Datasets:
onlysainaa
/
integralmn-algebra

Dataset card Data Studio Files
xet
Community
1
prompt
stringlengths
7
926
completion
stringlengths
15
3.16k
∫3e43dx2x∫33e4dx2x интегралийг бод.
Заавар: ∫12xdx=12lnx∫12xdx=12ln⁡x ба Ньютон-Лейбницийн томьёог ашигла. Бодолт: ∫3e4312xdx=12lnx∣∣∣3e43=12(ln(3e4)−ln3)=12ln3e43=12lne4=2∫33e412xdx=12ln⁡x|33e4=12(ln⁡(3e4)−ln⁡3)=12ln⁡3e43=12ln⁡e4=2 байна.
∫3x+1x(x+1)(x−2)dx∫3x+1x(x+1)(x−2)dx
Заавар: 3x+1x(x+1)(x−2)=Ax+Bx+1+Cx−23x+1x(x+1)(x−2)=Ax+Bx+1+Cx−2 байх AA, BB, CC тоонуудыг ол. Бодолт: 3x+1x(x+1)(x−2)=Ax+Bx+1+Cx−23x+1x(x+1)(x−2)=Ax+Bx+1+Cx−2 бол 3x+1=A(x+1)(x−2)+Bx(x−2)+Cx(x+1)3x+1=A(x+1)(x−2)+Bx(x−2)+Cx(x+1) байна. x=0,−1,2x=0,−1,2 утгууд дээр бодвол 1=−2A1=−2A, −2=3B−2=3B, 7=6C7=6C тул 3x+1x(x+1)(x−2)=−12x+−23x+1+76x−23x+1x(x+1)(x−2)=−12x+−23x+1+76x−2 болно. Иймд ∫3x+1x(x+1)(x−2)dx=∫(−12x+−23x+1+76x−2)dx=−12∫1x−23∫1x+1+76∫1x−2+C=−12ln|x|−23ln|x+1|+76ln|x−2|+C=−16ln|x3|−16ln(x+1)4+16ln|x−2|7+C=16ln∣∣∣(x−2)7x3(x+1)4∣∣∣+C∫3x+1x(x+1)(x−2)dx=∫(−12x+−23x+1+76x−2)dx=−12∫1x−23∫1x+1+76∫1x−2+C=−12ln⁡|x|−23ln⁡|x+1|+76ln⁡|x−2|+C=−16ln⁡|x3|−16ln⁡(x+1)4+16ln⁡|x−2|7+C=16ln⁡|(x−2)7x3(x+1)4|+C
∫3x2+2x+7x2+1dx=?∫3x2+2x+7x2+1dx=?
Заавар: ∫dxx2+a2=1aarctgxa+C∫dxx2+a2=1aarctgxa+C Бодолт: ∫3x2+2x+7x2+1dx=∫(3+2x+4x2+1)dx=∫3dx+∫2xx2+1dx+4∫dxx2+1=3x+∫d(x2+1)x2+1+4arctgx=3x+ln(x2+1)+4arctgx+C∫3x2+2x+7x2+1dx=∫(3+2x+4x2+1)dx=∫3dx+∫2xx2+1dx+4∫dxx2+1=3x+∫d(x2+1)x2+1+4arctgx=3x+ln⁡(x2+1)+4arctgx+C
∫3−1|7x+2|dx∫−13|7x+2|dx нь аль тоо вэ?
Заавар: Модультай интеграл бодохдоо тодорхой интегралын ∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx чанарыг ашиглан модулиас салган боддог. Энэ бодлогыг тодорхой интегралын геометр утгыг ашиглан бодож болно. Бодолт: Тодорхой интегралын геометр утга ёсоор бодох интеграл маань будагдсан хэсгийн талбайтай тэнцүү байна. 2 гурвалжны талбайг олж нэмбэл S=5⋅(−27−(−1))2+23⋅(3−(−27))2=3947S=5⋅(−27−(−1))2+23⋅(3−(−27))2=3947
∫3−2|x−1|dx=?∫−23|x−1|dx=?
Заавар: Тодорхой интегралын геометр утга ашиглан бод. Бодолт: ∫3−2|x−1|dx∫−23|x−1|dx интегралын утга нь зурагт үзүүлсэн будагдсан дүрсийн талбай байна. Иймд ∫4−1|x−2|dx=3⋅32+2⋅22=132∫−14|x−2|dx=3⋅32+2⋅22=132
∫3√x2−23√xdx∫x23−2x3dx интеграл бод.
Заавар: α≠−1α≠−1 үед ∫xαdx=xα+1α+1+C∫xαdx=xα+1α+1+C болохыг ашигла. xmn=n√xmxmn=xmn байдаг. Бодолт: ∫3√x2−23√xdx=∫x13dx−2∫x−13dx=∫x23−2x3dx=∫x13dx−2∫x−13dx= =x13+113+1−2⋅x−13+1−13+1+C=343√x4−33√x2+C=x13+113+1−2⋅x−13+1−13+1+C=34x43−3x23+C
∫3√x−8xdx=a3√x−8−bln|3√x−8+2|+ln((3√x−8)3−c3√x−8+d)−e√3arctg3√x−8+1√3+C∫x−83xdx=ax−83−bln⁡|x−83+2|+ln⁡((x−83)3−cx−83+d)−e3arctgx−83+13+C
Заавар: t=3√x−8t=x−83, x=t3+8x=t3+8 орлуулга ашигла. Бодолт: ∫3√x−8xdx=⎡⎢⎣t=3√x−8x=t3+8dx=3t2dt⎤⎥⎦=∫(tt3+8)3t2dt=∫3t3dtt3+8=∫(3−24t3+8)dt=3t−∫2dtt+2+∫2t−8t2−2t+4dt=3t−2ln|t+2|+∫2(t−1)−6(t−1)2+3dt=3t−2ln|t+2|+∫d[(t−1)2+3](t−1)2+3−∫6dt(t−1)2+(√3)2=3t−2ln|t+2|+ln|(t−1)2+3|−6√3arctgt−1√3+C=3t−2ln|t+2|+ln(t2−2t+4)−6√3arctgt−1√3+C=33√x−8−2ln|3√x−8+2|+ln((3√x−8)3−23√x−8+4)−6√3arctg3√x−8+1√3+C∫x−83xdx=[t=x−83x=t3+8dx=3t2dt]=∫(tt3+8)3t2dt=∫3t3dtt3+8=∫(3−24t3+8)dt=3t−∫2dtt+2+∫2t−8t2−2t+4dt=3t−2ln⁡|t+2|+∫2(t−1)−6(t−1)2+3dt=3t−2ln⁡|t+2|+∫d[(t−1)2+3](t−1)2+3−∫6dt(t−1)2+(3)2=3t−2ln⁡|t+2|+ln⁡|(t−1)2+3|−63arctgt−13+C=3t−2ln⁡|t+2|+ln⁡(t2−2t+4)−63arctgt−13+C=3x−83−2ln⁡|x−83+2|+ln⁡((x−83)3−2x−83+4)−63arctgx−83+13+C
∫40|x−2|dx∫04|x−2|dx
Заавар: ∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx ашиглан модулиас гаргаж бод. Бодолт: ∫40|x−2|dx=∫20|x−2|dx+∫42|x−2|dx=∫20−(x−2)dx+∫42(x−2)dx=−∫20(x−2)dx+∫42(x−2)dx=−(x−2)22∣∣∣20+(x−2)22∣∣∣42=−(0−2)+(2−0)=4∫04|x−2|dx=∫02|x−2|dx+∫24|x−2|dx=∫02−(x−2)dx+∫24(x−2)dx=−∫02(x−2)dx+∫24(x−2)dx=−(x−2)22|02+(x−2)22|24=−(0−2)+(2−0)=4
∫40|−x2+5x−6|dx∫04|−x2+5x−6|dx нь аль тоо вэ?
