id
stringlengths 10
16
| statement
stringlengths 0
9.54k
| answer
stringlengths 0
4.24k
| solution
stringlengths 0
47.5k
| metadata
dict | hints
sequencelengths 0
12
|
|---|---|---|---|---|---|
ege-6591362 | Олег задумал трехзначное натуральное число \( n \) и посчитал сумму его цифр \( s \). в) Известно, что \( n \) умножить на \( s \) больше 1786. | в) 1792. | в) Заметим, что \( 1792 = 224 \) умножить на \( (2 + 2 + 4) \). Осталось доказать, что числа 1787, 1788, 1789, 1790, 1791 не подходят. Заметим, что \( s \leq \frac{1791}{100} < 18 \), то есть \( s \leq 17 \). Поэтому если указанное нам число имеет простой делитель, больший 17, то он входит в разложение \( n \). Число 1787 простое (достаточно проверить делимость на 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17). Рассмотрим \( 1788 = 2^2 \) умножить на 3 умножить на 149, но числа 149, 149 умножить на 2 = 298, 149 умножить на 3 = 447, 149 умножить на 4 = 596, 149 умножить на 6 = 894 не подходят. Число 1789 простое (достаточно проверить делимость на 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17). Число 1790 = 2 умножить на 5 умножить на 179, но числа 179, 179 умножить на 2 = 358, 179 умножить на 5 = 895 не подходят. Осталось число 1791 = 3^2 умножить на 199, но числа 199 и 199 умножить на 3 = 597 не подходят | {
"classes": null,
"difficulty": 2,
"hardness": null,
"img_solution": "",
"img_statement": "",
"link": "https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=659136",
"next": 0,
"number": 6591362,
"previous": 6591361,
"remark": null,
"solution2": "",
"source": "А. Ларин. Тренировочный вариант № 465",
"topics": [
"Числа и их свойства"
],
"type": 19
} | [] |
ege-6600961 | На доске написаны числа \(7\) и \(8\). За один ход разрешено заменить написанную на доске пару чисел \(a\) и \(b\) парой \(2a - 1\) и \(a + b\) (например, из пары \(7\) и \(8\) за один ход можно получить либо числа \(13\) и \(15\), либо числа \(15\) и \(15\)). б) Может ли случиться так, что после 22 ходов одно из написанных на доске чисел будет равно 8 787 878? | б) нет | б) Нет. Заметим, что если \( a < b \), то \( 2a - 1 < a + b \leq b - 1 + b = 2b - 1 \), а если \( a = b \), то \( 2a - 1 = 2b - 1 < 2a = a + b \). Значит, меньшее из двух чисел растет как минимум так: удваивается, и из результата вычитается 1. Поэтому минимальное число после 22 хода может быть не меньше чем \[ \ldots \left( \ldots \left( \ldots (7 \cdot 2 - 1) \cdot 2 - 1 \right) \ldots \right) \cdot 2 - 1 = 7 \cdot 2^{22} - 2^{21} + 2^{20} - \ldots - 1 = 7 \cdot 2^{22} - (2^{22} - 1) = 7 \cdot 2^{22} - 2^{22} + 1 = 6 \cdot 2^{22} + 1 > 6 \cdot 4 \cdot (2^{10})^2 = 24 \cdot 10000 > 8787878, \ldots \left( \ldots \left( \ldots (7 \cdot 2 - 1) \cdot 2 - 1 \right) \ldots \right) \cdot 2 - 1 = 7 \cdot 2^{22} - 2^{21} + 2^{20} - \ldots - 1 = 7 \cdot 2^{22} - (2^{22} - 1) = 6 \cdot 2^{22} + 1 > 6 \cdot 4 \cdot (2^{10})^2 = 24 \cdot 10000 > 8787878, \ldots \left( \ldots \left( \ldots (7 \cdot 2 - 1) \cdot 2 - 1 \right) \ldots \right) \cdot 2 - 1 = 7 \cdot 2^{22} - 2^{21} + 2^{20} - \ldots - 1 = 7 \cdot 2^{22} - (2^{22} - 1) = 6 \cdot 2^{22} + 1 > 6 \cdot 4 \cdot (2^{10})^2 = 24 \cdot 10000 > 8787878, \) поэтому числа после 22 ходов станут больше 8 787 878. | {
"classes": null,
"difficulty": 2,
"hardness": null,
"img_solution": "",
"img_statement": "",
"link": "https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=660096",
"next": 6600962,
"number": 6600961,
"previous": 660096,
"remark": null,
"solution2": "",
"source": "А. Ларин. Тренировочный вариант № 467",
"topics": [
"Числа и их свойства"
],
"type": 19
} | [] |
