id
stringlengths 10
16
| statement
stringlengths 0
9.54k
| answer
stringlengths 0
4.24k
| solution
stringlengths 0
47.5k
| metadata
dict | hints
sequencelengths 0
12
|
|---|---|---|---|---|---|
shkolkovo-96250 | учитель обвел черным маркером на клетчатой доске прямоугольник 8\times7 клеток. ваня хочет нарисовать внутри него синий прямоугольник, а внутри синего — красный прямоугольник. при этом все прямоугольники рисуются по клеточкам, а обводить уже нарисованные линии нельзя. сколько разных картинок у него может получиться? | 525 | пусть у нас есть какая-то картинка с синим и красным прямоугольниками. продлим их стороны так, чтобы получилось 4 горизонтальных линии и 4 вертикальных линии. заметим, что красные горизонтальные линии находятся между двумя горизонтальными синими линиями, и то же верно для вертикальных линий. более того, если, наоборот, выделены 4 горизонтальных линии и 4 вертикальных, и две средние из них каждого направления покрашены в красный, а две крайние — в синий, то такой картинке соответствуют два прямоугольника, где красный находится внутри синего. значит, достаточно посчитать число способов выделить 4 горизонтальных и 4 вертикальных линии, а их раскраска задается однозначно. всего вертикальных линий осталось 7, а горизонтальных -6, поэтому способов выбрать по 4 линии -C_{7}^{4}\cdotC_{6}^{4}=525. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/2979?SubjectId=7&Page=10",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
shkolkovo-96321 | клетки прямоугольника 2\times300 раскрашены в три цвета: красный, синий и зеленый. клеток каждого цвета по 200 штук. назовем доминошкой прямоугольник 1\times2. известно, что красно-синих доминошек нет. какое наибольшее число разноцветных доминошек может быть в таком прямоугольнике? доминошки могут пересекаться. | 600 доминошек | оценка. заметим, что в любой разноцветной доминошке одна из клеток зеленая. при этом каждая из 200 зеленых клеток может давать как максимум три разноцветных доминошки, поэтому всего разноцветных доминошек не более 600. пример на 600 доминошек получается, если покрасить центральный прямоугольник 2\times200 шахматной раскраской в белый и зеленый цвета, после чего перекрасить все белые клетки левее середины прямоугольника в синий цвет, а правее — в красный цвет. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/2979?SubjectId=7&Page=10",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
shkolkovo-96323 | из квадрата 4\times4 вырезали все угловые клетки. можно ли расставить в оставшиеся 12 клеток числа 1,1,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4 так, чтобы произведения чисел во всех четырех пятиклеточных крестиках были равны? | нет, нельзя | каждая тройка добавляется или в один или в три креста как множитель. это значит, что всего тройки будут добавлены как множители нечетное количество раз. а условие о равенстве произведений означает, что количество таких троек должно делиться на 4. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/2979?SubjectId=7&Page=10",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
shkolkovo-96449 | на клетчатой доске 7\times7 закрасили несколько трехклеточных уголков. оказалось, что в каждом столбце и в каждой строке есть хотя бы две закрашенные клетки. какое наименьшее количество уголков могло быть закрашено? | 5 | пример на 5 уголков приведен на рисунке. заметим, что в каждом столбце должно быть хотя бы две отмеченные клетки, то есть всего хотя бы 14, откуда сразу следует, что уголков не меньше 5. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/2979?SubjectId=7&Page=10",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
shkolkovo-96544 | какое максимальное количество полосок 5\times1 можно вырезать из квадрата на клетчатой бумаге размера 8\times8 клеток? | 12 | заметим, что больше 12 фигурок из 5 клеток в каждой поместить на клетчатую бумагу, в которой всего 8\cdot8=64 клетки, заведомо не удастся (т. к. 64=12\cdot5+4). поэтому остается подыскать пример из 12 полосок. вот он: | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3412?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [
"на доске всего 64 клетки. какая оценка на количество полосок легко получается, исходя из этого?",
"верно! число полосок не больше 12. можно ли построить пример?"
] |
shkolkovo-96838 | хромая ладья может за один ход перемещаться только на соседнее по стороне поле и каждым ходом меняет направление движения на 90^{\circ}. какое минимальное количество ходов ей придется сделать, если она хочет пройти из одной из отмеченных на рисунке клеток в другую и вернуться обратно, не побывав при этом ни на какой клетке дважды? | 20 | оценка. назовем отмеченные клетки как a и b. пронумеруем столбцы и строки числами от 1 до 9 и отметим все клетки на пересечении линий с нечетными номерами. за четыре хода мы попадаем с отмеченной клетки на отмеченную. таким образом, чтобы попасть из a в b потребуется хотя бы 8 ходов и из b в a тоже. но если обе части этого пути будут состоять из 8 ходов, то они оба пройдут через центральную клетку. следовательно, один из этих путей будет содержать 12 ходов. итого 8+12=20 ходов необходимо. пример. на рисунке отмечены клетки, по которым пройдет ладья. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/2979?SubjectId=7&Page=10",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
shkolkovo-35574 | на некоторых клетках доски 10\times10 стоят шашки. клетка называется красивой, если на горизонтали, проходящей через эту клетку, стоит нечетное число шашек, и на вертикали, проходящей через ту же клетку, тоже стоит нечетное число шашек. может ли на доске оказаться ровно 42 красивые клетки? | нет, не может | предположим противное. пусть столбцов, в которых стоит нечетное число шашек, a штук, а строк, в которых стоит нечетное число шашек, b штук. тогда красивыми будут ровно ab клеток, стоящих на пересечении этих строк и столбцов. по условию, это равно 42. так как размеры сторон доски ограничены числом 10, то единственный возможный случай — это a=6,b=7, или наоборот. пусть, не умаляя общности, именно a=6,b=7, в противном случае перевернем доску. посчитаем количество поставленных на доску шашек по столбцам. получим четное число, ведь мы сложим 6 нечетных чисел и 4 четных. если же посчитать количество поставленных на доску фишек по строчкам, то мы сложим 7 нечетных чисел и 3 четных, то есть получим нечетное число. но и в том, и в другом случае посчитано общее количество поставленных на доску шашек, а полученные два числа разной четности, противоречие. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/2979?SubjectId=7&Page=10",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
shkolkovo-35575 | какое наибольшее число коней, каждый из которых бьет ровно одного другого, можно расставить на шахматной доске 8\times8 ? | 32 | оценка. разделим квадрат 8\times8 на 4 одинаковых квадрата 4\times4. в каждом из этих четырёх покрасим клетки в 4 цвета следующим образом: заметим, что для каждого из цветов в выделенных 4 клетках не более двух коней, так как иначе какой-то из коней этого цвета будет бить двух коней. значит, в квадрате 4\times4 не более 8 коней. тогда в квадрате 8\times8 не более 8\cdot4=32 коней. пример: | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/2979?SubjectId=7&Page=10",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
shkolkovo-42535 | вася утверждает, что нарисовал прямоугольник на клетчатой бумаге, который можно разрезать по сторонам клеток на одну полоску 1\times37 клеток и 135 трёхклеточных уголков. прав ли вася? | варианты правильных ответов: нетнет | площадь такого прямоугольника равна 3\cdot135+37=442=2\cdot13\cdot17 . по условию какая-то его сторона не меньше 37 , потому возможны два случая: стороны равны 2,221 или 1,442 . во втором случае ни один уголок вырезать нельзя. в первом же после вырезания полоски останется полоса 1\cdot37 , вдоль которой также нельзя будет вырезать уголки, то есть вася не прав. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/4102?SubjectId=7&Page=3",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [
"такс, а чему равна площадь искомого прямоугольника со слов васи?",
"да, площадь равна 37+3*135 = 2*13*17=442. тогда какой прямоугольник у нас может быть?",
"верно, может быть прямоугольник со сторонами 2 и 221, либо со сторонами 1 и 442! а из каждого ли можно вырезать уголок?",
"нет, из полоски длинной 442 уголок вырезать никак не получится! а если в прямоугольнике со сторонами 2 и 221 вырезать полоску из 37 клеток, то получится ли как-то разрезать на уголки оставшуюся полоску из 37 клеток, которую мы не вырезали?"
] |
shkolkovo-43949 | вася вписал в клетки таблицы 4\times18 ( 4 строки, 18 столбцов) натуральные числа от 1 до 72 в некотором одному ему известном порядке. сначала он нашел произведение чисел, стоящих в каждом столбце, а затем у каждого из восемнадцати полученных произведений вычислил сумму цифр. могли ли все получившиеся суммы оказаться одинаковыми? | варианты правильных ответов: нетнет | предположим, что каждая из указанных сумм цифр равна S. так как некоторые из произведений содержат множители кратные девяти, то такие произведения делятся на 9, значит, их сумма цифр также делится на 9. следовательно, число S должно быть кратно девяти. таким образом, произведение чисел в каждом столбце должно быть кратно девяти. оно может быть кратно девяти только в двух случаях: 1) если содержит хотя бы один множитель, кратный девяти; 2) если содержит не менее двух множителей, кратных трем, но не кратных девяти. среди чисел от 1 до 72 восемь чисел делятся на 9 и 16 чисел делятся на 3, но не делятся на 9. следовательно, произведений, кратных девяти, может оказаться не больше, чем 8+8=16, то есть на 9 могут делится не больше, чем 16 сумм их цифр. так как в таблице — 18 столбцов, то получено противоречие. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/4103?SubjectId=7&Page=3",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [
"мы видим условие, что все суммы должны быть равны. не кажется ли это нам странным? уж слишком сильное условие, чтобы суммы цифр у всех чисел были равны. значит, интуитивно, мы хотим доказывать обратное. при этом у нас в задаче фигурирует сумма цифр числа. на чем тогда можно выстроить противоречие?",
"да, нам хотелось бы как-то привязать к этому кратность 9, так как точно найдется сумма, кратная 9 (ведь найдётся произведение, кратное 9). а значит, наша s кратна 9. теперь надо подумать, на чём конкретно нам следует строить противоречие. вот чтобы произведение числа делилось на 9, нам нужно либо два числа кратных 3, либо два числа кратных 9. хмм, а много ли их среди первых 72 натуральных чисел?",
"верно, их не так уж и много. чисел, кратных девятке, - 8 штук, а кратных тройке , но не кратных девятке чисел - 16 штук. осталось понять, почему мы уже решили задачу (то есть почему такого кол-ва не хватает).",
"ага, ведь всего таким образом мы сможем заполнить не более 16 столбцов, а надо заполнить 18. противоречие!"
] |
shkolkovo-43950 | дана клетчатая таблица 101\times101 , клетки которой покрашены в белый цвет. разрешается выбрать несколько строк и перекрасить все клетки этих строк в чёрный цвет. затем выбрать ровно столько же столбцов и перекрасить все клетки этих столбцов в противоположный цвет (то есть белые — в чёрный, и чёрные — в белый). какое наибольшее число чёрных клеток может содержать таблица после этой операции? | 5100 | пусть перекрашивается сначала k строк, затем k столбцов. после первого этапа перекрашивания каждый столбец будет содержать k чёрных и 101-k белых клеток. так как 101-k столбцов будут нетронуты, то суммарно в таких столбцах будет k(101- k) чёрных клеток. в каждом из перекрашенных столбцов 101-k чёрных клеток, значит суммарно в таких столбцах (101-k)k чёрных клеток. итак, всего чёрных клеток f(k)= 2k(101-k). понятно, что графиком функции f(x)=2x(101-x) является парабола, ветви которой смотрят вниз. значит наибольшее значение функции f(x)=2x(101-x) достигается в точке a=(101)/(2) , и функция сначала возрастает до этой точки, а потом убывает. но значит при любых целых k выполнено f(k)\leqf(50) при 0\leqk\leq50 и f(k)\leqf(51) при 51\leqk\leq101 . остаётся заметить, что f(50)=f(51)=5100 . замечание. анализ поведения функции f(x) может быть проведён с использованием производной. из того факта, что наибольшее значение функции f(x) достигается в точке a=(101)/(2) , не следует вывод о том, что функция f(k) (по целым k ) должна достигать наибольшего значения в одной из ближайших к a целых точек. хотя это верно для нашей функции, в общем случае существует контрпример. для верного вывода нужна ссылка на монотонность. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/4103?SubjectId=7&Page=3",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [
"следует сделать явное описание процесса(и ситуации в конце) по кол-ву черных клеток. если, скажем, изначально было выбрано k строк для перекрашивания в черный цвет.",
"в силу того, что в каждой строке было k 101 черная клетка после изменения, а потом из них стало (в каждой строке) на k черных клеток меньше, то получилось k(101-k) черных клеток. при этом, мы также добавим k(101 - k) черных клеток перекрашивая в противоположный цвет нетронутые после первого действия строки. значит, в итого, у нас получится 2k(101 - k) черных клеток. как теперь это максимизировать?",
"ну конечно, понятно как, это же парабола ветвями вниз. тогда, выходит, что максимум свой она принимает в двух точках : 50 и 51. осталось(для пущей строгости и более качественного понимания сюжета) убедиться, что такая оценка точно достижима, но кажется, мы делали здесь равносильные преобразования."