Заавар: ∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx шугаман чанар ашиглан бод. Бодолт: Инт.=∫40|−x2+5x−6|dx==∫20|−x2+5x−6|dx+←−x2+5x−6<0=+∫32|−x2+5x−6|dx+←−x2+5x−6>0=+∫43|−x2+5x−6|dx=←−x2+5x−6<0=−∫20(−x2+5x−6)dx+=+∫32(−x2+5x−6)dx−=−∫43(−x2+5x−6)dx==−(−x33+5x22−6x)∣∣∣20+=+(−x33+5x22−6x)∣∣∣32−=−(−x33+5x22−6x)∣∣∣43==−(−83+10−12)+0+=+(−9+452−18)−(−83+10−12)−=−(−643+40−24)+(−9+452−18)==143+0−92+143+163−92=173=523Инт.=∫04|−x2+5x−6|dx==∫02|−x2+5x−6|dx+←−x2+5x−6<0=+∫23|−x2+5x−6|dx+←−x2+5x−6>0=+∫34|−x2+5x−6|dx=←−x2+5x−6<0=−∫02(−x2+5x−6)dx+=+∫23(−x2+5x−6)dx−=−∫34(−x2+5x−6)dx==−(−x33+5x22−6x)|02+=+(−x33+5x22−6x)|23−=−(−x33+5x22−6x)|34==−(−83+10−12)+0+=+(−9+452−18)−(−83+10−12)−=−(−643+40−24)+(−9+452−18)==143+0−92+143+163−92=173=523
∫40√16−x2dx интегралыг бод.
Заавар: Энэ интегралаар илэрхийлэгдэх дүрсийн талбай нь 4 радиустай дугуйн 14 хэсэг байна. Бодолт: 4 радиустай дугуйн талбай нь 42π=16π, үүний 14 нь 4π байна.
∫4−1|x−2|dx=?∫−14|x−2|dx=?
Заавар: Тодорхой интегралын геометр утга ашиглан бод. Бодолт: ∫4−1|x−2|dx∫−14|x−2|dx интегралын утга нь зурагт үзүүлсэн будагдсан дүрсийн талбай байна. Иймд ∫4−1|x−2|dx=3⋅32+2⋅22=132∫−14|x−2|dx=3⋅32+2⋅22=132
∫5x(x−1)3dx=?∫5x(x−1)3dx=?
Заавар: 5x(x−1)3=A(x−1)3+B(x−1)2+Cx−15x(x−1)3=A(x−1)3+B(x−1)2+Cx−1 байх AA, BB, CC тоонуудыг ол. Бодолт: 5x(x−1)3=A(x−1)3+B(x−1)2+Cx−15x(x−1)3=A(x−1)3+B(x−1)2+Cx−1 бол A+B(x−1)+C(x−1)2=5xA+B(x−1)+C(x−1)2=5x буюу Cx3+(B−2C)x2+A−B+C=5xCx3+(B−2C)x2+A−B+C=5x тул ⎧⎪⎨⎪⎩C=0B−2C=5A−B+C=0⇒⎧⎪⎨⎪⎩A=5B=5C=0{C=0B−2C=5A−B+C=0⇒{A=5B=5C=0 Иймд Инт.=∫5x(x−1)3=∫(5(x−1)3+5(x−1)2)dx=5∫dx(x−1)3+5∫dx(x−1)2=5⋅(x−1)−2−2−5x−1+C=−52(x−1)2−5x−1+CИнт.=∫5x(x−1)3=∫(5(x−1)3+5(x−1)2)dx=5∫dx(x−1)3+5∫dx(x−1)2=5⋅(x−1)−2−2−5x−1+C=−52(x−1)2−5x−1+C
∫5−2|x2−4x+3|dx∫−25|x2−4x+3|dx
Заавар: a<b<ca<b<c бол ∫baf(x)dx+∫cbf(x)dx=∫caf(x)dx∫abf(x)dx+∫bcf(x)dx=∫acf(x)dx байдаг. f(x)=x2−4x+3f(x)=x2−4x+3 функцийн эерэг ба сөрөг байх мужийг олоод муж тус бүр дээр |f(x)||f(x)|-ийн интегралыг бод. Бодолт: x2−4x+3<0⇔1<x<3x2−4x+3<0⇔1<x<3 байна. [−2,5][−2,5] мужийг [−2;1][−2;1], [1;3][1;3], [3;5][3;5] мужуудад хувааж бодвол ∫5−2|x2−4x+3|dx=∫1−2|x2−4x+3|dx+∫−25|x2−4x+3|dx=∫−21|x2−4x+3|dx+ +∫31|x2−4x+3|dx+∫53|x2−4x+3|dx+∫13|x2−4x+3|dx+∫35|x2−4x+3|dx ба ∫1−2|x2−4x+3|dx=∫1−2(x2−4x+3)dx=(x33−2x2+3x)∣∣∣1−2=∫−21|x2−4x+3|dx=∫−21(x2−4x+3)dx=(x33−2x2+3x)|−21= =(133−2⋅12+3⋅1)−((−2)33−2⋅(−2)2+3⋅(−2))==(133−2⋅12+3⋅1)−((−2)33−2⋅(−2)2+3⋅(−2))= =43−(−503)=18,=43−(−503)=18, ∫31|x2−4x+3|dx=∫31−(x2−4x+3)dx=(−x33+2x2−3x)∣∣∣31=∫13|x2−4x+3|dx=∫13−(x2−4x+3)dx=(−x33+2x2−3x)|13= =(−333+2⋅32−3⋅3)−(−133+2⋅12−3⋅1)=0−(−43)=43,=(−333+2⋅32−3⋅3)−(−133+2⋅12−3⋅1)=0−(−43)=43, ∫53|x2−4x+3|dx=∫53(x2−4x+3)dx=(x33−2x2+3x)∣∣∣53=∫35|x2−4x+3|dx=∫35(x2−4x+3)dx=(x33−2x2+3x)|35= =(533−2⋅52+3⋅5)−(333−2⋅32+3⋅3)=203+0=203=(533−2⋅52+3⋅5)−(333−2⋅32+3⋅3)=203+0=203 тул ∫5−2|x2−4x+3|dx=18+43+203=26∫−25|x2−4x+3|dx=18+43+203=26
∫63dx2x−3∫36dx2x−3 интералыг бод.
Заавар: a≠0,ba≠0,b тогтмол тоо, ∫f(x)dx=F(x)+C∫f(x)dx=F(x)+C бол ∫f(ax+b)dx=1aF(ax+b)+C∫f(ax+b)dx=1aF(ax+b)+C байна. Бодолт: ∫1xdx=lnx+C∫1xdx=ln⁡x+C байдаг. Иймд ∫12x−3dx=12ln(2x−3)+C∫12x−3dx=12ln⁡(2x−3)+C байна. ∫63dx2x−3=12(ln(2x−3)∣∣63)=12(ln9−ln3)=ln√3.∫36dx2x−3=12(ln⁡(2x−3)|36)=12(ln⁡9−ln⁡3)=ln⁡3.
∫6−2|x−2|dx∫−26|x−2|dx интегралыг ол.
Заавар: Тодорхой интегралын геометр утгыг ашигла. Бодолт: ∫6−2|x−2|dx∫−26|x−2|dx интеграл нь будагдсан хэсгийн (2 гурвалжны) талбайтай тэнцүү тул 4⋅42+4⋅42=164⋅42+4⋅42=16 байна.