ege-6600962 | На доске написаны числа \(7\) и \(8\). За один ход разрешено заменить написанную на доске пару чисел \(a\) и \(b\) парой \(2a - 1\) и \(a + b\) (например, из пары \(7\) и \(8\) за один ход можно получить либо числа \(13\) и \(15\), либо числа \(15\) и \(15\)). в) После 1001 хода на доске получили пару чисел, не равных друг другу. Какое наименьшее значение может иметь разность между большим и меньшим из этих чисел. | в) 2. | в) Заметим, что выражения \\[ \\left|2a-1-(a+b)\\right| = \\left|a-b-1\\right|, \\left|2b-1-(a+b)\\right| = \\left|b-a-1\\right| = \\left|a-b\\right| + 1, \\] отличается от \\[ \\left|a-b\\right| \\] ровно на 1, причем в любую сторону, в которую нам захочется. То есть с каждой операцией разность между числами изменяется на 1. За 1001 действие она станет четной, но не нулем, значит, как минимум 2. Этого добиться можно, увеличив ее на 1 501 раз, а потом уменьшив на 1 500 раз. | {
"classes": null,
"difficulty": 2,
"hardness": null,
"img_solution": "",
"img_statement": "",
"link": "https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=660096",
"next": 0,
"number": 6600962,
"previous": 6600961,
"remark": null,
"solution2": "",
"source": "А. Ларин. Тренировочный вариант № 467",
"topics": [
"Числа и их свойства"
],
"type": 19
} | [] |
ege-6604031 | Обозначим через \( s(n) \) сумму цифр натурального числа \( n \). Трехзначное число \( n \) будем называть хорошим, если \( n \) делится на \( s(n) \). б) Чему равно наименьшее возможное значение частного \(\frac{n}{s(n)}\) для хорошего числа? | б) 11; | б) Представим теперь \(k\) в виде \(k = \frac{100a + 10b + c}{a + b + c} = 10 + 9 \cdot \frac{10a - c}{a + b + c}\). При \(a \geq 1\) верно неравенство \(10a - c \geq 0\), а значит, \(k \geq 1\). Равенство \(k = 11\) достигается, если \(\frac{10a - c}{a + b + c} = \frac{1}{9}\). Это возможно при \(a = 1\), \(b = 9\), \(c = 8\). | {
"classes": null,
"difficulty": 2,
"hardness": null,
"img_solution": "",
"img_statement": "",
"link": "https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=660403",
"next": 6604032,
"number": 6604031,
"previous": 660403,
"remark": null,
"solution2": "",
"source": "А. Ларин. Тренировочный вариант № 468",
"topics": [
"Числа и их свойства"
],
"type": 19
} | [] |
ege-6604032 | Обозначим через \( s(n) \) сумму цифр натурального числа \( n \). Трехзначное число \( n \) будем называть хорошим, если \( n \) делится на \( s(n) \). в) Может ли для хорошего числа быть дробь: $\frac{n}{s(n)} = 65$? | в) нет. Приведем другое решение пункта. | в) Равенство $k = 65$ означает, что $100a + 10b + c = 65a + 65b + 65c$ равносильно $35a = 55b + 64c$. Из полученного соотношения следует, что число $c$ кратно 5. Но $35a \leq 35 \times 9 = 315$, а значит, возможен единственный вариант: $c = 0$. Но тогда $7a = 11b$, что невозможно, так как $a$ не кратно 11. | {
"classes": null,
"difficulty": 2,
"hardness": null,
"img_solution": "",
"img_statement": "",
"link": "https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=660403",
"next": 0,
"number": 6604032,
"previous": 6604031,
"remark": null,
"solution2": "",
"source": "А. Ларин. Тренировочный вариант № 468",
"topics": [
"Числа и их свойства"
],
"type": 19
} | [] |
ege-6607441 | Есть 16 монеток по 2 рубля и 29 монеток по 5 рублей. б) Можно ли взять несколько из них так, чтобы сумма взятых монет была равна \(176\)? | б) нет, нельзя; | б) Нет, сумма невзятых монет тогда должна давать \(1\) рUBLE, что невозможно. | {
"classes": null,
"difficulty": 2,
"hardness": null,
"img_solution": "",
"img_statement": "",
"link": "https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=660744",
"next": 6607442,
"number": 6607441,
"previous": 660744,
"remark": null,
"solution2": "",
"source": "",
"topics": [
"Числа и их свойства"
],
"type": 19
} | [] |