] |
shkolkovo-72037 | в каждой клетке шахматной доски стоит конь. какое наименьшее число коней можно убрать с доски так, чтобы на доске не осталось ни одного коня, бьющего ровно трех других коней? | 8 | будем говорить, что конь контролирует клетку доски, если он бьёт эту клетку или стоит на ней. докажем вначале, что менее 8 коней убрать не удастся. нам достаточно проверить, что с каждой половины доски придётся снять не менее 4 коней. рассмотрим для определённости верхнюю половину и отметим на ней шесть коней так, как показано на рисунке: (для удобства они выделены разным цветом). назовём клетки, отмеченные на рисунке кружочком, кратными, а остальные клетки простыми. разобьём рисунок на два квадрата 4\times4 и зафиксируем один из них. стоящие в квадрате чёрные кони бьют ровно по три клетки. поэтому необходимо совершить одно из трёх действий. 1) убрать двух коней, стоящих на простых клетках, контролируемых чёрными клетками (ими могут быть и сами чёрные кони). 2) убрать коня, стоящего на кратной клетке. в результате белый конь из этого квадрата будет бить ровно трёх других коней. значит, придётся ещё убрать коня с простой клетки, контролируемой белым конём (возможно, самого белого коня). те же действия необходимо проделать и для другого квадрата. таким образом, каждый квадрат определяет пару клеток в верхней половине доски, с которых нужно убрать коней. эти пары не пересекаются, поскольку никакие два отмеченных коня из разных квадратов не контролируют общих клеток. иными словами, действия с квадратами производятся независимо друг от друга. поэтому с верхней половины доски придётся убрать не менее четырёх коней. приведём пример, показывающий, что 8 коней достаточно. на рисунке отмечены кони, которых нужно снять с доски. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3466?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
shkolkovo-72055 | из n^{2} лампочек собрали табло n\timesn. каждая лампочка имеет два состояния — включенное и выключенное. при нажатии на произвольную лампочку ее состояние сохраняется, а все лампочки, находящиеся с ней в одной строке или в одном столбце, меняют свое состояние на противоположное. изначально все лампочки на табло выключены. петя последовательно нажал на несколько лампочек, в результате чего табло не погасло полностью. какое наименьшее количество лампочек может гореть на табло? | 2n-2 | назовём реверсированием набора лампочек смену состояния всех лампочек этого набора на противоположное. отметим два простых факта. 1) нажатие на лампочку эквивалентно реверсированию строки и столбца, в которых эта лампочка стоит. действительно, при таких реверсированиях нажимаемая лампочка меняет своё состояние дважды, то есть не меняет его, а остальные лампочки в той же строке и в том же столбце меняют своё состояние один раз. 2) при последовательном нажатии нескольких лампочек соответствующие им реверсирования можно производить в любом порядке. действительно, для любой лампочки число смен её состояний равно суммарному количеству реверсирований строк и столбцов, которым она принадлежит. пусть было сделано k нажатий на лампочки. припишем i -й строке и i -му столбцу соответственно числа p_{\imath} и q_{\imath}, обозначающие количество их реверсирований. тогда \sum_{\imath≈1}^{n}p_{\imath}+\sum_{j≈1}^{n}q_{\imath}=2k. мы можем исключить в левой части чётные p_{\imath} и q_{j}, поскольку чётное число реверсирований строк или столбцов не меняет их состояния. после этого левая часть останется чётной. с другой стороны, суммы в левой части будут тогда содержать только нечётные слагаемые. поэтому число слагаемых в первой сумме (обозначим его через a ) имеет ту де чётность, что число слагаемых во второй сумме (обозначим его через b ). таким образом, мы реверсировали a различных строк и b различных столбов, причём a и b имеют одинаковую чётность. при этом изменяют своё состояние по сравнению с исходным (то есть включатся) в точности те лампочки, которые стоят в реверсированной строке и нереверсированном столбце или наоборот. первых лампочек имеется a(n-b), а вторых b(n-a). поэтому в результате будет гореть a(n-b)+b(n-a) лампочек. покажем, что a(n-b)+b(n-a)≥2n-2. если b=0, то a чётно и не равно нулю (в противном случае все лампочки будут выключены). тогда a(n-b)+b(n-a)=an≥2n. если b=n , то n-a чётно и не равно нулю (в противном случае все лампочки будут выключены), откуда a(n-b)+b(n-a)≥2n. аналогичным образом рассматриваются случаи a=0 и a=n. для дальнейшего заметим, что xy≥x+y-1 для x,y≥1. поэтому при 1\leqa,b\leqn-1 a(n-b)+b(n-a)≥(a+(n-b)-1)+(b+(n-a)-1)=2n-2. осталось показать, что можно зажечь ровно 2n-2 лампочки. для этого достаточно на погашенном табло нажать один раз на произвольную лампочку. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3466?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [
"операция, описанная в условии, достаточно тяжела для подсчёта. на какую эквивалентную её можно заменить?",
"назовём реверсированием смену состояния всех лампочек в столбце. тогда операция из условия представима в виде реверсирования строки и столбца. как конечное состояние лампочки зависит от числа реверсирований?",
"если суммарное число реверсирований строки и столбца с данной лампочкой было нечётным, то она окажется включена. если строка была реверсирована чётное число раз, то можно считать, что её не трогали. осталось только обозначить за a и b число строк и столбцов, которые мы реверсировали, и оценить число горящих лампочек."
] |
shkolkovo-85829 | доска 20\times20 покрашена в два цвета: нечетные столбцы в черный цвет, четные — в белый. на всех черных клетках стоит по одному белому королю. каждым ходом один из королей сдвигается на свободную соседнюю по стороне или диагонали клетку. за какое наименьшее число ходов все короли могут снова встать на черные клетки, причем так, что ни один король не окажется в клетке, в которой стоял изначально? | 210 ходов | оценка. за меньшее число ходов справиться нельзя: в каждом столбце первый король, который делает ход, для того, чтобы вновь оказаться на черной клетке, должен сделать хотя бы два хода; остальные, чтобы уйти со своей клетки — хотя бы 1. значит, короли из каждого столбца делают в совокупности хотя бы 21 ход, столбцов 10, поэтому всего ходов хотя бы 210. пример. пример на 210 ходов существует. разобьем столбцы на пары соседних, рассмотрим одну из пар. сделаем верхним королем левого столбца ход вправо, затем поднимем всех остальных королей этого столбца на одну клетку вверх. теперь нижним королем правого столбца сделаем два хода влево, остальными королями правого столбца ходим на одну клетку вниз. наконец, последним ходом ставим самого первого короля, которым мы ходили, в верхнюю клетку правого столбца. мы потратили 42 хода на два столбца, значит, на 5 пар мы потратим 210 ходов. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/2979?SubjectId=7&Page=11",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
shkolkovo-90107 | какое наименьшее количество клеток доски 3\times2016 можно закрасить так, чтобы у каждой клетки была соседняя по стороне закрашенная клетка? | 2016 | для начала заметим, что если у нас есть какая-то закрашенная клетка, то сама по себе она не является соседней по стороне.значит, одна из четырех (или меньшего количества) клеток тоже должна быть закрашена. получается, у каждой клетки должна быть закрашена соседняя по стороне клетка, в том числе и у закрашенных. оценка. давайте рассмотрим пары отмеченных клеток: заметим, что чтобы для каждой из пар клеток выполнялось условие, хотя бы две из пяти клеток (соседних 3 или сами 2 рассматриваемые клетки) должны быть закрашены. причём области, где могут находиться закрашенные клетки с каждой из пар отмеченных клеток не пересекаются. значит, наименьшее количество клеток, которые можно закрасить, чтобы выполнялось условие - 2016. пример. закрасим центральную строку: тогда у каждой клетки найдётся соседняя по стороне закрашенная клетка. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/6518?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
shkolkovo-91320 | какое наибольшее количество ладей можно расставить в клетках доски 300\times300 так, чтобы каждая ладья била не более одной ладьи? (ладья бьет все клетки, до которых может дойти по шахматным правилам, не проходя сквозь другие фигуры.) | 400 | докажем, что на доске можно разместить не более 400 ладей. в каждой строке или столбце стоит не более двух ладей, иначе стоящая не с краю ладья бьет как минимум две другие ладьи. пусть есть k столбцов, в которых стоит по две ладьи. рассмотрим одну такую пару. они бьют друг друга, поэтому в тех строках, в которых они расположены, ладей нет. таким образом, ладьи могут находиться лишь в 300-2k строках. поскольку в каждой из них ладей не более двух, всего ладей не более 2(300-2k)+2k=600-2k с другой стороны, в k столбцах стоит по две ладьи, а в остальных 300-k не более одной, поэтому всего их не более (300-k)+2k=300+k следовательно, всего ладей не больше, чем (1)/(3)\cdot((600-2k)+2(300+k))=400 покажем далее как разместить 400 ладей. на доске 3\times3 можно разместить 4 ладьи как показано на рисунке, а затем поставить 100 таких квадратов по диагонали. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3466?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [
"попробуйте рассмотреть некоторое количество ладей, стоящих определëнным образом.",
"если посмотреть на 2 ладьи, стоящие в одном столбце, то в строках, пересекающихся с ним по ладьям, не может быть других ладей. как можно использовать это для оценки?"