∫9xsin3xdx∫9xsin⁡3xdx интегралыг бод.
Заавар: Энэ бодлогыг хариунаас нь бодож болно. Өөрөөр хэлбэл уламжлал нь 9xsin3x9xsin⁡3x байх функцийг шууд шалгаж ол. Бодолт: (sin3x−3xcos3x+C)′=3cos3x−(3cos3x+3x(−3sin3x))+0=9xsin3x(sin⁡3x−3xcos⁡3x+C)′=3cos⁡3x−(3cos⁡3x+3x(−3sin⁡3x))+0=9xsin⁡3x байна.
∫ax2+bx+cdx=?∫ax2+bx+cdx=?
Заавар: Шууд шалгаж үз. Бодолт: (ax33+bx22+cx+C)′=3⋅ax23+2⋅bx22+c=ax2+bx+c(ax33+bx22+cx+C)′=3⋅ax23+2⋅bx22+c=ax2+bx+c.
∫bb21−2x3dx=−43∫b2b1−2x3dx=−43 тэнцэтгэл bb-ийн ямар утгад биелэх вэ?
Заавар: Интегралын шугаман чанараар ∫bb21−2x3dx=−43⇔∫bb2(1−2x)dx=−4∫b2b1−2x3dx=−43⇔∫b2b(1−2x)dx=−4 болно. Цааш нь тодорхой интегралыг бодоод bb-ийн утгыг ол. Бодолт: Заавраас ∫bb2(1−2x)dx=−4∫b2b(1−2x)dx=−4 болох тул Ньютон-Лейбницийн томьёогоор (x−x2)∣∣∣bb2=(b−b2)−(b2−(b2)2)=−4(x−x2)|b2b=(b−b2)−(b2−(b2)2)=−4 буюу −34b2+b2=−4⇔3b2−2b−16=0−34b2+b2=−4⇔3b2−2b−16=0 тул b1,2=2±√22−4⋅3⋅(−16)2⋅3=2±146b1,2=2±22−4⋅3⋅(−16)2⋅3=2±146 болно. Иймд b1=83b1=83, b2=−2b2=−2 байна.
∫cos3xdx=?∫cos⁡3xdx=?
Заавар: (sinax)′=acosax⇔∫cosaxdx=sinaxa+C(sin⁡ax)′=acos⁡ax⇔∫cos⁡axdx=sin⁡axa+C Бодолт: ∫cos3xdx=sin3x3+C∫cos⁡3xdx=sin⁡3x3+C байна.
∫dx(x+1)(x2+1)=?∫dx(x+1)(x2+1)=?
Заавар: 1(x+1)(x2+1)=Ax+1+Bx+Cx2+11(x+1)(x2+1)=Ax+1+Bx+Cx2+1 байх AA, BB, CC тоонуудыг ол. Бодолт: 1(x+1)(x2+1)=Ax+1+Bx+Cx2+11(x+1)(x2+1)=Ax+1+Bx+Cx2+1 бол A(x2+1)+(Bx+C)(x+1)=1A(x2+1)+(Bx+C)(x+1)=1 буюу (A+B)x2+(B+C)x+A+C=1(A+B)x2+(B+C)x+A+C=1 тул ⎧⎪⎨⎪⎩A+B=0B+C=0A+C=1⇒⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩A=12B=−12C=12{A+B=0B+C=0A+C=1⇒{A=12B=−12C=12 Иймд Инт.=∫dx(x+1)(x2+1)=∫(12x+1+−12x+12x2+1)dx=12∫dxx+1−12∫xdxx2+1+12∫dxx2+1=12ln|x+1|−14∫d(x2+1)x2+1ln|x−2|+12arctgx+C=14ln(x+1)2−14ln(x2+1)+12arctgx+C=14ln(x+1)2x2+1+12arctgx+CИнт.=∫dx(x+1)(x2+1)=∫(12x+1+−12x+12x2+1)dx=12∫dxx+1−12∫xdxx2+1+12∫dxx2+1=12ln⁡|x+1|−14∫d(x2+1)x2+1ln⁡|x−2|+12arctgx+C=14ln⁡(x+1)2−14ln⁡(x2+1)+12arctgx+C=14ln⁡(x+1)2x2+1+12arctgx+C
∫dx1+4x2∫dx1+4x2 интегралыг бод.
Заавар: ∫dx1+4x2=∫2dx1+(2x)2∫dx1+4x2=∫2dx1+(2x)2 байна. ∫u′dx1+u2=arctgu+C∫u′dx1+u2=arctgu+C байна. Бодолт: ∫dx1+4x2=12∫2dx1+(2x)2=12arctg2x+C∫dx1+4x2=12∫2dx1+(2x)2=12arctg2x+C.
∫dxcos2x⋅sin2x∫dxcos2⁡x⋅sin2⁡x интеграл бод.
Заавар: Үндсэн адилтгал ашиглаж хувиргаад ∫1cos2xdx=tgx+C∫1cos2⁡xdx=tgx+C, ∫1sin2xdx=−ctgx+C∫1sin2⁡xdx=−ctgx+C болохыг ашиглан бод. Бодолт: ∫dxcos2x⋅sin2x=∫sin2x+cos2xcos2x⋅sin2xdx=∫dxcos2⁡x⋅sin2⁡x=∫sin2⁡x+cos2⁡xcos2⁡x⋅sin2⁡xdx= =∫1cos2xdx+∫1sin2xdx=tgx−ctgx+C=∫1cos2⁡xdx+∫1sin2⁡xdx=tgx−ctgx+C
∫dxx2+4x+8=?∫dxx2+4x+8=?
Заавар: ∫dxx2+a2=1aarctgxa+C∫dxx2+a2=1aarctgxa+C Бодолт: ∫dxx2+4x+8=∫dxx2+4x+4+4=∫dx(x+2)2+4=∫d(x+2)(x+2)2+22=12arctgx+22+C∫dxx2+4x+8=∫dxx2+4x+4+4=∫dx(x+2)2+4=∫d(x+2)(x+2)2+22=12arctgx+22+C
∫dxx3+1=?∫dxx3+1=?
Заавар: x3+1=(x+1)(x2−x+1)x3+1=(x+1)(x2−x+1) тул 1(x+1)(x2−x+1)=Ax+1+Bx+Cx2−x+11(x+1)(x2−x+1)=Ax+1+Bx+Cx2−x+1 байх AA, BB, CC тоонуудыг ол. Бодолт: 1(x+1)(x2−x+1)=Ax+1+Bx+Cx2−x+11(x+1)(x2−x+1)=Ax+1+Bx+Cx2−x+1 бол A(x2−x+1)+(Bx+C)(x+1)=1A(x2−x+1)+(Bx+C)(x+1)=1 буюу (A+B)x2+(−A+B+C)x+A+C=1(A+B)x2+(−A+B+C)x+A+C=1 тул ⎧⎪⎨⎪⎩A+B=0−A+B+C=0A+C=1⇒⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩A=13B=−13C=23{A+B=0−A+B+C=0A+C=1⇒{A=13B=−13C=23 Иймд Инт.=∫dxx3+1=∫dx(x+1)(x2−x+1)=∫(13x+1+−13x+23x2−x+1)dx=13∫dxx+1−13∫x−12−32x2−x+1dx=13ln|x+1|−13∫x−12x2−x+1dx+12∫dxx2−x+1=13ln|x+1|−16∫(2x−1)dxx2−x+1+12∫dx(x−12)2+34=13ln|x+1|−16∫d(x2−x+1)x2−x+1+12∫d(x−12)(x−12)2+(√32)2=16ln(x+1)2−16ln(x2−x+1)+1√3arctg2x−1√3+C=16ln(x+1)2x2−x+1+1√3arctg2x−1√3+CИнт.=∫dxx3+1=∫dx(x+1)(x2−x+1)=∫(13x+1+−13x+23x2−x+1)dx=13∫dxx+1−13∫x−12−32x2−x+1dx=13ln⁡|x+1|−13∫x−12x2−x+1dx+12∫dxx2−x+1=13ln⁡|x+1|−16∫(2x−1)dxx2−x+1+12∫dx(x−12)2+34=13ln⁡|x+1|−16∫d(x2−x+1)x2−x+1+12∫d(x−12)(x−12)2+(32)2=16ln⁡(x+1)2−16ln⁡(x2−x+1)+13arctg2x−13+C=16ln⁡(x+1)2x2−x+1+13arctg2x−13+C
∫dxx4−1=?∫dxx4−1=?
