\mapsto (x+2) e^{2x}\\)"
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
On peut éliminer la fonction \(x\mapsto x e^{2x}\) qui ne prend pas la valeur \(2\) en \(x=0\) contrairement aux trois autres. On calcule ensuite la dérivée des autres fonctions proposées et on remplace \(y\) et \(y'\) dans l'équation différentielle pour identifier celle qui est solution : la seule qui soit solution de notre équation différentielle est $x \mapsto (x+2)e^{2x}$. Rappel : la dérivée du produit de deux fonctions \(u\) et \(v\) est \(u'v+uv'\). Ainsi $[(x+2)e^{2x}]' = e^{2x} + 2(x+2)e^{2x}$.
|
Equations_différentielles
|
44
|
Soit l'équation différentielle $y' + y = e^{x}$.
Quelles sont les affirmations vraies ?
|
{
"choices": [
"Les solutions de l'équation homogène associée sont $y(x) = Ce^x$.",
"Une solution particulière est $y(x) = e^{-x}$.",
"La solution vérifiant $y(0)=1$ est $y(x) = \\frac{e^x+e^{-x}}{2}$.",
"La solution vérifiant $y(1)=1$ est $y(x) = e \\cdot e^{-x}$."
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
L'équation homogène est $y' + y = 0$, dont les solutions sont les $y_h(x) = Ce^{-x}$.
Pour aller plus loin : une solution particulière de l'équation $y' + y = e^{x}$ est $y_p(x) = \frac12e^{x}$ ; les solutions générales sont alors $y(x) = y_h(x) + y_p(x) = Ce^{-x} + \frac12e^{x}$.
|
Equations_différentielles
|
45
|
Soit l'équation différentielle $y' = y + x^2-1$.
Quelles sont les affirmations vraies ?
|
{
"choices": [
"Les solutions de l'équation homogène associée sont $y(x) = \\frac13x^3-x+C$.",
"Les solutions de l'équation homogène associée sont $y(x) = Ce^{x^2-1}$.",
"Une solution particulière est $y(x) = e^{x}$.",
"Une solution particulière est $y(x) = -x^2-2x-1$."
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
L'équation homogène est $y' = y$, dont les solutions sont les $y_h(x) = Ce^{x}$.
Une solution particulière de l'équation $y' = y + x^2-1$ est $y_p(x) = -x^2-2x-1$.
Les solutions générales sont alors $y(x) = y_h(x) + y_p(x)$.
|
Equations_différentielles
|
46
|
On considère l'équation différentielle $y'+y = 2x^2(x+3)$. Quelles sont les affirmations vraies ?
|
{
"choices": [
"Il existe un nombre réel $r$ tel que $y(x) = e^{rx}$ soit une solution particulière.",
"Il existe deux nombres entiers $k$ et $n$ tels que $y(x) = kx^n$ soit une solution particulière.",
"$y(x) = e^{-x} + 2x^3$ est une solution particulière vérifiant $y(0)=0$.",
"$y(x) = -2e^{-x} + 2x^3$ est une solution particulière vérifiant $y(0)=0$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
Si l'on cherche une solution sous la forme $y(x) = kx^n$, on a $y'(x) = kn x^{n-1}$. En remplaçant dans l'équation différentielle, on obtient alors (en développant) : $ kn x^{n-1} + k x^n = 6x^2 + 2x^3 $. En identifiant, on vérifie que l'égalité est vraie pour $k=2$ et $n=3$. Ainsi $f(x) = 2x^3$ est une solution particulière. En revanche, si on cherche une solution sous la forme $f(x) = e^{rx}$, alors $f'(x) = r e^{rx}$, et en remplaçant on obtient $ (r+1)e^{rx} = 2x^2(x+3)$ ce qui est impossible (un côté est une exponentielle et l'autre un polynôme). Enfin, on vérifie que les fonctions $y(x) = e^{-x} + 2x^3$ et $y(x) = -2e^{-x}+2x^3$ sont bien solutions de notre équation différentielle, mais aucune des deux ne vaut $0$ en $x=0$ (elles valent respectivement $1$ et $-2$).
|
Equations_différentielles
|
47
|
Soit $(E)$ l'équation différentielle $y'+5y = 5x^2 + 2x$. Alors :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Si $f$ est solution de $(E)$, alors la fonction $x \\mapsto f(x)-5x^2-2x$ est solution de l'équation différentielle $(H)$ : $y'+5y = 0$.",
"Si $f$ est solution de $(E)$, alors la fonction $x \\mapsto f(x)-x^2$ est solution de l'équation différentielle $(H)$ : $y'+5y = 0$.",
"Si $f$ est solution de $(E)$, alors la fonction $x \\mapsto f(x)-e^{-5x}$ est solution de l'équation différentielle $(H)$ : $y'+5y = 0$.",
"Si $f$ est solution de $(E)$, alors la fonction $x \\mapsto f(x)-2x$ est solution de l'équation différentielle $(H)$ : $y'+5y = 0$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
Si $f$ est solution de $(E)$, alors $f'(x) + 5f(x) = 5x^2 + 2x$. On calcule alors que : $(f(x)-x^2)' + 5(f(x)-x^2) = f'(x) - 2x + 5f(x) - 5x^2 = f'(x)+5f(x) - 2x - 5x^2 = 5x^2+2x-2x-5x^2 = 0$. Ainsi la fonction $x \mapsto (f(x)-x^2)$ est bien solution de $(H)$. En revanche, lorsqu'on remplace dans $y'+5y$ avec les fonctions $x \mapsto f(x)-5x^2-2x$, $x \mapsto f(x)-e^{-5x}$ et $x \mapsto f(x)-2x$ (toujours en utilisant le fait que $f'(x)+5f(x)$ peut être remplacé par $5x^2+2x$) on ne trouve pas $0$.
|
Equations_différentielles
|
48
|
Soit l'équation différentielle $y'=y+2e^{3x} + 4x e^{3x}$. On recherche une solution particulière sous la forme $f(x) = ax e^{bx}$. Quelles doivent être les valeurs de $a$ et $b$ ?
|
{
"choices": [
"$a=4$, $b=3$",
"$a=2$, $b=3$",
"$a=1$, $b=3$",
"$a=1$, $b=4$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
On calcule qu'avec la forme voulue, on a $f'(x) = a e^{bx} + abxe^{bx}$. Ainsi en remplaçant dans l'équation différentielle, on obtient : $a e^{bx} + abxe^{bx} = ax e^{bx} + 2e^{3x} + 4x e^{3x}$, ce qu'on peut écrire $(a+a(b-1)x)e^{bx} = (2+4x)e^{3x}$ pour y voir plus clair. On peut donc identifier dans l'exposant de l'exponentielle que $b=3$. Puis cela donne pour le polynôme qui accompagne les exponentielles $a+2ax = 2 + 4x$, et donc $a=2$.
|
Equations_différentielles
|
49
|
Soit $f$ une fonction dont la courbe représentative admet pour tangente en $x=-1$ la droite d'équation $y=2x-2$. Parmi les équations différentielles suivantes, quelle est la seule dont $f$ peut être une solution ?
|
{
"choices": [
"$y'=y+ e^x$",
"$y'=-y+2x$",
"$y'=2y+3x^3$",
"$2y'-y=2$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
Sur la droite $y=2x-2$, le point d'abscisse $x=-1$ est $A(-1,-4)$ donc $f(-1)=-4$. De plus, la pente de la droite est $2$, donc $f'(-1)=2$. Parmi les équations différentielles proposées, $y'=-y+2x$ est la seule qui permet d'obtenir ces deux valeurs (on remplace $y$ par $f$, $y'$ par $f'$, et on évalue tout cela en $x=-1$).
|
Equations_différentielles
|
50
|
Soit l'équation différentielle $2y' = 3y + 1$.
