Datasets:

---

hamster1580

/

russian-competitive-maths

like 1

[]

[]

[ "давайте выразим всё через a₁ и a₃, ведь именно они выделяются: a₁ = 4/9 * a₂ + 5/9 * b, a₃ = 9/16 * a₄ + 7/16 * b. что мы можем заметить здесь? а если вспомнить словосочетание «отношение отрезков»?", "это похоже на то, что мы взяли вектора a₂ и b, провели их от одной точки и на отрезке, который соединяет их концы, поставили точку с отношение 7/9, и вот этот вектор равен a₁. аналогично с a_3. как теперь можно наше наблюдение совместить с фактом про равные длины из условия?", "давайте создадим треугольник aoe, где oa = a₂, oe = b. тогда вектор a₁ понятно находится по рассуждению выше. но ведь у нас еще есть a₃. пусть тогда od = a₄. тогда, опять же, a₃ понятно ищется на картинке. но что же все таки с равными длинами? в какой конструкции у нас много точек на одном расстоянии лежит?", "верно! концы векторов a₁, a₂, a₃, a₄ лежат на одной окружности, при этом прямые dc, ab, oe пересекаются в одной точке и делятся понятным отношением этой самой окружностью. что тогда остается сказать, если даны окружность и отношения секущих?", "можно сказать, что у нас eb * ea = ec * ed, если ba = 4x, а ec = 9y, то y = x/2. осталось воспользоваться условием задачи ещё раз" ]

[ "давайте введем на нашей картинке систему координат, которая была бы нам удобна. к примеру симметричную относительно прямой симметрии параболы и нулевой высоты в тоннеле. тогда, что нужно чтобы зафиксировать картинку? каких параметров будет достаточно, чтобы выразить через это всю картинку?", "нам достаточно h - высоты вершины, а также длины основания - 2l(для симметрии). тогда, если наша парабола задается функцией f(x) = a - bx^2, то f(l) = f(-l), f(0) = h. тогда f(x) = h(1 - x^2/l^2). значит, мы можем задать две точки a и c, а остальные - будут отличаться от симметричных только умножением на -1 абсциссы. давайте так и сделаем - пусть x_1 - абсцисса а, а x_2 - абсцисса c. тогда как нам выразить перпендикулярность, если мы работаем в координатах? мы ведь не использовали еще ни разу тот факт, что, к примеру, ac и cb перпендикулярны.", "верно, мы можем выразить это через скалярное произведение векторов ac и cb. после того, как мы запишем и преобразуем выражение, у нас получится, что -(x_2^2 - x_1^2) - (h^2)/(l^4) * (x_2^2 - x_1^2)^2 = 0. но при этом, у нас x_1 != x_2, поэтому x_2^2 - x_1^2 = - (h^2)/(l^4). тогда, нам остается понять, чему равно расстояние между балками и записать ответ!" ]

[ "как в геометрии, так и в других разделах математики, зачастую бывает удобно зафиксировать задачу набором переменных. если мы хотим зафиксировать задачу здесь, то самым банальным набором будет функция движения каждой улитки. пусть (x_i(t), y_i(t)) - положение улитки относительно времени. какое тогда условие, при наличии направляющих векторов можно наложить на их координаты, если в некоторый момент времени эти три улитки были", "верно, что (x_2(t) - x_1(t))(y_3(t) - y_1(t)) = (x_3(t) - x_1(t))(y_2(t) - y_1(t)). просто записали векторное произведение векторов от первой ко второй улитке и от первой к третьей. что теперь можно понять, если у нас нашлось 3 значения таких t(то есть, три раза был момент, когда они все на 1 прямой)? а если подумать какой степени каждая из зависимостей x_i, y_i относительно t?", "зависимости x_i, y_i - линейный зависимости(так как каждая улитка движется по линии), а значит, уравнение выше - не выше второй степени. однако, у него есть три различных корня. что это значит тогда? когда такое может быть?" ]

[ "как можно записать условие более ёмко? можно ввести координаты.", "мы можем составить уравнение квадрата расстояния от aₙ до bₙ. как оно может выглядеть?", "координаты подстанций будут линейно изменяться. тогда расстояние можно представить как многочлен второй степени.", "у нас есть 3 уравнения и 3 неизвестных, можем найти все коэффициенты многочлена. как понять, будут ли линии пересекаться?", "значение многочлена всегда больше 0, так как дискриминант меньше 0. тогда линии параллельны, а квадрат расстояния между ними равен минимальному значению многочлена. его можно найти через вершину." ]

[ "мы работаем с векторами, поэтому хорошо бы вспомнить, а какие свойства есть у них? если тяжеловато воспринимать просто выражение, то попробуйте нарисовать векторы на бумаге.", "верно, мы знаем, что ac+bc = ac (складываем как векторы). к тому же складывать мы можем в любом порядке. попробуйте теперь, применив эти знания, упростить выражение!" ]

[]

[]

[]