ege-6607442 | Есть 16 монеток по 2 рубля и 29 монеток по 5 рублей. в) Какое наименьшее количество монеток по 1 рублю нужно добавить в набор, чтобы можно было получить любую целую сумму от 1 до 180 включительно. | в) 3. | в) Ясно, что их надо не менее \(180 - 177 = 3\) штуки. Докажем, что этого хватит. Если нужно представить сумму до 149 рублей, то возьмем сначала сколько сможем пятирублевых и останется набрать от 0 до 4 рублей, что возможно. Например 1, 2, \(2 + 1\), \(2 + 2\). Если же нужно представить сумму \(S\) от 150 до 180 рублей, то выберем монеты общей суммой \(180 - S \leq 180 - 150 = 30\) (это возможно), оставим их в кармане, а все остальные как раз дадут нужную сумму \(S\). | {
"classes": null,
"difficulty": 2,
"hardness": null,
"img_solution": "",
"img_statement": "",
"link": "https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=660744",
"next": 0,
"number": 6607442,
"previous": 6607441,
"remark": null,
"solution2": "",
"source": "",
"topics": [
"Числа и их свойства"
],
"type": 19
} | [] |
ege-6607761 | Над парой целых чисел $(a; b)$ проводится операция, после которой получается пара $(3a + b; 3b - a)$. б) Верно ли, что если пара \((c; d)\) может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции, то и пара \((-d; c)\) тоже может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции? | б) да; | б) Пусть \(3a + b = c\) и \(3b - a = d\). Тогда \(3(-b) + a = -d\) и \(3a - (-b) = c\), то есть \((-b; a) \mapsto (-d, c)\). Значит, утверждение верно. | {
"classes": null,
"difficulty": 2,
"hardness": null,
"img_solution": "",
"img_statement": "",
"link": "https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=660776",
"next": 6607762,
"number": 6607761,
"previous": 660776,
"remark": null,
"solution2": "",
"source": "Задания 19 ЕГЭ–2024",
"topics": [
"Числа и их свойства"
],
"type": 19
} | [] |
ege-6607762 | Над парой целых чисел $(a; b)$ проводится операция, после которой получается пара $(3a + b; 3b - a)$. в) Зададим расстояние между парами целых чисел $(a; b)$ и $(c; d)$ выражением $|a - c| + |b - d|$. Найдите наименьшее расстояние от пары $(9; 2)$ до пары, полученной из какой-то пары с помощью данной операции. | в) 3. | в) Найдем наименьшее значение выражения $|3a + b - 9| + |3b - a - 2|$. При $a = b = 2$ его значение 3. Докажем, что получить меньше нельзя. В самом деле, пусть это возможно. Оба слагаемых — целые неотрицательные числа, значит, каждое из них не превосходит двух. То есть 7 \\leq |3a + b - 9| \\leq 11 и 0 \\leq |3b - a - 2| \\leq 4. Домножая второе неравенство на 3 и складывая, получим 7 \\leq 10b \\leq 23, откуда $b = 1$ или $b = 2$. При $b = 1$ получаем: 6 \\leq |3a - 7| \\leq 10 и -1 \\leq a \\leq 3, поэтому следует проверить $a = 2$ и $a = 3$. При $b = 2$ получаем: 5 \\leq |3a - 5| \\leq 9 и 2 \\leq a \\leq 6, поэтому следует проверить $a = 2$ и $a = 3$. Итак, требуют проверки пары $(2, 1) \mapsto (7, 1)$, $(3, 1) \mapsto (10, 0)$, $(2, 2) \mapsto (8, 4)$ и $(3, 2) \mapsto (11, 3)$. Все они дают результат не лучше. | {
"classes": null,
"difficulty": 2,
"hardness": null,
"img_solution": "",
"img_statement": "",
"link": "https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=660776",
"next": 0,
"number": 6607762,
"previous": 6607761,
"remark": null,
"solution2": "",
"source": "Задания 19 ЕГЭ–2024",
"topics": [
"Числа и их свойства"
],
"type": 19
} | [] |
ege-6607771 | Есть 24 монет по 2 рубля и 30 монеток по 5 рублей. б) Можно ли взять несколько из них так, чтобы сумма взятых монет была равна $\dpi{100} \fn_phv 197$ копейкам? | б) нет, нельзя | б) Нет, сумма не взятых монет тогда должна давать $\dpi{100} \fn_phv 100$ копеек, что невозможно. | {
"classes": null,
"difficulty": 2,
"hardness": null,
"img_solution": "",
"img_statement": "",
"link": "https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=660777",
"next": 6607772,
"number": 6607771,
"previous": 660777,
"remark": null,
"solution2": "",
"source": "Задания 19 ЕГЭ–2024",
"topics": [
"Числа и их свойства"
],
"type": 19
} | [] |