Quelles sont les affirmations vraies ?
|
{
"choices": [
"Il y a au moins une solution dont la limite en $-\\infty$ est $0$.",
"La solution vérifiant $y(0)=0$ est $y(x) = \\frac 13 (e^{\\frac32x} - 1)$.",
"La solution vérifiant $y(0)=0$ est $y(x) = 0$.",
"La solution vérifiant $y(0)=0$ est $y(x) = e^{\\frac32x} - 1$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
Notre équation différentielle peut se réécrire sous la forme $y' = \frac 32 y + \frac 12$. Les solutions d'une équation diffférentielle $y' = ay + b$ sont les fonctions $x \mapsto C e^{ax} - \frac ba$. Donc ici les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions $f(x) = Ce^{\frac32x} -\frac13$.
La solution vérifiant $y(0)=0$ est $y_0(x) = \frac13e^{\frac32x} -\frac13 = \frac 13 (e^{\frac 32 x} - 1)$. Enfin, puisque la limite de $e^{\frac 32 x}$ en $-\infty$ est nulle, la limite de toutes les fonctions solutions en $-\infty$ sera $-\frac 13$.
|
Equations_différentielles
|
51
|
Soit l'équation différentielle $y' = y + 3x-2$.
Quelles sont les affirmations vraies ?
|
{
"choices": [
"Une solution particulière est $y(x) = -3x-1$.",
"Une solution particulière est $y(x) = 3x-2$.",
"La solution vérifiant $y(0)=1$ est $y(x) = 2e^x-3x-1$.",
"La solution vérifiant $y(0)=1$ est $y(x) = 3e^x +3x-2$."
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
L'équation homogène est $y' = y$, dont les solutions sont les $y_h(x) = Ce^{x}$.
Une solution particulière de l'équation $y' = y + 3x-2$ est $y_p(x) = -3x-1$.
Les solutions générales sont alors $y(x) = y_h(x) + y_p(x)$.
La solutions vérifiant $y(0)=1$ est $y_0(x) = 2e^{x} -3x-1$.
|
Equations_différentielles
|
52
|
Soit $f$ une solution de l'équation différentielle $(H)$ : $y'=4y$. De quelle équation différentielle la fonction $g : x \mapsto f(x)+e^{2x}$ sera-t-elle solution ?
|
{
"choices": [
"$y'=4y+e^{2x}$",
"$y'-4y=4e^{2x}$",
"$y'=4y-2e^{2x}$",
"$y'=2y$"
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
Si $f$ est solution de $(H)$, alors $f'(x)=4f(x)$. On calcule alors la dérivée de $g$ : $g'(x) = f'(x) + 2e^{2x}$. Mais on a alors : $g'(x) = 4f(x) + 2e^{2x} = 4f(x) + 4e^{2x} - 2e^{2x} = 4(f(x)+e^{2x})-2e^{2x} = 4g(x) - 2e^{2x}$. De ce fait, $g$ est solution de $y'=4y-2e^{2x}$. On pouvait aussi exploiter le fait que $f(x)$ s'écrit sous la forme $C e^{4x}$ et tenter de remplacer directement dans chacune des équations différentielles les expressions de $g$ et de $g'$ pour voir quelle égalité était vérifiée.
|
Equations_différentielles
|
53
|
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"Il existe des triangles rectangles.",
"Tout triangle est un triangle rectangle.",
"Tout triangle équilatéral est isocèle.",
"Il existe un triangle équilatéral qui est rectangle."
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
Il existe des triangles rectangles, mais ce n'est pas le cas de tous les triangles.
Un triangle équilatéral (trois côtés égaux) est aussi isocèle (deux côtés égaux).
Un triangle équilatéral ne peut pas être un triangle rectangle (par le théorème de Pythagore ou parce que les angles d'un triangle équilatéral sont de $60^\circ$ tandis que l'angle droit mesure $90^\circ$).
|
Logique,_ensembles_et_raisonnements
|
54
|
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"Si $\\cos\\theta=0$ alors $\\theta=\\frac\\pi2$.",
"Si $\\theta \\in[0,\\pi]$ alors $0\\le\\cos\\theta\\le1$.",
"Si $\\theta=0$ alors $\\sin\\theta=0$.",
"Si $\\theta \\in[0,\\pi]$ et $\\sin\\theta=0$ alors ($\\theta=0$ ou $\\theta=\\pi$)."
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
|
$\cos\theta=0$ si et seulement si $\theta=\frac\pi2 + k\pi$ pour un certain $k\in\Zz$.
$\sin\theta=0$ si et seulement si $\theta=0 + k\pi$ pour un certain $k\in\Zz$.
|
Logique,_ensembles_et_raisonnements
|
55
|
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"Le chiffre des unités de tout entier pair est 0, 2, 4, 6 ou 8.",
"Le chiffre des unités de tout entier multiple de 3 est 3, 6 ou 9.",
"Le chiffre des unités de tout entier multiple de 4 est 4 ou 8.",
"Le chiffre des unités de tout entier multiple de 5 est 0 ou 5."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
$12 = 3\times 4$ est un multiple de 3 et de 4. Pourtant son chiffre des unités n'est ni 3, ni 6, ni 9, ni 4 ni 8.
|
Logique,_ensembles_et_raisonnements
|
56
|
Soient $x,y$ des nombres réels. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"Si $x=-5$ alors $x^2=25$.",
"Si $x^2=25$ alors $x=5$.",
"Si $xy=0$ alors $x=0$ ou $y=0$.",
"Si $xy=0$ alors $x=0$ et $y=0$."
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
$(-5)^2=25$ donc $x=-5$ est une autre solution de l'équation $x^2=25$.
Si $xy=0$, $x$ et $y$ ne sont pas nécessairement tous les deux nuls, mais ce qui est sûr c'est que au moins l'un des deux est nul.
|
Logique,_ensembles_et_raisonnements
|
57
|
Soit $\mathcal{P}$ une assertion vraie et $\mathcal{Q}$ une assertion fausse.
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\mathcal{P} \\text{ ou }\\mathcal{Q}$",
"$\\mathcal{Q} \\text{ et }\\mathcal{P}$",
"$\\mathcal{P} \\text{ ou }\\text{non}(\\mathcal{Q})$",
"$\\mathcal{Q} \\text{ ou }\\text{non}(\\mathcal{P})$"
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
"$\mathcal{P} \text{ ou }\mathcal{Q}$" est vraie car l'un des deux termes est vrai.\\
"$\mathcal{P} \text{ et }\mathcal{Q}$" est fausse car l'un des termes est faux.\\
"$\mathcal{P} \text{ ou }\text{non}(\mathcal{Q})$" est vraie car l'un des deux termes de part et d'autre du "ou" est vrai.\\
"$\mathcal{Q} \text{ ou }\text{non}(\mathcal{P})$" est fausse car les deux termes de part et d'autre du "ou" sont faux ("$\text{non}(\mathcal{P})$" est une assertion fausse puisque $\mathcal{P}$ est vraie).
|
Logique,_ensembles_et_raisonnements
|
58
|
On considère l'assertion "$\text{non}(\mathcal{P}) \text{ et } \mathcal{Q}$".
