prompt
stringlengths 7
926
| completion
stringlengths 15
3.16k
|
|---|---|
√3x+1x−3<13x+1x−3<1 тэнцэтгэл бишийг бод.
|
Заавар:
Бодолт: Тодорхойлогдох муж нь 3x+1≥03x+1≥0, x−3≠0x−3≠0 байна. Иймд x⩾−13x⩾−13, x≠3x≠3 байна.
Тодорхойлогдох муж дээр а) x−3<0x−3<0 бол
√3x+1x−3≤03x+1x−3≤0
тул бүгд шийд болно. б) x−3>0x−3>0 бол
0≤√3x+1x−3<1⇔3x+1(x−3)2<1⇔3x+1<(x−3)20≤3x+1x−3<1⇔3x+1(x−3)2<1⇔3x+1<(x−3)2
болно. Эндээс
x2−9x+8=(x−1)(x−8)>0x2−9x+8=(x−1)(x−8)>0
тэнцэтгэл бишийг бодвол x<1x<1 эсвэл x>8x>8 ба x−3>0x−3>0 гэдгийг тооцвол x>8x>8 байна.
Тодорхойлогдох мужаа тооцоод шийдээ нэгтгэвэл
[−13;3[∪]8;+∞[[−13;3[∪]8;+∞[
болно.
|
√3x+4+2=2√x+43x+4+2=2x+4 тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: Хариунаас бод.
Бодолт: x=0x=0 ба x=32x=32 шийд болохыг шалгахад төвөгтэй биш.
|
√3x+4, √7x, √11x+4 гэсэн 3 тоо арифметик прогрессын дараалсан гурван гишүүн бол уг арифметик прогрессын ялгаврыг ол.
|
Заавар: x-ийн ямар утганд арифметик прогресс үүсэх тоонууд гарч байна байна вэ? Язгуураас хялбархан гарах тоонуудыг сонирхож үзээрэй.
Бодолт: x=7 үед 5, 7, 9 гэсэн арифметик прогресс үүсэж байна. Иймд ялгавар нь 2.
Мэдээж √3x+4+√11x+4=2√7x тэгшитгэлийг бодоод x=7 гээд бодож болно. Гэхдээ бид аль болох цаг хэмнэх аргуудыг эрэлхийлж байх нь зүйтэй.
|
√3x+4=x−2 тэгшитгэл бод.
|
Заавар: Иррационал тэгшитгэлийг бодоход гаргадаг гол алдаа нь √f(x)=g(x) тэгшитгэлийг f(x)=g2(x) тэгшитгэлтэй тэнцүү чанартай гэж үзэх юм. Энэ тохиолдолд илүү шийд гарах боломжтой юм.
Хялбар иррационал тэгшитгэлийг хариунаас бодоход амархан байдаг.
Бодолт: x=0 үед √0+4=2≠0−2=−2 тул A ба B хариулт буруу.
x=−1 үед √3⋅(−1)+4=1≠−1−2=−3 тул E хариулт буруу.
x=15 үед √3⋅15+4=7≠7−2=5 тул C хариулт буруу байна. Иймд үлдсэн D хариулт зөв хариулт байна.
|
√3x−12<33x−12<3 тэнцэтгэл бишийг бод.
|
Заавар: Тодорхойлогдох мужаа олоод 0<a<b⇔a2<b20<a<b⇔a2<b2 болохыг ашиглан бод.
Бодолт: Тодорхойлогдох муж нь 3x−12≥0⇔x≥43x−12≥0⇔x≥4. x≥4x≥4 үед
√3x−12<3⇔3x−12<32⇔3x<21⇔x<73x−12<3⇔3x−12<32⇔3x<21⇔x<7
Тодорхойлогдох мужаа тооцон шийдийг нэгтгэж бичвэл
4≤x<74≤x<7
|
√3x−5−√4−x=1 тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: y=√3x−5, y=1+√4−x функцийн графикууд хамгийн ихдээ хэдэн цэгээр огтлолцох вэ? Тэгшитгэлийн шууд тааж олж болох шийд нь хэд байх вэ?
Бодолт:
|
√3x−6≥√6−x3x−6≥6−x тэнцэтгэл бишийг бод.
|
Заавар: Хариунаас бодох арга хэрэглэ.
Бодолт: Тодорхойлогдох муж нь 3x−6≥03x−6≥0, 6−x≥06−x≥0 буюу 2≤x≤62≤x≤6 байна. Иймд A, B шийд биш. x=3x=3 нь
√3⋅3−6=√6−33⋅3−6=6−3 тул шийд болно. Иймд зөв хариулт нь зөвхөн D байх боломжтой.
|
√3√3+√4+√3√4+√5+√3√5+√6+⋯+√3√107+√108=?33+4+34+5+35+6+⋯+3107+108=?
|
Заавар: 1√a+√b=√a−√ba−b1a+b=a−ba−b болохыг ашигла.
Бодолт: √3√3+√4+√3√4+√5+√3√5+√6+⋯+√3√107+√108==√3(√3−√4)3−4+√3(√4−√5)4−5+⋯+√3(√107−√108)107−108=−√3(√3−√4+√4−√5+⋯+√106−√107+√107−√108)=−√3(√3−√108)=−√3⋅√3+√3⋅√108=−3+18=1533+4+34+5+35+6+⋯+3107+108==3(3−4)3−4+3(4−5)4−5+⋯+3(107−108)107−108=−3(3−4+4−5+⋯+106−107+107−108)=−3(3−108)=−3⋅3+3⋅108=−3+18=15
|
√3√5√3√5…=?3535…=?
|
Заавар: √3√5√3√5…=x3535…=x гэвэл √3√5√x=x35x=x байна.
Бодолт: √3√5√x=x⇒3√5x=x2⇒45x=x435x=x⇒35x=x2⇒45x=x4 болно. x>0x>0 тул x3=45⇒x=3√45x3=45⇒x=453 байна.
|
√3√7√3√7…=?3737…=?
|
Заавар: √3√7√3√7…=x3737…=x гэвэл √3√7√x=x37x=x байна.
Бодолт: √3√7√x=x⇒3√7x=x2⇒63x=x437x=x⇒37x=x2⇒63x=x4 болно. x>0x>0 тул x3=63⇒x=3√63x3=63⇒x=633 байна.
|
√4−4x3+x6>x−3√24−4x3+x6>x−23
|
Заавар:
Бодолт: √4−4x3+x6=√(2−x3)2=|2−x3|4−4x3+x6=(2−x3)2=|2−x3| байна. x−3√2<0x−23<0 бол шууд шийд болно. x=3√2x=23 шийд болохгүй. x>3√2x>23 үед |2−x3|=x3−2|2−x3|=x3−2 ба x−3√2>0x−23>0 байхыг тооцвол |2−x3|=x3−2=(x−3√2)(x2+3√2x+(3√2)2)>x−3√2⇔|2−x3|=x3−2=(x−23)(x2+23x+(23)2)>x−23⇔
(x−3√2)(x2+3√2x+3√4−1)>0⇔x2+3√2x+3√4−1>0(x−23)(x2+23x+43−1)>0⇔x2+23x+43−1>0
ба D=(3√2)2−4(3√4−1)=4−33√4<0D=(23)2−4(43−1)=4−343<0 тул дурын x>3√2x>23 шийд болно. Иймд x∈]−∞;3√2[∪]3√2;+∞[x∈]−∞;23[∪]23;+∞[
|
√4−6x−x2=x+4 тэгшитгэл бод.
|
Заавар: −6 шийд болохгүйг хар.
Бодолт: x=−6 бол x+4=−2 болно. Нөгөө талаас бодит тооны арифметик язгуур сөрөг биш тоо байх ёстой тул энэ нь боломжгүй юм. Иймд −6 агуулаагүй ганц хувилбар болох Е нь зөв хариулт юм.
|
√4−6x−x2=x+4 тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: √4−6x−x2=x+4(1) тэгшитгэлийн шийд (√4−6x−x2)2=(x+4)2(2) тэгшитгэлийн шийд болох боловч (2)-ийн шийд (1)-ийн шийд болох албагүй тул (2)-ийг эхэлж бодоод гарсан шийдийг (1)-д шалгаж бод.
Бодолт:
|
√5x+11x+1<15x+11x+1<1 тэнцэтгэл бишийг бод.
|
Заавар: Ямар тоонууд шийд болох вэ? Тэнцэтгэл бишийг хариунаас нь бод.
Бодолт: x=−115x=−115 үед √5⋅(−115)+11−115+1=0<15⋅(−115)+11−115+1=0<1 тул шийд болно. Түүнчлэн x=14x=14 үед √5⋅14+1114+1=915<15⋅14+1114+1=915<1 тул шийд болно. Иймд тэнцэтгэл бишийн зөв хариулт нь зөвхөн B байх боломжтой.
|
√5x+4, √9x, √13x+4 гэсэн 3 тоо арифметик прогрессын дараалсан гурван гишүүн бол уг арифметик прогрессын ялгаврыг ол.
|
Заавар: x-ийн ямар утганд арифметик прогресс үүсэх тоонууд гарч байна байна вэ? Мэдээж хялбархан шалгаж утгууд нь язгуураас хялбархан гарах тоонууд байх нь ойлгомжтой.
Бодолт: x=9 үед 7, 9, 11 гэсэн арифметик прогресс үүсэж байна. Иймд ялгавар нь 2.
Мэдээж √5x+4+√13x+4=2√9x тэгшитгэлийг бодоод x=9 гээд бодож болно. Гэхдээ бид аль болох цаг хэмнэх аргуудыг эрэлхийлж байх нь зүйтэй.
|
√5−2x<6x−15−2x<6x−1 тэнцэтгэл бишийн хамгийн их бүхэл шийд ол.
|
Заавар: √f(x)≤g(x)⇔⎧⎪⎨⎪⎩f(x)≤g2(x)f(x)≥0g(x)≥0f(x)≤g(x)⇔{f(x)≤g2(x)f(x)≥0g(x)≥0
Бодолт: √5−2x≤6x−1⇔⎧⎪⎨⎪⎩5−2x≤(6x−1)25−2x≥06x−1≥05−2x≤6x−1⇔{5−2x≤(6x−1)25−2x≥06x−1≥0
{5−2x≥06x−1≥0⇔16≤x≤52{5−2x≥06x−1≥0⇔16≤x≤52 тул боломжит бүхэл шийдүүд нь зөвхөн 11, 22 байна. x=2x=2 үед 5−2⋅2≤(6⋅2−1)2⇔1≤1215−2⋅2≤(6⋅2−1)2⇔1≤121
тул шийд болох ба хамгийн их бүхэл шийд байх нь ойлгомжтой.
|
√5−x илэрхийлэл утгатай байх x-ийн утгын олонлогийг ол.
|
Заавар: Язгуурын доорх илэрхийлэл 0-ээс багагүй байна.
