Datasets:

---

hamster1580

/

russian-competitive-maths

like 1

[ "для начала давайте попробуем сделать задачу более "осязаемой". у нас есть просто множество углов и непонятно, что с ними в таком виде делать. о какой фигуре, возможно, вы подумали при виде такой конструкции? нельзя ли в этой задаче до неё просто достроить?", "верно, мы ведь можем просто представить тетраэдр с нужным нам трехгранным углом и уже работать с ним. давайте ещё ведём длины рёбер x, y, z тетраэдра смежных с трёхгранным углом. выходит, нам надо доказать тройное равенство... но просто его выводить, скорее всего, не получится. тогда раз три произведения равны между собой, возможно, они равны чему-то общему, что от нас "спрятали". попробуем решить задачу так. раз мы уже зафиксировали рёбра, и углы нам даны, что не будет меняться в нашем тетраэдре?", "точно, объём у нас уже не будет меняться, а стороны мы зафиксировали сами, поэтому можно попробовать связать синусы с ними. для нахождения объёма нужна высота и площадь основания. не можем ли мы их просто найти из имеющихся данных?", "конечно, площадь основания находится почти "бесплатно", а высота – из конструкции с прямоугольным треугольником, у которого известна гипотенуза и угол. осталось только выразить нужные произведения оттуда и приравнять между собой." ]

[]

[ "из условия сразу можно понять, что sa перпендикулярно плоскости abc. работать просто так с пирамидой не очень удобно, к тому же у нас ещё присутствует сфера в задаче. видим, что у нас прямой угол в основании и прямой угол между ребром и основанием! тогда до чего можно достроить нашу пирамиду?", "верно, можно сначала отразить симметрично пирамиду относительно ac. а дальше понятно, что это большая пирамида будет 1/3 от куба, до которого тоже в силу равенства отрезков можно достроить. но хватит ли этого нам? у нас есть сфера, которая отсекает от исходной пирамиды часть, и не совсем понятно, как вообще этот объём искать... как можно задействовать неиспользуемую часть, после чего всё станет намного проще?", "да, можно наш куб со стороной равной двум достроить ещё до куба со стороной 4. теперь какой же объём нас интересует?", "верно, нам нужен объём, который получается, как разность объёма сферы и 6 сегментов, выходящих наружу за куб. а точнее, потом нам нужно поделить его на 48. отлично! осталось аккуратно посчитать эти объёмы, и потом ещё проверить, что вы нашли больший из них. например, можно проверить, что найденный объём больше половины объёма исходной пирамиды. победа!" ]

[ "в условии сказано, что пройдя расстояние, равное a, в определенную сторону, звездолет покинет полупространство. каким образом мы можем описать все варианты той точки, где кончается полупространство?", "мы можем сказать, что если звездолет находится в какой-нибудь точке о, то на сфере с центром в точке o и радиусом a гарантированно найдется точка , которая уже не будет являться частью полупространства. подумайте, как данная сфера может помочь в выборе траектории. может быть, есть какая-то фигура, которую удобно будет описать около сферы?", "рассмотрите правильный октаэдр, описанный около данной сферы. если мы докажем, что путь из центра октаэдра по всем вершинам без повторений меньше 14a и хотя бы одна вершина гарантировано не лежит в полупространстве, то мы решим задачу. сначала подумайте, как можно сделать второе.", "воспользуемся методом от противного. подумайте, где возникает противоречие, если мы скажем, что все вершины октаэдра лежат в данном полупространстве.", "теперь нужно найти длину пути от о и по всем вершинам. давайте назовем наш октаэдр a₁a₂a₃a₄a₅a₆, тогда не трудно найти кратчайший маршрут обхода: o -> a₁ -> a₂ -> a₃ -> a₄ -> a₅ -> a₆. как можно найти длину данного пути?", "для начала нужно найти длину отрезка oa₁, так как из него легко можно выразить длину ребра октаэдра. мы знаем, что длина высоты, опущенной из точки о на грань октаэдра равна a, тогда как мы можем найти длину oa₁?", "давайте рассмотрим пирамиду oa₁a₂a₃, найдем ее объем двумя разными способами, как 1/6 куба с ребром oa₁ и через длину высоты и площадь a₁a₂a₃. из равенства двух данных выражений легко можно выразить oa₁. для окончательного решения останется только найти длину ребра и доказать, что предложенный нами маршрут меньше 14a." ]

[ "сразу же введём основание высоты пирамиды (например, через точку h) и центр шара (например, через точку o). раз в условии у нас правильная пирамида, то центр данного шара лежит в плоскости shc. тогда удобно будет провести прямую, проходящую через центр o параллельно sh (пусть это прямая pr). мы сразу знаем op, ведь он равен радиусу, а также то, что rp перпендикулярен плоскости основания пирамиды. введём коэффициент подобия треугольников sch и rcp (пусть он равен 1/k). тогда, зная sh, мы можем выразить pr через k. хорошо бы было выразить ещё отрезки через k, чтобы впоследствии прийти к уравнению и найти k. попробуйте сделать это в плоскости abcd.", "в плоскости abcd мы можем провести прямую, проходящую через p параллельно ab. пусть она пересекает bc в точке n. тогда, так как abcd — квадрат, то ah = hc, и с помощью этого мы легко можем выразить pn через ab и k. теперь можно заметить, что точка касания шара и плоскости sbc лежит на rn. что тогда мы можем сказать про треугольники roe и rpn?", "верно, они подобны. тогда, записав подобие, мы можем получить уравнение на k, откуда k = 1/3. отлично, теперь пора возвращаться к плоскости из условия. чтобы найти объём mbck, нужно найти высоту из m на bck (пусть это отрезок mg) и площадь треугольника bck. с треугольником bck нет никаких проблем, ведь мы знаем сторону квадрата abcd и отношение ck к kd, а значит, можем найти любой элемент треугольника. но как же найти mg? попробуйте выразить его через sh и коэффициент подобия треугольников mcg и sch (пусть он равен n). чтобы найти n, можно использовать угол между плоскостями mkb и kbc, опустив высоту gv на bk.", "используя подобие треугольников vfg и fkc (f является точкой пересечения bk и ac), мы можем выразить gv через n. тогда мы можем выразить тангенс угла mvg через n. отлично! теперь осталось лишь найти этот угол. мы знаем, что он является линейным углом двугранного угла между плоскостями mkb и kbc. для решения задачи мы ещё не использовали, что плоскость mkb касается шара (пусть точка касания — точка t). зная это, мы можем опустить перпендикуляр pq на bk и получить, что tqp также является линейным углом двугранного угла между плоскостями mkb и kbc. теперь нужно найти угол tqp. его не очень удобно искать, однако посмотрите на треугольники otq и oqp. попробуйте найти угол, используя их равенство.", "треугольники otq и oqp равны, а значит и углы tqo и oqp. тогда угол tqp в два раза больше угла oqp. а вот угол oqp легко найти, ведь мы можем выразить pq через подобие треугольников qfp и kfc, а op мы знаем. так мы найдём тангенс угла oqp. затем по формуле тангенса двойного угла найдём тангенс угла tqp и, подставив в уравнение, найдём n. осталось лишь подставить n в формулу mg и найти объём." ]

[ "у нас уже есть три отношения, но очень хочется заполучить еще и четвертое... давайте попробуем найти t = od'/od. для этого введем систему координат с центром o и базисными векторами oa, ob и oc. какие координаты имеют наши точки в этой системе?", "очевидно, что a (1, 0. 0), b (0, 1, 0) и c (0, 0, 1). значит a' (1/a, 0, 0), b' (0, 1/b, 0), c' (0, 0, 1/c). т.к. abcd- параллелограмм, то вектор cd = ba = oa-ob. чему тогда равен вектор od?", "верно, oa-ob+oc! тогда d (1, -1, 1) ⇒ d' (t, -t, t). можно заметить, что плоскость α задается в нашей системе координат уравнением ax + by + cz = 1. поэтому верно равенство at - bt + ct = 1 (просто подставили точку d' в это уравнение). итого, t = 1/(a - b + c). а что мы вообще хотели...", "нам нужно найти отношение объемов. мы умеем легко это делать для тетраэдров, поэтому предлагаю разбить нашу пирамиду oa'b'c'd' на два тетраэдра oa'b'c' и oa'c'd'. тогда v(oa'b'c'd')/v(oabcd) = v(oa'b'c')/v(oabcd) + v(oa'c'd')/v(oabcd). т.к. abcd- параллелограмм, то v(oabcd) = 2v(oabc) = 2v(oacd). а чему равно отношения v(oa'b'c')/v(oabc) и v(oa'c'd')/v(oacd)?", "т.к. тетраэдры с общим трехгранным углом относятся так же, как произведение отношений соответствующих сторон, то v(oa'b'c')/v(oabc) = 1/abc. найдите оставшееся отношение и завершите решение!" ]