Quand est-ce que cette assertion est vraie ?
|
{
"choices": [
"Si $\\mathcal{P}$ vraie et $\\mathcal{Q}$ vraie.",
"Si $\\mathcal{P}$ vraie et $\\mathcal{Q}$ fausse.",
"Si $\\mathcal{P}$ fausse et $\\mathcal{Q}$ vraie.",
"Si $\\mathcal{P}$ fausse et $\\mathcal{Q}$ fausse."
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
Il faut $\text{non}(\mathcal{P})$ vraie et $\mathcal{Q}$ vraie, c'est-à-dire
$\mathcal{P}$ fausse et $\mathcal{Q}$ vraie.
|
Logique,_ensembles_et_raisonnements
|
59
|
Soit $n \ge 3$ un entier.
On considère l'implication :
$$\text{"}n \text{ nombre premier } \implies n \text{ est impair".}$$
Quelles sont les affirmations vraies ?
|
{
"choices": [
"L'implication réciproque est \"$n$ est pair $\\implies$ $n$ est un nombre premier\".",
"La contraposée est \"$n$ est pair $\\implies$ $n$ n'est pas nombre premier\".",
"Si l'implication est vraie alors l'implication réciproque l'est aussi.",
"Si l'implication est vraie alors sa contraposée l'est aussi."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
L'implication réciproque est "$n$ est impair $\implies$ $n$ est un nombre premier" (ce qui est une affirmation fausse). \\
La contraposée est "$n$ est pair $\implies$ $n$ n'est pas nombre premier" (ce qui est une affirmation vraie). \\
Une implication directe peut être vraie sans que l'implication réciproque soit vraie ; c'est le cas ici.
Une implication et sa contraposée sont des propositions équivalentes (donc vraies en même temps, et fausses en même temps). \\
|
Logique,_ensembles_et_raisonnements
|
60
|
Soit $x$ un réel. On considère l'implication :
$$\text{"}x^2>0\implies x>0\text{".}$$
Quelles sont les affirmations vraies ?
|
{
"choices": [
"L'implication réciproque est \"$x>0\\implies x^2>0$\".",
"La contraposée est \"$x>0\\implies x^2>0$\".",
"Si l'implication est fausse alors l'implication réciproque l'est aussi.",
"Si l'implication est fausse alors sa contraposée l'est aussi."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
L'implication réciproque est "$x>0\implies x^2>0$" (ce qui est une affirmation vraie). \\
La contraposée est "$x\le 0\implies x^2\le 0$" (ce qui est une affirmation fausse).\\
Une implication et sa contraposée sont des propositions équivalentes (donc vraies en même temps, et fausses en même temps). \\
|
Logique,_ensembles_et_raisonnements
|
61
|
On considère l'implication :
$$\text{"tu prépares un repas } \implies \text{ je viens chez toi".}$$
Quelles sont les affirmations vraies ?
|
{
"choices": [
"L'implication réciproque est \"je viens chez toi $\\implies$ tu ne prépares pas de repas\".",
"La contraposée est \"je ne viens pas chez toi $\\implies$ tu ne prépares pas de repas\".",
"Si l'implication est vraie alors l'implication réciproque l'est aussi.",
"Si l'implication est vraie alors sa contraposée l'est aussi."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
L'implication réciproque est "je viens chez toi $\implies$ tu prépares un repas". \\
La contraposée est "je ne viens pas chez toi $\implies$ tu ne prépares pas de repas".\\
Une implication et sa contraposée sont des propositions équivalentes (donc vraies en même temps, et fausses en même temps). \\
|
Logique,_ensembles_et_raisonnements
|
62
|
Quelles sont les assertions vraies, quel que soit $x>0$, un réel strictement positif ?
|
{
"choices": [
"$\\exists y > 0 \\quad \\ln(x) = y$",
"$\\exists y >0 \\quad e^x = y$",
"$\\exists y > 0 \\quad \\ln(y) = x$",
"$\\exists y > 0 \\quad e^y = x$"
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
La valeur $y=\ln(x)$ est un nombre réel bien défini (car $x>0$), mais elle n'est pas nécessairement strictement supérieure à $0$ (prenez $x\leq 1$ pour que ce soit faux).\\
Tout nombre réel $x>0$ possède un antécédent par la fonction exponentielle. Si l'on note $y$ cet antécédent, cela signifie que $e^y = x$. Mais cet antécédent n'est pas nécessairement strictement positif ! En effet, pour $x=1$ par exemple, on aura $e^0 = 1$.\\
En revanche, le nombre $y=e^x$ sera toujours un réel strictement positif. Et en appliquant le logarithme à cette égalité, on obtient bien $\ln(y) = x$ avec ce même nombre $y>0$.
|
Logique,_ensembles_et_raisonnements
|
63
|
Pour quelles phrases, l'assertion est vraie si on remplace "$??$" par "$\exists$", mais est fausse si on remplace "$??$ " par "$\forall$" ?
|
{
"choices": [
"$??\\; n \\in \\Nn^* \\quad n \\text{ est pair}$",
"$??\\; n \\in \\Nn^* \\quad n(n+1) \\text{ est pair}$",
"$??\\; n \\in \\Nn^* \\quad n \\text{ et } n + 2 \\text{ sont des nombres premiers}$",
"$??\\; n \\in \\Nn^* \\quad$ si $n$ n'est pas premier alors $n$ admet au moins deux facteurs premiers distincts"
],
"labels": [
1,
0,
1,
1
]
}
|
Il existe des entiers pairs (par exemple $n=4$), mais tous les entiers ne sont pas pairs (par exemple $n=5$).\\
Pour tous les entiers, $n(n+1)$ est pair.\\
Il existe un entier (par exemple $n=11$) tel que $n$ et $n+2$ soient deux nombres premiers ; mais ce n'est pas vrai pour tous les entiers (par exemple pour $n=13$, $n+2$ n'est pas premier). \\
Il existe un entier (par exemple $n=21$) qui a deux facteurs premiers distincts (ici $3$ et $7$) ; mais ce n'est pas vrai pour tous les entiers (par exemple $n=9$, a pour seul facteur premier $3$).
|
Logique,_ensembles_et_raisonnements
|
64
|
Soit $x\in\Rr$. Quelles sont les assertions vraies si on remplace "$\ldots\ldots$" par "$\iff$" ?
|
{
"choices": [
"$x^2 = 0 \\qquad \\ldots\\ldots \\qquad x = 0$",
"$x^2 = 1 \\qquad \\ldots\\ldots \\qquad x = 1$",
"$x<0 \\qquad \\ldots\\ldots \\qquad \\frac1x > 0$",
"$0<x<1 \\qquad \\ldots\\ldots \\qquad \\frac1x > 1$"
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
$x^2 = 0 \iff x = 0$ \\
$x^2 = 1 \impliedby x = 1$ \\
$x<0$ et $\frac1x > 0$ ne peuvent pas êtres vraies en même temps : un nombre non nul et son inverse possèdent en effet le même signe !\\
$0<x<1 \iff \frac1x > 1$ \\
|
Logique,_ensembles_et_raisonnements
|
65
|
$f : \Rr \to \Rr$ désigne une fonction.