[ "введите векторы, образующие стороны четырехугольника, их получится 4. как проверять то, что требуется в задаче? нужно выразить все выражения через наши 4 вектора. как понять, что равенство получается только в случае параллелограмма?", "если перед вами параллелограмм, то противоположные векторы должны быть равны с обратным знаком, причем это равносильно. подумайте, как это можно написать, и сведите задачу к этим двум выражениям." ]

[ "будем для удобства считать, что выбраны векторы u_i с учетом знака. запишите квадрат суммы векторов. что после этого нужно доказать?", "преобразованиями получите, что нужно взять векторы u_i так, чтобы сумма попарных скалярных произведений была неотрицательна. как это можно сделать? вообще у нас в условии n векторов, поэтому можно попробовать провернуть индукцию.", "докажите базу для двух векторов. как реализовать переход? выделите слагаемые, в которые входит новый вектор. как бы сделать там сумму поменьше?" ]

[]

[]

[ "давайте подумаем, как можно доказать, что четырёхугольник является квадратом. например, если доказать, что две соседние стороны равны и перпендикулярны, а потом сделать то же самое для других пар соседних сторон, то мы получим требуемое.", "реализовать задуманное можно через векторы. если выразить векторы, соответствующие сторонам четырëхугольника, через векторы, про которые мы знаем побольше информации, а именно векторы сторон двух квадратов, то всё должно получиться." ]

[]

[ "отрезки, которые друг от друга откладывают, и нам важно только расстояние между началом и концом… да это же задача на векторы! то есть нас просят доказать векторное равенство oh=oa+ob+oc (всё в векторах). сразу такое доказывать страшно и не понятно как. может быть преобразовать два каких-то слагаемых из этой суммы, с помощью дополнительного построения?", "если у нас есть ортоцентр, то надо пользоваться его свойством. при этом таким свойством, чтобы где-то обнаружить отрезок bh, потому что в данный момент совершенно неясно, что с ним делать, а только с ним что-то делать и остается, так как оба отрезка: oh и ob, как-то с ним связаны. так какое доп. построение здесь может зарешать?", "оп-па, можно отразить точку о относительно ac (пусть образ точки o- это о₁). тогда oo₁=hb, по свойству ортоцентра, при этом, очевидно, hboo₁ — параллелограмм. а значит, oh можно легко выразить через ob и oo₁. осталось выразить, в силу того, что сoao₁ — параллелограмм, сумму векторов oa+oc, после чего увидеть, что задача решена!" ]

[ "как доказать, что сумма двух векторов коллинеарна третьему? может, выразить каждый наш вектор через какие-то другие и доказать, что сумма двух равна третьему...", "попробуем для начала разобраться с bb₁. видно, что bb₁=ba+ab₁. а что можно сказать про вектор dd₁?", "dd₁=da+ad₁. видно, что вектора bb₁ и dd₁ не содержат в разложении одинаковых векторов. может, тогда именно вектор cc₁ равен сумме bb₁ и dd₁?", "итак, cc₁=cb+ba+ab₁+b₁c₁=bb₁+cb+b₁c₁. если мы докажем, что cb+b₁c=dd₁, то мы победили. а может, просто cb=da и b₁c=ad₁? вспомните, что abcd и ab₁c₁d₁ - параллелограммы, и завершите решение!" ]

[ "для начала надо построить треугольник a₁b₁c₁. вы же помните, как выражается вектор медианы через вектора сторон?", "если проведена медиана am₁, то вектор am₁ равен полусумме векторов ab и aс. нетрудно увидеть, что сумма векторов am₁, bn₁ и ck₁ равна 0 (bn₁ и ck₁- векторы оставшихся медиан), а значит из них действительно можно сложить треугольник. может тогда посмотрим, как выражаются медианы треугольника a₁b₁c₁?", "мы знаем, что для векторов нашего треугольника a₁b₁c₁ верны следующие равенства: a₁b₁= am₁, b₁c₁=bn₁, c₁a₁=ck₁. тогда вектор медианы a₁m₂ равен полусумме векторов am₁ и k₁c. как тогда можно выразить вектор a₁m₂ через вектора треугольника abc?", "a₁m₂=(am₁+m₁c)/2=(ab+ac+bc+ac)/4=3*ac/4. осталось аналогично выразить остальные векторы медиан b₁n₂ и c₁k₂ и завершить решение!" ]

[ "давайте обратим внимание на схожесть расположения каждого из отрезков нашего неравенства. каждый из них включен в треугольник с вершиной b. попробуйте выразить вектора ac, kn и lm через вектора выходящие из вершины b.", "не просто же так в условии сказано, что bl=ka, а bm=nc. подумайте, почему эти же равенства будут верны и в векторном виде и подставьте их в выражения, которые мы находили ранее. подумайте, как теперь мы можем связать вектора ac, kn и lm.", "если до этого вы всё сделали правильно, то должны были получится векторные равенства: kn = bn - bk, lm = nc - ka. если сложить два векторных равенства, то получим kn+lm=(bn+nc)-(bk+ka)=bc-ba=ac. подумайте, почему данное векторное равенство доказывает неравенство из условия." ]