Бодолт: Язгуурын доорх илэрхийлэл 0-ээс багагүй байх ёстой тул 5−x≥0⇔x≤5 байна.
|
√5−x+x=3 тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: D:5−x≥ ба √5−x=3−x нь 3−x<0 байх шийдгүй. Иймд
{5−x≥03−x≥0⇔x≤3 байна.
Бодолт: √5−x=3−x тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат зэрэгт дэвшүүлж бодъё:
√5−x=3−x⇒5−x=(3−x)2
x2−5x+4=0⇒x1=1,x2=4 ба x≤3 тул x=1 болно.
|
√5−√x+3−√4−x<0 тэнцэтгэл бишийн тодорхойлогдох муж нь ab≤x≤c байна. Шийд нь de≤x<f байна.
|
Заавар: f(x)<√g(x) тэнцэтгэл бишийн тодорхойлогдох муж нь D байг. D муж дээр
f(x)<√g(x)⇔[f(x)<0f2(x)<g(x) байдаг.
Хэрэв шууд f2(x)<g(x) гэж бодвол f(x)<0 байх шийдүүд нь гээгдэх боломжтой.
Бодолт: Язгуурын доорх илэрхийлэл эерэг байх ёстой тул x+3≥0;5−√x+3≥0;4−x≥0 байна.
{x+3≥05−√x+3≥04−x≥0⇔{x≥−352≥x+34≥x
Тул D:−3≤x≤4 байна. Тодорхойлогдох муж дээр
√5−√x+3−√4−x<0⇔√5−√x+3<√4−x⇔
⇔5−√x+3<4−x⇔x+1<√x+3⇔
⇔[x<−1(x+1)2<x+3⇔[x<−1x2+x−2<0⇔
⇔[x<−1−2<x<1⇔x<1.
Тодорхойлогдох мужаа тооцвол −3≤x<1 байна.
|
√5√3√5√3…=?5353…=?
|
Заавар: √5√3√5√3…=x5353…=x гэвэл √5√3√x=x53x=x байна.
Бодолт: √5√3√x=x⇒5√3x=x2⇒75x=x453x=x⇒53x=x2⇒75x=x4 болно. x>0x>0 тул x3=75⇒x=3√75x3=75⇒x=753 байна.
|
√6+√6+√6+√6+…6+6+6+6+… илэрхийллийн утгыг ол.
|
Заавар: √6+√6+√6+√6+…=x6+6+6+6+…=x гэвэл x=√6+√6+√6+√6+…=√6+xx=6+6+6+6+…=6+x болно.
Бодолт: x=√6+x⇒x2=6+xx=6+x⇒x2=6+x. Эндээс x2−x+6=(x+2)(x−3)=0x2−x+6=(x+2)(x−3)=0 болох ба x>0x>0 тул x−3=0⇒x=3x−3=0⇒x=3 байна.
|
√6−4x−x2=x+4 тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: Тодорхойлогдох мужаа анхаар.
Бодолт:
|
√7−x+1=x тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: Шийдийг шууд шалга.
Бодолт: x=3 нь
√7−3+1=√4+1=2+1=3
тул шийд болно.
x=−2;2;6 үед
√7−(−2)+1=√9+1=3+1≠3,
√7−2+1=√5+1≠3,
√7−6+1=√1+1=1+1≠3
тул бүгд шийд болохгүй. Иймд x=3 гэсэн сонголт үлдэж байна.
Санамж: √7−x=x−1⇒7−x=(x−1)2 боловч 7−x=(x−1)2⇏√7−x=x−1 болохыг анхарна уу! Үнэндээ
7−x=(x−1)2⇔x2−x−6=0
тэгшитгэл нь x=−2, x=3 гэсэн шийдтэй боловч x=−2 нь анхны тэгшитгэлийн шийд болохгүйг өмнө харуулсан билээ.
|
√7√3√7√3…=?7373…=?
|
Заавар: √7√3√7√3…=x7373…=x гэвэл √7√3√x=x73x=x байна.
Бодолт: √7√3√x=x⇒7√3x=x2⇒147x=x473x=x⇒73x=x2⇒147x=x4 болно. x>0x>0 тул x3=147⇒x=3√147x3=147⇒x=1473 байна.
|
√8+x3−4x−2≥x тэнцэтгэл бишийг хялбарчилж, √a−bx+x2>0 тул орхиж, √c+x−√x2−dx+ex−2≥0 хэлбэрт шилжүүлж шийдийг олбол x∈[−f;g] байна.
|
Заавар: Тэнцэтгэл бишийн тодорхойлогдох мужийг олоод тэнцэтгэл бишийг f(x)g(x)≥0 хэлбэрт оруулж бод.
f(x)g(x)≥0⇔{f(x)≥0g(x)>0⋃{f(x)≤0g(x)<0
Бодолт: Тэнцэтгэл бишийн тодорхойлогдох муж нь 8+x3≥0, x−2≠0 тул x≥−2, x≠2 байна.
Тэнцэтгэл бишийн баруун гар талыг зүүн гарт шилжүүлж ерөнхий хуваарь өгвөл:
√8+x3−(x2−2x+4)x−2≥0
8+x3=(x+2)(x2−2x+4) ба x2−2x+4≥0 тул x2−2x+4=√(x2−2x+4)2 байна. Иймд тэнцэтгэл биш
√(x+2)(x2−2x+4)−√(x2−2x+4)(x2−2x+4)x−2≥0⇔
√x2−2x+4⋅(√x+2−√x2−2x+4)x−2≥0
√x2−2x+4=√(x−1)2+3≥0 тул √x2−2x+4 нь ТБ-ийн зүүн гар талын тэмдэгт нөлөөлөхгүй. Иймд тэнцэтгэл биш
√x+2−√x2−2x+4x−2≥0⇔
{√x+2−√x2−2x+4≥0x−2>0⋃{√x+2−√x2−2x+4≤0x−2<0
хэлбэртэй болно.
√x+2−√x2−2x+4≥0⇔√x+2≥√x2−2x+4⇔
x+2≥x2−2x+4⇔x2−3x+2=(x−1)(x−2)≤0
тул 1<x<2 болно. Иймд эхний тэнцэтгэл бишийн систем шийдгүй.
√x+2−√x2−2x+4≤0 тэнцэтгэл бишийн шийд x<1∪x>2 тул хоёр дахь тэнцэтгэл бишийн системийн шийд x<1 байна.
Тодорхойлогдох мужаа тооцвол тэнцэтгэл бишийн шийд [−2;1[ болно.
|
√9−13.5x−2.25x2=1.5x+6 тэгшитгэл бод.
|
Заавар: −6 шийд болохгүйг харуул.
Бодолт: x=−6 үед тэгшитгэлийн баруун гар тал 1.5⋅(−6)+6=−3<0 ба зүүн гар тал нь эерэг тул шийд болж чадахгүй. −6 агуулаагүй цорын ганц шийд нь −1 тул зөв хариулт нь E байна.
Нэмэлт: Энэ бодлого нь хариунаас бодох бодлогын сонгодог жишээ болж байгаа юм.
|
√x+1=x−1 тэгшитгэлийн шийд аль нь вэ?
|
Заавар: √x+1=x−1≥0 байхыг анхаар. Иррационал тэгшитгэлийг бодоод хариуг шалгаж үзэж байх шаардлагатай.
Бодолт: √x+1=x−1⇒x+1=(x−1)2 тул x2−3x=0 болно. Эндээс x=0, x=3 гэсэн шийдүүд гарах бөгөөд x=0 үед x−1<0 тул шийд болохгүй. Харин x=3 үед √3+1=3−1 тул шийд болно.
|
√x+1−√x−3+2x−2⋅√x2−2x−3=8x+1−x−3+2x−2⋅x2−2x−3=8 тэгшитгэлийг бодъё. Тэгшитгэлийн тодорхойлогдох муж нь x≥3x≥3. Энэ мужид √x+1>√x−3x+1>x−3 тул √x+1−√x−3=t≥0x+1−x−3=t≥0 гэж орлуулбал анхны тэгшитгэл t2+at−b=0t2+at−b=0 тэгшитгэлд шилжинэ. Эндээс t1=ct1=c, t2=−dt2=−d гэж гарах ба t2<0t2<0 тул нөхцөлд тохирохгүй. Орлуулгаа буцааж бодвол тэгшитгэлийн шийд x=ex=e гэж гарна.
|
Заавар: x2−2x−3=(x+1)(x−3)x2−2x−3=(x+1)(x−3) болохыг анхаар.
Бодолт: √x+1−√x−3=t≥0x+1−x−3=t≥0 гэж орлуулбал
t2=x+1−2⋅√(x+1)(x−3)+x−3⇒t2=x+1−2⋅(x+1)(x−3)+x−3⇒
2⋅√(x+1)(x−3)=2x−2−t22⋅(x+1)(x−3)=2x−2−t2 болно. Анхны тэгшитгэл
t+2x−(2x−2−t2)=8⇔t2+t−6=0t+2x−(2x−2−t2)=8⇔t2+t−6=0
тэгшитгэлд шилжинэ. Эндээс t1=2t1=2, t2=−3t2=−3 гэж гарах ба t2<0t2<0 тул нөхцөлд тохирохгүй. Орлуулгаа буцааж бодвол
√x+1−√x−3=2⇒2⋅√(x+1)(x−3)=2x−6≥0⇒(x+1)(x−3)=(x−3)2x+1−x−3=2⇒2⋅(x+1)(x−3)=2x−6≥0⇒(x+1)(x−3)=(x−3)2
болно. Тэгшитгэлийг бодвол x=3x=3 гэж гарна.
|
√x+1√x=3 бол x+1x утгыг ол.
|
Заавар: √x+1√x-ийн квадратыг бод.