[ "т.к. плоскости (a₁b₁c₁) и (abc) параллельны, то ma₁/ma=mb₁/mb=mc₁/mc=k. тогда объемы тетраэдров ma₁b₁c₁ и mabc относятся как коэффициент подобия k в кубе. чему же равен k?", "верно, 3/5! мы видим, что объем тетраэдра mab₁c₁ состоит из объемов тетраэдров ma₁b₁c₁ и aa₁b₁c₁, у которых есть общее основание. как же тогда относятся их объемы...", "они относятся как высоты, которые, в свою очередь, относятся как ma₁/a₁a=3/2. посчитайте объем aa₁b₁c₁ и завершите решение!" ]

[ "сходу непонятно, что делать с условием на перпендикуляры к плоскостям, может, попытаться сделать какое-то дополнительное построение, связанное с вершиной s и одной из этих плоскостей?", "правильно, сделать симметрию точки s относительно плоскости a'bc и получить точку s₁. попробуйте получить точки s₂, s₃ по такой же симметрии, только относительно ab'c и abc'.", "мы получили треугольник s₁s₂s₃, кажется, что он концентричен с треугольником abc (докажите это, используя поворот относительно высоты пирамиды).", "треугольник pss₁ равнобедренный (p - середина bc), так как pa' - высота и биссектриса, а значит sa'=a's₁, следовательно, пирамида ss₁s₂s₃ является образом sa'b'c' при гомотетии с коэффициентом 2 и центром в s, а значит, как относятся их объемы?", "правильно, в 8 раз. теперь мы можем использовать условие с отношениями объемов sabc и sa'b'c', найдя отношение объемов sabc и ss₁s₂s₃ и отношение площадей их оснований.", "проведём высоту so нашей пирамиды и найдем отношение s₁o/ao с помощью отношения площадей.", "выразим s₁o и oa через so и найдем тангенс угла, который нужно вычислить в задаче с помощью найденных отрезков." ]

[ "лежащих в одной или хотя бы в параллельных плоскостях, оснований у призмы и тетраэдра не видно. значит попробуем достроить удобную для вычисления фигуру, с помощью которой можно найти искомый объём через отношение.", "продлим ed до пересечения с плоскостью авс, назовём i полученную точку. как связаны объёмы тетраэдров iefg и defg?", "связать объём тетраэдра iefg с объёмом призмы можно взяв за основание тетраэдра △ifg: как его сторона fg и высота к этой стороне связаны с высотой и сторонами △авс? осталось аккуратно записать все найденные отношения и мы получим ответ!" ]

[ "давайте для начала обозначим за a ребро пирамиды. получается нам нужно выразить объёмы фигур через a. начнём с пирамиды. для объёма нам нужны основание и высота. так как пирамида у нас правильная, то куда падает её высота?", "верно, в центр основания правильного треугольника, то есть в центр описанной окружности. теперь радиус мы можем легко найти, а угол будет как раз тот самый из условия. отлично, высота найдена. а площадь основания равна площади правильного треугольника. давайте теперь попробуем разобраться с кубом. удобно будет ввести ребро куба b и попробовать выразить его через a. тогда будет победа. но какую ещё вспомогательную фигуру хочется рассмотреть, учитывая расположение куба?", "да, давайте рассмотрим сечение, которое получается из-за куба. понятно, что это будет треугольник, подобный основанию, и мы даже знаем коэффициент подобия треугольников. то есть мы знаем длину стороны сечения. как теперь можно вторым способом посчитать это основание?", "верно, рассмотрим сечение как треугольник, внутрь которого вписан квадрат. мы легко можем выразить, как сумму отрезков, сторону треугольника через b. наконец с помощью равенства из прошлой подсказки выражаем b через a и находим объём куба. осталось только посчитать отношение, и победа!" ]

[ "неудобно рассматривать какой-то произвольный случай для точки x. тогда попробуйте рассмотреть граничные случаи (когда xom пересекает ребро ad в точке a или d).", "для точки a всё ясно. в этом случае плоскостью xom будет являться плоскость b₁am. теперь посмотрим на случай с точкой d. прямые od и b₁c₁ лежат в одной плоскости. тогда что можно сказать про их взаимное расположение?", "точно! они пересекаются (пусть в точке e). теперь рассмотрим произвольную точку x нашего множества. пусть она пересекает ad в точке f, а of пересекает ad в точке g. раз x лежит и в bb₁c₁c, и в fom, то на какой прямой лежит эта точка?", "верно! на mg. значит, наше множество представляется всеми такими прямыми mg. но все они заключены между me и mb₁. и раз x лежит на грани bb₁c₁c, то x лежит в той части треугольника meb₁, что находится на грани bb₁c₁c. тогда нам всего лишь осталось найти её площадь.", "необходимо найти площадь треугольника mhb₁ (h является точкой пересечения bb₁ и me). то есть нужно вычислить значение 1/2×b₁h×c₁b₁. осталось всего лишь найти b₁h. для этого посмотрите на треугольники ehb₁ и emc₁. что можно про них сказать?" ]

[ "если нас просят найти сумму расстояний, то это значит, что нас просят найти сумму высот из точки n на все стороны. при этом в условии есть равенство площадей всех граней. на что нам это намекает?", "это намекает нам на то, что можно получить сумму высот из равенства суммы объёмов. рассмотрите объёмы пирамид с вершиной в точке n и одной из граней изначальной пирамиды в качестве основания. чему равна сумма таких объёмов? поймите, почему это решает задачу и что нам остаётся найти в таком случае." ]

[]

[ "попробуем как-то воспользоваться данными в условии отношениями…быть может, сделаем такое дополнительное построение, чтобы указанные в условии отрезки были в подобных треугольниках?", "проведите через точки b, c, d прямые, параллельные as, и отметьте их точки пересечения b’, c’, d’ соответственно с плоскостью aef. что можно сказать о b’b, c’c, d’d?", "b’b = 1/2 ac, d’d = 2as, c’c = 5/2as. давайте теперь подумаем, как нам было бы удобнее считать объём? быть может, разбить нашу пирамиду на несколько частей поменьше?", "выразите объем пирамиды через объемы abds и bcds" ]

[ "давайте для начала поработаем с тем, что уже есть. мы имеем r₁ — расстояние от точки a до плоскости tcd, а также площадь треугольника △tcd. чему же равен объём тетраэдра tacd?", "он равен r₁s/3. из аналогичных рассуждений мы можем получить, что объём тетраэдра tbcd равен r₂s/3. нам необходимо найти объём пирамиды tabcd. c учетом найденных объёмов логично будет разбить его на две части: v(tabcd)=v(tabd)+v(tbcd). какое равенство хочется доказать, чтобы завершить решение?", "конечно, v(tabd)=v(tacd). это равенство равносильно равенству площадей треугольников △abd и △acd. докажите это, учитывая, что у них есть общее основание ad, и завершите решение!" ]

[]

[]

[ "у нас на картинке очень много прямых углов и даны площади, поэтому хочется попользоваться формулой площади проекции. посмотрим: △bhc- ортогональная проекция треугольника △bdc, а треугольник △bdc, в свою очередь- ортогональная проекция треугольника △bac. какими тогда формулами связаны площади этих треугольников?", "выписав соотношения этих площадей через косинус двугранного угла, нетрудно увидеть, что s²(△bdc)= s(△bac)*s(△bhc). учитывая, что s(△bac) = 1, получаем: s(△bdc) = √s(△bhc). абсолютно аналогично для остальных граней. как думаете, сможем ли мы, зная площади боковых граней, найти объем тетраэдра?", "кончено сможем! v = 1/6 * ad*cd*bd. учитывая, что боковые грани- прямоугольные треугольники, выразите их площади через катеты и преобразуйте предыдущее выражение. я в вас верю!" ]