Заавар: x4−1=(x2−1)(x2+1)=(x−1)(x+1)(x2+1)x4−1=(x2−1)(x2+1)=(x−1)(x+1)(x2+1) тул 1x4−1=Ax−1+Bx+1+Cx+Dx2+11x4−1=Ax−1+Bx+1+Cx+Dx2+1 байх AA, BB, CC, DD тоонуудыг ол. Бодолт: 1x4−1=Ax−1+Bx+1+Cx+Dx2+11x4−1=Ax−1+Bx+1+Cx+Dx2+1 бол A(x2+1)(x+1)+B(x2+1)(x−1)+(Cx+D)(x2−1)=1A(x2+1)(x+1)+B(x2+1)(x−1)+(Cx+D)(x2−1)=1 буюу (A+B+C)x3+(A−B+D)x2+(A+B−C)x+A−B−D=1(A+B+C)x3+(A−B+D)x2+(A+B−C)x+A−B−D=1 тул ⎧⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪⎩A+B+C=0A−B+D=0A+B−C=0A−B−D=1⇒⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩A=14B=−14C=0D=−12{A+B+C=0A−B+D=0A+B−C=0A−B−D=1⇒{A=14B=−14C=0D=−12 Иймд Инт.=∫dxx4−1=∫(14x−1+−14x+1+−12x2+1)dx=14∫dxx−1−14∫dxx+1−12∫dxx2+1dx=14ln|x−1|−14ln|x+1|−12arctgx+C=14ln∣∣∣x−1x+1∣∣∣−12arctgx+CИнт.=∫dxx4−1=∫(14x−1+−14x+1+−12x2+1)dx=14∫dxx−1−14∫dxx+1−12∫dxx2+1dx=14ln⁡|x−1|−14ln⁡|x+1|−12arctgx+C=14ln⁡|x−1x+1|−12arctgx+C
∫e21lnxxdx∫1e2ln⁡xxdx
Заавар: Орлуулах аргаар бод: ∫bag[f(x)]⋅f′(x)dx=∫bag[f(x)]df(x)=∫f(b)f(a)g(t)dt∫abg[f(x)]⋅f′(x)dx=∫abg[f(x)]df(x)=∫f(a)f(b)g(t)dt Бодолт: ∫e21lnxxdx=∫e21lnx⋅(lnx)′dx=∫lne2ln1tdt=∫1e2ln⁡xxdx=∫1e2ln⁡x⋅(ln⁡x)′dx=∫ln⁡1ln⁡e2tdt= =∫20tdt=t22∣∣∣20=222−022=2=∫02tdt=t22|02=222−022=2
∫e41dxx(lnx+1)∫1e4dxx(ln⁡x+1) интеграл бод.
Заавар: ∫e41dxx(lnx+1)=∫e41d(lnx+1)lnx+1∫1e4dxx(ln⁡x+1)=∫1e4d(ln⁡x+1)ln⁡x+1 байна. Бодолт: ∫e41dxx(lnx+1)=∫e41d(lnx+1)lnx+1=∫lne4+1ln1+1dtt=∫51dtt=lnt∣∣∣51=ln5∫1e4dxx(ln⁡x+1)=∫1e4d(ln⁡x+1)ln⁡x+1=∫ln⁡1+1ln⁡e4+1dtt=∫15dtt=ln⁡t|15=ln⁡5
∫exln(1+ex)dx∫exln⁡(1+ex)dx
Заавар: exdx=d(ex+1)exdx=d(ex+1) болохыг ашиглан u=ex+1u=ex+1 орлуулга ба ∫lnx=x(lnx−1)+C∫ln⁡x=x(ln⁡x−1)+C-ийг ашиглан бод. Эсвэл шууд хэсэгчлэн интегралчлах аргаар бодож болно. Бодолт: ∫exln(1+ex)dx=∫ln(1+ex)d(1+ex)=∫lnudu=u(lnu−1)+C←u=1+ex=(1+ex)(ln(1+ex)−1)+C∫exln⁡(1+ex)dx=∫ln⁡(1+ex)d(1+ex)=∫ln⁡udu=u(ln⁡u−1)+C←u=1+ex=(1+ex)(ln⁡(1+ex)−1)+C
∫exsinxdx∫exsin⁡xdx бод.
Заавар: ∫uv′dx=uv−∫u′vdx∫uv′dx=uv−∫u′vdx Бодолт: Хэсэгчлэн интегралчлах томьёогоор ∫exsinxdx=⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣u=ex,v=−cosx,v′=ex,v′=sinx⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦=−excosx+∫excosxdx∫exsin⁡xdx=[u=ex,v=−cos⁡x,v′=ex,v′=sin⁡x]=−excos⁡x+∫excos⁡xdx ба ∫excosxdx=⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣u=ex,v=sinx,v′=ex,v′=cosx⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦=exsinx−∫exsinxdx∫excos⁡xdx=[u=ex,v=sin⁡x,v′=ex,v′=cos⁡x]=exsin⁡x−∫exsin⁡xdx тул ∫exsinxdx=−excosx+exsinx−∫exsinxdx∫exsin⁡xdx=−excos⁡x+exsin⁡x−∫exsin⁡xdx буюу ∫exsinxdx=ex(sinx−cosx)2+C∫exsin⁡xdx=ex(sin⁡x−cos⁡x)2+C байна.
∫e−xdx∫e−xdx
Заавар: (eax)′=aeax⇒∫eaxdx=eaxa+C(eax)′=aeax⇒∫eaxdx=eaxa+C Бодолт: ∫e−xdx=e−x−1+C=−e−x+C∫e−xdx=e−x−1+C=−e−x+C
∫ln2⋅2xdx∫ln⁡2⋅2xdx
Заавар: ∫axdx=axlna+C∫axdx=axln⁡a+C Бодолт: ∫ln2⋅2xdx=ln2⋅∫2xdx=ln2⋅2xln2+C=2x+C∫ln⁡2⋅2xdx=ln⁡2⋅∫2xdx=ln⁡2⋅2xln⁡2+C=2x+C
∫ln305ex3+5exdx∫0ln⁡35ex3+5exdx интегралыг бод.
Заавар: Тодорхой биш интегралыг бодох орлуулгын арга ашигла. Бодолт: f(x)=53+5xf(x)=53+5x, g(x)=exg(x)=ex гээд оруулгын аргаар бодвол ∫f(x)dx=∫53+5xdx=ln(3+5x)+C∫f(x)dx=∫53+5xdx=ln⁡(3+5x)+C ба g′(x)=exg′(x)=ex тул ∫ln30f[g(x)]g′(x)dx=∫ln3053+ex⋅exdx=∫ln3053+exdex=∫eln3e053+5tdt=∫3153+5tdt=ln(3+5⋅3)−ln(3+5⋅1)=ln94∫0ln⁡3f[g(x)]g′(x)dx=∫0ln⁡353+ex⋅exdx=∫0ln⁡353+exdex=∫e0eln⁡353+5tdt=∫1353+5tdt=ln⁡(3+5⋅3)−ln⁡(3+5⋅1)=ln⁡94
∫ln30exex+1dx∫0ln⁡3exex+1dx интегралыг бод.