Pour les phrases suivantes dire si la négation proposée est correcte.
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"La négation de \"Il existe $x\\in\\Rr$ tel que $f(x)=0$\" est \"Pour tout $x\\in\\Rr$ on a $f(x)\\neq0$\".",
"La négation de \"Pour tout $x\\in\\Rr$ on a $f(x)=0$\" est \"Il existe $x\\in\\Rr$ tel que $f(x)\\neq0$\".",
"La négation de \"Il existe $x\\in\\Rr$ tel que $f(x)\\ge0$\" est \"Pour tout $x\\in\\Rr$ on a $f(x)<0$\".",
"La négation de \"Pour tout $x\\in\\Rr$ on a $f(x)>0$\" est \"Pour tout $x\\in\\Rr$ on a $f(x)\\le0$\"."
],
"labels": [
1,
1,
1,
0
]
}
|
La négation de "Pour tout" est "Il existe" (et réciproquement). La négation de "$f(x)=0$" est "$f(x) \neq 0$". La négation de "$f(x)\ge0$" est "$f(x) < 0$".
Toutes les affirmations sont vraies sauf la négation de "Pour tout $x\in\Rr$ on a $f(x)>0$" qui est "Il existe $x\in\Rr$ tel que $f(x)\le0$".
|
Logique,_ensembles_et_raisonnements
|
66
|
Soit $x\in\Rr$.
Pour quelles phrases, l'assertion est vraie si on remplace "$??$" par "$\exists$", mais est fausse si on remplace "$??$ " par "$\forall$" ?
|
{
"choices": [
"$??\\; x\\in \\Rr \\quad x^2>0$",
"$??\\; x\\in \\Rr \\quad x^2-2x+1\\ge 0$",
"$??\\; x\\in\\Rr \\quad x^2-2x+1=0$",
"$??\\; x\\in\\Rr \\quad x^2\\le 0$"
],
"labels": [
1,
0,
1,
1
]
}
|
Il existe un réel $x$ tel que $x^2>0$, par exemple $x=1$, mais ce n'est pas vrai pour $x=0$.\\
$x^2-2x+1=(x-1)^2\ge 0$ pour tout réel $x$.\\
$x^2-2x+1$ est nul pour $x=1$ mais n'est pas nul pour $x=0$. \\
$x^2\le 0$ pour $x=0$ mais ce n'est pas vrai pour $x=1$.
|
Logique,_ensembles_et_raisonnements
|
67
|
Soit $\mathcal{P}$ et $\mathcal{Q}$ deux assertions telles que "$\mathcal{P} \implies \mathcal{Q}$" soit vraie, et "$\text{non}(\mathcal{P}) \implies \text{non}(\mathcal{Q})$" soit aussi vraie. On a alors :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"\"$\\mathcal{Q} \\implies \\mathcal{P}$\" est vraie.",
"\"$\\mathcal{P} \\iff \\mathcal{Q}$\" est vraie.",
"\"$\\mathcal{Q} \\implies \\text{non}(\\mathcal{P})$\" est vraie.",
"\"$\\mathcal{P} \\implies \\text{non}(\\mathcal{Q})$\" est vraie."
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
|
Par contraposition de "$\text{non}(\mathcal{P}) \implies \text{non}(\mathcal{Q})$", on obtient "$\mathcal{Q} \implies \mathcal{P}$". On a donc "$\mathcal{P} \iff \mathcal{Q}$". Ceci signifie que les assertions $\mathcal{P}$ et $\mathcal{Q}$ sont soit simultanément vraies, soit simultanément fausses. Cela exclut la possibilité d'avoir l'une vraie et l'autre fausse.
|
Logique,_ensembles_et_raisonnements
|
68
|
En 1761, le mathématicien suisse Lambert, ami d'Euler, démontre l'implication $\mathcal{I}$ : "$x \in \Qq \implies \tan(x) \notin \Qq$". Il remarque ensuite que $1 = \tan(\frac{\pi}{4})$. Qu'en conclut-il ?
|
{
"choices": [
"D'après $\\mathcal{I}$, $\\tan(\\frac{\\pi}{4}) \\notin \\Qq$.",
"D'après la contraposée de $\\mathcal{I}$, $\\tan(\\frac{\\pi}{4}) \\notin \\Qq$.",
"D'après la contraposée de $\\mathcal{I}$, $\\frac{\\pi}{4} \\in \\Qq$.",
"D'après la contraposée de $\\mathcal{I}$, $\\frac{\\pi}{4} \\notin \\Qq$."
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
On a $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1 \in \Qq$. On utilise la contraposée de l'implication $\mathcal{I}$ : $1 = \tan(\frac{\pi}{4}) \in \Qq \implies \frac{\pi}{4} \notin \Qq$. Ceci constituait la toute première preuve de l'irrationalité de $\pi$.
|
Logique,_ensembles_et_raisonnements
|
69
|
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\forall x \\in \\Rr \\; \\exists \\, y \\in \\Rr \\quad y = e^x$",
"$\\forall y \\in \\Rr \\; \\exists \\, x \\in \\Rr \\quad y = e^x$",
"$\\forall y \\in \\Rr \\; \\exists \\, x > 0 \\quad y = e^x$",
"$\\forall y > 0 \\; \\exists \\, x \\in \\Rr \\quad y = e^x$"
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
"$\forall x \in \Rr \; \exists \, y \in \Rr \quad y = e^x$" signifie : pour tout nombre réel $x$, il existe un nombre réel $y$ qui est égal à $e^x$ : c'est vrai ($e^x$ est bien un nombre réel).\\
"$\forall y \in \Rr \; \exists \, x \in \Rr \quad y = e^x$" signifie : pour tout nombre réel $y$, il existe un nombre $x$ tel que $y = e^x$. Ceci est faux puisque si $y<0$, on ne pourra jamais l'écrire comme une exponentielle.\\
"$\forall y \in \Rr \; \exists \, x > 0 \quad y = e^x$" signifie : pour tout nombre réel $y$, il existe un réel strictement positif $x$ tel que $y = e^x$. Ceci est faux : si $y<0$, on ne pourra jamais l'écrire comme une exponentielle. Et si $0 \leq y < 1$, on ne pourra jamais écrire $y$ comme une exponentielle d'un nombre strictement positif.\\
"$\forall y > 0 \; \exists \, x \in \Rr \quad y = e^x$" signifie : pour tout nombre strictement positif $y$, il existe un nombre réel $x$ tel que $y = e^x$. Ceci est vrai : si $y>0$, alors on peut écrire $y = e^{\ln(y)}$. Donc on peut choisir $x = \ln(y)$.
|
Logique,_ensembles_et_raisonnements
|
70
|
Quels sont les ensembles ayant au moins $4$ éléments ?