] |
shkolkovo-92534 | на клетчатом поле располагаются 10 клетчатых прямоугольников площади 1,2,3,...,10. оказалось, что нашлась клетка, покрытая один раз, две клетки, покрытые два раза, три клетки, покрытые три раза и четыре клетки, покрытые четыре раза. какое наибольшее количество клеток, покрытых хотя бы 5 раз, могло найтись? | 5 клеток | оценка. всего покрыто 1+2+...+10=55 клеток. 10 клеток, описанных в условии покрыты, 1\cdot1+2\cdot2+3\cdot3+4\cdot4=30 раз. остается еще 55-30=25 покрытий клеток. значит, клеток, покрытых хотя бы 5 раз, не более 5. пример. будем считать, что все прямоугольники имеют вид 1\timesn. сложим прямоугольники площади 15=3+4+8,14=1+6+7,12=2+10. еще остались прямоугольники площади 5 и 9. наложим прямоугольники друг на друга так, чтобы у них совпадали левые клетки. нетрудно проверить, что пример подходит. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/2979?SubjectId=7&Page=11",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
shkolkovo-92717 | из клетчатого прямоугольника можно вырезать по клеточкам 360 квадратов 2\times2. докажите, что из него можно вырезать 200 прямоугольников 1\times7. | так как из прямоугольника можно вырезать 360 квадратов 2\times2, то его площадь не меньше 360\cdot4=1440. начнем вырезать из прямоугольника горизонтальные полоски 1\times7, начиная слева. мы это можем делать до тех пор, пока в прямоугольнике больше шести столбцов. пусть в некоторый момент в нем осталось не больше шести столбцов. тогда начнем вырезать из оставшегося прямоугольника вертикальные полоски 1\times7, начиная сверху. опять же, мы можем это делать до тех пор, пока в прямоугольнике больше шести строк. значит, когда мы не сможем больше вырезать вертикальную полоску, останется прямоугольник, в котором не больше 6 строк и не больше 6 столбцов. поэтому суммарная площадь вырезанных полосок не меньше 1440-6\cdot6=1404, то есть хотя бы 200 полосок 1\times7 мы смогли вырезать. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/2979?SubjectId=7&Page=11",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
|
shkolkovo-92874 | в каждой клетке таблицы 4\times4 написали 1 или 2. оказалось, что сумма чисел в каждом из четырех квадратов 3\times3, содержащихся в этой таблице, делится на 4. найдите наибольшую и наименьшую возможные суммы чисел в этой таблице. | наименьшее значение 19, наибольшее значение 30 | в квадрате 3\times3 сумма чисел может быть от 9 до 18. в этом диапазоне делятся на 4 только числа 12 и 16. найдем наименьшую сумму. в каждом квадрате есть хотя бы три числа “ 2 ”. поэтому наименьшее значение суммы — это 3\cdot2+13=19. достигается, когда в центральном квадрате 2\times2 стоят три двойки, а остальные числа — единицы. найдем наибольшее значение суммы. в каждом квадрате есть хотя бы два числа “ 1 ”. поэтому наибольшее значение суммы — это 2\cdot1+14\cdot2=30. достигается, когда в центральном квадрате 2\times2 стоят две единицы, а остальные числа — двойки. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/2979?SubjectId=7&Page=11",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
shkolkovo-93377 | можно ли расставить на шахматной доске 32 коня так, чтобы каждый бил ровно одного другого? | можно | расположим 32 коня в виде четырех прямоугольников 2\times4, прилегающих к углам доски и не имеющих общих участков границы. легко проверить, что такой пример подходит. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/2979?SubjectId=7&Page=11",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
shkolkovo-93711 | клетчатый прямоугольный стол 2016\times2017 можно многими способами покрыть доминошками (в один слой) так, чтобы каждая покрывала ровно две клетки. два покрытия назовем близкими, если одно можно получить из другого, переложив лишь часть доминошек (хотя бы одна доминошка не меняет положения). докажите, что есть покрытие, близкое любому другому. | разобьем поле на доминошки так, чтобы сторона каждой доминошки длины 2 была параллельна стороне стола длины 2016. пусть существует не близкое к нему разбиение. рассмотрим в нем прямоугольник 1\times2017, прилегающий к краю. так как его площадь нечетна, то существует доминошка, имеющая с ним ровно одну общую клетку. она и будет общей с нашим разбиением. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/2979?SubjectId=7&Page=11",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
|
shkolkovo-93728 | хромая ладья умеет ходить влево, вправо, вверх и вниз ровно на одну клетку. в каждой клетке шахматной доски 8\times8 стоит хромая ладья. они все одновременно сделали ход, и оказалось, что теперь снова в каждой клетке стоит хромая ладья. отметим восемь клеток одной диагонали, идущей вправо-вниз. сколько фигур ушли с этой диагонали вниз или влево? | 4 | пусть рассматриваемая в условии диагональ при шахматной раскраске — черная. тогда под этой диагональю 16 белых клеток и 12 черных. так как хромая ладья при своем ходе меняет цвет, а также учитывая, что никакая ладья не могла “перепрыгнуть” через главную диагональ, то после перехода образуется ровно 4 белые клетки, которые должны заполнить ладьи с диагонали. значит, ровно 4 ладьи ушли вниз или влево. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/2979?SubjectId=7&Page=11",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
shkolkovo-93969 | разрежьте фигуру на картинке на 4 равные части по линиям клеточек. части считаются равными, если их можно наложить друг на друга так, чтобы они полностью совпали. | пример разрезания приведен на картинке. возможно, он не единственный. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/2979?SubjectId=7&Page=11",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
|
shkolkovo-94113 | каждая половина (верхняя и нижняя) фигуры на рисунке состоит из 3 красных треугольников, 5 синих треугольников и 8 белых треугольников. если перегнуть фигуру посередине, и наложить половины друг на друга, совпадут 2 пары красных треугольников и 3 пары синих. еще два раза оказались красно-белые пары. сколько пар белых треугольников совпали? | 5 | в каждой половине 3 красных, 5 синих и 8 белых треугольников. поскольку при наложении появилось 2 пары красных и 3 пары синих, на каждой стороне осталось по 1 красному, 2 синих и 8 белых. две красно-белые пары забирают по 1 красному и 1 белому, и остается по 2 синих и 7 белых с каждой стороны. оставшиеся синие треугольники не могут образовывать пары, так как все синие пары мы уже посчитали. следовательно, у нас имеется 4 бело-синие пары. с каждой стороны осталось по 5 белых треугольников, значит, всего будет 5 белых пар. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/2979?SubjectId=7&Page=11",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
shkolkovo-94170 | существует ли клетчатая фигурка, из любого количества которых можно сложить шестиугольник (без пропусков и наложений)? | да, существует, например, 4 — клеточная фигура в виде буквы “г” | пример: при нечётном n=2k+1 (где k — целое неотрицательное число) рассмотрим одну фигурку, к которой к стороне, равной 2 (см. рис. 1 ), приставим прямоугольник размера 2\times4k, состоящий из k прямоугольников 2\times4 (“кирпичей”), каждый из которых в свою очередь состоит из двух фигурок “г”. при чётном n=2k (где k — натуральное число) к фигуре, состоящей из двух фигурок (см. рис. 2 ), к стороне 2 аналогично подсоединим (k-1) “кирпич”. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/2979?SubjectId=7&Page=11",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
shkolkovo-94171 | каким наименьшим количеством одинаковых картонных клетчатых фигур, изображённых ниже, можно полностью покрыть квадрат 6\times6 клеток? фигуры могут пересекаться и вылезать за пределы квадрата. | 8 | семи фигур не хватит, поскольку 7\times5<6\times6. пример для 8 фигур легко строится: двумя такими фигурками легко покрыть квадрат 3\times3, а квадрат 6\times6 состоит из четырёх квадратов 3\times3. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/2979?SubjectId=7&Page=11",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
shkolkovo-94173 | закрасьте наименьшее количество клеток таблицы 4\times4 (см. рисунок) так, чтобы оставшаяся фигура удовлетворяла следующим условиям: в каждой строчке и в каждом столбце все цифры различны. | 4 цифры | заметим, что в таблице по 6 троек и четверок. а в оставшейся фигуре каждая цифра может встречаться максимум 4 раза — по разу в каждом столбце. поэтому нужно закрасить как минимум две тройки и две четверки. пример — на картинке. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/2979?SubjectId=7&Page=11",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
shkolkovo-94204 | разрежьте квадрат 5\times5 клеток на пять фигурок, приведенных на картинке. фигурки можно поворачивать и переворачивать. | например, так: | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/2979?SubjectId=7&Page=11",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
|
shkolkovo-94206 | паша расставил на шахматной доске 10 ладей. после этого лера начинает ставить дополнительные ладьи на пустые клетки. лера может поставить ладью, если она угрожает не менее чем трём уже имеющимся на доске ладьям. мог ли паша расставить ладьи изначально так, чтобы лера могла заполнить ладьями всю доску? | да | приведем пример. паша мог расставить ладьи так: очевидно, что лера может заполнить ладьями всю нижнюю строку и весь правый столбец. после этого она поставит ладьи на седьмую клетку верхней строки (поле g8 ) и первую клетку седьмой строки (поле a2 ) и получит такое же поле размера 7\times7. дальше она будет действовать по такому же алгоритму. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/2979?SubjectId=7&Page=11",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
shkolkovo-94231 | разрежьте фигуру на картинке на 4 равные части по линиям клеточек. части считаются равными, если их можно наложить друг на друга так, чтобы они полностью совпали. | пример разрезания приведен на картинке. возможно, он не единственный. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/2979?SubjectId=7&Page=12",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
|
shkolkovo-94233 | у димы есть таблица 4\times4 (см. рис.) он может за ход взять любой столбец и увеличить на 1 любые числа (не обязательно все) в этом столбце. такую же операцию он может проводить с любой строкой. какое наименьшее число ходов ему потребуется, чтобы сделать все числа равными? | 8 | оценка: ясно, что все числа будут не меньше 4. тогда каждую из единиц на главной диагонали надо увеличить минимум по 3 раза, а каждую из троек — минимум по разу. все эти числа не попадают в один ряд. пример. сначала в каждом из столбцов прибавим 1 ко всем числам, кроме четверок. мы сделали 4 хода и получили следующую таблицу: теперь сделаем то же самое с первым и четвертым столбцом (2 хода), а потом - с первой и четвертой строкой (еще 2 хода). | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/2979?SubjectId=7&Page=12",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
shkolkovo-94327 | саша поставил на доску 6\times6 несколько фишек (в одной клетке может стоять максимум одна фишка). оказалось, что во всех строках стоит разное количество фишек и во всех столбцах стоит разное количество фишек. сколько всего фишек мог поставить саша? укажите все варианты ответа. | 15 или 21 | посмотрим на строки. сколько фишек может стоять в одной строке? ясно, что от 0 до 6. то же самое справедливо для столбцов. предположим, в какой-то строке стоит 0 фишек. тогда не найдется столбца, в котором стоит 6 фишек (этот столбец вносит по фишке в каждую строку)! тогда в столбцах могут стоять числа от 0 до 5. их шесть, как и столбцов. значит, все они встречаются по одному разу. тогда всего фишек в таблице 0+1+2+3+4+5=15 (мы сложили все столбцы). теперь предположим, что строки, в которой 0 фишек, нет. тогда в строках могут стоять числа от 1 до 6. их тоже шесть, и тогда в таблице всего 1+2+3+4+5+6=21 фишек. приведем пример, что оба варианта могут реализоваться. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/2979?SubjectId=7&Page=12",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
shkolkovo-94329 | михаил закрасил некоторые клетки квадрата 6\times6. оказалось, что никакие две из закрашенных клеток не имеют ни общей стороны, ни общей вершины. какое наибольшее количество клеток мог закрасить михаил? | 9 | разобьем доску на 9 квадратов 2\times2. заметим, что ни в одном таком квадрате не может оказаться две закрашенных клетки, потому что они заведомо граничат друг с другом. отсюда следует, что в каждом из квадратов их не больше одной, тогда всего их не больше 9. пример на 9: в первой, третьей и пятой строках закрасим первую, третью и пятую клетки. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/2979?SubjectId=7&Page=12",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
shkolkovo-96553 | на шахматной доске стоял 21 король. каждый из королей находился под боем хотя бы одного из остальных. после того как несколько королей убрали, никакие два из оставшихся королей друг друга не бьют. какое наибольшее число королей могло остаться? | 16 | заметим, что каждый король, снятый с доски, мог бить не более 4 из оставшихся (иначе и некоторые из оставшихся били бы друг друга). поэтому число оставшихся королей не может превосходить число снятых более чем в 4 раза, то есть не может быть больше 16. пример приведён на рисунке: серым обозначены короли, которых необходимо убрать. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3886?SubjectId=7&Page=3",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [
"попробуйте оценить, сколько снятый король бил королей, которые остались на доске.",
"верно! он бил максимум 4 короля. попробуйте оценить количество королей, которые остались через количество снятых королей.",
"правильно! королей которые остались не более, чем в 4 раза больше, чем количество снятых. теперь попробуйте оценить количество оставшихся королей числом, зная, что 21 - количество снятых = количеству оставшихся.",
"верно! количество оставшихся не более 16. осталось только привести пример."
] |
shkolkovo-96566 | в каждой клетке таблицы 5\times5 записано по одной букве так, что в любой строке и в любом столбце не больше трёх различных букв. какое наибольшее число различных букв может быть в такой таблице? | 11 | если в каждой строке не больше двух различных букв, то общее их число не превосходит 10=5\cdot2 . далее можно считать, что в первой строке ровно три различных буквы. если каждая из оставшихся строк имеет хотя бы одну общую букву с первой, то общее число букв не превосходит 3+4\cdot2=11 . пусть имеется строка, можно считать, вторая, в которой три различных буквы, отличных от букв первой строки. тогда в каждом столбце кроме букв первой и второй строк может быть не более одной новой буквы, всего не более 3+3+5\cdot1=11 . пример расстановки 11 различных букв: по главной диагонали таблицы из левого нижнего угла в правый верхний записаны первые пять различных букв, по соседней снизу диагонали — следующие четыре, в левом верхнем углу — десятая, а в остальных клетках — одиннадцатая буквы. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3445?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
shkolkovo-39312 | в рамке 8\times8 шириной в 2 клетки (см. рисунок) всего 48 клеточек. сколько клеточек в рамке 255\times255 шириной в 2 клетки? | 2024 | это количество можно посчитать как разность количества клеток в квадрате 255\times255 и количества клеток в квадрате 251\times251 (размер пустого квадрата в рамке). это равно 255^{2}-251^{2}=(255-251)(255+251)=4\cdot506=2024 . | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3886?SubjectId=7&Page=4",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [
"хочется как-то обобщить ответ, найти "закономерность" для любой рамки n×n шириной в 2 клетки. как найти ответ в общем виде?",
"для любой рамки n×n шириной в 2 клетки внутри вырезан квадрат размера (n-4)×(n-4).",
"если бы внутренний квадрат был не вырезан, то размер заполненной рамки или, правильнее сказать, квадрата был бы равен n×n.",
"бинго! тогда количество клеток рамки можно было бы вычислить по формуле n^2-(n-4)^2=8*n-16"
] |
shkolkovo-72053 | в клетках таблицы 10\times10 расставлены числа 1,2,3,...,100 так, что сумма чисел, расположенных в любом квадратике 2\times2, не превосходит S. найдите наименьшее возможное значение S. | 202 | разобьём таблицу 10\times10 на 25 квадратов 2\times2. поскольку сумма чисел во всей таблице равна 1+2+...+100=(100\cdot101)/(2)=5050, среднее арифметическое сумм чисел в этих 25 квадратах равно 202. значит, хотя бы в одном квадрате сумма чисел не меньше 202, то есть S≥202. пример расстановки, при которой реализуется значение S=202, приведён на рисунке. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3466?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [
"попробуйте посчитать сумму чисел, стоящих в квадрате двумя способами, и сравнить результаты.",
"с одной стороны сумма чисел равна 1 + 2 + ... + 100 = 5050. а как можно оценить эту же сумму, используя s?"