Заавар: ∫f(x)dx=F(x)+C∫f(x)dx=F(x)+C бол ∫baf[g(x)]g′(x)dx=∫baf[g(x)]dg(x)=∫abf[g(x)]g′(x)dx=∫abf[g(x)]dg(x)= =∫g(b)g(a)f(t)dt=F[g(b)]−F[g(a)]=∫g(a)g(b)f(t)dt=F[g(b)]−F[g(a)] байдаг. Үүнийг тодорхой биш интегралыг бодох орлуулгын арга гэдэг. Бодолт: ∫ln30exex+1dx=∫ln30d(ex+1)ex+1[t=ex+1]====∫eln3+1e0+1dtt∫0ln⁡3exex+1dx=∫0ln⁡3d(ex+1)ex+1====[t=ex+1]∫e0+1eln⁡3+1dtt ∫eln3+1e0+1dtt=∫42dtt=lnt∣∣∣42=ln4−ln2=ln42=ln2∫e0+1eln⁡3+1dtt=∫24dtt=ln⁡t|24=ln⁡4−ln⁡2=ln⁡42=ln⁡2
∫sin2xdx=?∫sin2⁡xdx=?
Заавар: Зэрэг бууруулах томьёо ашиглан хялбар интегралд шилжүүлж бод. Бодолт: ∫sin2xdx=∫1−cos2x2dx←sin2x=1−cos2x2=12∫dx−12∫cos2xdx=x2−sin2x4+C=−12sinxcosx+x2+C←sin2x=2sinxcosx∫sin2⁡xdx=∫1−cos⁡2x2dx←sin2⁡x=1−cos⁡2x2=12∫dx−12∫cos⁡2xdx=x2−sin⁡2x4+C=−12sin⁡xcos⁡x+x2+C←sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x
∫sin2xdx=?∫sin⁡2xdx=?
Заавар: Хэрэв F′(x)=f(x)F′(x)=f(x) бол F(x)F(x) функцийг f(x)f(x) функцийн эх функц гэж нэрлэдэг. Хэрвээ F(x)F(x) нь f(x)f(x) функцийн эх функц бол дурын тогтмол CC тооны хувьд F(x)+CF(x)+C нь f(x)f(x)-ийн эх функц болдог тул F(x)+CF(x)+C илэрхийллийг f(x)f(x) функцийн тодорхой биш интеграл гээд ∫f(x)dx=F(x)+C∫f(x)dx=F(x)+C гэж тэмдэглэдэг. Хариунаас шууд уламжлал аван шалга. Мөн sin2xdx=2sinxcosxdx=2sinxdsinxsin⁡2xdx=2sin⁡xcos⁡xdx=2sin⁡xdsin⁡x орлуулгаар бодож болно. Бодолт: ∫sin2xdx=∫2sinxcosxdx=∫2sinxdsinx=sin2x+C∫sin⁡2xdx=∫2sin⁡xcos⁡xdx=∫2sin⁡xdsin⁡x=sin2⁡x+C.
∫sin2xdx∫sin⁡2xdx
Заавар: sin2x=2sinxcosxsin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x, cosxdx=dsinxcos⁡xdx=dsin⁡x болохыг ашигла. Бодолт: ∫sin2xdx=∫2sinxcosxdx=∫2sinxdsinx=sin2x+C=−cos2x2+C∫sin⁡2xdx=∫2sin⁡xcos⁡xdx=∫2sin⁡xdsin⁡x=sin2⁡x+C=−cos⁡2x2+C
∫sinxcos3xdx∫sin⁡xcos⁡3xdx бод.
Заавар: Бодолт: sinαcosβ=12(sin(α+β)+sin(α−β))sin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)) болон ∫sinαxdx=−cosαxα+C∫sin⁡αxdx=−cos⁡αxα+C томъёог ашиглан бодъё. ∫sinxcos3xdx=12∫sin(x+3x)+sin(x−3x)dx==12∫sin4xdx−12∫sin2xdx=−18cos4x+14cos2x+C.∫sin⁡xcos⁡3xdx=12∫sin⁡(x+3x)+sin⁡(x−3x)dx==12∫sin⁡4xdx−12∫sin⁡2xdx=−18cos⁡4x+14cos⁡2x+C.
∫x+1√xdx∫x+1xdx интегралыг бод.
Заавар: Интеграл шугаман чанар ашиглан зэрэгт функцүүдийн нийлбэрт задалж бод. Бодолт: ∫x+1√xdx=∫(x√x+1√x)dx=∫(√x+1√x)dx=∫(x12+x−12)dx=x3232+x1212+C=23x32+2x12+C=23x√x+2√x+C∫x+1xdx=∫(xx+1x)dx=∫(x+1x)dx=∫(x12+x−12)dx=x3232+x1212+C=23x32+2x12+C=23xx+2x+C
∫x2dx(x−1)(x−2)(x−3)=?∫x2dx(x−1)(x−2)(x−3)=?
Заавар: x2(x−1)(x−2)(x−3)=Ax−1+Bx−2+Cx−3x2(x−1)(x−2)(x−3)=Ax−1+Bx−2+Cx−3 байх AA, BB, CC тоонуудыг ол. Бодолт: x2(x−1)(x−2)(x−3)=Ax−1+Bx−2+Cx−3x2(x−1)(x−2)(x−3)=Ax−1+Bx−2+Cx−3 бол A(x−2)(x−3)+B(x−1)(x−3)+C(x−1)(x−2)=x2A(x−2)(x−3)+B(x−1)(x−3)+C(x−1)(x−2)=x2 буюу (A+B+C)x2−(5A+4B+3C)x+6A+3B+2C=x2(A+B+C)x2−(5A+4B+3C)x+6A+3B+2C=x2 тул ⎧⎪⎨⎪⎩A+B+C=15A+4B+3C=06A+3B+2C=0⇒⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩A=12B=−4C=92{A+B+C=15A+4B+3C=06A+3B+2C=0⇒{A=12B=−4C=92 Иймд Инт.=∫x2dx(x−1)(x−2)(x−3)=∫(12x−1−4x−2+92x−3)dx=12∫dxx−1−4∫dxx−2+92∫dxx−3=12ln|x−1|−4ln|x−2|+92ln|x−3|+CИнт.=∫x2dx(x−1)(x−2)(x−3)=∫(12x−1−4x−2+92x−3)dx=12∫dxx−1−4∫dxx−2+92∫dxx−3=12ln⁡|x−1|−4ln⁡|x−2|+92ln⁡|x−3|+C
∫x2e2xdx∫x2e2xdx интегралыг бод.