|
{
"choices": [
"$\\varnothing$",
"$[0,2] \\cap [1,3]$",
"$\\{0,3\\} \\cap \\{1,3\\}$",
"$\\Nn \\setminus \\{0,1,2,3\\}$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
$\varnothing$ ne contient aucun élément. \\
$[0,2] \cap [1,3] = [1,2]$ contient une infinité d'éléments. Rappel : $[1,2] = \{x\in\Rr \mid 1 \le x \le 2\}$.\\
$\{0,3\} \cap \{1,3\} = \{3\}$ ne contient qu'un seul élément. \\
$\Nn \setminus \{0,1,2,3\} = \{4,5,6,7,\ldots\}$ contient une infinité d'éléments.
|
Logique,_ensembles_et_raisonnements
|
71
|
Quels sont les ensembles qui contiennent l'intervalle $[0,2]$ ?
|
{
"choices": [
"$[-3,3] \\cap \\mathopen]-1,5]$",
"$\\Rr \\setminus ]1,3[$",
"$]0,1[ \\; \\cup \\; ]1,2]$",
"$\\{0,1,2\\}$"
],
"labels": [
1,
0,
0,
0
]
}
|
On a $[-3,3] \cap \mathopen]-1,5] = ]-1,3]$ contient $[0,2]$. \\
Le nombre $\frac32 = 1,5$ n'appartient pas à $\Rr \setminus ]1,3[$ donc cet ensemble ne contient pas $[0,2]$. \\
Le nombre $1$ n'appartient pas à $]0,1[ \; \cup \; ]1,2]$ donc cet ensemble ne contient pas $[0,2]$. \\
Le nombre $\frac32$ n'appartient pas à $\{0,1,2\}$ (qui ne contient que trois éléments), donc cet ensemble ne contient pas $[0,2]$. \\
|
Logique,_ensembles_et_raisonnements
|
72
|
Soit la fonction $f : \Rr \to \Rr$ définie par $f(x) = x^2+2$.
Quelles sont les affirmations vraies ?
|
{
"choices": [
"L'image de $-2$ est $6$.",
"Un antécédent de $18$ est $-5$.",
"La valeur $2$ admet plusieurs images.",
"La valeur $18$ admet plusieurs antécédents."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
L'image de $-2$ est $6$ car $f(-2) = 6$. \\
Le nombre $-5$ n'est pas antécédent de $18$ car $f(-5) = 27 \neq 18$. \\
La valeur $x=2$ admet une seule image. C'est en fait vrai pour tout $x\in\Rr$ !\\
Les antécédents de $18$ sont les solutions de l'équations $f(x) = 18$, c'est-à-dire $x^2+2=18$ ou encore $x^2=16$, ce sont donc $x=4$ et $x=-4$. Il y a donc deux antécédents à la valeur $18$.
|
Logique,_ensembles_et_raisonnements
|
73
|
Soient $A=\{1,2,3,4\}$ et $B=\{0,1,2\}$. Quelles sont les affirmations vraies ?
|
{
"choices": [
"$A\\cup B$ a 7 éléments.",
"$A\\cap B=\\{1,2\\}$",
"$A\\setminus B=\\{0,3,4\\}$",
"$B\\setminus A=\\{0\\}$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
$A\cup B=\{0,1,2,3,4\}$, on ne répète pas les éléments.\\
Les nombres $1$ et $2$ sont les deux éléments qui sont à la fois dans $A$ et dans $B$.\\
Les éléments qui sont dans $A$ mais pas dans $B$ sont $3$ et $4$.\\
Le nombre $0$ est le seul élément qui est dans $B$ mais pas dans $A$.
|
Logique,_ensembles_et_raisonnements
|
74
|
Quels sont les ensembles qui contiennent l'intervalle $[-1,1]$ ?
|
{
"choices": [
"$[-3,1] \\cap \\mathopen]-2,5]$",
"$\\Rr \\setminus ]1,3[$",
"$[-1,0[ \\; \\cup \\; ]0,2]$",
"$\\{-1,0,1\\}$"
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
|
On a $[-3,1] \cap \mathopen]-2,5] = ]-2,1]$ qui contient $[-1,1]$. \\
On a $\Rr \setminus ]1,3[=\mathopen]-\infty,1]\cup[3,+\infty\mathclose[$ et $\mathopen]-\infty,1]$ contient $[-1,1]$.\\
Le nombre $0$ n'appartient pas à $[-1,0[ \; \cup \; ]0,2]$ donc cet ensemble ne contient pas $[-1,1]$. \\
Le nombre $\frac12$ n'appartient pas à $\{-1,0,1\}$ (qui ne contient que trois éléments), donc cet ensemble ne contient pas $[-1,1]$. \\
|
Logique,_ensembles_et_raisonnements
|
75
|
Soit la fonction $f : \Rr \to \Rr$ définie par $f(x) = x^2-2$.
Quelles sont les affirmations vraies ?
|
{
"choices": [
"L'image de $-2$ est $-6$.",
"Un antécédent de $7$ est $-3$.",
"La valeur $-2$ admet plusieurs images.",
"La valeur $7$ admet plusieurs antécédents."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
L'image de $-2$ n'est pas $-6$ car $f(-2) = (-2)^2-2=4-2=2$. \\
Le nombre $-3$ est antécédent de $7$ car $f(-3) = 7$. \\
La valeur $x=-2$ admet une seule image. C'est en fait vrai pour tout $x\in\Rr$ !\\
Les antécédents de $7$ sont les solutions de l'équations $f(x) = 7$, c'est-à-dire $x^2-2=7$ ou encore $x^2=9$, ce sont donc $x=3$ et $x=-3$. Il y a donc deux antécédents à la valeur $7$.
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Logique,_ensembles_et_raisonnements
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76
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Soit la fonction réelle définie par $f(x) = 2x$. Soit $x\in\Rr$. On a :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
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{
"choices": [
"$(f \\circ f) (x) = 4x^2$",
"$(f \\circ f) (x) = 4x$",
"$(f \\circ f) \\circ f (x) = 6x$",
"$(f \\circ f \\circ f) (x) = 8x^3$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
On a $(f\circ f) (x) = f(f(x)) = f(2x) = 2\times 2x = 4x$. Et de même $(f \circ f \circ f) (x) = f(4x) = 2\times (4x) = 8x$.
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Logique,_ensembles_et_raisonnements
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77
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Soient les ensembles $A = [1,3]$ et $B= \{ 0 , 1 , 2 , 3 \}$. Quelles sont les assertions vraies ?
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{
"choices": [
"$B \\subset A$",
"$A \\subset B$",
"$A \\setminus B = ]1,3[$",
"$A \\cap B = \\{ 1,2,3 \\}$"
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
Il n'y a pas d'inclusion entre $A$ et $B$ : Le nombre $\frac32 \in A $ et $\frac32 \notin B$ d'une part ; et $0 \in B$ avec $0 \notin A$ d'autre part.\\
On a $A \setminus B = ]1,2[ \cup ]2,3[$.\\
En revanche, on a bien $A \cap B = \{1,2,3\}$.
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Logique,_ensembles_et_raisonnements
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78
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Soient $A,B$ deux parties d'un ensemble $E$.