[ "нам сказали про середины сторон, которые намекают нам на медиану...а что мы умеем делать с медианой в векторах?", "выражать ее через стороны треугольника! т.е. каждый отрезок вида x'x мы можем выразить и записать систему равенств...что из нее видно?", "сумма векторов a'a + b'b + c'c + d'd = 0. что это значит?", "из них можно составить четырехугольник с помощью параллельных переносов! осталось лишь использовать равенства из условия и прийти к параллелограмму)" ]

[ "давайте вспомним, как доказывать перпендикулярность, используя векторы? конечно, мы должны доказать, что скалярное произведение mn и bm равно нулю. для этого необходимо выразить эти векторы через попарно перпендикулярные: bc, bk, kc, ab", "так как скалярное произведение линейно по каждому аргументу, имеем, что mn * bm = 1/4 (bc * bk - kc * ab). как используя перпендикулярность векторов (то есть bc * ba = kc * bk = 0) доказать, что bc * bk - kc * ab = 0?", "используйте, что bk = kc * ctg(α) и ab = bc * ctg(α), где ∠kbc = ∠bac = α" ]

[ "нам нужно доказать, что какие-то две прямые перпендикулярны. может, попробовать доказать, что направляющие векторы этих прямых перпендикулярны...", "два вектора перпендикулярны, когда их скалярное произведение равно 0. может, как-то удобно выразить векторы eo и cd, чтобы посчитать их скалярное произведение...", "попробуйте выразить их через вектора oa, oc, ob. например, вектор cd=1/2(ca+cb), где ca=co+oa и cb=co+ob.", "осталось выразить oe. мы знаем, что oe=oa+ae, а ae=1/3(ad+ac). как же тогда выражается oe через oa, oc, ob?", "oe=1/6(3oa+2oc+ob). проверьте, что скалярное произведение действительно равно нулю, и радуйтесь!" ]

[ "заметим, что во многих четырехугольниках на картинке есть средние линии...что тогда сделаем?", "запишем их средние линии с помощью векторов! тогда мы сможем понять что-то про сумму отрезков, соединяющих середины сторон. осталось лишь воспользоваться тем, что угол между этими векторами уже в условии определен ;)" ]

[]

[ "в таких задачах на счет нужно очень четко понять, какие переменные мы вводим и зачем это делать. какие переменные у нас уже известны? две стороны треугольника. значит, если попробовать выразить наше выражение векторное, через часть из известных переменных и того, что нам нужно найти, то может что-то получится.", "давайте выразим каждый из векторов в выражении через векторы ca и ab, тогда выходит, что |3ac + ab| = 10 (здесь написаны векторы). далее, нам ничего не остается как возводить в квадрат, но там вылезет косинус из произведения векторов. как побороть эту проблему, если у нас в виде переменных остаются ab и cos(bac).", "конечно, у нас есть cos(bac) и ab, значит все намекает на теорему косинусов для треугольника abc и стороны bc. вычтя из нашего равенства, которое получилось возведением в квадрат модуля, равенство из теоремы косинусов, получим уравнение, в котором есть ab*cos(bac), приравненное к константе. что тогда можно сделать, чтобы найти ab?", "само собой, остается подставить это в уравнение, полученное из модуля, так как после подстановки, там останется одна неизвестная - ab, а значит, задача решена!" ]

[]

[ "у нас есть абсолютно симметричная картинка, попробуйте использовать поворот: повернем картинку относительно центра на центральный угол, проанализировать, как изменится сумма.", "попробуйте воспользоваться тем, что с одной стороны (из-за симметрии) сумма не должна измениться, но с другой, угол при каждом векторе уменьшается." ]

[ "так как у нас фигурирует параметр n, давайте доказывать утверждение по индукции! для удобства мы можем отсортировать вектора по часовой стрелке. предположите, что сумма 2n-1 векторов больше 1, тогда докажем, что при добавлении новых двух векторов - пусть это будет первый и последний, ничего не изменится.", "для этого сначала докажем, что сумма 2..2n лежит между векторами op1 и op2n+1", "а после рассмотрим вектор их суммы и попробуем доказать, что при прибавлении его все останется хорошо!" ]

[ "у нас отмечены две середины, может, стоит поискать средние линии? попробуйте придумать какую-нибудь среднюю линию с точкой t...", "можно взять точку l- середину bc. тогда tl- средняя линия треугольника △ncb ⇒ tl=7/2 и tl // ab. а что мы можем сказать про pl?", "это тоже средняя линия, только для треугольника △mbc ⇒pl=15/2 и pl // ac. из параллельности следует, что уголок ∠plt равен ∠bac. можем ли мы уже найти pt?", "конечно можем, ведь у нас есть теорема косинусов! доведите решение до конца и не забудьте, что cos(∠bac) может принимать два значения..." ]

[ "взглянув на условие, кажется, что надо доказать что-то страшное и непонятно, как это делать. но давайте вспомним, какие в принципе у нас есть способы решения задач по планиметрии? углы считать мы не пойдём, в лоб доказывать равенство сторон тоже. как можно сделать это хитрее?", "верно, давайте попробуем воспользоваться векторами. пусть o_1o_2o_3o_4 наш предполагаемый параллелограмм. если мы направим попарно в одном направлении вектора o_1o_2, o_3o_4 и o_2o_3, o_1o_4, то нам нужно будет только доказать равенство отрезков. учитывая, что мы рассматриваем центры окружностей, лежащих на серединных перпендикулярах, что можно сказать про проекции векторов на стороны параллелограмма?", "да, проекции будут равны половине стороны исходного параллелограмма. но тогда получаем, что наши вектора равны, если введём две оси, параллельные сторонам параллелограмма. победа!" ]