Заавар: Энэ төрлийн интегралыг бодоход ∫uv′dx=uv−∫u′vdx∫uv′dx=uv−∫u′vdx хэсэгчлэн интегралчлах томьёог нэг буюу түүнээс дээш удаа ашиглан боддог. Мөн эх функц олох буюу тодорхой биш интеграл бодох нь уламжлалын эсрэг үйлдэл тул хариунаас бодох боломжтой. Бодолт: u=x2u=x2, v′=e2xv′=e2x гэвэл u′=2xu′=2x, v=∫e2xdx=12e2x+Cv=∫e2xdx=12e2x+C байна. Энд CC нь дурын тогтмол тоо байж болно. ∫x2e2xdx=x2⋅12e2x−∫2x⋅12e2xdx∫x2e2xdx=x2⋅12e2x−∫2x⋅12e2xdx (эндээс x2e2xx2e2x-ийн коэффициентээр зөв хариуг баримжаалж болно) болох ба ∫2x⋅12e2xdx∫2x⋅12e2xdx интегралыг мөн хэсэгчлэн интегралчлах аргаар бодвол ∫2x⋅12e2xdx=2x⋅14e2x−∫2⋅14e2xdx=∫2x⋅12e2xdx=2x⋅14e2x−∫2⋅14e2xdx= =x2⋅e2x−14e2x+C=x2⋅e2x−14e2x+C тул ∫x2e2xdx=14(2x2−2x+1)e2x+C∫x2e2xdx=14(2x2−2x+1)e2x+C байна. Мэдээж үржвэрийн уламжлал олох томьёо ашиглан [14(2x2−2x+1)e2x]′=14(4x−2)e2x+14(2x2−2x+1)⋅2e2x=[14(2x2−2x+1)e2x]′=14(4x−2)e2x+14(2x2−2x+1)⋅2e2x= =xe2x−12e2x+x2e2x−xe2x+12e2x=x2e2x=xe2x−12e2x+x2e2x−xe2x+12e2x=x2e2x гээд зөв хариуг шалгах нь хамгийн товч бодолт байна. Санамж: Хэдийгээр эх функцийг олох бодлогын хувьд хариуг шалгах нь илүү дөт боловч тодорхой интеграл бодох үед заавал эх функцийг олох хэрэгтэй болдог тул эх функцийг олох аргуудыг зайлшгүй мэддэг байх шаардлагатай.
∫x2−2x+1dx=?∫x2−2x+1dx=?
Заавар: x2−2x+1dx=x−1−1x+1x2−2x+1dx=x−1−1x+1 байна. Бодолт: ∫x2−2x+1dx=∫(x−1−1x+1)dx=∫xdx−∫dx−∫dxx+1=x22−x−ln|x+1|+C∫x2−2x+1dx=∫(x−1−1x+1)dx=∫xdx−∫dx−∫dxx+1=x22−x−ln⁡|x+1|+C
∫xcos2xdx∫xcos⁡2xdx бод.
Заавар: Энэ төрлийн интегралыг бодоход ∫uv′dx=uv−∫u′vdx∫uv′dx=uv−∫u′vdx хэсэгчлэн интегралчлах томьёог нэг буюу түүнээс дээш удаа ашиглан боддог. Мөн эх функц олох буюу тодорхой биш интеграл бодох нь уламжлалын эсрэг үйлдэл тул хариунаас бодох боломжтой. Бодолт: u=xu=x, v′=cos2xv′=cos⁡2x гэвэл u′=1u′=1, v=∫cos2xdx=12sin2x+Cv=∫cos⁡2xdx=12sin⁡2x+C тул ∫xcos2xdx=x⋅12sin2x−∫1⋅12sin2xdx=∫xcos⁡2xdx=x⋅12sin⁡2x−∫1⋅12sin⁡2xdx= =0.52sin2x+0.25cos2x+C=0.52sin⁡2x+0.25cos⁡2x+C
∫xe2xdx∫xe2xdx интегралыг бод.
Заавар: Хэсэгчилэн интегралчлах томьёо: ∫uv′dx=uv−∫u′vdx∫uv′dx=uv−∫u′vdx Бодолт: u=xu=x, v′=e2xv′=e2x гэвэл u′=1u′=1 болох ба v=12e2xv=12e2x гэж сонгоё. ∫xe2xdx=x⋅12e2x−∫1⋅12e2xdx=12e2x⋅x−14e2x+C∫xe2xdx=x⋅12e2x−∫1⋅12e2xdx=12e2x⋅x−14e2x+C болно.
∫xe3xdx∫xe3xdx интегралыг бод.
Заавар: Хэсэгчилэн интегралчлах аргаар бод. Бодолт: u=xu=x, v′=e3xv′=e3x гэвэл u′=1u′=1 болох ба v=13e3xv=13e3x гэж сонгоё. ∫xe3xdx=x⋅13e3x−∫1⋅13e3xdx=13e3x⋅x−19e3x+C∫xe3xdx=x⋅13e3x−∫1⋅13e3xdx=13e3x⋅x−19e3x+C болно.
∫x−2√xdx∫x−2xdx интегралыг бод.
Заавар: Интеграл шугаман чанар ашиглан зэрэгт функцүүдийн нийлбэрт задалж бод. Бодолт: ∫x+1√xdx=∫(x√x+1√x)dx=∫(√x+1√x)dx=∫(x12+x−12)dx=x3232+x1212+C=23x32+2x12+C=23x√x+2√x+C∫x+1xdx=∫(xx+1x)dx=∫(x+1x)dx=∫(x12+x−12)dx=x3232+x1212+C=23x32+2x12+C=23xx+2x+C Бодолт: ∫x−2√xdx=∫(x√x−21√x)dx=∫(√x−21√x)dx=∫(x12−2x−12)dx=x3232−2x1212+C=23x32−4x12+C=23x√x−4√x+C∫x−2xdx=∫(xx−21x)dx=∫(x−21x)dx=∫(x12−2x−12)dx=x3232−2x1212+C=23x32−4x12+C=23xx−4x+C
∫x√1−x2dx∫x1−x2dx
Заавар: Бодолт: ∫x√1−x2dx=−12∫√1−x2d(1−x2)=−12∫√udu=−12u√u32+C=−u√u3+C=−(1−x2)√1−x23+C∫x1−x2dx=−12∫1−x2d(1−x2)=−12∫udu=−12uu32+C=−uu3+C=−(1−x2)1−x23+C
∫x√x+1dx=?∫xx+1dx=?
Заавар: ∫f(x)dx=F(x)+C∫f(x)dx=F(x)+C бол ∫f[g(x)]g′(x)dx=∫f[g(x)]dg(x)=F(g(x))+C∫f[g(x)]g′(x)dx=∫f[g(x)]dg(x)=F(g(x))+C байдаг. Үүнийг тодорхой биш интегралыг бодох орлуулгын арга гэдэг. t=√x+1t=x+1 гэвэл x=t2−1x=t2−1, dx=2tdtdx=2tdt байна. Бодолт: ∫x√x+1dx=⎡⎢⎣t=√x+1x=t2−1dx=2tdt⎤⎥⎦=∫t2−1t⋅2tdt=2∫(t2−1)dt∫xx+1dx=[t=x+1x=t2−1dx=2tdt]=∫t2−1t⋅2tdt=2∫(t2−1)dt =2t33−2t+C=2(t2−3)t3+C=2(x−2)√x+13+C=2t33−2t+C=2(t2−3)t3+C=2(x−2)x+13+C
∫x√x+1dx∫xx+1dx
Заавар: t=√x+1t=x+1 орлуулга хий. Бодолт: t=√x+1t=x+1 гэвэл x=t2−1x=t2−1 ба dx=2tdtdx=2tdt байна. Иймд ∫x√x+1dx=∫(t2−1)t⋅2tdt=∫(2t4−2t2)dt=2⋅t55−2⋅t33+C=2(x+1)525−2(x+1)323+C∫xx+1dx=∫(t2−1)t⋅2tdt=∫(2t4−2t2)dt=2⋅t55−2⋅t33+C=2(x+1)525−2(x+1)323+C
∫x√x+2dx∫xx+2dx
Заавар: t=√x+2t=x+2 гэвэл x=t2−2x=t2−2, dx=2tdtdx=2tdt байна. Бодолт: ∫x√x+2dx=⎡⎢⎣t=√x+2x=t2−2dx=2tdt⎤⎥⎦=∫t2−2t⋅2tdt=∫2t2−4dt=2t33−4t+C=23(x+2)32−4(x+2)12+C∫xx+2dx=[t=x+2x=t2−2dx=2tdt]=∫t2−2t⋅2tdt=∫2t2−4dt=2t33−4t+C=23(x+2)32−4(x+2)12+C
∫yy−1(x2+1)dx<103∫y−1y(x2+1)dx<103 тэнцэтгэл бишийн бүх шийд аль олонлог вэ?