ege-6607772 | Есть 24 монет по 2 рубля и 30 монеток по 5 рублей. в) Какое наименьшее количество монеток по 1 рублю нужно добавить в набор, чтобы можно было получить любую целую сумму от 1 до 200 включительно. | в) 2. | в) Ясно, что их надо не менее $200 - 198 = 2$ штуки. Докажем, что этого хватит. Если нужно представить сумму до 149 рублей, то возьмем сначала столько пятирублевых монет, сколько сможем, и останется набрать от 0 до 4 рублей, что возможно. Например $1, 2, 2 + 1, 2 + 2$. Если же нужно представить сумму \( S \) от 150 до 200 рублей, то выберем монеты общей суммой \( 200 - S \leq 200 - 150 = 50 \) (это возможно), оставим их в кармане, а все остальные как раз дадут нужную сумму \( S \). | {
"classes": null,
"difficulty": 2,
"hardness": null,
"img_solution": "",
"img_statement": "",
"link": "https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=660777",
"next": 0,
"number": 6607772,
"previous": 6607771,
"remark": null,
"solution2": "",
"source": "Задания 19 ЕГЭ–2024",
"topics": [
"Числа и их свойства"
],
"type": 19
} | [] |
ege-6609481 | В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна 40\,тонн или 60\,тонн. В некоторых контейнерах находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет 40\% от общего числа контейнеров.\nб) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составлять \(60\%\) от общей массы? | б) нет; | б) По доказанному в пункте | {
"classes": null,
"difficulty": 2,
"hardness": null,
"img_solution": "",
"img_statement": "",
"link": "https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=660948",
"next": 6609482,
"number": 6609481,
"previous": 660948,
"remark": null,
"solution2": "",
"source": "",
"topics": [
"Числа и их свойства"
],
"type": 19
} | [] |
ege-6609482 | В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна 40\,тонн или 60\,тонн. В некоторых контейнерах находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет 40\% от общего числа контейнеров.\nв) Какую наибольшую долю в процентах может составлять масса контейнеров с сахарным песком от общей массы? | в) \(50\%\). | в) Масса контейнеров с сахарным песком не может составлять \(60\%\). | {
"classes": null,
"difficulty": 2,
"hardness": null,
"img_solution": "",
"img_statement": "",
"link": "https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=660948",
"next": 0,
"number": 6609482,
"previous": 6609481,
"remark": null,
"solution2": "",
"source": "",
"topics": [
"Числа и их свойства"
],
"type": 19
} | [] |
ege-6609551 | Из набора цифр \(1, 2, 3, 4, 6, 7\) и \(8\) составляют пару чисел, используя каждую цифру ровно один раз. Оказалось, что одно из этих чисел пятизначное, а другое — двузначное и кратно \(36\). б) Могут ли сумма такой пары чисел равняться \(74{,}134\)? | б) нет; | б) Нет, не могут. Двузначные числа, кратные \(36\), это \(36\) и \(72\). Рассмотрим разности: \[74{,}134 - 36 = 74{,}098, \quad 74{,}134 - 72 = 74{,}062\]. В обоих случаях пятизначное число содержит цифры, не входящие в набор. | {
"classes": null,
"difficulty": 2,
"hardness": null,
"img_solution": "",
"img_statement": "",
"link": "https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=660955",
"next": 6609552,
"number": 6609551,
"previous": 660955,
"remark": null,
"solution2": "",
"source": "Задания 19 ЕГЭ–2024",
"topics": [
"Числа и их свойства"
],
"type": 19
} | [] |
ege-6609552 | Из набора цифр \(1, 2, 3, 4, 6, 7\) и \(8\) составляют пару чисел, используя каждую цифру ровно один раз. Оказалось, что одно из этих чисел пятизначное, а другое — двузначное и кратно \(36\). в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел в этой паре? | в) $87457$. | в) Если двузначным числом выбрать $36$, то из оставшихся цифр $1, 2, 4, 7$ и $8$ можно составить максимально возможное число $87421$. Сложив, получаем $87457$. Если двузначным числом выбрать $72$, то из оставшихся цифр $1, 3, 4, 6$ и $8$ можно составить максимально возможное число $86431$. Сложив, получаем $86503$. Итак, наибольшее значение, которое может принимать сумма чисел в этой паре, равно $87457$. | {
"classes": null,
"difficulty": 2,