[ "аккуратно построим картинку. кажется, тут явным образом никак не построить линейный угол... будем искать обходные пути: теорема о площади ортогональной проекции нам поможет! тетраэдр правильный, поэтому высота к грани авс будет падать в центр правильного △авс. при помощи подобия треугольников нетрудно определить в каком отношении проекции точек k, l и м поделят радиусы описанной окружности основания.", "рассмотрите центр основания и треугольники, полученные соединением этой точки с вершинами треугольника-проекции. возможно, получится узнать их площади как части площадей треугольников полученных соединением центра основания с вершинами △abc. так мы узнаем площадь проекции!", "теорема косинусов поможет нам узнать стороны исходной фигуры-сечения. а уж искать площадь треугольника с известными сторонами мы умеем множеством способов! осталось применить теорему о площади ортогональной проекции и задача убита." ]

[ "итак, для начала надо внимательно разобраться с получающейся фигурой. удобно начать построение с поворота рёбер ad и b₁c₁. похожа ли общая часть кубов на какую-то известную нам фигуру? если нет, то подумайте как можно её разбить на составляющие.", "работать с такого типа фигурой можно через сумму объёмов составляющих её частей. или же через разность: вычитая удобные части из фигуры, содержащей искомую. рассмотрим способ через сумму — наш многогранник удачно разбивается на параллелепипед и две правильные четырёхугольные пирамиды.", "найти все нужные длины нам поможет пифагор: рассмотрите одну из граней исходного куба и возвышающуюся над ней часть нового куба. аккуратный счёт поможет вам узнать, где пересекутся рёбра нового и исходного кубов.", "также, с помощью пифагора мы сможем отыскать и все рёбра искомого многогранника. осталось лишь отыскать объёмы всех составных частей и сложить их. задача убита!" ]

[ "нам надо как-то найти радиус вписанной сферы. его можно найти в формуле для объема тетраэдра. можно ли как-то просто найти этот объем?", "на самом деле он равен объему тетраэдра abcd, ведь cc' параллельна основанию abd. а объем тетраэдра легко найти: мы знаем, что площадь основания abc- это 1/2, а высота- 1 ⇒объем равен 1/6. что нам еще надо найти?", "как мы знаем, v=r*s/3, где v- объем тетраэдра, r- радиус сферы и s- площадь полной боковой поверхности. тогда r=1/(2s). легко заметить, что все стороны тетраэдра abc'd легко находятся с помощью теоремы пифагора. тогда, зная все стороны, можно будет найти площади боковых граней и завершить решение. я в вас верю!" ]

[]

[ "в этой задаче условие может выглядеть очнеь страшно, поэтому первым делом нужно нарисовать аккуратный чертеж, чтобы понять, с какими объектами мы работаем. теперь давайте подумаем, нам дана правильная пирамида (какой вывод можно сделать про ее основание?), мы знаем сторону и один из углов. попробуем найти длины полезных отрезков в этой пирамиде. например, с помощью косинуса sbd и длины ob (o - центр основания) можно найти sb - боковое ребро пирамиды!", "итак, вспомним, что это можно сделать, опустив высоту из s и заметив, что sob - прямоугольный треугольник с известным нам катетом и углом. итак, мы нашли длину боковой стороны, а теперь подумаем про сечения. если вы нарисовали чертеж - подумайте, какие вообще варианты сечений у нас могут получаться? (вряд ли сечением пирамиды будет двенадцатиугольник, например). затем попробуем рассмотреть каждый вид сечений отдельно.", "верно! у нас могут быть сечения всего двух видов - пятиугольные и треугольные! мы знаем, что наше сечение пересекает плоскость основания по прямой a₁c₁, параллельной прямой ac. обозначим за o- центр abcd. какое будет сечение, если прямая a₁c₁ лежит внутри треугольника adc?", "верно! это будет треугольник. пускай s₁- его вершина, лежащая на ребре sd, а x- длина a₁c₁. попробуйте найти s₁b₁ (выразить через х), где b₁- точка пересечения a₁c₁ и bd, если вы знаете, что s₁b₁ параллельна sb...", "площадь сечения должно получиться s₁b₁⋅a₁c₁/2=3x²/16. s₁c₁ можно найти из теоремы пифагора. воспользуйтесь тем, что r=s/p для оценки радиуса. а какое сечение будет, если a₁c₁ лежит внутри треугольника acb?", "домик). переобозначим a₁c₁ за a₂c₂=x, a₃- точка пересечения сечения и as, c₃- сечения и sc, q- сечения и sd, b₃- сечения и bd. из того, что a₂a₃ и c₂c₃ параллельны sb и a₂c₂ и a₃c₃ параллельны ac, можно получить, что a₂a₃c₃c₂- параллелограмм, а т.к. sb перпендикулярен ac- прямоугольник. попробуйте найти отрезки a₂a₃ и qa₃...", "если в наш пятиугольник можно вписать окружность, то будет верна формула s=pr. при этом мы знаем, что r=x/2, ведь наша окружность касается параллельных прямых a₂a₃ и c₂c₃, расстояние между которыми равно x. осталось только посчитать площадь и полупериметр, и решить уравнение s=px/2" ]

[ "давайте начнём с поиска угла! во-первых, давайте найдем, чему равны ao и as - это можно сделать, исходя из условия, которое нам дано, и воспоминаний о теореме пифагора. если плоскость пересекает ребро as в точке m, а ребро sd в точке p, то задачу можно переформулировать, как поиск угла spm, а угол smp мы знаем из перпендикулярности! тогда как можно найти spm?", "spm = 90 - msp = 90 - asd! но мы знаем что-то про угол asd - некоторые стороны в треугольнике, где он находится. тогда мы можем узнать его синус!", "расстояние dp = ds - sp, а эти два расстояния попроще искать. ds мы уже знаем, а sp в треугольнике, где мы знаем угол, какие-то стороны можем тоже попробовать найти! например, чтобы найти sp, попробуйте сначала найти sm и mp, чтобы вычислить расстояние", "площадь искомого треугольника можно найти, зная mn, mp и синус угла между ними. попробуйте найти его, используя теорему косинусов! для этого нам потребуются pm и pn, а значит надо найит pn (pm искали в прошлом пункте). а pn можно найти из теоремы косинусов в pns!" ]

[]

[ "очевидно, что плоскость можно выбрать любую, так давайте выберем удобную! рассмотрите плоскость, проходящую через центр куба. что тогда будет являться проекцией грани aa₁b₁b? что получится при проекции куба?", "проекций куба будет правильный шестиугольник. посмотрите на вершины этого шестиугольника. из них 3 это образы грани aa₁b₁b. куда перешла четвертая вершина?" ]

[]

[ "у нас уже есть площадь одной боковой грани. может, тогда попытаемся найти площади остальных? подумайте, как соотносятся между собой площади треугольников △sbc и △sab...", "вроде как, напрямую связь между ними установить не получается. давайте попробуем посмотреть на объемы тетраэдров saob и sboc: они относятся как площади треугольников △sab и △sbc. а как еще можно найти их отношение?", "т.к. объемы sabe и sbce относятся как площади △abe и △bec (то есть как ae к ec), а также объемы oaeb и obec относятся как эти площади, то и их разности (то есть saob и sboc) относятся как ae к ec. тогда верно равенство s(△sab)/s(△sbc)=ae/ec ⇒ s(△sab)=20. теперь найдите площади остальных боковых граней!", "нам осталось только найти площадь основания (назовем ее s₀). мы знаем, что o делит se в отношении 7/2. тогда r=h*2/9, где r- радиус вписанной сферы, а h- высота пирамиды. мы знаем, что v=s₀*h*1/3=s₀*r*3/2, где v- объем нашей пирамиды. как еще, зная площади боковых граней, можно выразить v?", "через объемы тетраэдров esab, esbc, escd и esda! про них мы знаем, что высоты, опущенные из вершины e, равны r*9/7. тогда мы без проблем сможем записать v через сумму объемов этих тетраэдров, приравнять к s₀*r*3/2 и найти площадь основания!" ]

[]

[]

[ "во-первых, надо осознать картинку. она, как будто, симметричная, но не стоит так думать сразу. давайте опустим высоты из точки a_1 на прямые ab, ac, и плоскость abc. что тогда можно заметить? какие принципиально разные случаи есть падения высоты на плоскость abc?", "есть два случая - падение во внутрь призмы и во вне. однако, при всем этом, у нас расстояния от точки a_1’(основание высоты) до прямых ab и ac равны, в силу равенства прямоугольных треугольников. как тогда можно равносильно переформулировать случаи, когда высота падает во внутрь, а когда наружу? как связать это с равноудаленностью от сторон?", "все верно, либо точка основания высоты лежит на внешней биссектрисе, либо на внутренней(угла bac). давайте посмотрим на второй случай. мы видим, что прямые aa’ и a_1a’ перпендикулярны bc. что тогда это значит? чем это хорошо в нашей картинке?", "тем, что тогда bb_1 перпендикулярен bc, а значит bb_1c_1c - прямоугольник. но тогда, если сторона треугольника в основании равна а, выходит, что a * aa_1 = 2, a * a_1k = 3. тогда, пришли к противоречию, так как a_1k > aa_1. значит, остался второй случай. если прямая внутренней биссектрисы, была перпендикулярна прямой bc, то внешняя биссектриса будет…", "параллельна! а тогда, высота в параллелограмме cc_1b_1b - высота призмы. значит, остается найти c_1h. ну, а это уже чисто дело техники(и нескольких теорем пифагора)." ]