[ "расстояния между точками удобно считать, когда есть система координат. как было бы удобно расположить наш треугольник в декартовой системе координат?", "заметим, что высота, проведенная к стороне длины 4, равна целочисленному числу, поэтому удобно ввести систему координат так, чтобы оу было вдоль этой высоты, а ох — вдоль упомянутой стороны треугольника. тогда координаты вершин треугольника принимают целочисленные значения.", "пусть (x; y) — координаты x. тогда выражение xa² + xb² + xc² можно представить как сумму двух квадратов с некоторыми коэффициентами, что очень напоминает уравнение окружности с центром в (x; y). а так как нам дано неравенство, то наша фигура в x — это круг! останется лишь показать, что все его точки лежат внутри △abc." ]

[ "если мы хотим 6 чисел, которые идут в геометрической прогресии в некотором порядке, и, более того, образуют четыре треугольника, то единственное, что нам нужно при подборе таких чисел — это выполнение неравенства треугольника и конструкция, на которой можно было бы это неравенство проверять. при этом хотелось бы, чтобы некоторые треугольники были подобны, чтобы не приходилось делать несколько проверок и накладывать много ограничений на параметры, которыми мы всё зададим. понятно, что в силу того, что если подходит треугольник a, то подходит и треугольник, который уменьшен в k раз, поэтому, одна из длин равна 1. также нам было бы удобно работать с некоторыми симметриями, то есть чтобы у нас было не просто 1, x, x²,…,x⁵, скорее нам удобнее 1/x², 1/x, 1 , x², x³, чтобы как раз проще было проверять неравенства треугольника. попробуйте придумать два треугольника (этим и задается четырёхугольник), которые были бы подобны и использовали вышеупомянутые рассуждения.", "интересной конструкцией является четырехугольник oabc, oa = a², ob = 1, oc = 1/a², ab = a, bc = 1/a. во многом, типичная задача с ммо — сложная конструкция в условии, её намеренное ослабление участником (вместе с пониманием, что можно ослаблять, а что нет), и интересные, но при этом не через «заметим что» рассуждения. давайте поймём, для каких а тогда у нас выполняется неравенство треугольника и, что не менее важно, выпуклость четырёхугольника. поскольку мы не задали сторону ac, то понятно, для каких треугольников нужно писать необходимые неравенства. а почему если мы напишем только для них, то будет выполнено и для остальных?", "нетрудно понять, что неравенства треугольника для двух с известными сторонами выполнено на промежутке (1/phi, phi), где phi = (1 + √5)/2. теперь надо понять, для каких а выполнено условия выпуклости четырёхугольника. понятно, что углы aob и boc равны, в силу подобия, а значит, для доказательства выпуклости нам надо доказать, что угол aoc меньше 90. поймите, чему это равносильно, а также почему условие на угол abc проверять не надо.", "угол abc меньше 180, потому что это сумма двух углов одного треугольника. а вот для того, чтобы доказать про угол aoc, надо воспользоваться упомянутой спецификой ммо — возможность аккуратного упрощения. мы можем взять a ≥ 1 > 1/phi, чтобы определить порядок длин сторон в каждом из треугольников. потому что когда есть такая определенность, мы с уверенностью можем сказать, что в силу того, что ab — не большая сторона (для а=1 можно проверить конструкцию ручками), угол aob меньше 90. осталось доказать, что существует a принадлежащий [1, phi), такой, что ac = a³. и здесь надо, пусть и на интуитивном уровне, воспользоваться не совсем школьной идеей — непрерывность!", "если мы уже знаем, что надо воспользоваться непрерывностью, то нам, наверное, хотелось бы доказать, что отрезок ac непрерывно изменяет длину при изменении a, ввести функцию g = |ac(a)| - a³, и доказать, что в одной из точек на выбранном промежутке, который содержится [1, phi), в одном конце значение g > 0, а в другом < 0. но для осуществления этой идеи, нам, во-первых, надо доказать непрерывность изменения длины ac относительно а во-вторых, найти удобные концы отрезка и доказать, что в них разные по знаку значения. как доказывать непрерывность изменения длины отрезка ac? от чего зависит длина ac по определению? и правда ли, что концы текущего отрезка подходят под наши нужды?", "во-первых, давайте поймём, что происходит с функцией g в точках 1 и phi. в точке 1 у нас значение равно √3 - 1 > 0. а в точке phi, длина отрезка ac < ab + bc = √(phi) + 1/√(phi) =(√(phi))³, а значит g(phi) < 0! теперь осталось понять, почему у нас есть непрерывность и задача решена. длина отрезка ac — по определению расстояние между точками a и с, значит, если мы докажем непрерывность изменения координат a и c, то, поскольку функция расстояния непрерывна, мы получим то, что нужно. а как связаны координаты a и c с а? после того, как вы это поймёте, непрерывность будет очевидна, и задача будет решена!" ]