] |
shkolkovo-75304 | при каких натуральных n в клетки доски n\timesn можно расставить буквы I,M,O (в каждую клетку одну из букв) так, чтобы в каждой строке было поровну букв I,M,O ; в каждом столбце было поровну букв I,M,O ; в каждой диагонали, состоящей из 3k клеток, было поровну букв I,M,O? | при всех n, кратных 9 | сначала мы покажем, что такая таблица существует, когда n кратно 9. рассмотрим следующую доску 9\times9, которую назовем базовой. (_{|_{MMMOOOIII_{OOOIIIMMM_{IIIMMMOOO_{MMMOOOIII_{OOOIIIMMM_{IIIMMMOOO_{MMMOOOIII_{OOOIIIMMM}}}}}}}}^{IIIMMMOOO}}\( \lfloor \)_{|} для n=9k, где k — натуральное число, мы формируем доску n\timesn, используя k\timesk копий базовой доски. для каждой строки и каждого столбца размером n, поскольку для любых девяти последовательных полей имеется три I, три M и три O, количество вхождений букв I,M и O равны. кроме того, каждая диагональ большой таблицы, количество полей которой делится на 3, пересекает каждую копию базовой доски по диагонали с количеством записей, кратным 3 (возможно, нулю). следовательно, каждая такая диагональ также содержит одинаковое количество вхождений каждой из букв I,M и O. далее рассмотрим произвольную доску n\timesn, для которой могут быть выполнены указанные условия. количество вхождений букв в каждую из строк должно быть кратно 3, следовательно n=3k, где k — натуральное число. разобьем всю доску на k\timesk копий квадратов 3\times3. назовем поле в центре каждого квадрата 3\times3 важным полем. назовем важной линию любую строку, столбец или диагональ, содержащую хотя бы одно важное поле. посчитаем количество пар (l,c), где l — важная линия, а c — поле, принадлежащая l и содержащая букву M. пусть это число будет N. с одной стороны, поскольку каждая важная строка содержит одинаковое количество букв I,M и O, очевидно, что каждая важная строка и каждый важный столбец содержат k вхождений буквы M. для важных диагоналей в любом направлении мы считаем, что существует ровно 1+2+...+(k-1)+k+(k-1)+...+2+1=k^{2} вхождений M. следовательно, имеем N=4k^{2}. с другой стороны, во всей таблице 3k^{2} вхождений M. заметим, что каждое поле принадлежит ровно 1 или 4 важным линиям. следовательно, N должно быть сравнимо с 3k^{2}mod3. в результате двойного подсчета мы получаем 4k^{2}≡3k^{2}(mod3), следовательно k кратно 3. следовательно, n должно быть кратно 9, что завершает доказательство. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/2979?SubjectId=7&Page=12",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
shkolkovo-39360 | квадрат с вершинами в узлах сетки и сторонами длиной 2015 , идущими по линиям сетки, разрезали по линиям сетки на несколько прямоугольников. верно ли, что среди них есть хотя бы один прямоугольник, периметр которого делится на 4 ? в ответ внесите “да” или “нет”. | да | пусть такого прямоугольника не нашлось. периметр прямоугольника со сторонами a и b равен 2(a+b) . раз это число не делится на 4 , то сумма длин сторон должна быть нечётна. это возможно только если длины сторон разной чётности. но тогда площадь прямоугольника должна быть чётным числом. получается, что исходный квадрат должен быть разбит на прямоугольники чётной площади. тогда и площадь самого квадрата должна быть чётной, но она равна 2015^{2} — противоречие. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3886?SubjectId=7&Page=4",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [
"в условии задачи нас спрашивают про делимость на 4. тогда, наверное, задача будет как-то построена вокруг вопроса чётности-нечётности. если мы рассмотрим произвольный прямоугольник, то понятно, как будет выражаться его периметр. что тогда нужно от сторон прямоугольника для выполнения условия?",
"верно, нужно, чтобы сумма двух сторон прямоугольника была чётной. а что если это не так? не забывайте, что нам дана сторона исходного квадрата, численное значение которого имеет значение.",
"ага, если наша сумма не является чётной, то она нечётна. значит, стороны будут разной чётности. но что тогда можно сказать про площадь такого прямоугольника? а про площадь исходного квадрата? получите противоречие и победа!"
] |
shkolkovo-100072 | в квадрате 100\times100 клетки покрашены в синий и зеленый цвета. причем на диагонали из левого верхнего угла в правый нижний есть 50 синих и 50 зеленых клеток. докажите, что из доски всегда можно вырезать 50 доминошек с разноцветными клетками. | соединим самую верхнюю зеленую клетку на диагонали с самой нижней синей, двигаясь вниз по вертикали до горизонтали, где стоит эта синяя клетка, а потом вправо по горизонтали. то же проделаем со второй сверху зеленой и второй снизу синей диагональными клетками и т.д., доколе возможно. когда станет невозможно, все оставшиеся на диагонали зеленые клетки будут ниже всех оставшихся синих. соединим самую нижнюю из оставшихся зеленых клеток с самой верхней из оставшихся синих, двигаясь вверх по вертикали до горизонтали, где стоит эта синяя клетка, а потом — влево по горизонтали. то же проделаем со второй снизу из оставшихся зеленых и второй снизу из оставшихся синих диагональных клеток и т.д. в итоге у нас получится 50 непересекающихся путей, у каждого из которых разноцветные концы. очевидно, на каждом из таких путей окажется хотя бы по одной разноцветной паре соседних по стороне клеток, так что мы сможем вырезать 50 искомых доминошек. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/2979?SubjectId=7&Page=12",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
|
shkolkovo-100079 | дан клетчатый квадрат 100\times100. каждый из 100 единичных квадратиков, стоящих на диагонали из левого верхнего угла в правый нижний, разрезали по диагонали: в верхних 50 -ти вдоль диагонали большого квадрата, а в нижних — перпендикулярно ей. остальные квадратики тоже разбили, но уже произвольным образом. какое наибольшее количество параллелограммов, составленных из двух половин соседних квадратиков, заведомо можно найти на получившейся картинке? | 100 | оценка. окрасим в белый (черный) цвет клетки, в которых диагонали проведены как в левой верхней (правой нижней) клетке. задача свелась к поиску количества пар соседних одноцветных клеток. пройдем от белой клетки (1,1) к черной клетке (100,100) по верхней строке и правому столбцу. всего на этом пути нечетное число (199) клеток, поэтому чередоваться по цвету они не могут. значит, найдется пара одноцветных соседей. такая же пара найдется на втором пути (по левому столбцу и нижней строке), соединяющем эти две клетки. аналогично соединим двумя путями клетки (2,2) и (99,99),(3,3) и (98,98),...,(50,50) и (51,51). на каждом таком пути будет пара одноцветных соседей и все эти 100 пар разные. пример. на рисунке приведена раскраска доски 8\times8, где есть ровно 8 пар одноцветных соседей. раскраска доски 100\times100 строится аналогично (сначала красим все клетки в шахматном порядке, а потом в правом нижнем квадрате 50\times50 заменяем цвета всех клеток на противоположные). | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/2979?SubjectId=7&Page=12",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
shkolkovo-73402 | прямоугольная таблица состоит из 5681 одинаковых клеток. петя и вася пронумеровали клетки натуральными числами 1,2,...,5681 подряд. петя нумеровал клетки по строкам слева направо (сначала первую строку, затем вторую и т. д.), а вася по столбцам сверху вниз (сначала первый столбец, затем второй и т. д.). оказалось, что ровно в 5 клетках их номера совпали. чему равна сумма числа строк и числа столбцов в этой таблице? | 450 | пусть в таблице m строк и n столбцов, а клетка, получившая одинаковые номера, расположена в строке с номером i и в столбце с номером j. тогда, если считать по строкам, в этой клетке стоит число (i-1)n+j, а если считать по столбцам, то это (j-1)m+i. следовательно, (i-1)n+j=(j-1)m+i, что равносильно (i-1)(n-1)=(j-1)(m-1). если m=1 или n=1, то номера пети и васи совпадут во всех клетках. значит, m>1 и n>1. пусть d=(m-1,n-1), тогда n-1=pd,m-1=qd, где (p,q)=1. получаем (i-1)p=(j-1)q. поэтому i-1=kq,j-1=kp,k=0,1,...,d, так как j-1\leqn-1=pd, аналогично с i-1. следовательно, количество клеток, получивших одинаковые номера, равно d+1=(n-1,m-1)+1. так как 5681=13\cdot19\cdot23, то n=13,m=19\cdot23=437 или, наоборот, n=437,m=13 (чтобы убедиться, что других вариантов нет, достаточно перебрать остатки по модулю 4). в любом случае, m+n=450. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3463?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
shkolkovo-75301 | назовем расстановку нескольких ладей на доске n\timesn хорошей, если в каждой строке и в каждом столбце стоит ровно 1 ладья. при каком наибольшем натуральном l можно утверждать, что на доске найдется квадрат l\timesl (по линиям сетки), внутри которого нет ладей? | L\sqrt{n-1}⌊ | мы покажем, что (i) если n>\ell^{2}, то любая хорошая расстановка содержат пустой квадрат \ell\times\ell, но (ii) если n\leq\ell^{2} то существует хорошая расстановка, которая его не содержит. (i). предположим, что n>\ell^{2}. рассмотрим произвольную хорошую счастливую расстановку. существует ряд R, в крайнем левом поле которого стоит ладья. рассмотрим \ell последовательных строк, одной из которых является R. их объединение U содержит ровно \ell ладей.теперь удалите крайние левые столбцы n-\ell^{2}≥1 из U (таким образом будет удалена хотя бы одна ладья). оставшаяся часть представляет собой прямоугольник \ell^{2}\times\ell, поэтому его можно разбить на \ell квадраты размером \ell\times\ell, и эта часть содержит не более \ell-1 ладьи. таким образом, один из этих квадратов пуст. (ii). теперь предположим, что n\leq\ell^{2}. сначала мы построим хорошую расстановку без пустого квадрата \ell\times\ell для случая n=\ell^{2}. после этого мы изменим его, чтобы он работал при меньших значениях n. пронумеруем строки снизу вверх, а столбцы слева направо числами 0,1,...,\ell^{2}-1. каждое поле доски будем обозначать, как обычно, парой (r,c) номеров его строки и столбца. теперь расставим ладьи на всех полях вида (i\ell+j,j\ell+i), где i,j=0,1,...,\ell-1 (на рисунке ниже показано расположение для \ell=3 ). поскольку каждое число от 0 до \ell^{2}-1 имеет уникальное представление вида i\ell+j(0\leqi,j\leq\ell-1), каждая строка и каждый столбец содержат ровно одну ладью. далее, мы покажем, что в каждом \ell\times\ell квадрате A на доске есть ладья. рассмотрим такой квадрат A и рассмотрим \ell последовательных строк, объединение которых содержит A. пусть самая нижняя из этих строк имеет номер p\ell+q с 0\leqp,q\leq\ell-1 (обратите внимание, что p\ell+q\leq\ell^{2}-\ell ). тогда ладьи в этом союзе расставляются по столбцам с номерами q\ell+p,(q+1)\ell+p,...,(\ell-1)\ell+p,p+1,\ell+(p+1),...,(q-1)\ell+p+1 или, расположив эти числа в порядке возрастания, p+1,\ell+(p+1),...,(q-1)\ell+(p+1),q\ell+p,(q+1)\ell+p,...,(\ell-1)\ell+p легко проверить, что первое число в этом списке не превосходит \ell-1 (если p=\ell-1, то q=0, а первое число в списке — q\ell+p=\ell-1 ), последнее не превышает (\ell-1)\ell, а разница между любыми двумя последовательными числами не превышает \ell. таким образом, один из \ell последовательных столбцов, пересекающих A, содержит число, указанное выше, и ладья в этом столбце находится внутри A, что и требовалось. конструкция для n=\ell^{2} установлена. осталось построить хорошую расстановку ладей, не содержащую пустого поля \ell\times\ell для n<\ell^{2}. для этого возьмем описанную выше конструкцию для квадрата \ell^{2}\times\ell^{2} и удалим нижние строки \ell^{2}-n вместе с \ell^{2}-n крайние правые столбцы. мы получим расстановку без пустого поля \ell\times\ell, но некоторые строки и столбцы могут оказаться пустыми. очевидно, что количество пустых строк равно количеству пустых столбцов, поэтому между ними можно найти биекцию и поставить ладью на любое пересечение пустой строки и пустого столбца, соответствующих друг другу. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/2979?SubjectId=7&Page=12",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
shkolkovo-81577 | все клетки квадратной таблицы n\timesn пронумерованы в некотором порядке числами от 1 до n^{2}. петя делает ходы по следующим правилам. первым ходом он ставит фишку в любую клетку. каждым последующим ходом петя может либо поставить новую фишку на какую-то клетку, либо переставить фишку из клетки с номером a ходом по горизонтали или по вертикали в клетку с номером большим, чем a. каждый раз, когда фишка попадает в клетку, эта клетка немедленно закрашивается; ставить фишку на закрашенную клетку запрещено. какое наименьшее количество фишек потребуется пете, чтобы независимо от исходной нумерации он смог за несколько ходов закрасить все клетки таблицы? | n | покажем, что n ладей достаточно. для этого заметим, что на каждую строку хватит одной ладьи: можно поставить её в клетку строки с минимальным номером, а затем обойти все клетки строки в порядке возрастания номеров. с другой стороны, покажем, что меньше, чем n ладей, может и не хватить. для этого пронумеруем клетки так, чтобы клетки одной диагонали были пронумерованы 1,2,...,n (остальные клетки нумеруем произвольно). тогда одна ладья не сможет побывать на двух клетках этой диагонали: если ладья встала на одну из этих клеток, то следующим ходом она обязана будет пойти на клетку с номером, большим n, и значит, после этого она не сможет вернуться на диагональ. наконец, поскольку на каждой клетке диагонали должна побывать ладья, пете придётся использовать не менее n ладей. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/6007?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
shkolkovo-41256 | клетчатая доска 100\times100 раскрашена в шахматном порядке. какое наибольшее число черных клеток доски можно отметить так, чтобы не нашлось параллелограмма с вершинами в центрах отмеченных клеток? | 149 | рассмотрим расстояния между выбранными клетками в каждой строке. они могут принимать значения 2,...98. при этом если в строке k клеток, то различных расстояний в ней хотя бы k-1 (от крайней клетки до всех). если в каких-то двух строчках нашлись два равных расстояния, то 4 точки образуют параллелограмм, потому такого быть не может. отсюда каждое расстояние встречается не более одного раза (рассматривая только k-1 различных из каждой строки). то есть \sum_{\imath≈1}^{100}(k_{\imath}-1)\leq49 — сумма числа расстояний по всем строкам и \sumk_{\imath}\leq149. осталось привести пример. для этого выберем все клетки на большой диагонали и на любой из смежных с ней сторон. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3432?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [
"попробуем проанализировать условие. нарисуйте на шахматной доске параллелограмм. что его существование означает в контексте расстояний между клетками в разных строках..",
"да, если нашелся параллелограмм, это значит, что в двух разных строках совпали расстояния между двумя какими-то клетками. подумайте, какие вообще на доске бывают расстояния. и что каждое встречается не более одного раза.",
"но в каждой строке их хотя бы сколько? давайте посмотрим для фиксированной клетки какой-то расстояния и попробуем оценить количество различных расстояний снизу. а затем и построить пример!"