[ "тут у нас и параллельные прямые, и биссектрисса - давайте поищем равные углы. помним, что биссектрисса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник.", "верно, получаем mck равнобедренный. тогда ос (где о - центр окружности) - серединный перпендикуляр км, а треугольники koc и мос равны и равнобедренны. на этом этапе давайте остановимся в изучении чертежа и подумаем, как нам доказать требуемое. какой признак может указывать на принадлежность точки о описанной окружности bcd?", "конечно, в нашем случае проще всего будет доказывать через равенство вписанных углов. для каких двух углов будет удобнее это доказать?", "конечно, легче находится, что obc и odc равны и опираются на дугу ос. это несложно вывести, если увидеть равенство треугольников bko и dco. теперь остаётся только последовательно всё доказать" ]

[ "треугольники oda, odb и odc прямоугольные, также они имеют общую сторону od. если её обозначить за переменную, как можно будет записать условие на сумму трёх углов?", "пусть od = x, тогда углы выражаются через арктангенсы. тогда из условия получаем, что сумма трёх арктангенсов равна π. что же хочется сделать? взять от обеих частей тангенс! но для тангенса суммы двух углов мы формулу знаем, чего не скажешь о суммы трёх. а вот π одиноко стоит с правой стороны, тогда можно сначала перенести одно слагаемое на правую часть и потом уже делать махинации со взятием тангенса.", "тогда взяв тангенс от обеих частей (но помните, что нужно будет сделать проверку равносильности такого перехода!) и применив формулу тангенса суммы, получаем совсем простое квадратное уравнение для x." ]

[ "рассмотрим сечение призмы xyzt, проходящее через oo₁ и параллельное грани acc₁a₁. прямая, проходящая через точку р и параллельная а₁с, будет лежать как раз в этом сечении. а искомый отрезок - это часть этой прямой, ограниченная четырехугольником xyzt. а какой фигурой является xyzt? как относятся ее стороны к сторонам призмы?", "верно, xyzt - параллелограмм. zt = xy = a₁a, xt = yz = 2/3 * ac, так как точка пересечения медиан делит медианы в отношении 2 к 1. теперь нужно подумать, с помощью чего мы можем "перенести" плоскость acc₁a₁ на плоскость xyzt?", "с помощью гомотетии! сделаем гомотетию в точке в₁ с коэффициентом 2/3. подумайте, куда перейдут точки, лежащие в плоскости acc₁a₁.", "например, точка а₁ перейдет в точку х. постройте прямые, параллельные а1с, через точки х и z. чему будут равны отрезки этих прямых, отграниченные параллелограммом xyzt? равна ли искомая прямая этим отрезкам?" ]

[ "построить точку пересечения плоскости mnp и ребра sb сразу так сложно. кажется, не хватает какой-нибудь точки на mp, чтобы провести через неё и n прямую, пересекающую ребро sb в искомой точке (пусть k).", "да это же точка, получаемая пересечение mp и so, где so — пересечение плоскостей bsd и asc, назовём её т. точку ввели, а как она делит so — не узнали. а хотелось бы, потому что её можно рассмотреть и для △asc (а мы знаем про то как делят его стороны m и p), и для △bsd (содержащий интересующую нас точку k).", "отношение st : no можно найти, рассмотрев △asc. а ещё же у нас есть отношение ao : oc (подумайте, чем является точка o для основания). часто, когда мы видим отношения отрезков, хочется применить теорему фалеса, только вот нам не хватает несколько параллельных прямых... какие можно провести, чтобы использовать оба упомянутых отношения на сторонах sa и ac?", "в предыдущей подсказке попробуйте провести прямые из a и o параллельно mp. с помощью теоремы фалеса можно найти отношение st : no. если вы всё правильно посчитали, то не составит труда, используя уже упомянутую теорему, найти отношение sk : kb." ]

[ "сфера даёт очень много точек касания, а значит, очень много равных отрезков касательных. попробуйте найти пары равных треугольников (их точно больше 5).", "вы получили очень много равных углов, но отдельных равенств недостаточно, тогда как бы их объединить? вспомните, чему равна сумма углов вокруг точки, и посчитайте такие суммы для точек касания сферы боковых сторон.", "из полученных равенств попробуйте найти угол между диагоналями основания. это знание и поможет посчитать искомую сторону:)" ]

[ "то, что в условии нам даны все длины, может подтолкнуть к тому, что это очень техническая задача. здесь придется много считать и не бояться больших и страшных дробей. первым делом нужно построить сечение. поищите точку, принадлежащую сечению, на плоскости abcd.", "теперь рассмотрим саму плоскость abcd. у нас есть прямая, лежащая в этой плоскости и принадлежащая сечению. где эта прямая пересекает прямые, содержащие стороны параллелограмма abcd? найдите отношения с помощью теоремы менелая и подобия.", "пусть эта прямая пересекает прямые ab,bc,cd, ad в точках f,g,h,i соответственно. пусть l - точка, в которой прямая hm пересекает ребро sd. тогда искомое сечение это lmgi. найдем его площадь как разность площадей треугольников lhi и mgh. а как найти их площади? много считать длины сторон и отношения, используя теоремы менелая, герона, пифагора, косинусов." ]

[ "давайте построим сечение mnk (m∈as, n∈sb, k∈sc) пирамиды sabc плоскостью π. обозначим as = 6х и попробуем выразить все отрезки на рисунке через х (для этого можно воспользоваться теоремой косинусов для треугольника △asb, ведь cos∠asb мы можем без проблем найти, так как на рисунке есть очень много прямоугольных треугольников)", "проведём ln — среднюю линию треугольника △asb, обозначим за р середину nk. какой угол требуется найти в задаче?", "конечно, угол ∠mpl! так как мы уже знаем соотношение практически всех отрезков, мы можем без труда найти значение синуса этого угла)" ]

[]

[ "из условия следует, что у нас изначально есть правильный тетраэдр со стороной 2. после этого мы как-то меняем положение крюка, чтобы точка вершины сдвинулась вдоль медианы в основании на нужную длину. подумайте, что это значит в терминах геометрии.", "это значит, что проекция вершины s на плоскость основания сместилась на нужную длину, но при этом проекция s всё равно лежит на медиане. если s₁ — новая точка, то мы можем посчитать s₁o₁ как катет прямоугольного треугольника s₁do₁, где d — середина bc, а o₁ — сдвинутая на нужную длину точка o. но тогда мы можем найти и s₁a (из какого прямоугольного треугольника?), а значит, и разность длин троса. ну и всё, идейно задача решена, осталось посчитать!" ]

[ "давайте определимся, где находится точка m. для этого разберитесь, по какой прямой пересекаются плоскости aa₁c и ba₁d.", "если разобрались, то вам осталось лишь вспомнить свойство параллелограмма, связанное с точкой пересечения диагоналей, и посчитать нужное отношение." ]

[ "точек из условия для решения явно не хватит, нужно что-то отметить. полезно отметить проекции точки p на грани плоскости, где она лежит, тогда появляются какие-то коллинеарности, а еще можно поисследовать картинку в основании. в общем, появляется много хорошего. найдите из всего этого чуда полезные факты.", "факты это конечно хорошо, но как мы можем доказать вписанность? есть замечательное неравенство птолемея, которое обращается в равенство, если точки лежат на одной окружности. попробуйте как-нибудь выразить длины сторон четырехугольника.", "покажите вписанность четырехугольника из проекций в основании, а еще докажите, что sp² = sk * sk’, где k’ - проекция p на ab. из этого и аналогичных тождеств получите нужное нам неравенство птолемея." ]

[ "по условию нам дана длина высоты и сказано, что пирамида правильная. давайте проведем эту высоту, тогда в какую точку на основании пирамиды она упадет?", "если опустить высоту в правильной пирамиде, то основание высоты совпадёт с центром основания пирамиды.", "по условию нам дана длина стороны основания, значит, мы можем найти радиус описанной окружности около основания, следовательно, можем найти боковую сторону пирамиды по теореме пифагора." ]