[ "как мы можем связать угол и координаты этих точек? через скалярное произведение. запишите его и подумайте над тем, что с ним можно сделать, если знать, что все координаты - целые числа.", "мы можем возвести в квадрат, чтобы избавиться от иррациональности. теперь положим, что все числа нечётные. что нам это даёт? какой остаток по модулю 4 дает любой нечётный квадрат? а что тогда можно сказать про степень вхождения двойки в левую и правую части?" ]

[ "вспомните, как векторно выразить среднюю линию четырёхугольника", "затем вспомните, что длина это корень из скалярного квадрата" ]

[ "сначала хочется разобраться с равенствами сторон. заметим, что в силу этих равенств три четырёхугольника из условия являются равнобедренными трапециями! тогда у них равны диагонали. что тогда можно сказать про связь этих диагоналей с центром o?", "правильно, они равноудалены от o. тогда их середины p, q, r равноудалены от o, т.е. o является центром описанной окружности △pqr. почему это хорошее наблюдение? ну, кажется, что центроиды как-то связаны со сторонами △pqr.", "действительно, из симметрии трапеций центроиды вроде бы должны быть серединами соответствующих сторон △pqr. на самом деле это правда, попробуйте доказать это утверждение в таком виде: середины сторон △pqr являются центроидами соответствующих трапеций. этот факт верен и для произвольного четырёхугольника, попробуйте его также доказать, это довольно важная лемма. теперь, когда мы доказали эту крутую лемму, поймём, как связаны △pqr и △xyz.", "стороны △xyz являются средними линиями △pqr, т.е. параллельны его сторонам. постойте, но теперь утверждение задачи очевидно! ведь т.к. o является центром описанной окружности △pqr, то мы можем провести серединные перпендикуляры. а ведь для △xyz они являются... :)" ]

[ "заметим несколько фактов: в правильном шестиугольнике ce перпендикулярно fe и ab при проекции на ef или cb равняется ef/2. попробуйте использовать эти два факта!", "пусть к' - точка пересечения ab и ce. теперь мы можем использовать вектор ck' для выражения, попробуем найти равный ему вектор!", "верно, это lk! осталось правильно применить все полученные на рисунке векторы!" ]

[ "попробуем облегчить себе работу и составить «цепочку» векторов с вершинами уже в данных нам точках.", "проще всего сначала найти неравные векторы на рисунке, а потом уже из них пробовать составить цепочку!" ]

[ "давайте пробовать постепенно раскручивать задачу, пользуясь всеми условиями. нам дана биссектриса треугольника. какие тогда соотношения можно записать?", "верно, можно записать равенство отношений отрезков и сторон, тем более одно из них нам дано. так же нам дали какую-то странную сумму векторов... давайте тогда попробуем выразить al через вектора, может эта сумма там и появится. как это можно сделать?", "ага, можно для начала выразить al через сумму двух векторов по правилу треугольника. видим, что фигурируют неизвестные нам вектора, и в данной по условию сумме они не участвуют. тогда попробуем заменить один из векторов по полученному равенству в 1 подсказке, а далее ещё раз воспользоваться правилом треугольника." ]

[ "самое главное в этой задаче — это удобно ввести обозначения. пусть середина каждого из отрезков равна a, b, c. но надо правильно выбрать направления. почему треугольник в данном случае очень полезен?", "верно, если задать все направления по часовой стрелке, то просто сумма 2a+2b+2c=0, так как мы вернулись в начальную точку треугольника. а теперь нужно подставить в формулу из условия выражения через наши векторы. попробуйте это сделать. хорошо бы было получить в итоге просто один вектор, так как теперь нам будут известны его координаты. но через какой удобнее всего будет выразить?", "да, вспомним в принципе условие задачи. нам нужно найти длину стороны, а значит, через этот вектор и будет удобно выразить всю сумму(например, если ac = |2b|, то через b). осталось только вспомнить, что через координаты вектора можно найти его длину, и победа!" ]

[ "перед нами трапеция, у которой мы знаем соотношение оснований, а посчитать нам хочется модули векторов- значит, попробуем посчитать всевозможные отрезки на чертеже!", "нам известно, как выглядит скалярное произведение векторов, которые мы можем выразить как сумму векторов, выраженных через друг друга. теперь нужно его записать и использовать угол!", "нужное скалярное произведение есть 31/65 от суммы квадратов длин векторов ao и bo. а как учесть угол?)" ]

[ "попробуем отрезок mq выразить двумя разными способами, чтобы приравнять и вычислить hk. для этого в вычислениях должен встречаться hk. попробуйте записать mq двумя различными способами", "например, как две покрывающие его ломаные, например, mh + hk + kq. и вторая ломаная, mb + bc + cd + dq", "то есть теперь попробуем выразить все отрезки через ab, bc, cd, de и отношения с ними, а hk оставить нетронутым, чтобы выразить!" ]