] |
shkolkovo-72054 | в квадратной таблице размером 100\times100 некоторые клетки закрашены. каждая закрашенная клетка является единственной закрашенной клеткой либо в своем столбце, либо в своей строке. какое наибольшее количество клеток может быть закрашено? | 198 | пример. закрасим все клетки одной строки и все клетки одного столбца, за исключением их общей клетки. в этом случае условие задачи выполнено и закрашено ровно 198 клеток. оценка. для каждой закрашенной клетки выделим ту линию (строку или столбец), в которой она единственная закрашенная. при этом не может быть выделено больше 99 строк. действительно, если выделено 100 строк, то каждая закрашенная клетка — единственная именно в своей строке, но тогда закрашенных клеток — не более 100. аналогично не может быть выделено и больше 99 столбцов. поэтому выделенных линий, а значит, и закрашенных клеток, не более чем 198. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/4102?SubjectId=7&Page=4",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
shkolkovo-92122 | на доске 8\times8 стоят 8 не бьющих друг друга ладей. все клетки доски распределяются во владения этих ладей по следующему правилу. клетка, на которой стоит ладья, отдаётся этой ладье. клетку, которую бьют две ладьи, получает та из ладей, которая ближе к этой клетке; если же эти две ладьи равноудалены от клетки, то каждая из них получает по полклетки. докажите, что площади владений всех ладей одинаковы. | ладья A бьёт всего 15 клеток — в своей вертикали и своей горизонтали. рассмотрим другую клетку c в этой горизонтали. её бьёт еще ровно одна ладья B, находящаяся с ней в одной вертикали. эта же ладья бьёт одну клетку D, находящуюся с A в одной вертикали. A,B,C,D — угловые клетки клетчатого прямоугольника. если этот прямоугольник — квадрат, ладьям A и B достанется по половине от клеток C и D. если же он — не квадрат, то одна из клеток C и D достанется ладье A, а другая — ладье B. отсюда ясно, что ладье A всего достанется 8 клеток: та, на которой она стоит, и половина от оставшихся 14 клеток. то же верно для каждой ладьи. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/2979?SubjectId=7&Page=12",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [
"рассмотрим произвольную ладью и любую клетку, находящуюся с ней в одной горизонтали. сколько еще ладей могут бить эту клетку?",
"действительно, эту клетку бьет ровно одна ладья! рассмотрим теперь эту ладью и ту, что выбрали ранее. есть ли у них еще общие клетки?",
"еще одна их общая клетка находится на пересечении горизонтали второй ладьи и вертикали первой ладьи. а как будут распределены эти клетки между ладьями?",
"конечно, эти клетки будут распределены только между двумя рассматриваемыми ладьями в зависимости от того, образуют строки и столбцы, в которых находятся ладьи, прямоугольник или квадрат. что произойдет в случае прямоугольника?",
"конечно, каждая ладья получает по целой клетке. в случае квадрата каждая ладья получает по пол клетки. получается, что по площади клетки одинаково распределяются между двумя ладьями. какова тогда площадь владений одной ладьи?"
] |
|
shkolkovo-92079 | в таблицу 25\times25 вписали числа 1,2,3,...,25 , каждое по 25 раз так, что для одной из диагоналей сумма чисел над ней оказалась ровно в три раза больше суммы чисел под этой диагональю. найдите число, вписанное в центральную клетку таблицы. | 13 | над (под) диагональю находится 25\cdot24/2=300 чисел. заметим, что сумма 300 наибольших чисел таблицы (14, 15, ... , 25, взятые по 25 раз) равна 25\cdot((14+25)\cdot12)/(2) и ровно в три раза больше суммы 300 наименьших чисел (1, 2, …, 12, взятые по 25 раз), которая равна 25\cdot((1+12)\cdot12)/(2) . обозначим A=25\cdot((1+12)\cdot12)/(2) . тогда если над диагональю есть число меньше 14, то там сумма меньше, чем 3A , а под диагональю всегда хотя бы A ?! значит, над диагональю все максимальные числа и аналогично под диагональю все минимальные числа. тогда все числа на диагонали равны 13. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/5979?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
shkolkovo-101569 | на доске 100\times100 стоят 2500 не бьющих друг друга королей. какое наименьшее количество королей может стоять на краю доски? | 99 | клетки, не лежащие на краю доски 100\times100, образуют квадрат 98\times98. разобьем его на квадраты 2\times2. в каждом из них стоит не более одного короля, то есть всего королей во внутренних клетках доски — не более 49^{2}=2401. поэтому на краю доски стоят не менее 99 королей. теперь разобьем на квадраты 2\times2 всю доску 100\times100, и поставим по королю в левую верхнюю клетку каждого из них. получим 2500 королей, не бьющих друг друга, из которых на краю стоят ровно 99. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/2979?SubjectId=7&Page=12",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [
"нас спрашивают про королей, которые стоят на краю. но ведь это те, которые не стоят в центре. значит, мы хотим максимизировать число королей в центральных клетках.",
"можно оценить число королей в центральных клетках, разбив прямоугольник без краёв на квадраты 2*2."
] |
shkolkovo-69409 | во время матча “цска” - “реал” пришедший с шахматного кружка незнайка задумался: при каком наибольшем n на шахматное поле 8\times8 можно поставить n коней, n королей и 1 футбольный мяч (занимает одну клетку, но бить не умеет) так, чтобы не было фигуры, стоящей под боем другой фигуры? помогите ему решить эту задачу. | 11 | предположим, что на поле можно разместить фигуры при n≥12 , тогда можно разместить и при n=12 . разобьём поле на 16 квадратов 2\times2 , тогда ровно в 12 из них будут стоять по 1 королю («к»), а в 4 других - 12 коней-лошадей («л») и 1 мяч, т.е. 13 фигур, значит, пустых квадратов быть не должно. соответственно, квадраты будем называть к-квадраты и л-квадраты. заметим, что если хотя бы в одном из л-квадратов две «л» стоят у общей стороны с другим квадратом, то этот соседний квадрат не будет содержать «к», значит, он должен быть л-квадратом, но тогда в сумме в этих двух квадратах разместится не более 4 фигур, т.к. клетки прямоугольника 2\times4 разбиваются на пары в виде хода «л», а во всех 4 л-квадратах разместится не более 4+2\cdot4=12 фигур, а должно быть 13. кроме того, не существует л-квадратов с 4 «л» (аналогичные рассуждения). значит, в каждом л-квадрате будет ровно 3 «л» и никакие 2 «л» не могут стоять парой у общей стороны с другим квадратом, следовательно, такие л-квадраты находятся в углах поля 8\times8 и 3 «л» стоят с краю всего поля, причём в одном из них ещё стоит и мяч. тогда из двух выделенных на поле квадратов хотя бы один должен оказаться пустым противоречие. значит, n\leq11 . для n=11 уже можно построить пример. отметим слоном мяч и поставим королей и коней. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3412?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [
"в задачах на ходы необычных фигур полезно бывает выделить области, в которых мы точно сможем оценить количество фигур. какие несложные фигуры для разбиения можно выбрать?",
"на квадраты 2*2! сколько королей и коней можно поставить в каждую из них? квадраты с королями рассмотреть несложно, а о расположении коней нужно подумать. какое их взаимное расположение внутри квадрата допустимо?",
"заметим, что кони и короли стоят в разных квадратах, а случай двух коней у границы отданного квадрата требует отдельного рассмотрения. осталось лишь точно оценить количество коней в квадратах и построить пример!"
] |
shkolkovo-72058 | грани куба 9\times9\times9 разбиты на единичные клетки. куб оклеен без наложений бумажными полосками 2\times1 (стороны полосок идут по сторонам клеток). докажите, что число согнутых полосок нечетно. | покрасим клетки каждой грани куба в шахматном порядке так, чтобы угловые клетки были чёрными. при этом каждая грань содержит 41 чёрную и 40 белых клеток. заметим, что все согнутые полоски будут одноцветными, а все остальные — нет. так как количество чёрных клеток на 6 больше чем количество белых, то число чёрных согнутых полосок на 3 больше чем число белых. следовательно, эти числа разной чётности, и их сумма нечётна. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/4170?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
|
shkolkovo-72075 | дана доска 15\times15. некоторые пары центров соседних по стороне клеток соединили отрезками так, что получилась замкнутая несамопересекающаяся ломаная, симметричная относительно одной из диагоналей доски. докажите, что длина ломаной не больше 200. | ясно, что ломаная пересекает диагональ. пусть A — одна из вершин ломаной, лежащая на диагонали. будем двигаться по ломаной, пока не попадём в первый раз снова в вершину B, лежащую на диагонали. из симметрии, если двигаться по ломаной из A в другую сторону, то B также окажется первой вершиной на диагонали, в которую мы попадём. при этом ломаная уже замкнётся, поэтому через остальные 13 центров клеток на диагонали ломаная не проходит. раскрасим доску в шахматном порядке так, чтобы диагональ была чёрной. заметим, что на нашей ломаной белые и чёрные клетки чередуются, поэтому их количества равны. всего на доске (15^{2}+1)/(2)=113 чёрных клеток. поскольку клетки диагонали чёрные и ломаная не проходит через 13 из них, то она проходит не более чем через 100 чёрных клеток. итого длина ломаной не более 2\cdot100=200. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/4168?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
|
shkolkovo-93284 | в таблице 2\timesn расставлены положительные числа так, что в каждом из n столбцов сумма двух чисел равна 1. докажите, что можно вычеркнуть по одному числу в каждом столбце так, чтобы в каждой строке сумма оставшихся чисел не превосходила (n+1)/(4). | пусть в верхней строке стоят числа a_{1},a_{2},...,a_{n}. можно считать, что a_{\imath} стоит в i- ом столбце и a_{1}\leqa_{2}...\leqa_{n} (этого можно достигнуть перестановкой столбцов). тогда в нижней строке соответственно стоят числа b_{1}=1-a_{1},...b_{n}=1-a_{n}. легко видеть, что b_{1}≥b_{2}≥...≥b_{n}. если a_{1}+a_{2}+...+a_{n}\leq(n+1)/(4), то можно вычеркнуть все числа нижней строки. в противном случае найдем наименьшее такое k, что a_{1}+a_{2}+...+a_{k}>(n+1)/(4). вычеркнем из верхней строки все числа a_{k},a_{k+1},...,a_{n}, а из нижней — числа b_{1},b_{2},...,b_{k-1}. тогда имеем a_{1}+a_{2}+...+a_{k-1}\leq(n+1)/(4) заметим, что a_{k}≥(a_{1}+a_{2}+...+a_{k})/(k) >(n+1)/(4k) (в силу выбора k). тогда b_{k}+b_{k+1}+...+b_{n}\leq(n+1-k)b_{k}=(n+1-k)(1-a_{k})<(n+1-k)(1-(n+1)/(4k)) заметим, что (n+1-k)(1-(n+1)/(4k))=(5)/(4)(n+1)-((n+1)^{2}-(2k)^{2})/(4k) \leq(5)/(4)(n+1)-(4(n+1)k)/(4k)=(n+1)/(4) | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/4170?SubjectId=7&Page=2",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [
"первым делом давайте упорядочим числа в верхней строке по возрастанию. ясно, что числа под ними тогда убывают. что же если сумма чисел в верхней строке меньше либо равна (n+1)/4, то можем зачеркнуть все числа из нижней. однако могло так и не повезти, какие числа тогда естественно попробовать оставить в верхней строке?",
"в таком случае найдётся k, для которого сумма чисел, меньших k-ого по величине меньше (n+1)/4. ясно, что нам нужно оставить в верхней строке числа с как можно большей суммой, потому логично попробовать найти максимальное такое k и зачеркнуть в верхней строке все числа, начиная с k-ого по величине.",
"осталось оценить сумму чисел в нижней строке под вычеркнутыми сверху - это n+1-k наименьших чисел нижней строки. в силу выбора k можем оценить k-ое по величине число сверху, оно хотя бы (n+1)/4k, а отсюда можно оценить и числа под зачёркнутыми как (1-(n+1)/4k). так, умножив оценку одного числа на их количество, получаем оценку и на сумму незачёркнутых чисел в нижней строке."