[ "нам нужно получить, что все высоты обладают этим свойством. может, надо найти какие-то связи между ребрами тетраэдра...", "пускай для определенности именно высота dh обладает этим свойством. тогда h- ортоцентр треугольника abc. на картинке много прямых углов, пора использовать теорему о трех перпендикулярах!", "но применять ее нужно хитро: попробуйте провести через точку a прямую, параллельную bc, и использовать нашу любимую теорему!", "получается, что ad перпендикулярна прямой, параллельной bc. но тогда ad перпендикулярна bc. это мы выяснили, поработав только с точкой a. может, нужно поработать с точками b и c...", "аналогично рассуждая, можно прийти к тому, что bd перпендикулярна ac и cd перпендикулярна ab. получается, что скрещивающиеся ребра попарно перпендикулярны. попробуйте теперь провести высоту an и доказать, что n- ортоцентр bcd.", "достаточно доказать, что bn- отрезок высоты треугольника bcd. попробуйте провести похожие рассуждения с 3 подсказкой, только с обратной теоремой о трех перпендикулярах, и будет вам счастье!" ]

[ "наверное, вся сложность этой задачи состоит в том, как искать плоский угол. может попробовать найти его половинку, ведь для этого всего-то надо найти отношение бокового ребра к ребру основания...", "пускай ребро основания равно a, боковое ребро- x. попробуйте расписать объём пирамиды через a и x, тогда мы найдем связь между ними (не забудьте, что по условию объем также равен x³/6)", "приравняв объем, выраженный через a и x, к x³/6, можно поделить обе части на a³ и сделать замену t=x/a. осталось только решить иррациональное уравнение...", "можно возвести обе части в квадрат и сделать замену s=t². подберите корень в кубическом уравнении (подставьте например 1 или -1...) и доведите решение до конца!" ]

[ "для того, чтобы построить сечение, нужно пересечь наш параллелепипед плоскостью. давайте вспомним, что плоскость пересекает другую плоскость по прямой. а прямая строится по двум точкам. как мы это можем использовать?", "давайте попробуем пересечь нашей плоскостью грань c₁b₁bc. наша плоскость и данная грань пересекаются по прямой, а еще мы уже знаем две точки - c₁ и t, лежащие в пересечении. значит, наша плоскость пересекает эту грань по какой прямой?", "верно, по прямой через точки c₁ и t! проведем ее до пересечения с ребром cb (точка l) и попробуем найти пересечение нашей плоскости со следующей гранью - abcd. мы снова уже знаем две точки, которые точно лежат в пересечении - l и p! значит, можно проделать тот же самый трюк. осталось доделать сечение теми же методами!", "для того, чтобы найти отношение, было бы здорово использовать утверждения о том, как точки t и p делят стороны, а еще - найти подобных треугольников, чтобы эти знания использовать.", "например, треугольники lbt и lcc₁ - подобны, и мы даже знаем, с каким коэффициентом (вспомните, как точка t делит отрезок bb₁). для удобства можно за х обозначить bb₁, и за y обозначить da. после этого мы можем рассмотреть подобие треугольников mpa и mbl. и у нас еще есть подобие odp, pam. пользуясь ими тремя и аккуратным счетом, можно достигнуть успеха!" ]

[ "у нас в задачке даны отношения отрезков. в лоб как-то считать не очень хочется... может, применить метод масс?", "мы хотим понять, в каком отношении плоскость cdp делит qr. если мы добьемся того, чтобы центр масс g тетраэдра лежал одновременно в плоскости cdp и на отрезке qr, то qg/gr- и будет искомым отношением. теперь надо расставить массы, чтобы эти условия выполнялись...", "чтобы g лежал в плоскости cdp достаточно, чтобы центр масс концов отрезка ab совпадал с p. тогда: m(a)/m(b)=pb/pa=2. а как сделать так, чтобы g лежал на отрезке qr?", "достаточно, чтобы центр масс концов отрезка cb попадал в r, а отрезка ad- в q. тогда: m(c)/m(b)=br/cr=3 и m(a)/m(d)=dq/aq=3/2. какие массы надо взять, чтобы выполнялись все отношения?", "можно, например, взять m(a)=6, m(b)=3, m(c)=9 и m(d)=4. тогда после группировки в q будет масса 10, а в r- 12. посчитайте отношение qg/gr и радуйтесь!" ]

[ "часто, чтобы доказать в стереометрии, что какие-то две прямые перпендикулярны, нужно найти такую плоскость, для которой одна из прямых содержится в этой плоскости, а другая перпендикулярна этой плоскости. попробуйте сделать то же самое в этой задаче для прямых a₁c₁ и c₁b.", "да, во-первых, a₁c₁ перпендикулярна c₁b₁, так как треугольник a₁b₁c₁-прямоугольный, а во-вторых, a₁c₁ перпендикулярна c₁c, в силу того, что перед нами призма. значит, a₁c₁ перпендикулярна всей плоскости c₁cb. значит, и прямой c₁b. также, мы знаем два отрезка в треугольнике a₁c₁b , и знаем, что он прямоугольный. кажется, теперь задача превратилась в счетную, где можно найти все отрезки(ведь тут одни прямоугольные треугольники). осталось посчитать!" ]

[]

[ "перед нами встала задача вычислить расстояние между скрещивающимися прямыми, какие способы сделать это вы знаете? общий перпендикуляр тут не то чтобы очевиден, а вот параллельные плоскости можно попробовать построить! проведём через середину вв' прямую, параллельную прямой проходящей через середины ав и аа'. одно сечение прямо перед нами! назовём эту плоскость α.", "второе сечение построить чуть сложнее, но опираясь на знание о том, что параллельные плоскости пересекают третью по параллельным прямым, мы можем сделать и это. назовём такую плоскость β.", "рассмотрим пересечение плоскостей α и (bb'd). в каком отношении плоскость α делит диагональ куба b'd? а что можно сказать про угол между диагональю куба b'd и плоскостью α?", "аналогично можно выяснить и про плоскость β: она будет перпендикулярна диагонали куба. тогда расстояние между α и β равно длине отрезка диагонали куба заключённого между ними. рассматривая пересечение плоскостей β и (bb'd) можно установить, в каком отношении плоскость β делит нашу диагональ? немного арифметики и задача решена!" ]

[ "как мы можем применить данную нам перпендикулярность? кажется, будет удобно построить из точки b' прямую b'b₁, параллельную bc' и взглянуть, на полученную конструкцию. обозначьте неизвестную сторону основания какой-нибудь переменной и попробуйте выразить всё что тут можно!", "в основании правильный треугольник, значит у нас есть угол в 60°. имея в треугольнике две стороны и угол мы сумеем выразить третью сторону: отрезок, соединяющий а с точкой пересечения b'b₁ и плоскости основания. эту же сторону мы можем выразить при помощи т. пифагора.", "осталось только решить квадратное уравнение, отсечь лишний корень (сторона ведь не может быть отрицательной!) и задача повержена!" ]

[ "пирамида правильная, поэтому мы чётко знаем куда падает её высота и искомый косинус будет легко выражаться, как только мы узнаем отношение её бокового ребра к ребру основания. плоскость π перпендикулярна as. что в таком случае можно сказать о прямой de пересечения этой плоскости с плоскостью (sab)?", "итак, de ⊥ as. тогда мы можем, зная положения точек d и e выразить косинус угла при вершине s. рассмотрите теперь равнобедренный треугольник-грань △asb: теорема косинусов поможет нам связать его боковые стороны со стороной основания.", "пирамида правильная, значит её высота падает в центр основания. воспользуйтесь свойствами правильного треугольника и найденным в предыдущем пункте соотношением, чтобы выразить искомый косинус." ]

[ "построение этого сечения не выглядит тривиальной задачей. разберёмся для начала, какие точки этой плоскости нам нужны, чтобы отыскать искомое соотношение. удобно будет работать с пересечением этой плоскости (назовем ее π) и диагональной (bdd'). значит нам точно понадобится пересечение π c рёбрами bb' и dd'.", "можно заметить, что середина ребра c'd' и центр грани bcc'b' лежат в плоскости диагонального сечения (abc'). рассмотрите эту плоскость и поработайте с подобными треугольниками, чтобы определить точку пересечения плоскости π с прямой ав — зная её, мы сможем посчитать и положение точки пересечения π с ребром bb'.", "определить точку пересечения π и dd' тоже не получится в один шаг: удобно это сделать сначала рассматривая всё ту же плоскость (abc') и прямую ad' в ней. а потом можно будет высчитать и положение точки на dd'.", "осталось рассмотреть плоскость (bdd') и имеющуюся у нас теперь прямую её пересечения с π. поработайте с подобными треугольниками, чтобы отыскать то самое соотношение do:ob'" ]