Бодолт: (√x+1√x)2=(√x)2+2√x⋅1√x+(1√x)2=x+2+1x=9
тул
x+1x=7
байна.
|
√x+2>xx+2>x тэнцэтгэл биш бод.
|
Заавар: Тодорхойлогдох муж ба язгуурын утга эерэг байхыг анхаар.
Бодолт: Тодорхойлогдох муж нь x+2≥0⇒x≥−2x+2≥0⇒x≥−2 байна.
Хэрвээ x<0x<0 бол √x+2≥0>xx+2≥0>x тул [−2;0[[−2;0[ муж шийд болно.
Одоо x≥0x≥0 байх шийдийг олъё. Энэ үед
√x+2>x⇔x+2>x2⇔x+2>x⇔x+2>x2⇔
x2−x−2=(x+1)(x−2)<0x2−x−2=(x+1)(x−2)<0
буюу −1<x<2−1<x<2 тул [0;2[[0;2[ гэсэн шийдтэй.
Шийдүүдээ нэгтгэвэл [−2;0[∪[0;2[=[−2;2[[−2;0[∪[0;2[=[−2;2[ байна.
|
√x+3+1=|2x+5| тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: x=−3 хариу болохыг шалгаад бусад өгөгдсөн тоонуудын хувьд 2x+5≥0 болохыг ашиглан тэгшитгэлийг хялбарчилж бод. Жишээ нь −3-аас ялгаатай хамгийн бага шийд нь −15−√178-ийн хувьд
2⋅−15−√178+5>2⋅−15−58+5=0
байна.
Бодолт: x≠−3 үед 2x+5≥0 тул тэгшитгэлийн −3-аас ялгаатай шийд нь
√x+3+1=2x+5⇔√x+3=2x+4
тэгшитгэлийн шийд байна. Эндээс 2x+4≥0 ба x+3=(2x+4)2 болно. Эндээс
4x2+15x+13=0⇒x1,2=−15±√178
болно. Нөгөө талаас x=−15−√178 үед
2x+4≤2⋅−15−48+4=−0.75
тул шийд болохгүй.
|
√x+3+√x−2>√4x+1x+3+x−2>4x+1 тэнцэтгэл бишийг бод.
|
Заавар: Хурдан бодох арга нь завсар бүрээс тоо авч шалгах юм.
Бодолт: x=2x=2 нь шийд биш юм. Учир нь
√2+3+√2−2<√4⋅2+1⇔√5<32+3+2−2<4⋅2+1⇔5<3
Иймд 22-ийг агуулаагүй E нь зөв сонголт юм.
Заавар: Тодорхойлогдох мужийг олоод aa, b>0b>0 үед a>b⇔a2>b2a>b⇔a2>b2 болохыг ашиглан язгуураас чөлөөлж бод.
Бодолт: Тодорхойлогдох муж нь ⎧⎪⎨⎪⎩x+3≥0x−2≥04x+1≥0⇔⎧⎪⎨⎪⎩x≥−3x≥2x≥–14⇔x≥2{x+3≥0x−2≥04x+1≥0⇔{x≥−3x≥2x≥–14⇔x≥2 байна.
Тодохойлогдох муждаа тэнцэтгэл бишийн хоёр тал хоёулаа сөрөг биш тул
√x+3+√x−2>√4x+1⇔x+3+x−2>4x+1⇔ (√x+3+√x−2)2>(√4x+1)2⇔(x+3+x−2)2>(4x+1)2⇔
x+3+2√x+3√x−2+x−2>4x+1⇔x+3+2x+3x−2+x−2>4x+1⇔
√x+3⋅√x−2>xx+3⋅x−2>x болно.
Тодорхойлогдох муж нь x≥2x≥2 тул
√x+3⋅√x−2>x⇔(√x+3⋅√x−2)2>x2⇔x+3⋅x−2>x⇔(x+3⋅x−2)2>x2⇔
(x+3)(x−2)>x2⇔x−6>0(x+3)(x−2)>x2⇔x−6>0
|
√x+3>x+1x+3>x+1 тэнцэтгэл биш бод.
|
Заавар: Тодорхойлогдох муж нь x+3≥0x+3≥0 байна. xx тодорхойлогдох мужид орж байх үед x+1<0x+1<0 бол √x+3≥0>x+1x+3≥0>x+1 байх тул шийд болно. x+1≥0x+1≥0 үед aa, bb эерэг тоонуудын хувьд a>b⇔a2>b2a>b⇔a2>b2 болохыг ашиглаад бод. Үүнийг товч бичлэгээр бичвэл
√x+3>x+1⇔⎧⎪⎨⎪⎩x+3≥0[x+1<0x+3>(x+1)2x+3>x+1⇔{x+3≥0[x+1<0x+3>(x+1)2
Бодолт: ⎧⎪⎨⎪⎩x+3≥0[x+1<0x+3>(x+1)2⇔⎧⎪⎨⎪⎩x≥−3[x<−1x2+x−2<0⇔⎧⎪⎨⎪⎩x≥−3[x<−1−2<x<1{x+3≥0[x+1<0x+3>(x+1)2⇔{x≥−3[x<−1x2+x−2<0⇔{x≥−3[x<−1−2<x<1
ба [x<−1−2<x<1⇔x<1[x<−1−2<x<1⇔x<1 тул −3≤x<1−3≤x<1 буюу x∈[−3;1[x∈[−3;1[ байна.
|
√x+3−4√x−1+√x+8−6√x−1=1x+3−4x−1+x+8−6x−1=1 тэгшитгэл бодъё.
x+3−4√x−1=(√ax−b−c)2x+3−4x−1=(ax−b−c)2 ба
x+8−6√x−1=(√ax−b−d)2x+8−6x−1=(ax−b−d)2 байна. y=√ax−by=ax−b орлуулга хийвэл |y–c|+|y−d|=1|y–c|+|y−d|=1 тэгшитгэл үүсэх ба шийд нь y∈[e,f]y∈[e,f] байна. Орлуулга буцааж анхны тэгшитгэлийн шийдийн олонлогийг олбол [g,hi][g,hi] муж гарна.
|
Заавар: (√ax−b−c)2=ax−b+c2−2c√ax−b(ax−b−c)2=ax−b+c2−2cax−b ба
(√ax−b−d)2=ax−b+d2−2d√ax−b(ax−b−d)2=ax−b+d2−2dax−b
байна. Эндээс бодлогын нөхцлийг хангах aa, bb, cc, dd тоонууд нь ямар тоонууд байх вэ?
|x−α|+|x−β||x−α|+|x−β|, α<βα<β хэлбэрийн илэрхийллийг x≤αx≤α, α<x≤βα<x≤β, β<xβ<x байх мужуудад салган боддог.
Бодолт: ax−b+c2=x+3,−2c√ax−b=−4√x−1ax−b+c2=x+3,−2cax−b=−4x−1
тул a=b=1a=b=1, c=2c=2 ба
x−1+d2=x+8x−1+d2=x+8
тул d=3d=3 байна. Иймд
√x+3−4√x−1=|√x−1−2|x+3−4x−1=|x−1−2| ба √x+8−6√x−1=|√x−1−3|x+8−6x−1=|x−1−3| болно.
y=√x−1y=x−1 оруулага хийвэл
|y−2|+|y−3|=1|y−2|+|y−3|=1
тэгшитгэл үүснэ. Энэ тэгшитгэл нь:
y≤2y≤2 үед 2−y+3−y=12−y+3−y=1 буюу y=2y=2 байна.
2<y≤32<y≤3 үед y−2+3−y=1y−2+3−y=1 тул y∈]2;3]y∈]2;3] байна.
3<y3<y үед y−2+y−3=1y−2+y−3=1 буюу y=3y=3 буюу шийдгүй байна.
Иймд y∈[2;3]y∈[2;3] болно. Орлуулгаа буцаавал
2≤√x−1≤3⇔4≤x−1≤92≤x−1≤3⇔4≤x−1≤9
тул шийдийн муж нь x∈[5;10]x∈[5;10] болно.
|
√x+4+x−2=0 тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: y=√x+4 нь өсөх, y=2−x нь буурах функүүд тул график нь хамгийн ихдээ нэг цэгээр л огтлолцоно. Огтлолцлын цэгийг ол.
Бодолт:
|
√x+4, √5x, √9x+4 гэсэн 3 тоо арифметик прогрессын дараалсан гурван гишүүн бол уг арифметик прогрессын ялгаврыг ол.
|
Заавар: a,b,c тоонууд энэ дарааллаараа арифметик прогрессийн дараалсан 3 гишүүн байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь
a+b=2c
байдаг.
Бодолт: Бидэнд √x+4+√9x+4=2√5x тэгшитгэлийн ямар нэг бодит шийд хэрэгтэй (хоёр болон түүнээс дээш тооны шийдтэй бол бодлого нэг хариутай байж чадахгүй, эсвэл бүх шийд нь ижилхэн ялгавар өгөх ёстой!). Бидэнд x=5 гэсэн хялбархан шалгаж болох шийд байгаа тул d=√5⋅5−√5+4=2
байна.
|
√x+6=x тэгшитгэл бод.
|
Заавар: √f(x)≥0 тул √f(x)=g(x)⇔{f(x)=g2(x)g(x)≥0
байна.
Бодолт: √x+6=x⇔{x+6=x2x≥0⇔{(x+2)(x−6)=0x≥0
байна. Эхний тэгшитгэлээс x1=−2, x2=3 болох бөгөөд x≥0 тул анхны тэгшитгэл x=3 гэсэн ганц шийдтэй.
|
√x+√36−x2<√x+6x+36−x2<x+6 тэнцэтгэл бишийг бод.
|
Заавар: Тодорхойлогдох мужаа олоод x≠0x≠0 үед √36−x2<636−x2<6 болохыг тооц.
Бодолт:
|
√x2+1>x−1x2+1>x−1 тэнцэтгэл бишийн шийдийн олонлог аль нь вэ?
|
Заавар: x−1<0x−1<0 муж шийд болохыг анхаар!
Бодолт: x−1<0x−1<0 бол √x2+1>0>x−1x2+1>0>x−1 тул шийд болно. ]−∞;1[]−∞;1[ муж шийд болно.
x−1≥0x−1≥0 үед
√x2+1>x−1⇔x2+1>(x−1)2⇔x≥1x2+1>x−1⇔x2+1>(x−1)2⇔x≥1
байна.