Заавар: Ньютон-Лейбницийн томьёо ашигла. Бодолт: ∫yy−1(x2+1)dx=(x33+x)∣∣∣yy−1=∫y−1y(x2+1)dx=(x33+x)|y−1y= =y33+y−(y−1)33−(y−1)=y2−y+43<103=y33+y−(y−1)33−(y−1)=y2−y+43<103 буюу y2−y+2<0⇔y∈]−1;2[y2−y+2<0⇔y∈]−1;2[
∫π0cos2xdx∫0πcos2⁡xdx бод.
Заавар: Ньютон Лейбнецийн томьёо: f(x)f(x) функцийн эх функц нь F(x)F(x) бол ∫baf(x)dx=F(b)−F(a)∫abf(x)dx=F(b)−F(a) байна. Бодолт: F(x)=∫cos2xdx=∫1+cos2x2dxF(x)=∫cos2⁡xdx=∫1+cos⁡2x2dx =x2+12∫cos2xdx=x2+sin2x4+C=x2+12∫cos⁡2xdx=x2+sin⁡2x4+C байна. ∫π0cos2xdx=F(π)−F(0)=π2∫0πcos2⁡xdx=F(π)−F(0)=π2
∫π0sin2xdx=?∫0πsin2⁡xdx=?
Заавар: sin2x=1−cos2x2sin2⁡x=1−cos⁡2x2 ашиглан зэргийг бууруулж бод. Бодолт: ∫cos2xdx=∫1−cos2x2dx=x2−14∫cos2xd2x=x2−14sin2x+C.∫cos2⁡xdx=∫1−cos⁡2x2dx=x2−14∫cos⁡2xd2x=x2−14sin⁡2x+C. Иймд ∫π0sin2xdx=(x2−14sin2x)∣∣∣π0=∫0πsin2⁡xdx=(x2−14sin⁡2x)|0π= =π2−14sin(2⋅π)−02+14sin(2⋅0)=π.=π2−14sin⁡(2⋅π)−02+14sin⁡(2⋅0)=π.
∫π0sinxcos3xdx∫0πsin⁡xcos⁡3xdx интегралыг бод.
Заавар: sinxcos3x=12[sin(x+3x)+sin(x−3x)]sin⁡xcos⁡3x=12[sin⁡(x+3x)+sin⁡(x−3x)] болохыг ашигла. Бодолт:
∫π0xsinxdx∫0πxsin⁡xdx интегралыг бод.
Заавар: ∫xsinxdx∫xsin⁡xdx интегралыг хэсэгчлэх аргаар бод. ∫uv′dx=uv−∫u′vdx∫uv′dx=uv−∫u′vdx Бодолт: ∫xsinxdx=⎡⎢⎣u=xv′=sinxv=−cosx⎤⎥⎦=−xcosx−∫1⋅(−cosx)dx=∫xsin⁡xdx=[u=xv′=sin⁡xv=−cos⁡x]=−xcos⁡x−∫1⋅(−cos⁡x)dx= =−xcosx+sinx+C=−xcos⁡x+sin⁡x+C тул Ньютон-Лейбницийн томьёогоор ∫π0xsinxdx=(−xcosx+sinx)∣∣π0=(−π⋅cosπ+sinπ)−(−0⋅cos0+sin0)=π∫0πxsin⁡xdx=(−xcos⁡x+sin⁡x)|0π=(−π⋅cos⁡π+sin⁡π)−(−0⋅cos⁡0+sin⁡0)=π
∫π20(x+1)cosxdx∫0π2(x+1)cos⁡xdx интеграл бод.
Заавар: ∫bauv′dx=uv∣∣∣ba−∫bau′vdx∫abuv′dx=uv|ab−∫abu′vdx тодорхой интегралын хэсэгчлэн интегралчлах дүрмийг ашигла. Бодолт: ∫π20(x+1)cosxdx=∫π20(x+1)(sinx)′dx=(x+1)sinx∣∣∣π20−∫π20sinxdx=(x+1)sinx∣∣∣π20+cosx∣∣∣π20=(π2+1)⋅sinπ2−(0+1)⋅sin0+cosπ2−cos0=π2+1−0+0−1=π2∫0π2(x+1)cos⁡xdx=∫0π2(x+1)(sin⁡x)′dx=(x+1)sin⁡x|0π2−∫0π2sin⁡xdx=(x+1)sin⁡x|0π2+cos⁡x|0π2=(π2+1)⋅sin⁡π2−(0+1)⋅sin⁡0+cos⁡π2−cos⁡0=π2+1−0+0−1=π2
∫π20sinxdx=?∫0π2sin⁡xdx=?
Заавар: f(x)f(x) функцийн эх функц нь F(x)F(x) бол ∫baf(x)dx=F(b)−F(a)∫abf(x)dx=F(b)−F(a) байна. Үүнийг Ньютон Лейбнецийн томьёо гэнэ. Бодолт: ∫sinxdx=−cosx+C∫sin⁡xdx=−cos⁡x+C тул ∫π20sinxdx=−cosπ2−(−cos0)=1∫0π2sin⁡xdx=−cos⁡π2−(−cos⁡0)=1 байна. Заавар: ∫sinxdx∫sin⁡xdx бодож эх функцийг нь олоод Ньютон Лейбницийн томьёо ашиглан бод.
∫ππ2cos2xsinxdx∫π2πcos2⁡xsin⁡xdx
Заавар: ∫f(x)dx=F(x)+C∫f(x)dx=F(x)+C бол ∫baf[g(x)]g′(x)dx=∫baf[g(x)]dg(x)=∫abf[g(x)]g′(x)dx=∫abf[g(x)]dg(x)= =∫g(b)g(a)f(t)dt=F[g(b)]−F[g(a)]=∫g(a)g(b)f(t)dt=F[g(b)]−F[g(a)] байдаг. Үүнийг тодорхой биш интегралыг бодох орлуулгын арга гэдэг. Бодолт: f(x)=−x2f(x)=−x2, g(x)=cosxg(x)=cos⁡x ба F(x)=−x33F(x)=−x33 гэвэл (cosx)′=−sinx(cos⁡x)′=−sin⁡x тул ∫ππ2cos2xsinxdx=∫ππ2−cos2x(cosx)′dx=∫π2πcos2⁡xsin⁡xdx=∫π2π−cos2⁡x(cos⁡x)′dx= =∫ππ2−cos2xdcosx=∫cosπcosπ2−t2dt==∫π2π−cos2⁡xdcos⁡x=∫cos⁡π2cos⁡π−t2dt= =∫−10−t2dt=(−t33)∣∣∣−10=−(−1)33−(−033)=13=∫0−1−t2dt=(−t33)|0−1=−(−1)33−(−033)=13
∫−1−2dx(11+5x)3=abc∫−2−1dx(11+5x)3=abc болно.