[ "давайте для начала попробуем изучить картинку. наша точка o равноудалена от прямых ad' и ab', следовательно она лежит на биссектрисе угла ∠d'ab'. но по условию, o- середина медианы. что мы тогда можем сказать про треугольник △d'ab'?", "верно, он равнобедренный! тогда ad'=ab'. значит и прямоугольные треугольники △aa'b' и △aa'd' равны по катету и гипотенузе. нетрудно видеть, что расстояние от m до плоскости (abcd) равно удвоенному расстоянию от o до этой же плоскости, т.е. 2. давайте обозначим длину ab за x и попробуем выразить через нее остальные отрезки...", "ab' и b'd' можно легко найти из теорем пифагора. тогда в треугольнике △d'ab' мы знаем все стороны ⇒ можем воспользоваться формулой для нахождения медианы am. а что можно сказать про треугольники △aox и △ab'm?", "точно, они подобны! тогда b'm*ao/ab' = ox = 1, где x- основание перпендикуляра из o на ab'. мы уже умеем выражать b'm, ao и ab' через x, поэтому мы сможем решить уравнение и найти x. сделайте это и завершите решение!" ]

[ "давайте ещё рассмотрим четырёхугольник mk₁l₁n. что мы можем сказать о параллельности его сторон, углах; в целом, какого рода этот четырёхугольник?", "так как его стороны mn и l₁k₁ равны и параллельны, то mk₁l₁n — параллелограмм. также рассмотрим его углы, воспользовавшись теоремой о трёх перпендикулярах. и о чём в таком случае говорит перпендикулярность диагоналей?..", "правильно, mk₁l₁n — квадрат. обозначим сторону куба за а. тогда можно выразить из ab отрезки am и mb (пусть один из отрезков равен λa, где λ - некоторая неизвестная). теперь, чтобы найти отношение ам:мв, нам достаточно просто найти λ.", "mk₁ и mn равны как стороны квадрата mk₁l₁n и к тому же легко выражаются через длины ам и мв с помощью нескольких теорем пифагора. осталось только верно выразить эти стороны через λ и а и приравнять, сократив а. и не забудьте, что главный вопрос задачи — найти отношение, а не λ!" ]

[]

[]

[]

[ "условие что прямые пересекаются полезно трактовать так: точки a, a’, b, b’ лежат в одной плоскости. почему это полезно? дело в том, что прямые ba’, ab’ и cd пересекаются в одной точке. мы пока не пользовались большей частью условия. как его связать с замеченным нами фактом?", "в задаче нужно доказать равноудаленность, значит, имеет смысл поискать какие-то биссектрисы. сделайте это, а еще на картинке есть разные углы, тогда может быть есть и подобие." ]

[ "давайте подумаем, а как использовать равные отрезки? в каких треугольниках они состоят, что можно отметить в таких фигурах?", "отметим e — середину ab в равнобедренных треугольниках adb и acb! какие тогда выводы можно сделать об ab?", "ab — хорда окружности, перпендикулярной оси цилиндра. давайте теперь подумаем, а в каких случаях мы смогли бы уменьшить радиус цилиндра?…", "мы можем уменьшать радиус цилиндра, если ab не является диаметром указанной окружности. какие тогда выводы можно сделать из условия на минимальность радиуса цилиндра?", "мы должны рассматривать такие тетраэдры, в которых ab является диаметром цилиндра! давайте теперь попробуем воспользоваться тем, что cd перпендикулярен основанию цилиндра. что полезного можно отметить?", "отметим h — проекцию точек c и d на основание цилиндра! осталось лишь воспользоваться тем, ab — диаметр, и немного посчитать ;)" ]

[ "в таких задачах не нужно ничего говорить, нужно просто написать свой счет отрезков в мексиканской шляпе… а вообще, да, видно, что все отрезки треугольника нашего считаются, так как, к примеру yd1 перпендикулярно a1d1, а значит работает теорема пифагора, отрезок yd1 также легко ищется, тоже по теореме пифагора. попробуйте посчитать и понять, чему равны стороны xyz.", "верно, xy^2 = xb^2 + bc^2 + cy^2 = 4 + 9 + 1. аналогично, yz^2 = 14 = xz^2. значит, наш треугольник равносторонний, а значит его углы мы точно знаем!" ]

[ "надо как-то разобраться с плоскостью def и отрезком aa'. для этого можно, например, отыскать какую-нибудь плоскость, в которой будут две точки нашей плоскости def и отрезок aa'. потенциально это могут быть плоскости abb'a' и acc'a', в которых есть по одной точке из плоскости def. как бы нам найти еще какую-нибудь точку?", "грани нашей призмы являются параллелограммами, поэтому d- не только середина ab', но и a'b. стало быть точка d лежит еще и в плоскости ba'c', в которой лежит еще и точка e. тогда если провести прямую ed, она пересечет луч c'a' в какой-то точке p. ураааа! вторая точка найдена. осталось только понять в каком отношении fp делит a'a. для начала поймите, как относятся pa' и a'c'...", "с помощью теоремы менелая вы легко убедились, что pa'=a'c'. у нас осталась совсем простая задачка: в параллелограмме aca'p точка f делит a'c в отношении 3:1, а нужно найти как pf делит aa'.", "если вы еще не решили ее, то советую продлить отрезок pf до пересечения с ac в точке q и посмотреть, как относятся pa' и aq." ]

[ "у нас точка m равноудалена от точек a и b. быть может, попробуем найти ещё такие точки? какое дополнительное построение может помочь найти все такие точки?", "постройте сечение плоскостью, являющейся серединным перпендикуляром к sb. заодно и середину r у sb отметим, вдруг пригодится;) какие точки и прямые туда попадут?", "именно, ac полностью лежит в построенной плоскости! значит, теперь нам удобно работать со многими интересными треугольниками, которые лежат в этой же плоскости. нам нужно найти некоторое отношение на ac, никаких длин нам не дано, поэтому имеем право обозначить ao за 1. какие тогда отрезки мы можем посчитать?", "ao = so = 1, а or — медиана в прямоугольном треугольнике, значит, можем посчитать и её ;) а что ещё можно сказать про r? в каких плоскостях она лежит, что примечательного есть в них?", "rm перпендикулярна плоскости (sab)! тогда у нас возникли ещё прямоугольные треугольники, в которых также можно посчитать отрезки ;)" ]

[]

[]

[ "пусть sh – высота пирамиды, подумайте, на каком значимом отрезке в треугольнике лежит точка н?", "она лежит на медиане, биссектрисе и высоте треугольника △авс! тогда мы без труда сможем выразить вн через стороны треугольника и данные/интересующие нас уголочки (только не забудьте рассмотреть два случая: ведь точка н может лежать как внутри, так и вне треугольника △авс), откуда мы и можем найти тригонометрическую функцию искомого угла" ]

[]

[]

[ "задача прям и намекает рассмотреть проекцию картинки на плоскости abc, acd и abd. что получается при проекциях? выпишите какие-то равенства. как их связать с вопросом задачи?", "в сечениях образуется касательная к окружности, у такой прямой понятное направление, поэтому разумно провести плоскость, параллельную касательной плоскости и пересекающую грани тетраэдра, тогда получаются вписанности. что вы можете сказать про три точки пересечения плоскости с ребрами?", "докажите, что тождество из вопроса задачи и равенство углов из условия равносильны правильности треугольника в сечении параллельной плоскостью. для этого вам может помочь степень точки или подобие." ]

[ "хочется сделать проекцию на какую-то плоскость. вот только на какую? очень удобно выглядит плоскость sbc, ведь в ней много точек, а образ o понятен. что вы можете сказать про эту геометрическую картинку?", "счетом углов можно понять, что so₁ и cb₁ перпендикулярны, но этого для решения недостаточно. подумайте о какой-нибудь симметрии и теореме о трех перпендикулярах и докажите оставшуюся часть задачи." ]