Эдгээрийг нэгтгэвэл ]−∞;1[∪[1;+∞[=]−∞;+∞[]−∞;1[∪[1;+∞[=]−∞;+∞[ байна.
|
√x2+3x−4>−2x2+3x−4>−2 тэнцэтгэл бишийг бод.
|
Заавар: Квадрат язгуур ямагт тэгээс их тул тодорхойлогдох мужийн бүх тоо шийд болно.
Бодолт:
|
√x2−2=√3−√2 тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: Шийдийг хариунаас ол.
Бодолт: Тэгшитгэл x2-ээс хамаарах тул шийдүүд нь 0-ийн хувьд тэгш хэмтэй байна. Иймд зөвхөн A, B сонголтууд зөв байх боломжтой.
Нөгөө талаас
√(±√3)2−2=√3−2=1≠√3−√2
тул шийд болохгүй. Иймд зөв хариулт нь зөвхөн x=±(1−√6) байх боломжтой. Шалгаж үзвэл
(1−√6)2−2=1−2√6+6−2=5−2√6
(√3−√2)2=3−2√3+2=5−2√6
тул шийд болж байна.
Санамж: Мэдээж зөв хариултыг олсон тохиолдолд шийдийг заавал шалгах шаардлагагүй.
|
√x2−2x<x−2x2−2x<x−2 тэнцэтгэл бишийг бод.
|
Заавар:
Бодолт: Тэнцэтгэл бишийн тодорхойлогдох муж нь x2−2x≥0⇒x≤0∨x≥2x2−2x≥0⇒x≤0∨x≥2.
x−2<0x−2<0 байх шийдгүй учир нь √x2−2x≥0>x−2x2−2x≥0>x−2
байна.
x−2≥0x−2≥0 бол x2−2x≥0x2−2x≥0 байна. Иймд
{x−2≥0√x2−2x<x−2⇔{x−2≥0x2−2x<x2−4x+4⇔{x−2≥0x<2⇔∅{x−2≥0x2−2x<x−2⇔{x−2≥0x2−2x<x2−4x+4⇔{x−2≥0x<2⇔∅ болно.
Иймд тэнцэтгэл биш шийдгүй.
|
√x2−2x>x−2x2−2x>x−2 тэнцэтгэл бишийг бод.
|
Заавар:
Бодолт: Тэнцэтгэл бишийн тодорхойлогдох муж нь x2−2x≥0⇒x≤0∨x≥2x2−2x≥0⇒x≤0∨x≥2.
Хэрэв x−2<0x−2<0 бол шууд шийд болно учир нь √x2−2x≥0>x−2x2−2x≥0>x−2
байна. Эндээс {x2−2x≥0x−2<0⇒x≤0{x2−2x≥0x−2<0⇒x≤0 нь тэнцэтгэл бишийн шийд болно. Энэ хэсгийг шалгалгүй орхиж шийд дутуу олох тохиолдол их байдаг.
Хэрэв x−2≥0x−2≥0 бол x2−2x≥0x2−2x≥0 байна. Иймд
{x−2≥0√x2−2x>x−2⇔{x−2≥0x2−2x>x2−4x+4⇔{x−2≥0x>2⇔x>2{x−2≥0x2−2x>x−2⇔{x−2≥0x2−2x>x2−4x+4⇔{x−2≥0x>2⇔x>2 нь тэнцэтгэл бишийн шийд болно.
Хоёр шийдээ нэгтгэвэл (−∞;0]∪(2;+∞)(−∞;0]∪(2;+∞).
|
√x2−3x+3+3=2x тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: Иррационал тэгшитгэлийг бодоод гарсан хариуг заавал шалгаж үзэх нь зөв байдаг. Мөн шийдийг хариунаас олох арга ихэвчлэн үр дүнтэй.
Бодолт: √x2−3x+3+3=2x⇒x2−3x+3=(2x−3)2
тэгшитгэлийг хялбарчилбал 3x2−9x+6=0 болох бөгөөд эдгээрээс x1=1, x2=2 гэсэн шийдүүд гарна. Бид тэгшитгэлээ тэнцүү чанартай тэгшитгэлээр солиогүй тул шийдийг анхны тэгшитгэлд орлуулж зайлшгүй шалгаж үзэх шаардлагатай. x=1 нь
√12−3⋅1+3+3≠2⋅1
тул шийд биш. Харин
√22−3⋅2+3+3=2⋅2
тул x=2 нь шийд болно. Иймд C зөв хариулт байна.
|
√x2−3x+5+8x−34x≥2 тодорхойлогдох мужийг олбол x∈]−∞;a[∪]b;+∞[ болно. Иймд иррациональ тэнцэтгэл бишийн шийдийг интервалын аргаар олбол x∈[−c;d[∪[e;+∞[ болно.
|
Заавар:
Бодолт: D:{x2−3x+5≥0x≠0
Дурын бодит x-ийн хувьд x2−3x+5=(x−1.5)2+2.75>0 тул D:x∈]−∞;0[∪]0;+∞[ болно.
√x2−3x+5+8x−34x≥2⇔√x2−3x+5−34x≥0
ба
√x2−3x+5>3⇔x2−3x+5>9⇔x2−3x−4=(x+1)(x−4)>0 тул
√x2−3x+5−34x≥0⇔(x+1)(x−4)x≥0
Үүнийг интервалын аргаар бодвол
x∈[−1;0[∪[4;+∞[ байна.
|
√x2−3x−4>x−2x2−3x−4>x−2 тэнцэтгэл биш бод.
|
Заавар: √f(x)>g(x)⇔⎧⎪⎨⎪⎩[f(x)>g2(x)g(x)<0f(x)≥0f(x)>g(x)⇔{[f(x)>g2(x)g(x)<0f(x)≥0
Бодолт: √x2−3x−4>x−2⇔⎧⎪⎨⎪⎩[x2−3x−4>(x−2)2x−2<0x2−3x−4≥0x2−3x−4>x−2⇔{[x2−3x−4>(x−2)2x−2<0x2−3x−4≥0
байна.
[x2−3x−4>(x−2)2x−2<0⇔[x>8x<2[x2−3x−4>(x−2)2x−2<0⇔[x>8x<2
ба x2−3x−4≥0⇔[x≥4x≤−1x2−3x−4≥0⇔[x≥4x≤−1 байна. Иймд тэнцэтгэл бишийн шийд нь (−∞;−1]∪(8;+∞)(−∞;−1]∪(8;+∞) байна.
|
√x2−4x+3⋅log4(5−x2)=0 тэгшитгэлийн шийдийн олонлог аль нь вэ?
|
Заавар: Тодорхойлогдох мужийг тооц.
Бодолт: Тодорхойлогдох муж нь x2−4x+3≥0, 5−x2>0 тул ]−√5;1] байна. Иймд тэгшитгэлийн шийд нь зөвхөн {−2,1} байна (шийд болохыг шалгахад төвөгтэй биш).
|
√x2−4xy+4y2 аль нь вэ?
|
Заавар: √a2=|a| байдаг. Жишээ нь √(−3)2=|−3|=3 байна.
Бодолт: √x2−4xy+4y2=√(x−2y)2=|x−2y|
|
√x2−4|x|+5=bx2−4|x|+5=b тэгшитгэл
|
Заавар: y=x2−4|x|+5y=x2−4|x|+5 функцийн графикийг байгуул.
Бодолт: b<0b<0 үед √x2−4|x|+5=bx2−4|x|+5=b тэгшитгэл шийдгүй байна.
b≥0b≥0 үед
√x2−4|x|+5=b⇔x2−4|x|+5=b2x2−4|x|+5=b⇔x2−4|x|+5=b2
болно.
f(x)=x2−4|x|+5f(x)=x2−4|x|+5 функцийн график, y=b2y=b2 функцийн графиктай огтлолцох цэгийн тоо нь анхны тэгшитгэлийн шийдийн тоо байна. Зургаас харахад b2<1b2<1 үед огтцлолцлын цэг байхгүй, b2=1b2=1 буюу b=1b=1 үед 2 ерөнхий цэгтэй, 1<b2<51<b2<5 буюу 1<b<√51<b<5 үед 4 огтлолцлын цэгтэй, b2=5b2=5 буюу b=√5b=5 үед 3 огтлолцлын цэгтэй, √5<b5<b үед 2 огтолцлын цэгтэй байна.
Түүнчлэн
x≥0x≥0 үед |x|=x|x|=x ба
x2−4x+5−b2=0⇒x2−4x+5−b2=0⇒
x1,2=4±√42−4(5−b2)2=2±√b2−1x1,2=4±42−4(5−b2)2=2±b2−1
x<0x<0 үед |x|=−x|x|=−x ба
x2+4x+5−b2=0⇒x2+4x+5−b2=0⇒
x1,2=−4±√42−4(5−b2)2=−2±√b2−1x1,2=−4±42−4(5−b2)2=−2±b2−1
болохыг ашиглан ерөнхий шийдийг бичиж болно.
|
√x2−5x+4⋅log4(10−x2)=0 тэгшитгэлийн шийдийн олонлог аль нь вэ?
|
Заавар: Тодорхойлогдох мужийг тооц.
Бодолт: Тодорхойлогдох муж нь x2−5x+4≥0, 10−x2>0 тул ]−√10;1] байна. Иймд тэгшитгэлийн шийд нь зөвхөн {−3,1} байна (шийд болохыг шалгахад төвөгтэй биш).
|
√x2−6x+13=ax2−6x+13=a тэгшитгэл яг нэг шийдтэй байх aa-гийн утга нь aa болно. Харин a∈]b;+∞[a∈]b;+∞[ үед тэгшитгэл хоёр шийдтэй, a∈]−∞;c[a∈]−∞;c[ үед шийдгүй.
|
Заавар: a<0a<0 үед шийдгүй байх нь ойлгомжтой. a≥0a≥0 үед
√x2−6x+13=a⇔x2−6x+13=a2x2−6x+13=a⇔x2−6x+13=a2
тэгшитгэлийг квадрат тэгшитгэлийн шийдийг шинжлэх аргаар бод.
ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0, a≠0a≠0, a,b,c∈Ra,b,c∈R ба D=b2−4acD=b2−4ac байг:
D=0D=0 үед ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 тэгшитгэл яг нэг бодит шийдтэй;
D>0D>0 үед ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 тэгшитгэл ялгаатай хоёр бодит шийдтэй;
D<0D<0 үед бодит шийдгүй байна.
Бодолт: x2−6x+(13−a2)=0x2−6x+(13−a2)=0 квадрат тэгшитгэлийн дискриминант нь
D=(−6)2−4⋅1⋅(13−a2)=4a2−16D=(−6)2−4⋅1⋅(13−a2)=4a2−16
байна. a≥0a≥0 үед
D=0⇔4a2−16=0⇔a=±2D=0⇔4a2−16=0⇔a=±2 ба a≥0a≥0 тул a=2a=2 үед яг нэг шийдтэй;
D≥0⇔4a2−16>0D≥0⇔4a2−16>0 ба a≥0a≥0 буюу a>2a>2 үед 2 шийдтэй;
D≤0⇔4a2−16<0D≤0⇔4a2−16<0 буюу 0≤a<20≤a<2 үед тэгшитгэл шийдгүй. Иймд ]−∞;2[]−∞;2[ үед тэгшитгэл шийдгүй байна.
|
√x2−9⋅lg(1−x)=0x2−9⋅lg(1−x)=0 тэгшитгэлийн шийд ол.
|
Заавар: Үржвэр тэгтэй тэнцүү байхын тулд ядаж нэг үржигдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү бөгөөд бусад үржигдэхүүн нь тодорхойлогдож байх ёстой.
Бодолт: √x2−9⋅lg(1−x)=0⇒[√x2−9=0lg(1−x)=0x2−9⋅lg(1−x)=0⇒[x2−9=0lg(1−x)=0
Эхний тэгшитгэлээс x=±3x=±3 гурав шийд гарах боловч x=3x=3 үед lg(1−3)=lg(−2)lg(1−3)=lg(−2) тодорхойлогдохгүй тул шийд биш. Хоёр дахь тэгшитгэлээс
lg(1−x)=0⇒1−x=100⇒x=0lg(1−x)=0⇒1−x=100⇒x=0
гэж гарах боловч √02−902−9 тодорхойлогдохгүй тул шийд болж чадахгүй. Иймд зөвхөн x=−3x=−3 гэсэн шийдтэй.
|
√x2−x−12<xx2−x−12<x тэнцэтгэл бишийг бод.
|
Заавар: 0≤√x2−x−12<x0≤x2−x−12<x байхыг анхаар!
Бодолт: 0≤√x2−x−12<x⇒0<x0≤x2−x−12<x⇒0<x тул тэнцэтгэл биш сөрөг шийдгүй. [4;∞[[4;∞[ хариултаас бусад нь сөрөг шийд агуулах тул зөв хариулт байж чадахгүй. Иймд D сонголт зөв.
Үнэндээ 0<x0<x үед
√x2−x−12<x⇔0≤x2−x−12<x2x2−x−12<x⇔0≤x2−x−12<x2
буюу
⇔{0≤x2−x−12−x−12<0⇔{x≤−3∪x≥4−12<x⇔{0≤x2−x−12−x−12<0⇔{x≤−3∪x≥4−12<x
байна. Эндээс 0<x0<x тул x≥4x≥4 болно.
|
√x2−x−6>x−1x2−x−6>x−1 тэнцэтгэл биш бод.
|
Заавар: √f(x)>g(x)⇔⎧⎪⎨⎪⎩[f(x)>g2(x)g(x)<0f(x)≥0f(x)>g(x)⇔{[f(x)>g2(x)g(x)<0f(x)≥0
Бодолт: √x2−x−6>x−1⇔⎧⎪⎨⎪⎩[x2−x−6>(x−1)2x−1<0x2−x−6≥0x2−x−6>x−1⇔{[x2−x−6>(x−1)2x−1<0x2−x−6≥0
байна.
[x2−x−6>(x−1)2x−1<0⇔[x>7x<1[x2−x−6>(x−1)2x−1<0⇔[x>7x<1
ба x2−x−6≥0⇔[x≥3x≤−2x2−x−6≥0⇔[x≥3x≤−2 байна. Иймд тэнцэтгэл бишийн шийд нь (−∞;−2]∪(7;+∞)(−∞;−2]∪(7;+∞) байна.
|
√x3+8+4√x3+8=6 тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: Хариултанд өгөгдсөн тоонуудаас аль нь тэгшитгэлийн шийд болж байна вэ?
Бодолт: x=2 үед
√23+8+4√23+8=√16+4√16=4+2=6
тул шийд болж байна.
|
√x=x−2 тэгшитгэлийн шийд аль нь вэ?
|
Заавар: √x=x−2≥0 байхыг анхаар. Иррационал тэгшитгэлийг бодоод хариуг шалгаж үзэж байх шаардлагатай.
Бодолт: √x=x−2⇒x=(x−2)2 тул x2−5x+4=0 болно. Эндээс x=1, x=4 гэсэн шийдүүд гарах бөгөөд x=1 үед x−2<0 тул шийд болохгүй. Харин x=4 үед √4=4−2 тул шийд болно.
|
√x=x−2x=x−2 тэгшитгэлийн шийд аль нь вэ?
|
Заавар: √x=x−2≥0x=x−2≥0 байхыг анхаар. Иррационал тэгшитгэлийг бодоод хариуг шалгаж үзэж байх шаардлагатай.
Бодолт: √x=x−2⇒x=(x−2)2x=x−2⇒x=(x−2)2 тул x2−5x+4=0x2−5x+4=0 болно. Эндээс x=1x=1, x=4x=4 гэсэн шийдүүд гарах бөгөөд x=1x=1 үед x−2<0x−2<0 тул шийд болохгүй. Харин x=4x=4 үед √4=4−24=4−2 тул шийд болно.
|
√x=x−6x=x−6 тэгшитгэлийн шийд аль нь вэ?
|
Заавар: √x=x−6≥0x=x−6≥0 байхыг анхаар. Иррационал тэгшитгэлийг бодоод хариуг шалгаж үзэж байх шаардлагатай.
Бодолт: √x=x−6⇒x=(x−6)2x=x−6⇒x=(x−6)2 тул x2−13x+36=0x2−13x+36=0 болно. Эндээс x=4x=4, x=9x=9 гэсэн шийдүүд гарах бөгөөд x=4x=4 үед x−6<0x−6<0 тул шийд болохгүй. Харин x=9x=9 үед √9=9−69=9−6 тул шийд болно.
|
√x−1=−2 тэгшитгэл бод.
|
Заавар: √a-аар квадрат нь a-тай тэнцэх эерэг тоог тэмдэглэдэг.
Бодолт: x-ийн боломжит бүх утганд язгуураас эерэг тоо гарах ёстой тул √x−1≥0>−2 байна. Иймд тэгшитгэл шийдгүй.
|
√x−1x−√1−1x>x−1xx−1x−1−1x>x−1x тэнцэтгэл бишийг бод.
|
Заавар:
Бодолт: Тэнцэтгэл бишийн тодорхойлогдох муж нь
D:⎧⎪
⎪⎨⎪
⎪⎩x−1x≥01−1x≥0⇔⎧⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪⎩(x−1)(x+1)x≥0x−1x≥0⇔⎧⎪
⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪
⎪⎩[−1≤x<0x≥1[x<0x≥1D:{x−1x≥01−1x≥0⇔{(x−1)(x+1)x≥0x−1x≥0⇔{[−1≤x<0x≥1[x<0x≥1
тул [x<0x≥1[x<0x≥1 байна. Тодорхойлогдох муж дээр 1−1x=(√x−1x)21−1x=(x−1x)2, √x−1x=√(x−1)(x+1)xx−1x=(x−1)(x+1)x тул
√x−1x−√1−1x>x−1x⇔√(x−1)(x+1)x−√x−1x>(√x−1x)2x−1x−1−1x>x−1x⇔(x−1)(x+1)x−x−1x>(x−1x)2
болно.
x=1x=1 тэнцэтгэл бишийн шийд болохгүй. Иймд 1−1x≠01−1x≠0 гэж үзэж болно.
√x+1−1>√x−1x⇔√x+1>√x−1x+1>0x+1−1>x−1x⇔x+1>x−1x+1>0
болно. Сүүлийн тэнцэтгэл бишийг квадрат зэрэгт дэвшүүлбэл
x+1>x−1x+2√x−1x+1⇔x2−x+1x>2√x−1x>0x+1>x−1x+2x−1x+1⇔x2−x+1x>2x−1x>0
болно. Сүүлийн тэнцэтгэл биш x<0x<0 байх шийдгүй. x>0x>0 гээд мөн квадрат зэрэгт дэвшүүлбэл
(x2−x+1)2x2>4x−4x⇔x4+x2+1−2x3+2x2−2x−4x2+4xx2=(x2−x−1)2x2>0(x2−x+1)2x2>4x−4x⇔x4+x2+1−2x3+2x2−2x−4x2+4xx2=(x2−x−1)2x2>0
тул x2−x+1≠0x2−x+1≠0 буюу x≠1±√52x≠1±52 болно. Иймд тэнцэтгэл бишийн шийд
]1;1+√52[∪]1+√52;+∞[]1;1+52[∪]1+52;+∞[
|
√x−3>−1 тэнцэтгэл бишийн шийдийг ол.
|
Заавар: Хариунаас бод.
Бодолт: Тодорхойлогдох мужийг бодвол x≥3 болно. Түүнчлэн √3−3=0>−1 тул x=3 тэнцэтгэл бишийн шийд болно. Иймд зөв хариулт нь зөвхөн D байх боломжтой юм.
|
√x−3≤2√x−2x−3≤2x−2 тэнцэтгэл бишийг бод.
|
Заавар: Тэнцэтгэл бишийн тодорхойлогдох мужийг олоод дараа нь баруун талыг нь зүүн талд шилжүүлээд ерөнхий хуваарь өгч бод.
Бодолт: Язгуурын доорхи илэрхийлэл эерэг байх тул x≥0x≥0. Бутархайн хуваарь тэг биш тул √x−2≠0x−2≠0 буюу x≠4x≠4. Иймд D=[0;4[∪]4;+∞]D=[0;4[∪]4;+∞].