Заавар: f(x)f(x) функцийн эх функц нь F(x)F(x) бол ∫baf(x)dx=F(b)−F(a)∫abf(x)dx=F(b)−F(a) байна. Бодолт: ∫dx(11+5x)3=15∫(11+5x)−3d(11+5x)=−110(11+5x)−2+C∫dx(11+5x)3=15∫(11+5x)−3d(11+5x)=−110(11+5x)−2+C тул ∫−1−2dx(11+5x)3=−110(11+5x)2∣∣∣−1−2=∫−2−1dx(11+5x)3=−110(11+5x)2|−2−1= =−110(11+5⋅(−1))2+110(11+5⋅(−2))2==−110(11+5⋅(−1))2+110(11+5⋅(−2))2= =−1360+110=35360=772=−1360+110=35360=772
⎛⎜⎝123456789⎞⎟⎠(123456789) матрицын тодорхойлогчийг ол.
Заавар: 2×22×2 хэмжээтэй (abcd)(abcd) матрицын тодорхойлогч нь det(abcd)=∣∣∣abcd∣∣∣=ad−bcdet(abcd)=|abcd|=ad−bc гэж тодорхойлогддог. Бодолт: 22-р мөрөөр задалж бодъё. (2,1)(2,1) элемент буюу 44-ийн хувьд M2,1=(2389)M2,1=(2389). (2,2)(2,2) элемент буюу 55-ийн хувьд M2,2=(1379)M2,2=(1379). (2,3)(2,3) элемент буюу 66-ийн хувьд M2,3=(1278)M2,3=(1278). иймд өгөгдсөн матрицын тодорхойлогч нь 4⋅(−1)2+1|M2,1|+5⋅(−1)2+2|M2,2|+6⋅(−1)2+3|M2,3|=4⋅(−1)2+1|M2,1|+5⋅(−1)2+2|M2,2|+6⋅(−1)2+3|M2,3|= =−4⋅(2⋅9−3⋅8)+5⋅(1⋅9−3⋅7)−6⋅(1⋅8−2⋅7)==−4⋅(2⋅9−3⋅8)+5⋅(1⋅9−3⋅7)−6⋅(1⋅8−2⋅7)= =−4⋅(−6)+5⋅(−12)−6⋅(−6)=24−60+36=0=−4⋅(−6)+5⋅(−12)−6⋅(−6)=24−60+36=0
⎛⎜⎝1−212−301−13⎞⎟⎠⎛⎜⎝xyz⎞⎟⎠=⎛⎜⎝3310⎞⎟⎠(1−212−301−13)(xyz)=(3310) бол x+y+zx+y+z-ийг ол.
Заавар: Шугаман тэгшитгэлийн системд шилжүүлээд тэгшитгэлүүдийг нэм. Бодолт: ⎛⎜⎝1−212−301−13⎞⎟⎠⎛⎜⎝xyz⎞⎟⎠=⎛⎜⎝3310⎞⎟⎠⇔⎧⎪⎨⎪⎩2x+2y+3z=32x+3y+3z=32x−2y+3z=10(1−212−301−13)(xyz)=(3310)⇔{2x+2y+3z=32x+3y+3z=32x−2y+3z=10 байна. Тэгшитгэлүүдийг нэмбэл 4x+4y+4z=164x+4y+4z=16 тул x+y+z=4x+y+z=4 болно.
⎛⎜⎝−1−00−2−10−0−11⎞⎟⎠⎛⎜⎝123456789⎞⎟⎠(−1−00−2−10−0−11)(123456789)
Заавар: ⎛⎜⎝−1−00−2−10−0−11⎞⎟⎠(−1−00−2−10−0−11) матрицаар аливаа AA матрицыг урд талаас нь үржих нь AA матрицын 2-р мөрөөс 1-р мөрийг 2 дахин, 3-р мөрөөс 2-р мөрийг 1 дахин хассантай тэнцүү болохыг ашигла. Бодолт: ⎛⎜⎝−1−00−2−10−0−11⎞⎟⎠⎛⎜⎝123456789⎞⎟⎠=⎛⎜⎝1234−2⋅15−2⋅26−2⋅37−1⋅48−1⋅59−1⋅6⎞⎟⎠=⎛⎜⎝123210333⎞⎟⎠(−1−00−2−10−0−11)(123456789)=(1234−2⋅15−2⋅26−2⋅37−1⋅48−1⋅59−1⋅6)=(123210333)
⎧⎪⎨⎪⎩2y−x+z=−13x+z+4y=12z−3x+y=0{2y−x+z=−13x+z+4y=12z−3x+y=0 тэгшитгэлийн шийд аль нь вэ?
Заавар: Бүхэл коэффициенттэй 2-оос дээш хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдийг шууд шалгах нь бодохоос илүү хялбар байдаг. ⎧⎪⎨⎪⎩2y−x+z=−13x+z+4y=12z−3x+y=0⇔{−x+2y+z=−13x+4y+z=1\3x+y+2z=0{2y−x+z=−13x+z+4y=12z−3x+y=0⇔{−x+2y+z=−13x+4y+z=1\3x+y+2z=0 гэвэл шийдийг шалгахад илүү хялбар болно. Бодолт: x+2y+z=−1x+2y+z=−1 тэгшитгэлийн хувьд 1+2⋅(−1)+2=−11+2⋅(−1)+2=−1 −1+2⋅1+2=3≠−1−1+2⋅1+2=3≠−1 2+2⋅1+(−1)=3≠−12+2⋅1+(−1)=3≠−1 2+2⋅(−1)+1=1≠−12+2⋅(−1)+1=1≠−1 −32+2⋅(−12)+32=−1−32+2⋅(−12)+32=−1 тул зөвхөн (1;−1;2)(1;−1;2), (−32;−12;32)(−32;−12;32) шийд байх боломжтой. 3x+4y+z=13x+4y+z=1 тэгшитгэлийн хувьд 3⋅1+4⋅(−1)+2=13⋅1+4⋅(−1)+2=1 3⋅(−32)+4⋅(−12)+32=−5≠−13⋅(−32)+4⋅(−12)+32=−5≠−1 тул (1;−1;2)(1;−1;2) шийд үлдэж байна. Санамж: Шийдүүдийн ихэнхи нь бүхэл тоонууд байгаа тул шалгалтын үед бичилгүйгээр чээж бодолт хийж хугацаагаа хэмнэх нь зүйтэй.
⎧⎪⎨⎪⎩x+3y+2z=5x+2y−2z=12x−2y+2z=2{x+3y+2z=5x+2y−2z=12x−2y+2z=2 систем тэгшитгэлийг матриц хэлбэрээр бичвэл аль тэгшитгэл гарах вэ?
Заавар: Үржих үйлдлийн тодорхойлолт болон хоёр матриц тэнцэх нөхцөлөөс ⎧⎪⎨⎪⎩a11x+a12y+a13z=b1a21x+a22y+a23z=b2a31x+a32y+a33z=b3⇔⎛⎜⎝a11a12a13a21a22a23a31a32a33⎞⎟⎠⎛⎜⎝xyz⎞⎟⎠=⎛⎜⎝b1b2b3⎞⎟⎠{a11x+a12y+a13z=b1a21x+a22y+a23z=b2a31x+a32y+a33z=b3⇔(a11a12a13a21a22a23a31a32a33)(xyz)=(b1b2b3) байна. Бодолт: Заавар ёсоор ⎧⎪⎨⎪⎩x+3y+2z=5x+2y−2z=12x−2y+2z=2⇔⎧⎪⎨⎪⎩1x+(−)3y+(−)1z=51x+(−)2y+(−2)z=12x+(−1)y+(−)2z=2⇔⎛⎜⎝1−3−11−2−12−1−2⎞⎟⎠⎛⎜⎝xyz⎞⎟⎠=⎛⎜⎝512⎞⎟⎠{x+3y+2z=5x+2y−2z=12x−2y+2z=2⇔{1x+(−)3y+(−)1z=51x+(−)2y+(−2)z=12x+(−1)y+(−)2z=2⇔(1−3−11−2−12−1−2)(xyz)=(512) байна.