[ "самый простой способ доказать, что несколько прямых пересекаются в одной точке - определить эту точку, а затем доказать, что все прямые через неё проходят. попробуйте доказать, что данные прямые проходят через центр описанной сферы тетраэдра(точку o).", "просто так работать с этим объектом не получается. попробуем воспользоваться равенством скрещивающихся рёбер abcd. проведём через каждые пары скрещивающихся рёбер параллельные плоскости. тогда какую фигуру мы получаем в качестве пересечения этих плоскостей?", "да, верно! это же прямоугольный параллелепипед! тогда точка o является его центром(пусть a',b',c',d' - точки, симметричные a,b,c,d относительно o). отметим точку пересечения медиан треугольника bcd (точка m). попробуйте разложить векторы am и aa' через векторы a'b,a'c,a'd.", "мы получаем, что точка m лежит на aa' и a'm/am = 1/2, то есть ao/om = 3/1. отлично! теперь осталось доказать, что перпендикуляр, опущенный из o на bcd, проходит через середину ah(где h - ортоцентр треугольника bcd). для этого рассмотрим проекцию на bcd(пусть a" - проекция a, o1 - проекция o). мы знаем, что проекция прямой am проходит через точку пересечения медиан и центр описанной окружности. что же это тогда за прямая?", "да это же прямая эйлера! а значит, она проходит и через ортоцентр треугольника bcd. теперь, используя, что mh = 2mo1, попробуйте получить отношение отрезков a"o1 и o1h.", "отлично! мы знаем, что a"o1 = o1h. тогда что можно сказать про отношение отрезков, на которые разбивается ah прямой oo1?" ]

[ "в нашей задаче фигурирует точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции. как мы знаем, эта точка является центром положительной гомотетии, переводящей одно основание трапеции в другое. какую теорему хочется применить?", "конечно, теорему о трех колпаках! обозначим за o₁₂ точку пересечения боковых сторон трапеции a₁b₁a₂b₂ (остальные точки аналогичным образом). тогда o₁₂, o₂₃ и o₁₃ лежат на одной прямой (обозначим ее l₁₂₃, а другие аналогичным образом). а что будет, если рассмотреть точки o₁₂, o₂₄ и o₁₄?", "мы знаем, что они лежат на прямой l₁₂₄. при этом, на ней также есть точка o₁₂, поэтому прямые l₁₂₃ и l₁₂₄ лежат в одной плоскости п, т.е. точки o₁₂, o₂₃, o₁₃, o₁₄, o₂₄ лежат в п. осталось лишь доказать, что точка o₃₄ лежит в этой плоскости...", "рассмотрите прямую l₁₃₄ и завершите доказательство!" ]

[ "у нас на картинке дополнительно нарисованы точки пересечения a₂, b₂, c₂ и d₂. что их всех связывает?", "они получены как пересечение прямых из плоскости abcd и прямых из плоскости a₁b₁c₁d₁. тогда где должны лежать все эти точки?", "на общей для этих плоскостей прямой! а теперь внимательно смотрим на рисунок)" ]

[ "в стереометрии иногда полезно проводить аналогию с плоскостью, чтобы что-то придумать. смотрите, у нас есть пирамида треугольная и вписанная сфера. как аналогичное утверждение доказывается на плоскости? да, что-то там про пересечение биссектрис...", "рассмотрим биссекторы, содержащие ребра ab, bc, ac. они пересекаются в одной точке, она равноудалена от сторон (проверьте!) теперь осталось доказать, что второй такой точки еще не может быть!" ]

[]

[]

[]

[ "сравнить длины отрезков в этой задаче довольно тяжело, поэтому можно поискать какое-то значение между этими отрезками. из каких соображений это можно сделать?", "условие на точки e и f говорят о какой-то перпендикулярности, вот только какой? попробуйте построить 2 параллельные плоскости перпендикулярные ef, чтоб задача решилась нужно, чтобы на них лежали b и c. склейте воедино все факты и докажите существование таких плоскостей." ]

[ "давайте поймем, поизучаем сферу, описанную вокруг данной фигуры. во-первых, почему вообще можно описать сферу? во-вторых, где у неё центр?", "вокруг многоугольника a₁a₂...aₙ можно описать окружность, значит, вокруг всей фигуры можно описать сферу. пусть центр сферы — это точка p. она равноудалена от точек a, следовательно, лежит на прямой, перпендикулярной плоскости основания и проходящей через s. что мы можем сказать про точки x? где они лежат?", "они тоже лежат на этой сфере! давайте попробуем угадать, где может находиться искомая точка. попробуйте нарисовать фигуру и провести окружности.", "давайте попробуем доказать, что искомая точка пересечения диаметрально противоположна s. тогда нужно доказать, что n, x(k−1), x(k) и a(k) лежат на одной плоскости. как это можно сделать?", "воспользуемся тем, что n диаметрально противоположна s. тогда угол sa(k)n прямой при всех a(k). какие ещё углы равны 90 градусам?", "углы sa(k)x(k) прямые, потому что s и x(k) диаметрально противоположны в окружности, описанной вокруг треугольника sa(k)x(k). тогда sa перпендикулярно какой плоскости? какие точки на ней лежат?" ]

[ "давайте для начала разберём короткое условие. какие выводы из него можно сделать? середины рёбер, точки лежат на одной сфере... не забывайте про планиметрию.", "да, конечно, если мы соединим середины сторон, то, во-первых, получится параллелограмм, а, во-вторых, к тому же прямоугольник. первое выполняется из-за средних линий, а второе из-за вписанности. как же это переносится на тетраэдр?", "верно, значит, что противоположные стороны тетраэдра перпендикулярны. почему же этого достаточно, чтобы высоты тетраэдра пересекались в одной точке? попробуйте провести вспомогательную хорошую плоскость через какое-то ребро. дальше задача быстро закончится." ]

[ "т.к. sa ⊥ (abc), то угол ∠sab=90⁰. по условию ∠scb=90⁰. это означает, что наши точки лежат на сфере, с диаметром sb. а на какой прямой лежат центры o₁, o₂, ...?", "правильно, на перпендикуляре к плоскости (abc), проведенной в точке x- середине ab. мы хотим, чтобы множество наших центров состояло всего из двух точек. давайте тогда поймем, когда o₃ совпадает с кем-то из o₁, o₂.", "ясно, что с o₂ она совпадать не может. т.к. o₁- середина sb, то и o₃- середина sb. т.к. o₃ равноудалена от a, b, c и o₂, а o₂ равноудалена от a, b, c и o₁=o₃, то ao₃bo₂- ромб с углом 60°. я думаю, что вы сможете закончить решение!" ]

[ "давайте попробуем сначала разобраться с простым случаем, чтобы нам было понятнее, что происходит. есть точка в пространстве. и прямая в пространстве. и если расстояние от самой точки до прямой уже d, то какой был бы ответ?", "верно, это была бы плоскость через точку, параллельная ав. так, а если расстояние от точки до плоскости меньше d?", "хорошо, с этим тоже разобрались. такого гмт бы не существовало. давайте теперь посмотрим на сложный случай. чтобы расстояние было равно d, попробуем построить одну такую прямую. возьмем вокруг ab "оболочку" ширины d. получится такой цилиндр радиуса d. и вам нужна прямая, которая будет проходить через точку m, а еще касаться такого цилиндра(осознайте, почему?). осталось немного, разобраться, как построить такое гмт!" ]

[ "попробуем ввести обозначения, переписать данное через эти переменные и выразить искомое через них. что лучше взять за x и y?", "пусть радиусы окружностей будут x и y. мы можем записать следствие из подобия прямоугольных треугольников с катетами - радиусами окружностей. как можно выразить (x + y) / r?", "пусть t = y / r. тогда искомое можно выразить через t. это будет парабола, наибольшее значение которой на отрезке можно найти через вершину." ]

[ "что можно сказать о а₁ и o₁? они совпадают, если мы ищем минимальное значение s(почему?). тогда пусть а₁ = o₁ = k. что можно сказать о расположении k? где она должна лежать?", "симметричность расположения точек b и d, подсказывает, что сумма dk + kb наименьшая, когда k лежит на диагонали ac. предположим обратное. тогда нам нужна какая-то точка на диагонали, чтобы показать, что для неё s меньше. какую бы выбрать?", "конечно, основание перпендикуляра k на ac, пусть это точка k₁. если ck > ck₁ (длина наклонной и проекции), то что делать с dk + kb непонятно. обычно на помощь всегда приходит неравенство треугольника. но треугольника с необходимыми сторонами нет, значит, его нужно построить!", "теперь, когда доказано, что k лежит на диагонали, достаточно обозначит один из отрезков оk или kc за x. тогда s превратиться в некоторую функцию от х, у которой нужно будет найти минимум на отрезке [0; √2]." ]