"hardness": null,
"img_solution": "",
"img_statement": "",
"link": "https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=660955",
"next": 0,
"number": 6609552,
"previous": 6609551,
"remark": null,
"solution2": "",
"source": "Задания 19 ЕГЭ–2024",
"topics": [
"Числа и их свойства"
],
"type": 19
} | [] |
ege-6676841 | Бесконечная непостоянная арифметическая прогрессия \\( \\{a_n\\} \\) состоит из натуральных чисел. б) Может ли быть \(a_{1} = 13\), если \(a_{73}\) и \(a_{95}\) делятся на 9? | б) нет; | б) Имеем: \(a_{95} - a_{73} = (a + 94d) - (a + 72d) = 22d\). Найденное выражение кратно 9 только при \(d\) кратном 9. Значит, \(a_n = a_1 + (n-1)d = 13 + (n-1) \cdot 9\). Полученная сумма не делится на 9 ни при каких \(n\). Противоречие. | {
"classes": null,
"difficulty": 2,
"hardness": null,
"img_solution": "",
"img_statement": "",
"link": "https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=667684",
"next": 6676842,
"number": 6676841,
"previous": 667684,
"remark": null,
"solution2": "",
"source": "А. Ларин. Тренировочный вариант № 470",
"topics": [
"Числа и их свойства"
],
"type": 19
} | [] |
ege-6676842 | Бесконечная непостоянная арифметическая прогрессия \\( \\{a_n\\} \\) состоит из натуральных чисел. в) Первый член прогрессии \(\{a_n\}\) делится на 19 с остатком 0, второй — на 23 с остатком 22, третий — на 31 с остатком 29. Чему равна наименьшая возможная разность \(d\) этой прогрессии? Найдите наименьшее возможное значение \(a_{5}\) при наименьшем возможном значении \(d\). | в) \(5799\). | в) Докажем, что можно взять \(d=1\). Нужно, чтобы \(a_1\) было кратно 19, и давало остаток 22 при делении на 23 и остаток 29 при делении на 31. Подберем такое \(a_1\). Заметим, что \(a_1=91\) удовлетворяет последним двум условиям. Любое другое подходящее \(a_1\) должно отличаться от этого на число, кратное и 23, и 31, то есть кратное 713 (и потому быть не меньше 91). Итак, \(a_1=91+713x=76+15+37 \cdot 19x+10x=19\left(4+37x\right)+5\left(3+2x\right)\), а тогда число \(3+2x\) делится на 19. Минимальное такое \(x\) равно 8, поэтому минимальное \(a_1\) равно \(91+8 \cdot 713=5795\). Значит, \(a_5=a_1+4d=5795+4=5799\). | {
"classes": null,
"difficulty": 2,
"hardness": null,
"img_solution": "",
"img_statement": "",
"link": "https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=667684",
"next": 0,
"number": 6676842,
"previous": 6676841,
"remark": null,
"solution2": "",
"source": "А. Ларин. Тренировочный вариант № 470",
"topics": [
"Числа и их свойства"
],
"type": 19
} | [] |
ege-6682151 | Из четырёхзначного натурального числа вычитают сумму всех его цифр, затем полученное число делят на 3. б) Могло ли в результате таких операций получиться число \(2075\)? | б) нет; | б) Уравнение \(3 \left(111a + 11b + c\right) = 2075\) неразрешимо, поскольку \(2075\) не кратно трем. | {
"classes": null,
"difficulty": 2,
"hardness": null,
"img_solution": "",
"img_statement": "",
"link": "https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=668215",
"next": 6682152,
"number": 6682151,
"previous": 668215,
"remark": null,
"solution2": "",
"source": "А. Ларин. Тренировочный вариант № 472",
"topics": [
"Числа и их свойства"
],
"type": 19
} | [] |
ege-6682152 | Из четырёхзначного натурального числа вычитают сумму всех его цифр, затем полученное число делят на 3. в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от 5200 до 6000 включительно? | в) 81. | в) Сразу заметим, что числа, отличающиеся лишь последней цифрой, дают одинаковый ответ. Кроме того, \( 6000 \rightarrow 1998 \) и других таких чисел нет, поскольку для остальных чисел \( a=5 \), \( b \leq 9 \), \( c \leq 9 \), а тогда \( 3 \left( 111a + 11b + c \right) \leq 3 \left( 555 + 99 + 9 \right) = 3 \times 664 = 1992 \). Теперь исследуем числа \( 5200, 5210, 5220, \ldots 5990 \). У всех у них \( a = 5 \), и потому они дают ответы \( 3 \left( 555 + 11b + c \right) \). Докажем, что разные числа не могут дать одинаковый ответ. В самом деле, пусть \( 3 \left( 555 + 11b + c \right) = 3 \left( 555 + 11b_1 + c_1 \right) \), тогда \( 11b + c = 11b_1 + c_1 \), \( 11 \left( b - b_1 \right) = c_1 - c \). Разность двух цифр может быть кратна 11 только если эти цифры равны, то есть \( c_1 = c \), а тогда и \( b_1 = b \). Итак, все эти числа (их \( 599 - 520 + 1 = 80 \)) дают разные ответы. Значит, всего ответов 81 (учитывая 1998). | {