Quelles sont les affirmations vraies (quel que soit le choix de $A$ et $B$) ?
|
{
"choices": [
"$A \\cup B \\ \\subset \\ A \\cap B$",
"$A \\cap B \\ \\subset \\ A \\cup B$",
"$A \\setminus B \\ \\subset \\ A$",
"$A \\setminus B \\ \\subset \\ B$"
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
L'intersection est incluse dans l'union : $A \cap B \ \subset \ A \cup B$.
Un ensemble $A$ auquel on retire quelque chose reste inclus dans $A$ : $A \setminus B \ \subset \ A$.
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Logique,_ensembles_et_raisonnements
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79
|
Les fonctions suivantes sont-elles définies sur l'ensemble associé ?
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{
"choices": [
"$x \\mapsto \\ln(|x-3|)$ sur $\\Rr$",
"$x \\mapsto \\sqrt{1-x^2}$ sur $[-1,1]$",
"$x \\mapsto \\frac{1}{x^2-4}$ sur $\\Rr \\setminus \\{ 2 \\}$",
"$x \\mapsto \\frac{1}{\\sin(\\pi x)}$ sur $\\Rr^*$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
$\ln(|x-3|)$ est définie sur $\Rr \setminus \{ 3 \}$.\\
$\sqrt{1-x^2}$ est définie sur $[-1,1]$.\\
$\frac{1}{x^2-4}$ est définie sur $\Rr \setminus \{ -2, 2 \}$.\\
$\frac{1}{\sin(\pi x)}$ est définie sur $\Rr \setminus \Zz$.
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Logique,_ensembles_et_raisonnements
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80
|
Soient $f,g,h$ des fonctions définies par
$$f(x) = x^2-3x \qquad g(x) = 2x+1 \qquad h(x) = \frac{x}{x-1}.$$
Quelles sont les affirmations vraies ?
|
{
"choices": [
"$(f \\circ g)(x) =4x^2-2x+4$",
"$(g \\circ f)(x) = 2x^2+5$",
"$(h \\circ f)(x) = \\left(\\frac{x}{x-1}\\right)^2 - \\frac{3x}{x-1}$",
"$(g \\circ h)(x) = \\frac{3x-1}{x-1}$"
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = (2x+1)^2-3(2x+1) = 4x^2-2x-2$, \\
$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = 2(x^2-3x)+1 = 2x^2-6x+1$. \\
$(h \circ f)(x) = h(f(x)) = \frac{x^2-3x}{x^2-3x-1}$ ce qui est proposé c'est $(f \circ h)(x)$.\\
$(g \circ h)(x) = g(h(x)) = 2\frac{x}{x-1} +1 = \frac{2x}{x-1} + \frac{x-1}{x-1} = \frac{3x-1}{x-1}$.
|
Logique,_ensembles_et_raisonnements
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81
|
Les fonctions suivantes sont-elles définies sur l'ensemble associé ?
|
{
"choices": [
"$x \\mapsto \\ln(|x+1|)$ sur $\\Rr$",
"$x \\mapsto \\sqrt{1+x^2}$ sur $\\Rr$",
"$x \\mapsto \\frac{x}{1-x^2}$ sur $\\Rr \\setminus \\{ 0 \\}$",
"$x \\mapsto \\tan(x)$ sur $\\mathopen]\\frac\\pi 2,\\pi\\mathclose[$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
$\ln(|x+1|)$ est définie sur $\Rr \setminus \{ -1 \}$.\\
$1+x^2\ge 0$ pour tout $x$ de $\Rr$.\\
$\frac{x}{1-x^2}$ est définie sur $\Rr \setminus \{ -1,1 \}$.\\
$\tan( x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$ et $\cos(x)$ ne s'annule pas sur $\mathopen]\frac\pi 2,\pi\mathclose[$.
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Logique,_ensembles_et_raisonnements
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82
|
Soient $f,g,h$ des fonctions définies par
$$f(x) = x^2+x \qquad g(x) = 2x-1 \qquad h(x) = \frac{1}{x+1}.$$
Quelles sont les affirmations vraies ?
|
{
"choices": [
"$(f \\circ g)(x) =4x^2-2x$",
"$(g \\circ f)(x) = 2x^2+2x$",
"$(h \\circ f)(x) = \\frac 1{x^2+x+1}$",
"$(g \\circ h)(x) = \\frac{1}{2x}$"
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = (2x-1)^2+(2x-1) = 4x^2-2x$. \\
$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = 2(x^2+x)-1 = 2x^2+2x-1$. \\
$(h \circ f)(x) = h(f(x)) = \frac{1}{f(x)+1}=\frac 1{x^2+x+1}$.\\
$(g \circ h)(x) = g(h(x)) = 2\frac{1}{x+1} -1 = \frac{2}{x+1} - \frac{x+1}{x+1} = \frac{1-x}{x+1}$. Ce qui est proposé est $(h\circ g)(x)$.
|
Logique,_ensembles_et_raisonnements
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83
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Parmi ces ensembles, quels sont ceux qui sont inclus dans $\{ 0 , 1 , 2 \}$ ?
|
{
"choices": [
"$\\{ x \\in \\Rr \\; | \\; x(x-2)=0 \\}$",
"$\\{ x \\in \\Rr \\; | \\; e^x = 1 \\}$",
"$\\{ x > 0 \\; | \\; \\ln(x) = 1 \\}$",
"$[0,3] \\cap \\{ x \\in \\Rr \\; | \\; (x+2)^2 = 4 \\}$"
],
"labels": [
1,
1,
0,
1
]
}
|
$\{ x \in \Rr \; | \; x(x-2)=0 \} = \{0,2\}$.\\
$\{ x \in \Rr \; | \; e^x = 1 \} = \{0\}$.\\
$\{ x > 0 \; | \; \ln(x) = 1 \} = \{ e \}$.\\
$[0,3] \cap \{ x \in \Rr \; | \; (x+2)^2 = 4 \}$ = $[0,3] \cap \{ -4 , 0\} = \{0\}$.
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Logique,_ensembles_et_raisonnements
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84
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Soit l'ensemble $A = \{ -1 , 0 , 1 \}$ et la fonction réelle donnée par $f(x) = x^2-1$. Quelles sont les assertions vraies ?
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{
"choices": [
"$\\forall x \\in A \\quad f(x) = 0$",
"$\\exists \\, x \\in A \\quad f(x) = 0$",
"$f$ est bijective de $A$ dans son image $f(A)$.",
"$\\forall x \\in A \\quad f(x) \\in A$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
On a $f(-1) = f(1) = 0 \in A$, $f(0) = -1 \in A$ mais $-1 \neq 0$.\\
La fonction $f$ n'est pas bijective de $A$ dans $f(A)$ puisque $1$ et $-1$ ont la même image.
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Logique,_ensembles_et_raisonnements
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85
|
Soient les fonctions réelle définies par $f(x) = 3x+2$ et $g(x) = ax + b$. Pour quelle(s) valeur(s) des réels $a$ et $b$ a-t-on $g \circ f (x) = 6x + 7$ ?
|
{
"choices": [
"$a=1$ et $b=3$",
"$a=1$ et $b=5$",
"$a=2$ et $b=3$",
"$a=2$ et $b=5$"
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
On calcule que $g \circ f (x) = g(3x+2) = a(3x+2) + b = 3a x + 2a + b$. Pour que cette expression soit égale à $6x+7$, on doit avoir $3a = 6$ et $2a+b=7$. Cela donne $a=2$ et $b=7- 2 \times 2 = 3$.