√x−3≤2√x−2⇔√x−3−2√x−2≤0⇔x−3≤2x−2⇔x−3−2x−2≤0⇔
⇔(√x−3)(√x−2)−2√x−2≤0.⇔(x−3)(x−2)−2x−2≤0.
Сүүлийн тэнцэтгэл биш нь x−5√x+4√x−2≤0x−5x+4x−2≤0 болох ба энэ нь тодорхойлогдох муждаа (x≠4x≠4, x>0x>0)
(√x−2)(x−5√x+4)≤0(x−2)(x−5x+4)≤0
тэнцэтгэл биштэй тэнцүү чанартай. t=√xt=x гэвэл t≥0t≥0 ба
(t−2)(t2−5t+4)=(t−2)(t−1)(t−4)≤0(t−2)(t2−5t+4)=(t−2)(t−1)(t−4)≤0 болно. Үүнийг интервалын аргаар бодвол t∈]−∞;1]∪[2;4]t∈]−∞;1]∪[2;4]. Иймд √x≤1x≤1 эсвэл 2≤√x≤42≤x≤4 болно. Иймд x≤1x≤1 эсвэл 4≤x≤164≤x≤16 байна. Үүнийг тодорхойлогдох мужтай огтлолцуулбал x∈[0;1]∪]4;16]x∈[0;1]∪]4;16] болов.
|
√x−3≤3−|x−6|x−3≤3−|x−6| тэнцэтгэл бишийг бод.
|
Заавар: Хариунаас бод.
Бодолт: x=3x=3, x=7x=7 шийд болж байна. Харин x=3.25x=3.25 нь
√3.25−3=0.5>3−|3.25−6|=0.253.25−3=0.5>3−|3.25−6|=0.25
тул шийд биш. Иймд зөвхөн E хариулт боломжтой.
|
√x−4≤6−|x−10| тэнцэтгэл бишийг бод.
|
Заавар: Хариунаас бод.
Бодолт: x=3, x=7 шийд болж байна. Харин x=3.25 нь
√3.25−3=0.5>3−|3.25−6|=0.25
тул шийд биш. Иймд зөвхөн E хариулт боломжтой.
|
√x−√7+√6−√4=4 тэгшитгэл бод
|
Заавар: Дэс дараалан язгуураас гаргах үйлдлийг гүйцэтгэ.
Бодолт: √7+√6−√4=√7+√6−2=√7+√4=√7+2=3
тул √x−3=4⇒x−3=42⇒x=19. x=19 үед тэгшитгэлийн зүүн гар тал утгатай буюу x=19 нь тодорхойлогдох мужид орох тул шийд болно.
|
√y2+1dx=xydyy2+1dx=xydy дифференциал тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: Хувьсагчийг ялгах аргаар бод.
Бодолт: √y2+1dx=xydy⇔y√y2+1dy=1xdxy2+1dx=xydy⇔yy2+1dy=1xdx
тул
∫y√y2+1dy=∫1xdx⇔∫d(y2+1)2√y2+1=∫1xdx∫yy2+1dy=∫1xdx⇔∫d(y2+1)2y2+1=∫1xdx
болно. Иймд
√y2+1=ln|x|+Cy2+1=ln|x|+C
|
√y2−1dx=xydyy2−1dx=xydy дифференциал тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: Хувьсагчийг ялгах аргаар бод.
Бодолт: √y2−1dx=xydy⇔y√y2−1dy=1xdxy2−1dx=xydy⇔yy2−1dy=1xdx
тул
∫y√y2−1dy=∫1xdx⇔∫d(y2−1)2√y2−1=∫1xdx∫yy2−1dy=∫1xdx⇔∫d(y2−1)2y2−1=∫1xdx
болно. Иймд
√y2−1=ln|x|+Cy2−1=ln|x|+C
|
√|1−2x|=1−2x тэгшитгэлийн шийдүүдийн нийлбэрийг ол.
|
Заавар: √|1−2x|=1−2x⇒|1−2x|=(1−2x)2 байна. Цааш нь 1−2x<0 ба 1−2x≥0 байх мужуудад бод. Квадрат зэрэгт дэвшүүлсэн тул шийдээ шалгаж баталгаажуулаарай!
Бодолт: |1−2x|=(1−2x)2 тэгтшитгэлийг бодъё. 1−2x<0 бол |1−2x|=−(1−2x)≠0 тул −(1−2x)=(1−2x)2⇔−1=1−2x⇔x=1
байна. Гэвч энэ нь √|1−2⋅1|=√|−1|=√1=1≠1−2⋅1=−1
тул анхны тэгшитгэлийн шийд болж чадахгүй.
1−2x≥0 бол |1−2x|=1−2x байх тул 1−2x=(1−2x)2⇔4x2−2x=0⇔x=0∨x=0.5
болох ба эдгээр нь шийд болж чадна. Иймд шийдүүдийн нийлбэр нь 0+0.5=0.5 байна.
|
√|1−2x|>1−2x|1−2x|>1−2x бод.
|
Заавар: √f>g⇔{f>g2g≥0∪{f≥0g<0f>g⇔{f>g2g≥0∪{f≥0g<0
хувиргалт ашиглан бод.
Бодолт: √|1−2x|>1−2x⇔{|1−2x|>(1−2x)21−2x≥0∪{|1−2x|≥01−2x<0|1−2x|>1−2x⇔{|1−2x|>(1−2x)21−2x≥0∪{|1−2x|≥01−2x<0
Эхний системийн хувьд 1−2x≥01−2x≥0 тул x≤0.5x≤0.5 ба |1−2x|=1−2x|1−2x|=1−2x байна. Иймд
1−2x>(1−2x)2⇔(1−2x)(1−1+2x)>0⇔1−2x>(1−2x)2⇔(1−2x)(1−1+2x)>0⇔
x(x−0.5)<0⇔x∈]0;0.5[x(x−0.5)<0⇔x∈]0;0.5[
Хоёр дахь системийн хувьд |1−2x|≥0|1−2x|≥0 нь дурын x∈Rx∈R-ийн хувьд биелэх тул 1−2x<01−2x<0-ийг бодоход хангалттай. Иймд x>0.5x>0.5 гэсэн шийд нэмэгдэж байна.
Тэнцэтгэл бишийн шийд нь x∈]0;0.5[∪]0.5;+∞[x∈]0;0.5[∪]0.5;+∞[ байна.
Жич: Мэдээж энэ тэнцэтгэл бишийг бусад тэнцэтгэл бишүүдийн адилаар хариунаас бодох аргаар хялбархан бодож болно. Үүний тулд x=0.25x=0.25, x=1x=1 тоонуудыг шийд ба x=0.5x=0.5 нь шийд биш гэж харуулахад л хангалттай юм.
|
√|x+2|−2>√|x+2|−2015|x+2|−2>|x+2|−2015 тэнцэтгэл бишийн шийд болох хамгийн их сөрөг тоо ба хамгийн бага эерэг тоог ол.
|
Заавар: Тодорхойлогдох муж ба aa, bb эерэг тоонуудын хувьд a>b⇔a2>b2a>b⇔a2>b2 болохыг ашигла.
Мөн өгөгдсөн −2017−2017, −2013−2013, 20132013, 20172017 тоонуудыг шийд болох эсэхийг шууд шалгаад хариуг олж болно.
Бодолт: Тодорхойлогдох муж нь
{|x+2|≥2|x+2|≥2015⇔|x+2|≥2015{|x+2|≥2|x+2|≥2015⇔|x+2|≥2015 байна. Энэ үед
√|x+2|−2>√|x+2|−2015⇔|x+2|−2>|x+2|−2015⇔ |x+2|−2>|x+2|−2015|x+2|−2>|x+2|−2015
болох ба мэдээж дурын x∈Rx∈R үед үнэн байна. Иймд тодорхойлогдох муж нь тэнцэтгэл бишийн шийдийн муж болно.
|x+2|≥2015⇔x+2≤−2015∨x+2≥2015|x+2|≥2015⇔x+2≤−2015∨x+2≥2015
тул x≤−2017∨x≥2013x≤−2017∨x≥2013 байна. Иймд хамгийн их сөрөг шийд нь −2017−2017, хамгийн бага эерэг шийд нь 20132013 байна.
Шийдийг хариунаас бодъё: −2017−2017 нь
√|−2017+2|−2>√|−2017+2|−2015⇔√2013>0|−2017+2|−2>|−2017+2|−2015⇔2013>0
тул шийд болно. −2013−2013 нь |−2013+2|<2015|−2013+2|<2015 болж тодорхойлогдох мужид орохгүй тул шийд болохгүй. Иймд хамгийн их сөрөг шийд нь −2017−2017 байна.
20132013 нь
√|2013+2|−2>√|2013+2|−2015⇔√2013>0|2013+2|−2>|2013+2|−2015⇔2013>0
тул шийд болно. Үүнээс бага эерэг тоо хариунууд дунд өгөгдөөгүй тул хамгийн бага эерэг бүхэл тоо нь 20132013 байна. Ядаж нэг, нэг эерэг ба сөрөг шийд байгаа тул эдгээрийн хамгийн бага ба хамгийн их нь оршин байна.
|
∠A=90, AB=3, AC=4 байх ABC тэгш өнцөгт гурвалжинд багтсан ADEF тэгш өнцөгтийн талбай хамгийн ихдээ хэдтэй тэнцүү вэ?
|
Заавар: A төвтэй AB ба AC тэнхлэгүүдтэй тэгш өнцөгт координатын систем сонирх. Энэ үед E(x;y) цэг нь BC шулуун дээр байрлах ба SADEF=x⋅y байна.
Нийлбэр нь тогтмол тоонуудын үржвэр тэнцүү үедээ хамгийн их байдаг.
Бодолт: B(3;0), C(0;4) тул BC шулууны тэгшитгэл нь x3+y4=1 байна. Иймд 4x+3y=12 байна. 4x⋅3y илэрхийлэл 4x=3y=6 үед хамгийн их утгатай байна. Иймд xy нь x=32, y=2 үед хамгийн их байх тул maxSADEF=32⋅2=3 байна.
|
∣∣
∣∣13−127−258−4∣∣
∣∣|13−127−258−4| тодорхойлогчийг ол.
|
Заавар: Саррюсын дүрэм ашиглан бод.