"classes": null,
"difficulty": 2,
"hardness": null,
"img_solution": "",
"img_statement": "",
"link": "https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=668215",
"next": 0,
"number": 6682152,
"previous": 6682151,
"remark": null,
"solution2": "",
"source": "А. Ларин. Тренировочный вариант № 472",
"topics": [
"Числа и их свойства"
],
"type": 19
} | [] |
ege-6688011 | Центр подготовки космонавтов готовит экипажи для работы на МКС в составе четырех человек каждый, причем у любых двух экипажей может быть не более одного общего члена и каждый космонавт может участвовать не более, чем в двух экипажах. ) Можно ли при этих условиях из 9 человек подготовить 4 экипажа? | ) \text{нет}; | ) Нет. Рассмотрим два экипажа с общим членом (ясно, что такие есть). Обозначим их общего космонавта номером \(1\), а остальных — \(234\) и \(567\). Тогда в любой другой экипаж может входить максимум один космонавт из набора \(1234\) и набора \(567\). Значит, остальные два в обоих экипажах — космонавты \(8\) и \(9\), поэтому остальные два экипажа имеют двух общих членов, что противоречит условию. | {
"classes": null,
"difficulty": 2,
"hardness": null,
"img_solution": "",
"img_statement": "",
"link": "https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=668801",
"next": 6688012,
"number": 6688011,
"previous": 668801,
"remark": null,
"solution2": "\n",
"source": "А. Ларин. Тренировочный вариант № 473",
"topics": [
"Числа и их свойства"
],
"type": 19
} | [] |
ege-6688012 | Центр подготовки космонавтов готовит экипажи для работы на МКС в составе четырех человек каждый, причем у любых двух экипажей может быть не более одного общего члена и каждый космонавт может участвовать не более, чем в двух экипажах. в) Какое наименьшее количество человек необходимо для подготовки 10 экипажей? | в) 20. | в) В десяти экипажах всего 40 человек, причем каждый посчитан максимум дважды, поэтому нельзя использовать менее \\( \\frac{40}{2} = 20 \\) космонавтов. Для 20 можно построить пример. Разобьем их на два отряда по 10 и в каждом организуем 5 экипажей (то есть экипажи разных отрядов вообще не пересекаются между собой): 1234, 1567, 2589, 3680, 4790. Нетрудно видеть, что каждый космонавт входит ровно в два экипажа и для каждой пары экипажей одного отряда есть ровно один общий космонавт, этих пар как раз тоже 10. | {
"classes": null,
"difficulty": 2,
"hardness": null,
"img_solution": "",
"img_statement": "",
"link": "https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=668801",
"next": 0,
"number": 6688012,
"previous": 6688011,
"remark": null,
"solution2": "",
"source": "А. Ларин. Тренировочный вариант № 473",
"topics": [
"Числа и их свойства"
],
"type": 19
} | [] |
ege-6691241 | Магическим квадратом будем называть квадратную таблицу \(3 \times 3\), заполненную девятью натуральными однозначными числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях была одинакова. Магический квадрат называется нормальным, если в его клетках по одному разу стоят все числа от \(1\) до \(9\). б) Сколько существует нормальных магических квадратов? | б) 8; | б) Сумма всех чисел в клетках квадрата равна \(3s = 1 + 2 + \ldots + 9 = 45\), откуда \(s = 15\), \(e = 5\). Можно перечислить все суммы трех различных чисел, равные 15. Это: \(9 + 5 + 1\), \(9 + 4 + 2\), \(8 + 6 + 1\), \(8 + 5 + 2\), \(8 + 4 + 3\), \(7 + 6 + 2\), \(7 + 5 + 3\), \(6 + 5 + 4\). Этих сумм как раз восемь, значит, каждая из них является суммой на какой-нибудь линии. При этом угловые клетки входят в три суммы, поэтому в них стоят четные числа (только они упоминаются три раза). Поставить 8 можно в любую угловую клетку, напротив нее поставить 2, а потом двумя способами поставить остальные четные цифры по двум углам и уже имеющимися однозначно заполнить всю таблицу. Получатся 8 вариантов, отличающихся друг от друга только поворотами и отражениями: \(\begin{matrix} 4 & 9 & 2 \\ 3 & 5 & 7 \\ 8 & 1 & 6 \end{matrix}\) | {