[ "пусть k,l,m,n-середины ab,ac,cd,bd. тогда, к примеру в треугольнике abc у нас есть две середины сторон. на проведение какого(каких?) доп.построения это может намекать?", "отлично, мы провели 4 средние линии. но ведь средняя линия параллельна стороне треугольника! тогда что можно сказать про ч-угольник klmn , используя условие, что ad перпендикулярно bc?", "да, то что klmn-прямоугольник. дело остается за малым, ведь осталось лишь применить одно свойство прямоугольника, чтобы найти km" ]

[ "хм... бильярдный стол формы параллелограмма, интересно, конечно, но не очень практично. к тому же, наш шар катится по одной и той же выпуклой траектории, вряд ли такое могло произойти в обычном параллелограмме. давайте попробуем выяснить что-то ещё про форму abcd, посчитав уголочки отражения.", "действительно, если посчитать углы, то выясним, что они разбиваются на две пары равных. а из этого следует, что abcd не только параллелограмм, но и прямоугольник!", "прежде чем размышлять о том, как выглядит траектория шара, хорошо бы понять, откуда она начинается. давайте введём декартову систему координат с началом в точке a. тогда нетрудно найти уравнения, задающие прямые ce и bf.", "раз уж мы ввели систему координат, то, наверное, хочется найти уравнение прямой mn, чтобы понять, в каком отношении точка n делит bc. кроме того, не просто так нам сказали про точку m', а мы пока никак ей не воспользовались. подумайте, как нам использовать m' для построение уравнения прямой mn.", "равные углы отражения и тот факт, что бильярдный стол — это прямоугольник, намекают нам на то, что мы должны выпрямить нашу траекторию в один отрезок с начало в m и концом в m'. давайте поочерёдно отразим наш прямоугольник относительно всех его сторон, чтобы выпрямить траекторию." ]

[]

[ "очень часто, когда просят найти наименьший периметр, помогает сводить задачу к неравенству ломаной. т.е. все нужные нам отрезки "сложить" в одну ломаную. каким образом это удобнее всего сделать в нашем случае, учитывая, что у нас квадрат?", "квадрат удобно отражать и переносить. осталось лишь подумать, относительно каких сторон это делать, чтобы каждый раз у нас появлялся новый кусочек ломаной, которую хотим создать из нужных отрезков." ]

[ "для начала стоит ответить на 2 вопроса. какие стороны в треугольники должны быть равны? какие векторы можно ввести?", "порисовав картинки можно понять, что хочется доказывать, что ab = ac. в условии спрашивается что-то про равенство отрезков, поэтому удобно ввести векторы a=oa, b=ob, c=oc. они все равны по длине, а еще через них выражаются все условия. сделайте это. как теперь доказывать, что какие-то 2 стороны равны?", "аккуратно напишите через векторы oa, ob и oc перпендикулярность из условия, поймите из нее, что (a,b) = (a,c). почему это равносильно тому, что ab = ac? вспомните про косинус и докажите это." ]

[ "есть подозрение, что n точек в задаче просто так. предлагается для начала научиться понимать, почему для четырех точек существует нужная система координат. как потом добавить в нее все оставшиеся точки?", "как подступиться к задаче? введите в системы координат для точек a, b, c и b, c, d. у них есть общие 2 точки с целыми координатами, поэтому отношение квадратов единиц измерения рационально. как теперь искать общую систему координат?", "получите, что (bc, bd) и (ba, bd) рациональны, после этого у вас будут два каких-то выражения. выразите из них координату точки d. докажите, что если она рациональна, то вы решили задачу!" ]

[]

[]

[]

[]

[]

[ "давайте будем думать, как нам считать и что через что выражается. сразу понятно, что если нам дан угол eod, то и угол b нам также дан. при этом, если у нас были бы известны углы c и a, то крайне понятно считались бы оба прямоугольных треугольника aod и coe. что нам это дает, для нахождения углов? как мы можем их между собой связать?", "мы могли бы связать углы a и с, так как в прямоугольных треугольниках две стороны равны как радиусы, а отношение двух других равно константе. при этом, есть еще одна связь, что сумма углов a и с равна заданному углу doe. значит, мы найдем углы a и c. как теперь можно найти отношение площадей круга и треугольника, если уже известны углы, а значит и радиус и стороны треугольника abc?", "верно, к примеру, мы можем расписать через sin(doe/2) и cos(doe/2) отрезок de, так как треугольник doe - равнобедренный(т.синусов и опустить высоту, к-ая будет и медианой). значит, мы через известный нам котангенс, выразим котангенс от половины такого же угла, а после этого сможем явно написать чему равны отрезки bd, be и oe(последнее - радиус), а значит, найдем окружность. правда ли, что теперь у нас осталось выразить только отрезки ce и ad и площадь треугольника также будет найдена?", "ну конечно, ведь тогда мы найдем обе стороны нашего треугольника и угол между ними. а значит и площадь. как их найти? так у нас же есть радиус и углы в прямоугольных треугольниках. значит, мы сможем, все что нужно найти. остается только посчитать :)" ]

[]

[]

[]