Бодолт: ∣∣
∣∣13−127−258−4∣∣
∣∣=(1⋅7⋅4+3⋅(−2)⋅5+(−1)⋅2⋅8)−−(−1⋅7⋅5+1⋅(−2)⋅8+3⋅2⋅4)=−18−(−27)=9|13−127−258−4|=(1⋅7⋅4+3⋅(−2)⋅5+(−1)⋅2⋅8)−−(−1⋅7⋅5+1⋅(−2)⋅8+3⋅2⋅4)=−18−(−27)=9
|
∣∣∣x−1x+3∣∣∣=1|x−1x+3|=1 тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: a≥0a≥0 бол |f(x)|=a⇔f(x)=±a|f(x)|=a⇔f(x)=±a байна.
Бодолт:
|
∫(2−3√x)2dx∫(2−3x)2dx
|
Заавар:
Бодолт: ∫(2−3√x)2dx=∫(4−12√x+9x)dx=4x−12⋅x3232+9x22+C=4x−8x√x+9x22+C∫(2−3x)2dx=∫(4−12x+9x)dx=4x−12⋅x3232+9x22+C=4x−8xx+9x22+C
|
∫(3x+1)20dx∫(3x+1)20dx интеграл бод.
|
Заавар: Шууд уламжлал авч хариунуудыг шалга.
Бодолт:
|
∫(3x2+2sin2x)dx=?∫(3x2+2sin2x)dx=?
|
Заавар: Хэрвээ шууд бодож чадахгүй бол хариунуудаас уламжлал аван шалган тохирох функцийг олж болно.
Бодолт: (x3−cos2x+C)′=3x2−((−sin2x)⋅2)+0=3x2+2sin2x(x3−cos2x+C)′=3x2−((−sin2x)⋅2)+0=3x2+2sin2x тул
E сонголт нь зөв байна.
|
∫(3x2+sin3x)dx=?∫(3x2+sin3x)dx=?
|
Заавар: Хэрвээ шууд бодож чадахгүй бол хариунуудаас уламжлал аван шалган тохирох функцийг олж болно.
Бодолт: (x3−13cos3x+C)′=3x2−((−sin3x)⋅2)+0=3x2+sin3x(x3−13cos3x+C)′=3x2−((−sin3x)⋅2)+0=3x2+sin3x тул
B сонголт нь зөв байна.
|
∫(x2+2x)ex3+3x2dx∫(x2+2x)ex3+3x2dx
|
Заавар: F′(x)=f(x)F′(x)=f(x) бол
∫f(φ(x))⋅φ′(x)dx=F(φ(x))+C∫f(φ(x))⋅φ′(x)dx=F(φ(x))+C
байна.
Бодолт: ∫(x2+2x)ex3+3x2dx=∫ex3+3x2⋅13d(x3+3x2)∫(x2+2x)ex3+3x2dx=∫ex3+3x2⋅13d(x3+3x2)
=13∫ex3+3x2d(x3+3x2)=13ex3+3x2+C=13∫ex3+3x2d(x3+3x2)=13ex3+3x2+C
|
∫(x2+sin2x)dx=?∫(x2+sin2x)dx=?
|
Заавар: Хэрвээ шууд бодож чадахгүй бол хариунуудаас уламжлал аван шалган тохирох функцийг олж болно.
Бодолт: (13x3−12cos2x+C)′=13⋅3x2−12(−sin2x)⋅2=x2+sin2x(13x3−12cos2x+C)′=13⋅3x2−12(−sin2x)⋅2=x2+sin2x тул B хариулт зөв байна.
|
∫(x2+sin3x)dx=?∫(x2+sin3x)dx=?
|
Заавар: Хэрвээ шууд бодож чадахгүй бол хариунуудаас уламжлал аван шалган тохирох функцийг олж болно.
Бодолт: (13x3−13cos3x+C)′=13⋅3⋅x2−13⋅3⋅(−sin3x)+0=x2+sin3x(13x3−13cos3x+C)′=13⋅3⋅x2−13⋅3⋅(−sin3x)+0=x2+sin3x тул
C сонголт нь зөв байна.
|
∫(x−1)(x−2)dx∫(x−1)(x−2)dx бод.
|
Заавар: Үржвэрийг гишүүнчлэн үржүүлж задлаад, гишүүн бүрээр нь интеграл авч бод.
∫xn=xn+1n+1+C,n≠−1∫xn=xn+1n+1+C,n≠−1
Бодолт: ∫(x−1)(x−2)dx=∫x2−3x+2dx=x33−3x22+2x+C∫(x−1)(x−2)dx=∫x2−3x+2dx=x33−3x22+2x+C байна.
|
∫(x−1)(x−2)x∫(x−1)(x−2)x интегралыг бод.
|
Заавар: Олон гишүүнтийн интегралд шилжүүлээд гишүүнчлэн интегралчил.
Бодолт: ∫(x−1)(x−2)dx=∫(x2−3x+2)dx=x33−3x2+2x+C∫(x−1)(x−2)dx=∫(x2−3x+2)dx=x33−3x2+2x+C
|
∫(√x+1)(3√x−1)dx=?∫(x+1)(x3−1)dx=?
|
Заавар: α≠−1α≠−1 байх бодит тоо бол:
∫xαdx=xα+1α+1+C∫xαdx=xα+1α+1+C
болохыг ашиглан гишүүнчлэн интегралчилж бод.
Бодолт: (√x+1)(3√x−1)=(x12+1)(x13−1)=x56−x12+x13−1(x+1)(x3−1)=(x12+1)(x13−1)=x56−x12+x13−1
тул
∫(√x+1)(3√x−1)dx=x56+156+1−x12+112+1+x13+113+1−x+C=∫(x+1)(x3−1)dx=x56+156+1−x12+112+1+x13+113+1−x+C=
=6x11611−2x323+3x434−x+C=6x11611−2x323+3x434−x+C
|
∫10x23√(2−x3)2dx=ab(c⋅3√d−e)∫01x2(2−x3)23dx=ab(c⋅d3−e) болно.
|
Заавар: Орлуулах аргаар бод:
∫bag[f(x)]⋅f′(x)dx=∫bag[f(x)]df(x)=∫f(b)f(a)g(t)dt∫abg[f(x)]⋅f′(x)dx=∫abg[f(x)]df(x)=∫f(a)f(b)g(t)dt
Бодолт: f(x)=x3f(x)=x3, g(x)=3√(2−x)2g(x)=(2−x)23 гээд орлуулгын томьёо ашиглая:
∫10x23√(2−x3)2dx=13∫10(x3)′3√(2−x3)2dx=13∫103√(2−x3)2dx3=13∫13033√(2−u)2du=13∫10(2−u)23du=−13∫10(2−u)23d(2−u)=−13∫2−12−0t23dt=−13∫12t23dt=13∫21t23dt=[13⋅t23+123+1]∣∣∣21=t535∣∣∣21=2525−1525=15(23√4−1)∫01x2(2−x3)23dx=13∫01(x3)′(2−x3)23dx=13∫01(2−x3)23dx3=13∫0313(2−u)23du=13∫01(2−u)23du=−13∫01(2−u)23d(2−u)=−13∫2−02−1t23dt=−13∫21t23dt=13∫12t23dt=[13⋅t23+123+1]|12=t535|12=2525−1525=15(243−1)
Бид энэ бодолтонд орлуулгын аргыг 2 удаа ашигласан бөгөөд тодорхой интегралын
∫baf(x)dx=−∫abf(x)dx∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx
чанарыг ч бас ашиглав.
|
∫10√1+xdx=ab(√c−d)∫011+xdx=ab(c−d) болно.
|
Заавар: ∫baf(φ(t))⋅φ′(t)dt=∫φ(b)φ(a)f(x)dx∫abf(φ(t))⋅φ′(t)dt=∫φ(a)φ(b)f(x)dx
Бодолт: t=√1+xt=1+x орлуулга ашиглавал
∫10√1+xdx=⎡⎢⎣t=√1+xx=t2−1dx=2tdt⎤⎥⎦=∫√1+1√1+0t⋅2tdt=∫√212t2dt=2t33∣∣∣√21=23((√2)3−13)=23(√8−1)∫011+xdx=[t=1+xx=t2−1dx=2tdt]=∫1+01+1t⋅2tdt=∫122t2dt=2t33|12=23((2)3−13)=23(8−1)
|
∫11+x2dx∫11+x2dx
|
Заавар: (arctgx)′=11+x2(arctgx)′=11+x2
Бодолт: (arctgx)′=11+x2(arctgx)′=11+x2 тул ∫11+x2dx=arctgx+C∫11+x2dx=arctgx+C байна.
|
∫1x2dx=?∫1x2dx=?
|
Заавар: ∫xn=xn+1n+1+C,n≠−1∫xn=xn+1n+1+C,n≠−1
Бодолт: ∫1x2dx=∫x−2dx=x−2+1−2+1+C=−1x+C∫1x2dx=∫x−2dx=x−2+1−2+1+C=−1x+C
|
∫1−12x2dx интегралаар бодогдох дүрсийн талбай аль нь вэ?
|
Заавар: Тодорхой интеграл ашиглан талбай олох арга ашигла.
Бодолт: f(x)=2x2, g(x)=0 гээд α=−1, β=1 гээд талбайг олбол ∫1−12x2dx болох ба энэ интегралаар илэрхийлэгдэх талбай нь 4) байна.
Жич: 1) дүрсийн талбай нь ∫1−1(2−2x2)dx; 2) дүрсийн талбай нь ∫102x2dx; 3) дүрсийн талбай нь ∫1−1(2−2x2)dx, 5) дүрсийн талбай нь ∫1−12dx байна.
|
∫1−2|5x−3|dx∫−21|5x−3|dx нь аль тоо вэ?
|
Заавар: Модулийн тодорхойлолт болон интегралын аддитив чанар ашиглан бод.
∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx
Бодолт: |5x−3|={5x−3,x≥0.6−(5x−3),x<0.6|5x−3|={5x−3,x≥0.6−(5x−3),x<0.6
тул
∫1−2|5x−3|dx=∫0.6−2|5x−3|dx+∫10.6|5x−3|dx==−∫0.6−2(5x−3)dx+∫10.6(5x−3)dx==−(5x22−3x)∣∣∣0.6−2+(5x22−3x)∣∣∣10.6==−(5⋅0.622−3⋅0.6)+(5⋅(−2)22−3⋅(−2))+ +(5⋅122−3⋅1)−(5⋅0.622−3⋅0.6)==−(0.9−1.8)+(10+6)+(2.5−3)−(0.9−1.8)=17.3∫−21|5x−3|dx=∫−20.6|5x−3|dx+∫0.61|5x−3|dx==−∫−20.6(5x−3)dx+∫0.61(5x−3)dx==−(5x22−3x)|−20.6+(5x22−3x)|0.61==−(5⋅0.622−3⋅0.6)+(5⋅(−2)22−3⋅(−2))+ +(5⋅122−3⋅1)−(5⋅0.622−3⋅0.6)==−(0.9−1.8)+(10+6)+(2.5−3)−(0.9−1.8)=17.3
Заавар:
Бодолт: 5x−3=05x−3=0 гэвэл x=3/5x=3/5 байна.
∫1−2|5x−3|dx=∫35−2|5x−3|dx+∫135|5x−3|dx=∫−21|5x−3|dx=∫−235|5x−3|dx+∫351|5x−3|dx=
=−∫35−25x−3dx+∫1355x−3dx=−(52x2−3x)∣∣35−2+(52x2−3x)∣∣135==−∫−2355x−3dx+∫3515x−3dx=−(52x2−3x)|−235+(52x2−3x)|351=
=−(52⋅(35)2−3⋅35)+(52⋅(−2)2−3⋅(−2))+(52⋅12−3⋅1)−(52⋅(35)2−3⋅35)==−(52⋅(35)2−3⋅35)+(52⋅(−2)2−3⋅(−2))+(52⋅12−3⋅1)−(52⋅(35)2−3⋅35)=
=−(910−95)+(10+6)+(52−3)−(910−95)=910+16−12+910=17310.=−(910−95)+(10+6)+(52−3)−(910−95)=910+16−12+910=17310.
Тодорхой интегралын геометр утгыг ашиглан бодож болно.
A(−2;13)A(−2;13), B(−2;0)B(−2;0), C(3/5;0)C(3/5;0), D(1;0)D(1;0), E(1;2)E(1;2) гэвэл ∫1−2|5x−3|dx=S△ABC+S△CDE=13⋅(3/5+2)2+(1−3/5)⋅22=17310∫−21|5x−3|dx=S△ABC+S△CDE=13⋅(3/5+2)2+(1−3/5)⋅22=17310 байна.
|
∫21(x2−3x+2)dx∫12(x2−3x+2)dx интегралыг бод.
|
Заавар: ∫βα(x−α)(x−β)dx=(α−β)36∫αβ(x−α)(x−β)dx=(α−β)36 ашигла.
Бодолт: ∫21(x2−3x+2)dx=∫21(x−1)(x−2)dx=(1−2)36=−16∫12(x2−3x+2)dx=∫12(x−1)(x−2)dx=(1−2)36=−16
|
∫212x3+1x2dx∫122x3+1x2dx
|
Заавар: 2x3+1x2=2x+1x22x3+1x2=2x+1x2
Бодолт: ∫212x3+1x2dx=∫212x+1x2dx=(x2−1x)∣∣∣21∫122x3+1x2dx=∫122x+1x2dx=(x2−1x)|12
=(22−12)−(12−11)=3.5=(22−12)−(12−11)=3.5
|
∫2a0x|x2−a2|dx∫02ax|x2−a2|dx бод.
|
Заавар: x=ax=a цэгээр хоёр хэсэг салгаж бод.
Бодолт: ∫2a0x|x2−a2|dx=∫a0x|x2−a2|dx+∫2aax|x2−a2|dx=∫a0x(a2−x2)dx+∫a0x(x2−a2)dx=∫a0a2x−x3dx+∫a0x3−a2xdx=(a2x22−x44)∣∣∣a0+(x44−a2x22)∣∣∣2aa=(a42−a44−0)+(16a44−4a42−a44+a42)=a44+9a44=52a4∫02ax|x2−a2|dx=∫0ax|x2−a2|dx+∫a2ax|x2−a2|dx=∫0ax(a2−x2)dx+∫0ax(x2−a2)dx=∫0aa2x−x3dx+∫0ax3−a2xdx=(a2x22−x44)|0a+(x44−a2x22)|a2a=(a42−a44−0)+(16a44−4a42−a44+a42)=a44+9a44=52a4
|
∫2e2xdx∫2e2xdx интеграл бод.
|
Заавар: Аль функцийн уламжлал 2e2x2e2x болох вэ?
Бодолт: (e2x+C)′=e2x⋅(2x)′+0=2e2x(e2x+C)′=e2x⋅(2x)′+0=2e2x тул
∫2e2xdx=e2x+C∫2e2xdx=e2x+C
байна.
|
∫2e6xdx∫2e6xdx интеграл бод.
|
Заавар: Аль функцийн уламжлал 2e6x2e6x болох вэ?
Бодолт: (e6x3+C)′=13⋅e6x⋅(6x)′+0=2e6x(e6x3+C)′=13⋅e6x⋅(6x)′+0=2e6x тул
∫2e6xdx=e2x3+C∫2e6xdx=e2x3+C
байна.
|
∫2x+3x2−9dx=?∫2x+3x2−9dx=?
|
Заавар: 2x+3x2−9=2x+3(x−3)(x+3)=Ax−3+Bx+32x+3x2−9=2x+3(x−3)(x+3)=Ax−3+Bx+3 байх AA, BB тоонуудыг ол.
Бодолт: 2x+3x2−9=2x+3(x−3)(x+3)=Ax−3+Bx+32x+3x2−9=2x+3(x−3)(x+3)=Ax−3+Bx+3-ээс
A(x+3)+B(x−3)=2x+3⇒Ax+3A+Bx−3B=2x+3A(x+3)+B(x−3)=2x+3⇒Ax+3A+Bx−3B=2x+3
тул
(A+B)x+3A−3B=2x+3(A+B)x+3A−3B=2x+3
буюу
{A+B=23A−3B=3⇒⎧⎪
⎪⎨⎪
⎪⎩A=32B=12{A+B=23A−3B=3⇒{A=32B=12
Иймд
2x+3x2−9=32x−3+12x+32x+3x2−9=32x−3+12x+3
болох ба интеграл нь
∫2x+3x2−9dx=32∫dxx−3+12∫dxx+3=32ln|x−3|+12ln|x+3|+C∫2x+3x2−9dx=32∫dxx−3+12∫dxx+3=32ln|x−3|+12ln|x+3|+C
|
∫2π0cos2xdx=?∫02πcos2xdx=?
|
Заавар: cos2x=1+cos2x2cos2x=1+cos2x2 ашиглан зэргийг бууруулж бод.
Бодолт: ∫cos2xdx=∫1+cos2x2dx=x2+14∫cos2xd2x=x2+14sin2x+C.∫cos2xdx=∫1+cos2x2dx=x2+14∫cos2xd2x=x2+14sin2x+C.
Иймд
∫2π0cos2xdx=(x2+14sin2x)∣∣∣2π0=∫02πcos2xdx=(x2+14sin2x)|02π=
=2π2+14sin(2⋅2π)−02−14sin(2⋅0)=π.=2π2+14sin(2⋅2π)−02−14sin(2⋅0)=π.
|
∫2π0sin2xdx=?∫02πsin2xdx=?
|
Заавар: sin2x=1−cos2x2sin2x=1−cos2x2 болохыг ашигла.
Бодолт: ∫2π0sin2xdx=∫2π01−cos2x2dx=∫2π012dx−∫2π0cos2x2dx=π−0∫02πsin2xdx=∫02π1−cos2x2dx=∫02π12dx−∫02πcos2x2dx=π−0 байна. Хоёр дахь интеграл 0 болохыг
y=cos2x2y=cos2x2 функцийн графикийг зурж хар.
|
∫2−12(t−1)xdx=2t∫−122(t−1)xdx=2t бол t=?t=?
|
Заавар: ∫2−12(t−1)xdx∫−122(t−1)xdx интегралд (t−1)(t−1) нь хувьсагчаас хамаарахгүй тогтмол үржигдэхүүн тул интегралаас гаргаж болно.
∫2−12(t−1)xdx=(t−1)∫2−12xdx∫−122(t−1)xdx=(t−1)∫−122xdx
Бодолт: ∫2−12(t−1)xdx=(t−1)∫2−12xdx=(t−1)(22−(−1)2)=3(t−1)∫−122(t−1)xdx=(t−1)∫−122xdx=(t−1)(22−(−1)2)=3(t−1)
тул 3(t−1)=2t⇒t=33(t−1)=2t⇒t=3 байна.
|
∫30x(x−3)dx∫03x(x−3)dx интегралыг бод.
|
Заавар: x(x−3)=x2−3xx(x−3)=x2−3x гээд интегралыг бод.
Бодолт: ∫30x(x−3)dx=∫30(x2−3x)dx=(x33−3x22)∣∣∣30=(333−3⋅322)−(033−3⋅022)=−4.5∫03x(x−3)dx=∫03(x2−3x)dx=(x33−3x22)|03=(333−3⋅322)−(033−3⋅022)=−4.5
Заавар: Өргөн ашиглагддаг
∫ba(x−a)(x−b)dx=(a−b)36∫ab(x−a)(x−b)dx=(a−b)36
томьёог ашиглаад шууд бодож болно.
Бодолт: ∫30x(x−3)dx=(0−3)36=−4.5∫03x(x−3)dx=(0−3)36=−4.5
|
∫30|1−x2|dx∫03|1−x2|dx интегралыг бод.
|
Заавар: Интегралын доторх функцэд модултай илэрхийлэл оролцсон тохиолдолд уг илэрхийллийн эерэг ба сөрөг байх мужуудад интегралыг тусад нь бодож нэмнэ.
Бодолт: ∫30|1−x2|dx=∫10(1−x2)dx+∫31(x2−1)dx=(x−x33)∣∣∣10+(x33−x)∣∣∣31=(1−13)−0+(9−3)−(13−1)=223∫03|1−x2|dx=∫01(1−x2)dx+∫13(x2−1)dx=(x−x33)|01+(x33−x)|13=(1−13)−0+(9−3)−(13−1)=223
|
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.