"classes": null,
"difficulty": 2,
"hardness": null,
"img_solution": "https://ege.sdamgia.ru/get_file?id=189767",
"img_statement": "",
"link": "https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=669124",
"next": 6691242,
"number": 6691241,
"previous": 669124,
"remark": null,
"solution2": "",
"source": "А. Ларин. Тренировочный вариант № 474",
"topics": [
"Числа и их свойства"
],
"type": 19
} | [] |
ege-6691242 | Магическим квадратом будем называть квадратную таблицу \(3 \times 3\), заполненную девятью натуральными однозначными числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях была одинакова. Магический квадрат называется нормальным, если в его клетках по одному разу стоят все числа от \(1\) до \(9\). в) Сколько существует разных магических квадратов? | в) 129. | в) Выберем для начала произвольно \(a, c, e\). Тогда последовательно получаем: \[ s = 3e, \quad b = 3e - a - c, \quad x = 2e - c, \quad z = 2e - a, \quad y = a + c - e, \quad d = e + c - a, \quad f = e + a - c \] и при любых \(a, c, e\) квадрат получается с одинаковыми суммами, но, возможно, не с однозначными числами. Нужно выполнение следующих условий: \[ a, c, e, 3e - a - c, 2e - a, 2e - c, a + c - e, e + c - a, e + a - c \in [1; 9] \]. Переберем варианты для \(e\), отметив сразу, что если заменить каждую цифру в магическом квадрате ее дополнением до 10, то он останется магическим. Значит, вариантов с \(e = 6, 7, 8, 9\) столько же, сколько с \(e = 4, 3, 2, 1\). Эти условия сводятся к \[ e < a + c < 3e, \quad -e < a - c < e \]. Условия \[ 2e - a \in [1; 9] \] и \[ 2e - c \in [1; 9] \] выполняются автоматически, поскольку, например, \[ 2e - a \leq 2 \times (5 - 1) = 9 \] и \[ a = \frac{1}{2} \times (a + a) < \frac{1}{2} \times (2e - c + e + c) = 2e \]. Условия \[ e < a + c < 3e, \quad -e < a - c < e \] задают на плоскости \((a, c)\) квадрат с центром в точке \((e, e)\). Сделав замену \[ X = a - e, \quad Y = c - e \], получим квадрат, заданный условиями \[-e < X + Y < e, \quad -e < X - Y < e \]. Его целые точки образуют две вложенных друг в друга квадратных решетки (см. рис.). При \(e = 1\) решетка всего одна и содержит одну точку. При \(e = 2\) точек \(4 + 1 = 5\). При \(e = 3\) точек \(9 + 4 = 13\). При \(e = 4\) точек \(16 + 9 = 25\). При \(e = 5\) точек \(25 + 16 = 41\). therefore, общий ответ: \[ (1 + 5 + 13 + 25) \times 2 + 41 = 129 \] | {
"classes": null,
"difficulty": 2,
"hardness": null,
"img_solution": "https://ege.sdamgia.ru/get_file?id=189767",
"img_statement": "",
"link": "https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=669124",
"next": 0,
"number": 6691242,
"previous": 6691241,
"remark": null,
"solution2": "",
"source": "А. Ларин. Тренировочный вариант № 474",
"topics": [
"Числа и их свойства"
],
"type": 19
} | [] |
ege-6697791 | Пираты нашли сундук с сокровищами, в котором было 60 монет достоинством 1 дукат и 60 монет достоинством 5 дукатов. Других монет у пиратов нет. б) Получится ли поделить все деньги поровну между 40 пиратов, если каждому должно достаться целое число монет? | б) нет; | б) Нет. Если 40 пиратов получают поровну, то каждый должен получить по \( \frac{120}{40} = 3 \) дукатов, то есть не больше одной монеты достоинством 5 дукатов, а значит, не меньше 2 монет достоинством 1 дукат. Но монет достоинством 1 дукат всего 60, а потому их хватит только на 15 пиратов. | {