[ "треугольники △amd и △cmb подобны с коэффициентом 1/2, поэтому все соответствующие элементы относятся как 1/2. нам дано произведение mz*my, которое напоминает произведение секущей на внешнюю часть. но ведь мы знаем, что mz/mx=1/2, поэтому легко находим mx*my=10. а чему там равняется произведение секущей на внешнюю часть?", "конечно, квадрату отрезка касательной! давайте отметим точку касания t: окружности ω₁ c отрезком bm. тогда mt=√10. если бы мы еще нашли mi₁, всё было бы в шоколаде...", "мы знаем, что mi₁/mi₂=2 и при этом mi₁+mi₂=13/2. тогда mi₁=13/3. воспользуйтесь теоремой пифагора и завершите решение!" ]

[ "когда краска расплылась, мы получили сложную фигуру, для площади которой точно не существует формулы. в таких случаях мы разбиваем фигуру на более простые, площади которых умеем вычислять.", "мы умеем находить площади окружностей, колец, секторов. данная картинка удобно разбивается на эти фигуры или их части. при том, очевидно, что на концах нашего полумесяца нельзя брать целые окружности, потому что иначе усложняется вычисление площади остальной части фигуры. подумайте, как можно, используя данные фигуры, разбить нашу?", "давайте разобьём фигуру на следующие части:" ]

[]

[]

[ "итак, на нашем чертеже треугольник и две точки внутри него. как-то пусто, и совсем не понятно, что с такой картинкой делать. значит нужно придумать, что еще тут построить. может быть, отметить какую-нибудь точку так, чтобы о прямой, соединяющей эту точку и центр описанной окружности нам было что-то известно. что это может быть за точка?", "пусть м - середина стороны pv. тогда ом перпендикулярна pv, а gm - медиана треугольника. пусть gm пересекает отрезок он в точке т. вот, теперь чертеж выглядит поинтереснее! рассмотрите его и найдите подобие.", "итак, треугольники ght и otm подобны. но с каким коэффициентом? чтобы это узнать, нужно заметить, что н - это не абы что, а ортоцентр, и вспомнить его свойства.", "по свойству ортоцентра gh = 2*om. получается, gt : tm = 2 : 1. как тогда относятся друг к другу площади треугольников gho и ohm?", "так же как 2 к 1! теперь выразите площадь ohm через известные нам площади. тут самое главное не забыть рассмотреть случаи!" ]

[]

[]

[ "во-первых, давайте поймём, что у нас за картинка. а картинка у нас фиксирована, то есть мы можем вычислить (возможно, с большой сердечной болью) любой объект на картинке. а значит, скорее всего, задача на счёт. при этом, если мы уже хотим считать, то давайте посчитаем углы треугольника (возможно, угол oak равен 60 градусам неспроста, иначе, непонятно как связать его хоть с чем-то)", "по теореме косинусов угол abc равен 60 градусам. значит, угол aoc — 120. то есть, прямые oc и ak параллельны, а где параллельность — там и подобие.", "мы знаем, что oc перпендикулярно mn. а значит, и ak перпендикулярно mn. если oc и mn пересекаются в t, то выходит, что mtc и mak подобны. при этом мы знаем их коэффициент подобия и сторона mt ищется, так как известен угол и можно найти отрезок касательной mc.", "мы знаем km, а значит, так как знаем km и mt, то знаем и kn." ]

[ "обозначим неизвестные стороны за переменные, пусть ав = с, ас = b. тогда по свойствам биссектрисы легко посчитать bl и lc.", "данный по условию cos∠a намекает нам на теорему косинусов. но для каких треугольников её лучше записать?", "для △abl и для △acl! все стороны для теоремы косинусов посчитаны. вопрос только с углом. но посчитать косинусы ∠bal и∠cal, зная, что cos∠a = 1/8, несложно!", "теперь осталось лишь решить эту не самую красивую систему из двух уравнений. не забывайте, что b и c не просто переменные, а стороны △abс, значит, для них должно выполняться неравенство треугольника." ]

[ "хотим посчитать, в каком отношении pq делит bc, давайте сперва обозначим их пересечение за x. нас интересует bx/cx. как можно посчитать такое отношение?", "верно, отношение можно посчитать по теореме менелая для △abc и прямой pq. в ней будут помимо искомого участвовать выражения ap/pb и cq/qa. первое из них известно по условию, откуда брать второе?", "его можно найти из параллельности ab и mc, ведь образуются подобные треугольники abq и cmq." ]

[ "чтобы доказать равенство, хочется все отношения получить на одной прямой. например на ac, как бы отложить на ac первые два отношения?", "ага, из точек b и d можно провести прямые, параллельные l до пересечения с ac в точках e и f. тогда перенеся отношения на прямую ac, остаётся доказать, что сумма ae и af равна ac. какой факт о точках e и f может в этом помочь?", "точки e и f симметричны относительно точки пересечения диагоналей параллелограмма, отсюда ae и fc (дополняющий ae до ac равны)." ]