] |
|
shkolkovo-75916 | в ячейки куба 11\times11\times11 поставлены по одному числа 1,2,...,1331. из одного углового кубика в противоположный угловой отправляются два червяка. каждый из них может проползать в соседний по грани кубик, при этом первый может проползать, если число в соседнем кубике отличается на 8, второй — если отличается на 9. существует ли такая расстановка чисел, что оба червяка смогут добраться до противоположного углового кубика? | не существует | предположим, что существует такая расстановка чисел, что оба червяка доберутся до противоположного углового кубика. пусть числа, стоящие в начальном и конечном угловых кубиках равны a и b соответственно. можно считать, что a<b. заметим, что числа a и b отличаются по крайней мере на 10\cdot3\cdot9, так как второй червяк сделал хотя бы 10\cdot3 ходов (как минимум по 10 в каждом из трех направлений). также можно считать, что каждый червяк не заползает в каждый кубик больше одного раза (иначе путь от этого кубика до него же можно опустить). тогда первый червяк должен последовательно проползти через кубики с числами a,a+8,a+16,a+24,...,a+72,...,b. второй должен последовательно проползти через кубики с числами a,a+9,a+18,a+27,...,a+72,...,b. рассмотрим теперь шахматную раскраску нашего куба. можно считать, что кубик с числом a покрашен в черный цвет. заметим, что соседние по грани кубики должны иметь разные цвета. это означает, что кубики с числами a,a+18,a+36,...,a+72 должны быть покрашены в черный цвет (следует из пути 2 -ого червы), а кубики a+8,a+24,a+40,...,a+72 должны быть покрашены в белый цвет (следует из пути 1 -ого червя). то есть кубик с числом a+72 должен быть покрашен и в черный, и в белый цвета. полученное противоречие завершает доказательство. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/2979?SubjectId=7&Page=13",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [
"для начала поймите, сколько ходов точно потребуется червякам, чтоб дойти до конечной клетки.",
"чтоб дойти до конечной клетки надо сделать хотя бы 30 ходов. пусть в начальной клетке стоит число a, а в конечной b. можно считать, что a < b. клетки с какими номерами тогда точно должны пройти эти червячки?",
"правильно! первый червячок должен идти по клеткам с номерами a + 8k, а второй по клеткам с номерами a + 9k. теперь стоит подумать, есть ли у путей первого и второго червяки общие клетки.",
"на самом деле есть. например клетка с номером a + 72. если покрасить в шахматную раскраску клетки, то какого цвета будет клетка для каждого из червяков (если начальная клетка черная)?"
] |
shkolkovo-97454 | в прямоугольной таблице 9 строк и 2004 столбца. в её клетках расставлены числа от 1 до 2004, каждое – по 9 раз. при этом в каждом столбце числа различаются не более чем на 3. найдите минимальную возможную сумму чисел в первой строке. | 2005004 | переставив, если нужно, столбцы, будем далее считать, что числа в первой строке стоят в неубывающем порядке. пусть a_{\imath} — i- ое число первой строки. рассмотрим сумму S=(a_{1}-1)+(a_{2}-1)+(a_{3}-1)+(a_{4}-2)+...+(a_{\imath}+(i-2))+ +...+(a_{2003}-2001)+(a_{2004}-2001) докажем, что S≥0. пусть i- е слагаемое этой суммы равно d_{\imath}. если в этой сумме нет отрицательных членов, все очевидно. ясно, что a_{2004}≥2001, a_{2}≥a_{1}≥1, то есть d_{1},d_{2},d_{2004}≥0. пусть d_{\imath}<0, то есть a_{\imath}\leqi-3. тогда в первых i столбцах содержатся только числа от 1 до i, следовательно, там содержатся все такие числа. отсюда следует, что a_{\imath}=i-3,a_{\imath+1}≥i+1 и d_{\imath}+d_{\imath+1}>0. таким образом, для любого отрицательного d_{\imath} сумма его со следующим членом положительна, поэтому, объединив такие слагаемые в пары, получаем сумму неотрицательных слагаемых. итак, a_{1}+a_{2}+...+a_{2004}≥1+1+1+2+...+2001+2001=2005004 это число достигается для таблицы, в которой первые три клетки первой строки заполнены единицами, а дальше идут числа 2,3,4...2000,2001,2001. далее заполняем столбцы: в первом столбце все единицы, кроме последних двух ячеек, заполненных двойками. во втором столбце после первой единицы стоят двойки во всех ячейках, кроме последних двух, заполненных тройками. после этого все столбцы, кроме последнего, заполняются по принципу: пусть в первой ячейке этого столбца стоит k, тогда во всех остальных ячейках, кроме двух последних ставится k+2, а в двух последних — k+3. в последнем столбце 8 последних ячеек заполняются числом 2004. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/4172?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
shkolkovo-79804 | клетки доски m\timesn покрашены в два цвета. известно, что на какую бы клетку ни поставить ладью, она будет бить больше клеток не того цвета, на котором стоит (клетка под ладьей тоже считается побитой). докажите, что на каждой вертикали и каждой горизонтали клеток обоих цветов поровну. | впишем в каждую белую клетку число 1, а в каждую чёрную — (-1). пусть b_{\imath} — сумма чисел, стоящих в i -й строке, c_{j} — сумма чисел, стоящих в j -м столбце, a_{\imathj} — число, стоящее на пересечении этих строки и столбца. условие эквивалентно выполнению неравенств a_{\imathj}(b_{\imath}+c_{j})\leq0 при всех i и j. действительно, разность между количествами белых и чёрных клеток, которые бьёт ладья с клетки (i,j), равна b_{\imath}+ c_{j}-a_{\imathj}. если, например, a_{\imathj}=1, то b_{\imath}+c_{j}-1<0\iffb_{\imath}+c_{j}\leq0\iffa_{\imathj}(b_{\imath}+c_{j})\leq0 наконец, 0≥\sum_{\imath≈1}^{m}\sum_{j≈1}^{n}a_{\imathj}(b_{\imath}+c_{j})=\sum_{\imath≈1}^{m}\sum_{j≈1}^{n}a_{\imathj}b_{\imath}+\sum_{\imath≈1}^{m}\sum_{j≈1}^{n}a_{\imathj}c_{j}=\sum_{\imath≈1}^{m}b_{\imath}^{2}+\sum_{j≈1}^{n}c_{j}^{2}≥0 таким образом, все суммы b_{\imath} и c_{j} равны нулю. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/2979?SubjectId=7&Page=13",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
|
shkolkovo-81320 | дана клетчатая доска 100\times100. клетки доски покрашены в 4 цвета так, что в каждой строке и в каждом столбце ровно 25 клеток каждого цвета. докажите, что найдутся 2 строки и 2 столбца, клетки на пересечении которых окрашены в 4 различных цвета. | предположим противное: пусть среди четырёх клеток на пересечении любых двух строк и любых двух столбцов есть две клетки одинакового цвета. назовём горизонтальной (вертикальной) парой две клетки разного цвета, лежащие в одной строке (одном столбце). назовём горизонтальным (вертикальным) совпадением две клетки одинакового цвета, лежащие в одной строке (одном столбце). разделим пары на 6 типов по цветам входящих в них клеток: \{1,2},\{1,3},...,\{3,4}. рассмотрим две произвольные строчки. из предположения следует, что каждые две вертикальных пары с клетками в этих строчках должны иметь общий цвет. тогда в двух рассматриваемых строчках могут быть вертикальные пары не более, чем трех типов, причем возможны только два принципиально различных случая: все пары содержат один и тот же цвет (скажем, 1) или есть пары типов \{1,2},\{1,3} и \{2,3} (или точно так же с другой тройкой цветов). рассмотрим эти два случая. если все пары в наших двух строчках содержат клетку цвета 1, то всего пар не более, чем клеток цвета 1 в обеих строчках, то есть не более 50. значит, в рассматриваемых двух строчках не менее 50 совпадений. пусть есть пары типов \{1,2},\{1,3} и \{2,3}. в этом случае все клетки цвета 4 в наших строчках совпадают, таким образом, есть не менее 25 совпадений. итак, мы доказали, что в каждой паре строчек не менее 25 вертикальных совпадений. аналогичный результат верен и для любой пары столбцов. таким образом, всего в нашем квадрате есть не менее 25\cdot100\cdot99 совпадений. но так как в каждой строке и в каждом столбце по 25 клеток каждого цвета, количество совпадений равно 100\cdot25\cdot24\cdot4=24\cdot100^{2}. учитывая, что 25\cdot99>24\cdot100, приходим к противоречию. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/4172?SubjectId=7&Page=2",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
|
shkolkovo-104702 | назовём лабиринтом шахматную доску 8\times8, где между некоторыми полями вставлены перегородки. если ладья может обойти все поля, не перепрыгивая через перегородки, то лабиринт называется хорошим, иначе — плохим (ладья не может перепрыгивать через перегородки). каких лабиринтов больше — хороших или плохих? | плохих | первое решение. пусть S — количество всех лабиринтов. давайте рассмотрим плохие лабиринты, в которых огорожена какая-нибудь угловая клетка. заметим, что таких плохих лабиринтов ровно S/4. в силу того, что нам нужно поставить две перегородки. следовательно, хороших, в которых не огорожена эта угловая клетка точно меньше, чем 3/4\cdotS. аналогично количество хороших лабиринтов, у которых не огорожено две угловых клетки точно меньше, чем (3/4)^{2}\cdotS, а у которых не огорожено три угловых клетки точно меньше, чем (3/4)^{3}\cdotS<S/2. следовательно, хороших точно меньше половины, а значит, плохих больше. _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ второе решение. давайте думать о клетках, как о вершинах графа. ребра будут общими сторонами, а если есть перегородка, то ребро убираем. хорошим лабиринтам соответствует связный граф. заметим, что в связном графе на 64 вершинах должно быть хотя бы 63 ребра. а значит, хороший лабиринт содержит не более 112-63=49 перегородок. давайте рассмотрим какой-нибудь лабиринт и определим для него инвертированный лабиринт, то есть в нашем графе мы убираем ребра и добавляем ребра, которых не было. тогда мы получаем соответствие лабиринтов с 0,1,2,...49 перегородками лабиринтам с 112,111,...63 перегородками. то есть каждому хорошему лабиринту мы точно сопоставили плохой. а у нас точно еще есть плохие лабиринты, поэтому плохих лабиринтов точно больше. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/7114?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
shkolkovo-104646 | можно ли на прямоугольник 5\times7 положить по линиям сетки несколько уголков из 3 клеток (возможно, с перекрытиями) так, чтобы каждая клетка была покрыта одинаковым числом уголков? | нет | назовём покрытием ситуацию, когда уголок покрыл какую-то клетку. получается, что каждый уголок делает три покрытия. рассмотрим клетки с координатами (2i,2j) (координаты целые и начинаются с 0). их 12. по условию у каждой клетки должно быть одинаковое количество покрытий. это значит, что суммарно эти 12 клеток имеют (12)/(35) от всех покрытий. с другой стороны, каждый уголок может покрывать не более одной отмеченной клетки. это означает, что суммарное количество покрытий этих 12 клеток не превосходит (1)/(3) от общего числа покрытий. таким образом, нельзя. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/4168?SubjectId=7&Page=2",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
shkolkovo-90511 | какое наибольшее число фишек можно поставить на клетки шахматной доски так, чтобы на любой горизонтали, вертикали и диагонали находилось четное число фишек? | 48 | заметим, что на шахматной доске имеется 16 диагоналей, содержащих нечётное число клеток и не имеющих общих клеток. следовательно, число фишек не может быть больше 64-16=48. удовлетворяющая условию задачи расстановка 48 фишек изображена на рисунке. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/4168?SubjectId=7&Page=2",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [
"попробуйте найти какой-то объект, в котором n клеток, но, допустим, в него можно поставить лишь k фишек (k < n), иначе условие не выполнится.",
"таким объектом будет диагональ нечëтной длины. очевидно, что хотя бы одна клетка в ней без фишки. как можно применить это для оценки?"