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Logique,_ensembles_et_raisonnements
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86
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Soit $E$ un ensemble. Pour $A$ et $B$ deux parties de $E$, on définit l'ensemble
$$\Delta(A,B) = (A \cup B) \setminus (A \cap B).$$
Quelles sont les affirmations vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\Delta(A,B)=\\Delta(B,A)$",
"Si $B = \\varnothing$ alors $\\Delta(A,B) = \\varnothing$.",
"Si $A$ et $B$ sont disjoints alors $\\Delta(A,B) = A \\cup B$.",
"Si $B \\subset A$ alors $\\Delta(A,B) = A \\setminus B$."
],
"labels": [
1,
0,
1,
1
]
}
|
L'ensemble $\Delta(A,B)$ s'appelle la "différence symétrique" de $A$ et $B$.
Toutes les propriétés sont vraies, sauf une. On a : "Si $B = \varnothing$ alors $\Delta(A,B) = A$".
Faites des schémas avec des "patates" (diagrammes de Venn) pour visualiser ces propriétés.
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Logique,_ensembles_et_raisonnements
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87
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Les fonctions $f$ et $g$ définies par les expressions suivantes sont-elles bijections réciproques l'une de l'autre ?
(On ne se préoccupera pas des ensembles de départ et d'arrivée.)
|
{
"choices": [
"$f(x) = \\exp(2x)$ et $g(x) = \\ln(\\tfrac12x)$",
"$f(x) = \\cos(x-1)$ et $g(x) = \\sin(x+1)$",
"$f(x) = \\frac{1}{1+x}$ et $g(x) = \\frac{1-x}{x}$",
"$f(x)= \\sqrt{2x+1}$ et $g(x) = \\frac12x^2-1$"
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
Si $f(x) = \exp(2x)$ et $g(x) = \ln(\tfrac12x)$ alors
$$(f \circ g)(x)
= e^{2 \ln(\tfrac12x) }
= e^{2 \ln(x) + 2\ln(\tfrac12) }
= e^{2 \ln(x))}\times e^{2\ln(\tfrac12) }
= x^2 \times (\tfrac12)^2 = \frac{x^2}{4}$$
et ne vaut donc pas $x$.
Si $f(x) = \cos(x-1)$ et $g(x) = \sin(x+1)$ alors $(f \circ g)(x) = \cos( \sin(x+1) -1)$ ne se simplifie pas du tout et n'a aucune chance d'être égal à $x$. Prendre par exemple $x=10$, alors $(f \circ g)(x)$ est une valeur renvoyée par un cosinus donc est compris entre $-1$ et $+1$ donc ne peut pas être égale à $10$.
Si $f(x) = \frac{1}{1+x}$ et $g(x) = \frac{1-x}{x}$
$$(f \circ g)(x)
= f\left(\frac{1-x}{x} \right)
= \frac{1}{1+\frac{1-x}{x}}
= \frac{x}{x+(1-x)} = x.$$
On vérifie de même que $(g \circ f)(x) = x$. Donc $f$ et $g$ sont des bijections réciproques l'une de l'autre.
Si $f(x)= \sqrt{2x+1}$ et $g(x) = \frac12x^2-1$ alors
$$(f \circ g)(x)
= f\left(\tfrac12x^2-1 \right)
= \sqrt{ 2(\tfrac12x^2-1)+1 }
= \sqrt{ x^2-1}$$
qui n'est pas égale à $x$ (par exemple pour $x=10$, $(f\circ g)(10)= \sqrt{10^2-1}=\sqrt{99} \neq 10$).
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Logique,_ensembles_et_raisonnements
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88
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Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E$.
Quelles sont les affirmations vraies (quel que soit le choix de $A$ et $B$) ?
|
{
"choices": [
"$(A\\cap B)\\cup(A\\setminus B)=A$",
"$(A\\cap B)\\cup(A\\setminus B)=B$",
"$(A\\cap B)\\cup(A\\setminus B)= A\\cup B$",
"$(A\\cap B)\\cup(A\\setminus B)\\cup(B\\setminus A)=A\\cup B$"
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
Si l'on réunit les éléments qui sont dans $A$ et dans $B$ avec ceux qui sont dans $A$ et pas dans $B$, on obtient tous les éléments de $A$.\\
On a 3 possibilités pour les éléments qui sont dans $A$ ou dans $B$ : ils sont dans $A$ et pas dans $B$, ou dans $A$ et dans $B$, ou dans $A$ et dans $B$.
Faites des schémas avec des "patates" (diagrammes de Venn) pour visualiser ces propriétés.
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Logique,_ensembles_et_raisonnements
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89
|
Soit $E$ un ensemble. Pour deux parties $A$ et $B$ de $E$, on définit $\Delta(A,B)=(A \cup B)\setminus (A \cap B)$. Quelles sont les affirmations vraies (quel que soit le choix de $A$ et $B$) ?
|
{
"choices": [
"Si $A=B$, $\\Delta(A,B) = \\varnothing$.",
"$A\\cup B\\subset \\Delta(A,B)$",
"$A\\cap B\\subset \\Delta(A,B)$",
"$\\Delta(A,B)=(A\\setminus B)\\cup (B\\setminus A)$"
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
$\Delta(A,B)$ comprend les éléments qui sont soit dans $A$ soit dans $B$, mais pas dans les deux à la fois.
Faites des schémas avec des "patates" (diagrammes de Venn) pour visualiser ces propriétés.
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Logique,_ensembles_et_raisonnements
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90
|
Les fonctions $f$ et $g$ définies par les expressions suivantes sont-elles bijections réciproques l'une de l'autre ?
(On ne se préoccupera pas des ensembles de départ et d'arrivée.)
|
{
"choices": [
"$f(x) = \\exp(-3x)$ et $g(x) = -\\frac13\\ln(x)$",
"$f(x) = \\cos(x+1)$ et $g(x) = \\frac 1{\\cos(x)}-1$",
"$f(x) = \\frac{x}{1+x}$ et $g(x) = \\frac{x}{1-x}$",
"$f(x)= \\sqrt{x+1}$ et $g(x) = x^2+1$"
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
Si $f(x) = \exp(-3x)$ et $g(x) = -\frac13\ln(x))$ alors
$$(f \circ g)(x)
= e^{(-3) \times (-\frac13\ln(x)) }
= e^{ \ln(x) }
= x$$
On vérifie de même que $(g\circ f)(x)=x$, donc $f$ et $g$ sont bijections réciproques l'une de l'autre.
Si $f(x) = \cos(x+1)$ et $g(x) = \frac 1{\cos(x)}-1$ alors $(f \circ g)(x) = \cos( \frac 1{\cos(x)})$ ne se simplifie pas du tout et n'a aucune chance d'être égal à $x$. Prendre $x=10$, alors $(f \circ g)(x)$ est une valeur renvoyée par un cosinus donc est compris entre $-1$ et $+1$ donc ne peut pas être égale à $10$.