"classes": null,
"difficulty": 2,
"hardness": null,
"img_solution": "",
"img_statement": "",
"link": "https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=669779",
"next": 6697792,
"number": 6697791,
"previous": 669779,
"remark": null,
"solution2": "",
"source": "",
"topics": [
"Числа и их свойства"
],
"type": 19
} | [] |
ege-6697792 | Пираты нашли сундук с сокровищами, в котором было 60 монет достоинством 1 дукат и 60 монет достоинством 5 дукатов. Других монет у пиратов нет. в) При каком наибольшем количестве пиратов капитану удастся поделить между ними все деньги любым способом, каким бы ему не захотелось (например, при каком-то способе кому-то из пиратов может ничего не достаться)? | в) $16$. | в) Если пиратов больше 17, то существует дележ, который не получится реализовать. Например, капитан не сможет взять себе 296 дукатов, шестнадцати пиратам дать по 4 дуката, а оставшимся пиратам ничего не дать, поскольку имеется только $60$ монет по одному дукату, а при таком способе нужно иметь $64$ монеты по одному дукату. Если же пиратов 16, то $360$ дукатов получится распределить между ними любым наперед заданным способом. Действительно, придумаем, сколько денег выдать каждому пирату и, начиная с наибольшей причитающейся суммы, будем каждому пирату выдавать сначала максимально возможное число монет по 5 дукатов, затем добавлять необходимое число монет по 1 дукату. Тогда каждый, кроме последнего, получит не более 4 монет по одному дукату. Всего таких монет $60$, поэтому получится обеспечить не менее 15\\ человек. Последний получает оставшиеся в сундуке деньги. | {
"classes": null,
"difficulty": 2,
"hardness": null,
"img_solution": "",
"img_statement": "",
"link": "https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=669779",
"next": 0,
"number": 6697792,
"previous": 6697791,
"remark": null,
"solution2": "",
"source": "",
"topics": [
"Числа и их свойства"
],
"type": 19
} | [] |
ege-6720081 | Даны натуральные числа \(1, 2, 3, \ldots, 2025\). Из этих чисел выбрали несколько так, что для любых двух выбранных чисел \(a\) и \(b\), где \(a < b\), выполняется неравенство \(b - a \neq \operatorname{НОД}(a, b)\). б) Может ли количество выбранных чисел равняться 1200? | б) нет; | б) Нет. Разобьем числа на пары \((1, 2)\), \((3, 4)\), \(\ldots\), \((2023, 2024)\) и допишем число 2025. Числа из каждой пары имеют разность 1 и НОД, равный одному: если \(a\) и \(a + 1\) кратны \(d\), то и их разность, равная 1, кратна \(d\), поэтому \(d = 1\). Значит, из каждой пары можно взять не более одного числа. Поэтому всего выбрано не более \(\frac{2024}{2} + 1 = 1013\) чисел. | {
"classes": null,
"difficulty": 2,
"hardness": null,
"img_solution": "",
"img_statement": "",
"link": "https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=672008",
"next": 6720082,
"number": 6720081,
"previous": 672008,
"remark": null,
"solution2": "",
"source": "",
"topics": [
"Числа и их свойства"
],
"type": 19
} | [] |
ege-6720082 | Даны натуральные числа \(1, 2, 3, \ldots, 2025\). Из этих чисел выбрали несколько так, что для любых двух выбранных чисел \(a\) и \(b\), где \(a < b\), выполняется неравенство \(b - a \neq \operatorname{НОД}(a, b)\). в) Какое наибольшее количество чисел может быть выбрано? | в) \(10^{13}\). | в) В предыдущем пункте было доказано, что выбрать больше \(10^{13}\) чисел нельзя. Если взять все нечетные числа в этом диапазоне, а их как раз \(10^{13}\), то получится, что НОД любых двух нечетных чисел будет нечетным, а разность четной, поэтому условие задачи выполнено. | {
"classes": null,
"difficulty": 2,
"hardness": null,
"img_solution": "",
"img_statement": "",
"link": "https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=672008",
"next": 0,
"number": 6720082,
"previous": 6720081,
"remark": null,
"solution2": "",
"source": "",
"topics": [
"Числа и их свойства"
],
"type": 19
} | [] |
Subsets and Splits