] |
shkolkovo-102958 | дед мороз и снегурочка играют в игру. они по очереди закрашивают белые клетки 1\times1 доски 2024\times2025 дед мороз закрашивает красным, снегурочка закрашивает синим. изначально все клетки белые. побеждает тот, кто первым закрасит три клетки подряд(по вертикали, горизонтали или диагонали). первым ходит дед мороз. каков результат при правильной игре? | дед мороз | ясно, что когда дед мороз красит 3-ю клетку (после этого хода 3 красные и 2 синие), снегурочка закрасила только 2 клетки, а, значит, не могла выиграть. покажем, что дед мороз может гарантировать себе победу. выделим внутри квадрат 5\times5 и будет работать в нём. пусть первым ходом дед мороз красит центр одного из таких квадратов (ясно, что со всех четырёх сторон от этой клетки он может закрасить ещё хотя бы 2 клетки). пусть далее снегурочка красит одну из клеток доски. если эта синия клетка в одном столбце с красной, то в строке с красной клеткой нет синих. если эта синия клетка в одной строке с красной, то в столбце с красной клеткой нет синих. иначе в строке с красной клеткой нет синих. пусть в строке нет синих. дед мороз покрасит любую соседнюю со своей красной. далее есть 2 клетки(соседние с получившимся прямоугольником 1 на 2), покрасив любую из которых, дед мороз выиграет. ясно, что за один ход снегурочка покрасит не более одной из них, и следующим ходом дед мороз выигрывает (по сказаному ранее снегурочка к этому моменту ещё не выиграет). случай, если нет синих клеток в столбце с красной разбирается аналогично. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3006?SubjectId=7&Page=8",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
shkolkovo-78087 | на окружности расположено 20 синих точек, а внутри окружности несколько красных таким образом, что никакие 3 точки не лежат на одной прямой. оказалось, что существует 1123 треугольника с синими вершинами, содержащих ровно по 10 красных точек. докажите, что остальные 17 треугольников с синими вершинами тоже содержат ровно по 10 красных точек. | прежде всего прокомментируем условие задачи. количество треугольников с синими вершинами равно C_{20}^{3}=1140, поэтому “остальных” треугольников действительно 17. выберем любой треугольник T, для которого еще не известно, сколько в нем точек. такие треугольники будем называть плохими. заметим, что для любых четырех синих точек среди четырех треугольников, образованных тройками этих точек, не может ровно один быть плохим. рассмотрим 17 четверок синих точек, среди которых есть все вершины треугольника T. тогда для каждой такой четверки найдется плохой треугольник, отличный от T. но все эти плохие треугольники различны, что противоречит тому, что плохих треугольников не более 17. значит, их нет вообще. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3034?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
|
shkolkovo-79737 | на плоскости дано множество из n≥9 точек. для любых 9 его точек можно выбрать две окружности так, что все эти точки окажутся на выбранных окружностях. докажите, что все n точек лежат на двух окружностях. | так как любые 9 точек лежат на двух окружностях, то найдется окружность O, на которой лежит не менее 5 точек. рассмотрим все точки множества, не лежащие на O. если таких точек четыре или меньше, то утверждение задачи верно. действительно, дополнив их точками окружности O до девяти, получим, что они лежат на двух окружностях, на одной из которых лежат три дополняющих точки, поэтому это O. значит, все наши точки лежат на другой окружности. пусть вне окружности O лежит не менее пяти точек. возьмем пять точек A1,...,A_{5} на O и три точки B_{1},B_{2},B_{3} вне O. через точки B_{1},B_{2},B_{3} проходит единственная окружность O_{1}. возьмем точку B, отличную от точек A_{1},...,A_{5},B_{1},B_{2},B_{3}. по условию существуют две окружности O^{/prime} и O_{1}^{/prime}, содержащие все точки A_{1},A_{2},...,A_{5},B_{1},B_{2},B_{3},B. тогда опять одна из окружностей O^{/prime} и O_{1}^{/prime} совпадает с O. поскольку точки B_{1},B_{2},B_{3} не лежат на окружности O, все они оказываются на той из окружностей O^{/prime} или O_{1}^{/prime}, которая не совпадает с O, и эта вторая окружность тем самым совпадает с O_{1}. получается, что точка B лежит либо на O, либо на O_{1}, что завершает доказательство. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3034?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
|
shkolkovo-80769 | дан клетчатый прямоугольник 100\times400 . сколькими способами можно закрасить 8 клеток этого прямоугольника так, чтобы закрашенное множество обладало хотя бы одной из следующих симметрий: относительно центра прямоугольника, относительно любой из двух "средних линий"прямоугольника ("средней линией"прямоутольника назовём отрезок, соединяющий середины двух его противоположных сторон). ответ дайте в виде выражения, содержащего не более трёх членов (в них могут входить факториалы, биномиальные коэффициенты). | 3C_{20000}^{4}-2C_{10000}^{2} | назовем восьмеркой набор из 8 клеток. пусть A_{1} — множество восьмерок, симметричных относительной l_{1} , A_{2} — относительно l_{2} , B — относительно центра прямоугольника. l_{1} и l_{2} это средние линии прямоугольника. если выбрать какие-то 4 точки в верхней половине прямоугольника, то остальные точки легко находятся в силу одной из рассматриваемой симметрий относительно l_{1},l_{2} и центра прямоугольника. тогда количество элементов во множествах A_{1},A_{2},B будет одинаковым. тогда количество элементов в A_{1} будет равно количеству способов выбрать 4 очки в одной половине фигуры относительно l_{1}. остальные 4 точки будут располагаются в другой половине. тогда количество способов равняется C_{100\cdot200}^{4}. если восьмерка лежит сразу в 2 из 3 множеств A_{1},A_{2},B, то она лежит и в третьей. это значит, что пересечение двух множеств или пусто, или пересекается с третьим. чтобы найти ответ надо найти количество элементов в объединении множеств. используя формулу включений-исключений, получаем, что S=|A_{1}∪A_{2}∪B|=|A_{1}|+|A_{2}|+|B|-2|A_{1}∩A_{2}∩B|, где |M| — означает количество элементов во множестве M, S — искомое число если 2 точки, лежащие в одной из четвертей прямоугольника, принадлежат пересечению всех 3 множеств, то легко восстановить исходную восьмерку, удовлетворяющую сразу трем симметриям. тогда можно посчитать количество элементов в пересечении множеств. это будет количество способов выбрать 2 точки в одной из четвертей прямоугольника, образованной l_{1},l_{2} и центром прямоугольника. следовательно, количество элементов равняется C_{200\cdot50}^{2}. тогда посчитаем S S=|A_{1}∪A_{2}∪B|=|A_{1}|+|A_{2}|+|B|-2|A_{1}∩A_{2}∩B|= =3C_{20000}^{4}-2C_{10000}^{2} | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3398?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [
"давайте начнём распутывать клубок симметрий с того, что обозначим за a₁ множество восьмёрок симметричных относительно одной горизонтальной средний линии, за a₂ - вертикальной, за b - относительно центра прямоугольника. давайте подумаем, сколько нам нужно зафиксировать точек для каждой из симметрий и где, чтобы однозначно восстановить всю восьмёрку?",
"верно, для a₁ нужны 4 точки не выше (не ниже), чем горизонтальная средняя линия, для a₂ - 4 точки не правее (не левее), чем вертикальная средняя линия, для b - 4 точки в любой одной из указанных ранее областей. теперь стоит задуматься о том, пересекаются ли данные множества или какая-то комбинация симметрий даёт другую симметрию?",
"верно, если восьмёрка лежит в любых двух множества a₁, a₂, b, то она лежит во всех трёх, отсюда, вспоминая формулу включений-исключений, мы понимаем, что ответ уже очень близко, осталось только его расписать."
] |
shkolkovo-80771 | даны 12 точек: 7 из них лежат на одной окружности в плоскости \alpha , а остальные 5 расположены вне плоскости \alpha . известно, что если четыре точки из всех 12 лежат в одной плоскости, то эта плоскость — \alpha . сколько существует выпуклых пирамид с вершинами в данных точках? (пирамиды считаются различными, если их множества вершин различны.) | 780 | посчитаем отдельно количество тетраэдров и выпуклых n- угольных пирамид с n≥4. количество тетраэдров это количество способов выбрать 4 точки, не лежащих одновременно в одной плоскости. тогда количество тетраэдров равняется C_{12}^{4}-C_{7}^{4}=460 найдем количество выпуклых n- угольных пирамид с n≥4. основание такой пирамиды лежит в плоскости \alpha, а вершина — вне \alpha. тогда посчитаем количество оснований. надо просуммировать все способы выбрать от 4 до 7 вершин без учёта порядка C_{7}^{4}+C_{7}^{5}+C_{7}^{6}+C_{7}^{7}=(7\cdot6\cdot5)/(2\cdot3)+(7\cdot6)/(2)+7+1=64 для каждого из посчитанных оснований вершину пирамиды можно выбрать пятью способами, поэтому всего пирамид 5\cdot64=320 итоговый ответ 460+320=780 | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3398?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [
"среди всех возможных пирамид для нас принципиально различаются два случая: когда вершин 4 (тетраэдр) и больше. посчитаем их по отдельности и затем сложим.",
"количество всех возможных тетраэдров - количество способов выбрать 4 вершины, за исключением случаев, когда все точки лежат в одной плоскости. из условия нам известно, что это возможно только когда все 4 вершины принадлежат плоскости 𝜶.",
"у n-угольной пирамиды, где n≥4 основание лежит в плоскости 𝜶, а вершина вне неё. отдельно посчитаем способы выбрать основание и умножим на количество вариантов выбора вершин.",
"количество способов выбрать основание находится как сумма числа сочетаний из 7 от 4 до 7, а вершину пирамиды можно взять пятью разными способами. тогда нужно просто перемножить их и сложить найденное количество тетраэдров и n-угольных пирамид с n≥4"
] |
shkolkovo-82622 | в таблице n\timesm отметили k клеток. для какого наименьшего k гарантированно можно выбрать 3 отмеченные клетки, центры которых образуют прямоугольный треугольник? | m+n-1 | сначала покажем, что можно отметить не более m+n-2 клетки так, чтобы никакие 3 клетки не образовывали треугольник. выберем в таблице центры всех клеток нижней строки и правого столбца, за исключением правой нижней угловой клетки. всего выбрано m+n-2 точки, и каждая тройка отмеченных точек образует тупоугольный треугольник. докажем, что больше m+n-2 центров клеток выбрать нельзя. для каждого отмеченного центра либо в его строке, либо в его столбце других отмеченных центров нет. пометим этот ряд. если помечены все строки, то выбрано всего не больше m\leqm+n-2 центров. аналогична ситуация, когда помечены все столбцы. если же помечены не все строки и не все столбцы, то всего отмечено не более m-1 строк и не более n-1 столбцов: (m-1)+(n-1)=m+n-2. отсюда следует ответ m+n-1. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3034?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
shkolkovo-82681 | на плоскости отмечено 100 точек общего положения (т.е. никакие три не лежат на одной прямой). докажите, что можно выбрать три отмеченные точки A , B , C так, чтобы для любой точки D из оставшихся 97 отмеченных точек, прямые AD и CD не содержали бы точек, лежащих внутри треугольника ABC . | применим принцип крайнего: выберем среди всех троек точек треугольник ABC с самым большим углом B. предположим, что точки A , B , C не подходят. тогда существует точка D в объединении частей плоскости, одна из которых заключена между прямыми AC и AB, а другая — между прямыми CA и CB. при этом D не может лежать внутри треугольника ABC , иначе ∠ADC>∠ABC . рассмотрим случай, когда D лежит между лучами AC и AB (когда D и A лежат в разных полуплоскостях относительно BC ). тогда ∠ABD=∠ABC+∠CBD>∠ABC получаем противоречие. то же работает для случая, когда D лежит между лучами AC и BC . оставшиеся два случая (когда D и C лежат в разных полуплоскостях относительно AB ) рассматриваются аналогично: в них ∠ABD=∠CBA+∠ABD>∠ABC | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/6571?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [
"прямые, соединяющие точки a, b, cю делят плоскость на 7 частей, включая треугольник внутри. рассмотрите эти части. точки d из каких частей нам подходят?",
"видно, что подходящие части тем больше, чем больше угол авс. воспользуемся принципом крайнего и возьмём такие 3 точки, чтобы авс был максимальным. проверим, подходит ли нам этот случай, пойдя от противного: пусть они не подходят. тогда в каких частях может находиться точка d?",
"верно, а теперь попробуйте получить противоречие через сумму углов, зная, что угол авс максимальный из всех возможных"
] |
|