Si $f(x) = \frac{x}{1+x}$ et $g(x) = \frac{x}{1-x}$
$$(f \circ g)(x)
= f\left(\frac{x}{1-x} \right)
= \frac{\frac{x}{1-x}}{1+\frac{x}{1-x}}=\frac{\frac{x}{1-x}}{\frac{1-x}{1-x}+\frac x{1-x}}=\frac x{1-x+x} = x.$$
On vérifie de même que $(g \circ f)(x) = x$. Donc $f$ et $g$ sont bijections réciproques l'une de l'autre.
Si $f(x)= \sqrt{x+1}$ et $g(x) = x^2+1$ alors
$$(f \circ g)(x)
= f\left(x^2+1 \right)
= \sqrt{ x^2+2 }
$$
qui n'est pas égal à $x$ (par exemple pour $x=0$, $(f\circ g)(0)= \sqrt{2} \neq 0$).
|
Logique,_ensembles_et_raisonnements
|
91
|
Soit la fonction réelle définie par $f(x) = x^2 - x - 2$. Pour quelle fonction $u$ a-t-on $f \circ u (x) = 9(x^2+x)$ ?
|
{
"choices": [
"$u(x) = 9x$",
"$u(x) = 3x+2$",
"$u(x) = -3x$",
"$u(x) = 9x+2$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
On calcule pour $u(x) = 3x+2$ que $f \circ u (x) = f(3x+2) = (3x+2)^2 - (3x+2)-2 = 9x^2 + 12x + 4 - 3x - 2 - 2 = 9x^2 + 9x = 9(x^2+x)$.
|
Logique,_ensembles_et_raisonnements
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92
|
Pour montrer que $\sqrt2$ est un nombre irrationnel une preuve classique utilise :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Un raisonnement par contraposition.",
"Un raisonnement par disjonction.",
"Un raisonnement par l'absurde.",
"Un raisonnement par récurrence."
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
La preuve se fait par l'absurde.
|
Logique,_ensembles_et_raisonnements
|
93
|
Pour montrer que pour tout $x\in\Rr$ et tout $n\in\Nn$ on a $(1+x)^n \ge 1+nx$, quelle est la démarche la plus adaptée ?
|
{
"choices": [
"On fixe $x$, on fait une récurrence sur $n$.",
"On fixe $n$, on fait une récurrence sur $x$.",
"Par l'absurde on suppose $(1+x)^n < 1+nx$.",
"Par disjonction des cas $n$ pair/$n$ impair."
],
"labels": [
1,
0,
0,
0
]
}
|
On fixe $x \in \Rr$, on fait une récurrence sur $n \in \Nn$. On ne peut pas procéder à une récurrence sur $x \in \Rr$.
|
Logique,_ensembles_et_raisonnements
|
94
|
On voudrait montrer que pour tout $n\in\Nn^*$ on a $2^{n-1} \le n^n$. Quel type de raisonnement vous parait adapté ?
|
{
"choices": [
"Un raisonnement par contraposition.",
"Un raisonnement par disjonction : $n$ pair/$n$ impair.",
"Un raisonnement par l'absurde.",
"Un raisonnement par récurrence."
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
La preuve se fait par récurrence sur $n$ avec initialisation à $n=1$.
|
Logique,_ensembles_et_raisonnements
|
95
|
Soit $x$ un réel. On définit une suite par $u_0=x$ et, pour tout entier $n\in \Nn$, $u_{n+1}=xu_n$.
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"On montre par récurrence sur $n$ que $u_n=x^n$ pour tout entier $n$.",
"On montre par récurrence sur $x$ que $u_n=x^n$ pour tout entier $n$.",
"On montre par récurrence sur $n$ que $u_n=x^{n+1}$ pour tout entier $n$.",
"On montre par récurrence sur $x$ que $u_n=x^{n+1}$ pour tout entier $n$."
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
On fixe $x \in \Rr$, on fait une récurrence sur $n \in \Nn$. Pour $n=0$, $u_0=x^1$ et, pour $n$ quelconque, $u_n = x^{n+1}$.
|
Logique,_ensembles_et_raisonnements
|
96
|
On commence une démonstration par l'absurde avec la rédaction suivante : "Supposons que $\log_{10}(3) \in \Qq$. Alors on peut écrire $\log_{10}(3) = \frac p q$ avec ...". Que cherche-t-on à démontrer ?
|
{
"choices": [
"$\\log_{10}(3) \\in \\Qq$",
"$\\log_{10}(3) \\notin \\Qq$",
"$\\log_{10}(3) \\in \\Rr$",
"$\\log_{10}(3) \\notin \\Rr$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
On a commencé par supposer que $\log_{10}(3) \in \Qq$. Puisqu'il s'agit d'une démonstration par l'absurde, cette supposition correspond à la négation de ce qu'on doit démontrer. On doit donc démontrer que $\log_{10}(3) \notin \Qq$.
|
Logique,_ensembles_et_raisonnements
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97
|
On souhaite prouver par récurrence, pour tout $n\ge0$, une proposition $\mathcal{P}_n$.
Après avoir prouvé $\mathcal{P}_0$, quelle rédaction du démarrage de l'étape d'hérédité convient ?
|
{
"choices": [
"Soit $n\\ge0$. Je prouve $\\mathcal{P}_1$.",
"Soit $n\\ge0$. Je suppose $\\mathcal{P}_n$ vraie et je montre $\\mathcal{P}_{n+1}$.",
"Soit $n\\ge0$. Je suppose $\\mathcal{P}_n$ vraie pour tout $n$ et je montre $\\mathcal{P}_{n+1}$.",
"Soit $n\\ge0$. Je suppose $\\mathcal{P}_{n+1}$ vraie et je montre $\\mathcal{P}_{n}$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
La rédaction d'une récurrence est assez figée. L'étape d'hérédité commence toujours par "Soit $n\ge0$. Je suppose $\mathcal{P}_n$ vraie et je montre $\mathcal{P}_{n+1}$."
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Logique,_ensembles_et_raisonnements
|
98
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Pour montrer que $\sqrt{3}$ est un nombre irrationnel, je commence une démonstration par l'absurde en écrivant :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Je suppose $\\sqrt3\\in\\Qq$ et je cherche une contradiction.",
"Je suppose $\\sqrt3\\notin\\Qq$ et je cherche une contradiction.",
"Je suppose $\\sqrt3\\notin\\Rr$ et je cherche une contradiction.",
"Je suppose que $\\sqrt3$ n'existe pas et je cherche une contradiction."
],
"labels": [
1,
0,
0,
0
]
}
|
Pour montrer que $\sqrt{3} \notin \Qq$ par l'absurde, on commence par supposer $\sqrt3\in\Qq$, donc on écrit $\sqrt{3}=\frac pq$ avec $p$ et $q$ entiers, puis on cherche une contradiction.
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Logique,_ensembles_et_raisonnements
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99
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Quel type de raisonnement est adapté pour montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers ?
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{
"choices": [
"Au cas par cas : on étudie $n=2$, $n=3$, $n=5$,...",
"Par récurrence sur $n$ parcourant l'ensemble des nombres premiers.",
"Par l'absurde en supposant qu'il n'existe qu'un nombre fini de nombres premiers.",
"C'est une propriété que l'on ne sait pas démontrer."
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
La démonstration classique se fait par l'absurde en supposant qu'il n'existe qu'un nombre fini de nombres premiers puis en cherchant une contradiction.
|
Logique,_ensembles_et_raisonnements
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