[ "обозначим пересечение ac и ef за x. откуда будем считать отношение ax/xc?", "логично вычислять его из теоремы менелая для △ack и прямой ef. задача сводится к равенству двух отношений, как же его доказывать?", "ага, можно воспользоваться свойством биссектрисы в △ack, параллельностью ce и bf, а также образовавшимися при проведении высоты подобными треугольниками." ]

[]

[]

[]

[]

[]

[ "1) так-с, у нас есть свойство, верное для каждой строки. давайте попробуем из этого сделать условие для количества клеток разных цветов во всей таблице уже.", "2) да, мы поняли, что во-первых красных не меньше синих во всей таблице, а синих не меньше красных. что же это значит.........", "3) в точности, значит, что их одинаково! а одинаково ли их в каждой строке.... попробуйте разобраться!", "4) а теперь попробуйте доразбираться с точным количеством клеток каждого цвета!" ]

[ "решаем методом "сначала попробовать, потом подумать". попытацтесь сначала расставить максимально, сколько сможете. давайте посмотрим, если все элементы это 1, то ничего хорошего не будет, все произведения одинаковы. тогда в каком-то столбике есть хоть одно неединичное.", "да, но с ним вместе либо в столбике, либо в строке, тоже должно быть неединичное, иначе в этой строчке и столбце мы получим одинаковые значения.", "то есть мы поняли, что неединичные числа встречаются парами. тогда попробуем оценить, сколько должно быть пар, и, следовательно, чисел!", "дааа, пар всего пять. тогда сколько вообще может быть неединичных чисел-то в итоге? попробуйте использовать количество пар и строк, и столбцов, которые они занимают." ]

[ "тут кажется, что всего четырьмя фигурами закрыть половину поля довольно трудно. может, для начала сначала стоит подумать как такое вообще возможно? посмотрим, сколько всего белых клеток есть на поле и сколько белых клеток может бить одна ладья. обратите внимание, меняется ли количество покрываемых белых клеток от расположения ладьи на поле.", "верно подмечено, если хотим закрыть все 32 поля, то ладьи должны стоять только на чёрных полях и закрывать 8 клеток. в какую сторону ещё можно подумать? доска, клеточки... может, нам поможет разбиение? ладьи, которые бьют всё, что стоит с ними на линии, наталкивают на мысль о разбиении на полосы в несколько линий...", "как вариант: условно разделить поле на 4 полосы (по 2 линии в каждой). попробуем порасставлять на них ладьи? например, что если их вообще не будет на одной из полос? такое возможно?", "правильно, в таком случае 8 белых клеток должны по вертикали закрывать 8 ладей, но это противоречит условию, так что в каждой такой полосе (по вертикали и горизонтали) должна быть ладья. при этом эти полосы также разбивают поле на 16 квадратов. остаётся только посчитать количество способов расставить ладьи по этим квадратам так, чтобы в каждой диагонали и вертикали была только одна ладья! (и не забудьте про то, что внутри клетки ладью можно ставить двумя способами)" ]

[ "нужно придумать раскраску, которой мы красиво сможем покрыть нашу доску. предположим противное. понятно, что для любой раскрашенной клетки существует ровно одна отмеченная рядом. какую раскраску можно придумать, чтобы одна отмеченная клетка соответствовала двум раскрашенным?", "раскрасим диагонали в каждом квадрате 11*11. скольким раскрашенным клеткам должна соответствовать каждая отмеченная клетка? осталось лишь найти противоречие с нашей раскраской ;)" ]

[]

[]

[]

[]

[]

[]

[]

[ "можно ли нашу доску изменить так, чтобы стало легко понять, что даже при такой операции удаление 2018 клеток не разобьет ее на 2018 частей?", "доску нетрудно обойти так, чтобы начальная и конечная клетки обхода совпадали, при этом всякая промежуточная клетка была посещена ровно один раз. можно ли использовать этот факт?", "верно! расклеим доску по сторонам всех клеток, кроме соседних в нашем обходе. может ли такая фигура быть разбита более, чем на 2018 частей, удалением 2018 клеток?" ]

[ "так как здесь у нас речь идёт про фигуру, бьющую определённым образом поля, то давайте попробуем для оценки разбить доску на части. доска у нас 1000 на 1000. и гепард бьёт клетки в определённом квадрате. тогда на какие части хорошо бы разбить доску? к тому же они должны быть удобными для работы и оценки.", "верно, давайте разобьём доску на квадраты 10 на 10. тогда нужно понять, сколько там может стоять максимум гепардов. пусть мы поставили одного гепарда куда-то в квадрат. могут ли в таком случае другие два гепарда встать в разных вертикалях и горизонталях?", "да, такого не может произойти, так как в таком случае они будут бить друг друга, даже если будут стоять на одной вертикали и горизонтали с исходным. значит, всех гепардов в квадрате 10 на 10 мы ставим в один ряд, откуда их не более 10. остался пример. так как мы всю задачу как-то работали с числом 10, то как лучше всего их расположить в таком случае?", "верно, мы можем расположить их в один столбец с интервалом в 10 клеток. тогда несложно увидеть, что всё сработает. победа!" ]

[]

[]

[]

[]

[]

[]

[]

[]

[]

[]

[]

[]

[]