[ "заметим, что основание у нашего треугольника зафиксировано. то есть на самом деле нам нужно найти минимальную сумму расстояний до точки p от a и b. давайте попробуем понять, почему расстояние будет минимальным, когда лучи pa и pb будут падать под одним углом на bc. обычно когда речь идёт о минимуме или максимуме, то нужно неравенство, а в геометрии чаще всего — это неравенство треугольника. как можно попробовать сделать из отрезков pa и pb треугольник, в котором мы явно будем видеть их сумму?", "верно, хоть до этого и не просто догадаться, давайте попробуем отразить точку d симметрично относительно bc. что тогда у нас получается? пусть симметричная точка x. получается треугольник apx, где сумма наших расстояний это ap+px. но тогда записав неравенство треугольника, когда достигается минимум?", "да, получается, чтобы сумма расстояний выстроилась в одну прямую, а это и будет минимум по неравенству треугольника, нужно как раз равенство углов. победа! теперь осталась только техническая часть поиска двух сторон равнобедренного треугольника apd. это можно сделать, например, через теорему пифагора для половины основания, высоты и стороны треугольника. нужно только найти высоту трапеции, что при наличии стольких данных несложно." ]

[ "пусть наши известные стороны это b, b и c, но мы не знаем, в каком порядке они расположены в четырехугольнике: как b, b, c или b, c, b? а вдруг это не важно?)", "пусть наш четырехугольник это abcd, где ab = cd = b, bc = c. тогда на самом деле площадь четырехугольника ab'cd, где ab' = c, b'c = cd = b будет такой же, потому что треугольник acd не изменился, а abc = ab'c, то есть площадь осталась такой же) давайте теперь мыслить про первый вариант.", "можно ли отдельно максимизировать площадь, учитывая наши условия? например, разбить четырехугольник на какие-то части, и меняя что либо, менять площадь?", "давайте отдельно максимизируем площадь abc и acd) начнем с abc. мы знаем, что a находится на расстоянии b от точки b. так давайте будет двигать a по окружности с центром в точке b и радиусом b! сторона bc как раз не меняется в таком случае. в какой момент площадь abc будет максимальна?", "тогда, когда ab станет перпендикулярна bc! потому что площадь abc = 1/2 ⋅ (высота к bc) ⋅ bc, и высота максимальна будет как раз в этом случае. попробуйте сделать тоже самое с acd) какой четырехугольник в таком случае у нас выйдет?", "т.к. углы abc и adc станут по 90°, то abcd - вписанный, да и еще у него ab = cd, то есть abcd - равнобокая трапеция! осталось посчитать сторону ad, зная все это)", "для удобства подсчета, стоит опустить высоты из b и c на ad и воспользоваться формулой высоты в прямоугольном треугольнике)" ]

[]

[]

[ "чтобы найти наибольшую величину угла, попробуем искать наибольшее значение одной из тригонометрических функций этого угла. какую будет использовать удобнее всего? в △bkh нет прямых углов, поэтому подумайте через какие углы лучше всего выразить ∠bkh?", "tg(x-y) = (tg(x) - tg(y)) / 1 + tg(x) * tg(y). заменив длину неизвестной стороны dk за x, получим функцию от x, максимум которой мы ищем", "производная функции обнуляется при x² = bd * bh. как выразить это произведение через ad и dc?", "tg(∠had) = ctg(∠bcd)" ]

[ "пусть длины сторон это 10 единиц, 2 и x. очень хочется найти x... попробуем рассмотреть векторы, соответствующие сторонам и поработать с ними.", "т.к. мы всё-таки хотим использовать длины сторон, то работать будем не с самими векторами, а с коллинеарными им единичными. т.к. мы знаем, что они образуют многоугольник, то мы можем записать уравнение на них. а как быть с равными углами? что можно сказать о взаимно расположении некоторых единичных векторов?", "заметим, что каждый угол равен 150. тогда мы можем сказать, какие стороны многоугольника параллельны. теперь мы можем записать условия на пары единичных векторов.", "знаем, что сумма единичных векторов, где один идёт с коэффициентов 2, а другой - с x равна 0. также сумма единичных векторов, соответствующим противоположным сторонам тоже равна 0. как найти x?", "чему равна сумма единичных векторов без дополнительных коэффициентов?", "их сумма равна 0! теперь-то мы можем найти x) осталось лишь найти площадь многоугольника, в котором мы знаем взаимное расположение всех сторон." ]

[ "если поразмыслить над этой задачей, порисовать какие-то треугольники и точки р, можно понять, что если брать точку р очень близко к одной из вершин (допустим, к а), выполнение неравенства треугольника для ра, рв, рс сводится к тому, что ав и ас не могут быть сильно отличны по длине.", "конечно, мысли из первой подсказки нужно формализовать. тогда мы придем к тому, что если условие задачи выполнено, то треугольник авс равносторонний. теперь для равностороннего треугольника нужно доказать, что для любой точки p условие задачи выполнено.", "доказывать это можно по-разному. один из способов (красивый) — явно построить треугольник со сторонами, равными pa, pb и рс, используя подобия." ]

[ "для начала поймём, что это за треугольники и окружности — очевидно, что это соотвественно вписанная окружность и вписанный в нее треугольник (иначе, мы могли бы увеличить площадь, дополнив до вписанной/ого). значит, площадь вырезанного треугольника легко считается и выражается через наши параметры — площадь начального и угол. однако нужно ли нам выражать? просто ли так нам дали площадь большого?", "конечно, не просто так. нам можно получить лишь отношение сторон и найти отношение площадей как коэффициент подобия в квадрате. поэтому, найдя отношение сторон, мы сможем его промаксимизировать. но через что выразить? через стороны большого треугольника долго и некрасиво, а вот через радиус и угол - более чем! подумайте лишь над тем, всегда ли одинаково все выражается.", "при разных alpha размер стороны вырезанного треугольника выражается одинаково, вот только угол будет разный в зависимости от того, тупой ли треугольник, но синус остается неизменным. осталось понять, как нам максимизировать функцию отношения… но ведь она монотонна!" ]

[ "у нас есть картинка, где абсолютно случайно, независимо друг от друга, выбирается 4 точки на разных сторонах квадрата. это значит как минимум то, что либо нам надо будет объединить все слагаемые в полученной сумме (пока непонятно какой, но точно выражающей сумму из условия) в одно слагаемое, которое зависит только от стороны квадрата, либо нам надо оценивать каждое слагаемое по отдельности. выразите каждое слагаемое из условия и попробуйте применить рассуждения выше.", "верно, можно сгруппировать наши слагаемые по частям стороны. тогда каждая пара слагаемых будет иметь вид x² + (1 - x)². как тогда получить оценку на каждое слагаемое, а значит, по соображениям из первой подсказки, и на всю сумму?" ]

[]

[]

[]

[ "для начала посмотрим на пункт а. заметим, что у нас тут есть какие-то отрезки касательных, может быть мы можем выразить их через стороны треугольника как-то..?", "верно! mc = nc = полупериметр - c! а еще в треугольнике mnc две равных стороны, которые мы можем так выразить. тааааааак, а как бы нам теперь зная много сторон найти отношение площадей?", "в таких случаях мы пишем отношение площадей через формулу двух сторон и угла между ними! было бы здорово, если бы угол был общий, попробуйте угол с?", "а теперь в получившейся формуле осталось прийти к минимуму! (a+b) и ab, что-то знакомое..", "хм, а пункт б? раскроем скобки в последнем выражении для отношения площадей и сделаем замену t = a/b! тогда что будет в скобках? в точности t+1/t+2. осталось найти возможные значения t!" ]

[]

[ "видим середину дуги и центр вписанной окружности, значит...", "они лежат на одной прямой, и можно применить лемму о трезубце!", "мы получили кучу отрезков, равных 2. тогда хочется найти ещё побольше равных треугольников!", "давайте опустим перпендикуляры из точки i на ab и bd, и из точки c на bd. мы получим три равных треугольника, и из этого будет следовать, что...", "эти перпендикуляры равны! что тогда можно сказать про точку пересечения bd и ci?", "она делит ci пополам! теперь осталось только применить теорему о произведении отрезков хорд и неравенство о средних, и мы найдём наименьшее значение bd. ну и формально говоря, ещё нужно показать, как построить пример, когда это наименьшее значение достигается." ]

[ "какой вывод можно сделать из равноудаленности ab и ad от точки o?" ]