shkolkovo-82785 | сколько точек пространства с целочисленными координатами принадлежат треугольнику с вершинами (3,4,5) , (11,10,6) , (5,8,9) ? точка на вершинах и сторонах тоже считаются. | 8 | перенесём треугольник одной вершиной в начало координат. тогда его можно представлять как точку (0,0,0) , из которой выходят вектора \mathcal{U}=(8,6,1) и v=(2,4,4) . тогда внутренность треугольника можно представить как \lambda\mathcal{U}+\muv, где \lambda,\mu — действительные числа, \lambda,\mu>0, и \lambda+\mu<1. вопрос о целых точках на треугольнике, получается, стоит так: при каких целых n,m,k система: And{{8\lambda+2\mu=n,}{6\lambda+4\mu=m,}{\lambda+4\mu=k}} имеет решения \lambda,\mu , удовлетворяющие условиям выше. мы выделили внутренность, потому что стороны легче рассмотреть отдельно. три целочисленные вершины лежат в треугольнике по определению. на сторонах точки подсчитать тоже просто — стороны это вектора \mathcal{U}=(8,6,1),v=(2,4,4), и третья сторона (6,2,-3) . получить целочисленную точку можно только на середине вектора v , а у остальных сторон нет общих делителей координат, и через целые точки они не проходят. значит, на периметре лежат 3+1=4 точки. переходим к внутренней части треугольника. конечно, нет гарантий, что там будет хотя бы одна целочисленная точка — но если такая есть, то её проекции на координатные плоскости тоже будут целочисленные. поэтому давайте рассмотрим проекцию треугольника на плоскость Oxy , и отберём на ней потенциально подходящие пары (n,m), а после выкинем лишние. проецируем треугольник на Oxy — получается треугольник на плоскости с вершинами (0,0), (8,6), (2,4). внутрь него точки попадут такие: (1,1),(2,2),(2,3),(3,3),(3,4),(4,4),(5,4),(6,5). решаем систему, состоящую из двух первых уравнений: And{{8\lambda+2\mu=n,}{6\lambda+4\mu=m}} получаем следующие решения: \lambda=(2n-m)/(10),\mu=(-3n+4m)/(10) полученные значения \lambda,\mu подставляются в третье уравнение \lambda+4\mu=k , и если k оказывается целым — точка найдена. после подстановки получается выражение: -n+(3)/(2)m=k, то есть m должна быть чётной. из 8 кандидатов подойдут только 4: (2,2),(3,4),(4,4),(5,4) . плюс 4 точки на сторонах, и всего точек на треугольнике 4+4=8. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3463?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [
"давайте немного упростим задачу и сдвинем одну из вершин в начало координат, чтобы числа стали попроще, для этого можно сделать параллельный перенос на вектор (-3;-4;-5), а как можно посчитать кол-во целочисленных точек на стороне?",
"верно, кол-во целых точек (включая концы) на отрезке (x₁,y₁,z₁), (x₂,y₂,z₂), это нод(|x₁-x₂|, |y₁-y₂|, |z₁-z₂|) + 1, итак, когда мы знаем кол-во точек на периметре треугольника, давайте перейдём к его внутренности, если взять произвольную целочисленную точку, можно ли получить какое-то следствие, которое было бы легче проверить, но оно бы оставило нам пару точек для перебора?",
"да, можно сказать, что если точка a была подходящей, то точка a' полученная проецированием её на одну из плоскостей тоже будет подходить, а значит можно спроецировать весь треугольник, например, на плоскость oxy и найти возможных кандидатов там, а потом проверить только их",
"для проверки наших кандидатов можно составить систему уравнений из двух векторов, образующих стороны, с положительными коэффициентами, сумма которых меньше 1, чтобы получить точку внутри треугольника, остаётся проверить, что найдутся целые решения, которые бы удовлетворяли полученной системе",
"для удобства можно выразить из первых двух уравнений коэффициенты и подставить их в третье уравнение, тогда останется лишь условие на координаты точек, но предыдущие ограничения всё ещё следует проверить"
] |
shkolkovo-84365 | внутри правильного шестиугольника со стороной 1 расположено 7 точек. докажите, что среди них найдутся две точки на расстоянии не больше 1. | правильный шестиугольник можно разбить на шесть правильных треугольников со стороной 1. тогда хотя бы в одном из этих треугольников будет лежать две отмеченные точки. расстояние между ними не будет превосходить стороны треугольника. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3007?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
|
shkolkovo-85910 | лес представляет собой координатную плоскость, в некоторых узлах которой растут ёлки. всего ёлок больше миллиона. докажите, что можно срубить более 100000 ёлок так, чтобы расстояние между любыми двумя срубленными ёлками было больше 3. (узлом называется точка, обе координаты которой целые; ёлки считаем точками.) | раскрасим узлы в 10 цветов так, чтобы узлы одного цвета образовывали сетку из квадратов со стороной \sqrt{10} . например, пусть цвет узла с координатами ( x,y ) определяется остатком от деления числа x+3y на 10 (считаем, что деревья растут в центрах квадратов): 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 по принципу дирихле, в какой-то из десяти цветов окрасились более 100 тысяч ёлок. тогда все эти ёлки можно срубить, поскольку расстояние между любыми двумя из них не меньше \sqrt{10} . | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3485?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [
"когда нас просят доказать, что что-либо возможно, то один из вариантов решения это просто привести пример. так и в этой задаче, нам нужно придумать пример вырубки ёлок, удовлетворяющей условию.",
"получается, нам нужно выбрать больше 100000 ёлок так, чтобы расстояние между любыми двумя из них было больше 3. может быть не понятно, по какому принципу их вообще выбирать. в таких случаях полезно каким-либо образом разбить ёлки на группы так, чтобы одна из групп была искомой. но на какое количество групп разбивать?",
"вспомним принцип дирихле и посмотрим на числа. заметим, что если разбить ёлки на 10 групп, то в одной из них точно будет больше 100000 штук. тогда нам нужно, чтобы внутри каждой группы расстояния между любыми двумя ёлками было более 3.",
"если не получается придумать разбиение, попробуйте посмотреть на эту задачу по-другому. например, попытаться разбивать не ёлки, а узлы. так же не забывайте про количество групп, попробуйте использовать остатки при делении на 10."
] |
|
shkolkovo-88471 | докажите, что вершины триангуляции выпуклого n -угольника можно правильным образом покрасить в три цвета. | в решении будем пользоваться тем фактом, что у любой триангуляции выпуклого многоугольника есть так называемое “ухо”, т.е. треугольник триангуляции, к которого минимум 2 стороны являются сторонами многоугольника. будем доказывать утверждение задачи индукцией по n. база. n=3. для треугольника утверждение задачи очевидно. предположение. будем считать, что утверждение задачи верно для любой триангуляции при n=k-1. переход. докажем утверждение для n=k. рассмотрим триангуляцию нашего k -угольника. найдем в нем “ухо” и пока забудем об этом треугольнике триангуляции. оставшийся (k-1) -угольник можно раскрасить в три цвета правильным образом по предположению индукции. вернем наше “ухо”. оставшаяся вершина k -угольника, которая принадлежит только “уху” из треугольников триангуляции, соседствует только с 2 вершинами. значит, ее можно спокойно покрасить в оставшийся цвет. переход доказан. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3034?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [
"попробуйте доказать это утверждение с помощью метода математической индукции.",
"подумайте, какой треугольник мы можем убрать из триангуляции, чтобы можно было применить утверждение для предыдущего n.",
"уберите из триангуляции "ухо" и воспользуйтесь утверждением для меньшего n."
] |
|
shkolkovo-89259 | двое игроков отмечают точки плоскости. сначала первый отмечает точку красным цветом, затем второй отмечает 100 точек синим, затем первый снова одну точку красным, второй 100 точек синим и так далее. (перекрашивать уже отмеченные точки нельзя.) докажите, что первый может построить правильный треугольник с красными вершинами. | покажем стратегию игры за первого. выберем прямую и каждым шагом будем красить одну из точек прямой в красный, если не существует не отмеченной цветом точки X плоскости, которая образует правильный треугольник с красными вершинами, иначе покрасим X в красный. пусть S(n) — количество точек, закрашенных синим после n ходов второго игрока, тогда S(n)=100n. пусть T(n) — количество не закрашенных точек плоскости, которые образуют правильный треугольник с двумя красными точками плоскости после n ходов первого игрока. поскольку все красные точки лежат на одной прямой, не существует точки плоскости, которая образовывала бы правильный треугольник сразу с двумя различными парами красных точек на плоскости, следовательно, каждой паре красных точек соответствует ровно две точки, которые образуют с этой парой правильный треугольник. таким образом, T(n)=n(n-1), ведь равно удвоенному количеству пар, которые образуют n отмеченных красных точек. таким образом, при достаточно больших n верно, что S(n)<T(n) то есть существует ход, после которого количество точек, гарантирующих победу первому игроку будет больше, чем количество всех синих точек на плоскости. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3034?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [
"давайте будем следить за количеством s(n) точек неотмеченных точек плоскости на доске после n ходов, закрасив красным которые, на плоскости образуется правильный треугольник с вершинами в красных точках. какое условие на функцию s(n) могло бы быть достаточным, чтобы доказать, что первый игрок имеет победную стратегию?",
"пусть t(n) — количество синих точек на плоскости после хода n. тогда достаточно показать, что t(n) < s(n) при некотором n. как это можно сделать?",
"можно явно найти вид функций t(n) и s(n). например, t(n)=100n, потому каждый ход второго игрока добавляет 100 точек на плоскости. предъявите стратегию за первого игрока и найдите s(n) для данной стратегии.",
"покажем стратегию игры за первого. выберем прямую и каждым шагом будем красить одну из точек прямой в красный, если не существует не отмеченной цветом точки x плоскости, которая образует правильный треугольник с красными вершинами, иначе покрасим x в красный. как найти s(n) для данной стратегии?",
"покажем стратегию игры за первого. выберем прямую и каждым шагом будем красить одну из точек прямой в красный, если не существует не отмеченной цветом точки x плоскости, которая образует правильный треугольник с красными вершинами, иначе покрасим x в красный. как найти s(n) для данной стратегии?",
"для каждых двух красных точек на прямой найдется ровно 2 уникальные точки плоскости, закрасив которые мы получим равносторонний треугольник. тогда s(n) равно удвоенному количеству пар n точек, то есть n(n+1). осталось показать, что t(n)=100n<s(n)=n(n+1) при достаточно больших значениях n."
] |
|
shkolkovo-90012 | в правильном n -угольнике ( n≥3 ) коля, аналитик платформы «allcups», решил сопоставить отрезкам между вершинами (т.е. сторонам и диагоналям) их важности, т.е. натуральные числа, удовлетворяющие условиям: 1. для любого треугольника с вершинами в вершинах данного n -угольника важности двух его сторон равны и превосходят важность третьей стороны; 2. важности всех отрезков должны образовывать отрезок натурального ряда, т.е. быть числами 1,2,3,...,k без пропусков, но с повторениями. найдите максимальное возможное k . | n-1 | перед нами задача вида “оценка + пример”. сперва докажем оценку. по индукции по n будем доказывать, что наибольшее возможное значение k не превосходит n-1 база индукции: n=3. если k≥3, то стороны единственного треугольника обязаны быть 1,2,3, но это противоречит условию, о том, что в треугольнике есть две равные стороны. индукционное предположение: пусть утверждение индукции выполняется для всех n от 3 до p∈N. рассмотрим произвольное распределение важностей для n- угольника, где n=p+1. согласно условию, должен быть отрезок важности 1- рассмотрим произвольный треугольник на вершинах n- угольника, для которого этот отрезок является стороной (далее будем называть такие треугольники подходящими). в треугольнике не может быть более одной стороны важности 1, ведь иначе оставшаяся сторона должна быть меньше 1. обозначим вершины отрезка важности 1 как A и B, за C и D обозначим произвольные вершины n- угольника (такие найдутся, так как p+1≥4 ). покажем, что важности сторон треугольника ACD не поменяются при замене A на B. действительно, при такой замене отрезок AC будет заменён на BC, а отрезок AD на BD. но поскольку оба треугольника ABC и ABD содержат отрезок AB важности 1, то, согласно доказанному выше, важности пар сторон каждого треугольника равны. значит, важности AC и BC, как и важности AD и BD совпадают. проделаем следующую процедуру: для отрезка AB с важностью 1, эти две вершины склеим в одну вершину X, и для каждой вершины C важностью XC будем считать равной важности AC. докажем, что многоугольник удовлетворяет первому условию и “ослабленному” второму, т.e. важности всех его сторон и диагоналей образуют отрезок 1,2,3,...,k или 2,3,...,k натурального ряда без пропусков. действительно, для любого подходящего треугольника XYz нового многоугольника, если ни одна из вершин X,Y,z не была склеена с другой, то требование на важности сторон не изменилось. если же какая-то вершина (без ограничения общности, вершина X ) была склеена из вершин A и B, то, как было показано ранее, распределение важностей в треугольнике XYz будет таким же, как в треугольниках AYz и BYz, в каждом из которых первое условие было выполнено, а значит, оно не нарушилось и после склейки. второе, "ослабленное"условие также будет выполнено, т.к. после склейки из набора важностей будет удалено 1. проделав такую склейку по очереди с каждым отрезком важности 1 получим m- угольник (m<n) , для которого выполнено первое и второе "ослабленное условия задачи". для него понизим все важности на 1, и получим выполняющиеся условия для m- угольника, значит, k-1\leqm-1, откуда k\leqm\leqn-1. индукция доказана. пример: занумеруем все вершины n- угольника числами от 1 до n, и зададим отрезкам, соединяющим вершины с номерами i и j (i<j), важность j-1. легко проверить, что оба условия на важности выполняются, и максимальная важность равна n-1. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/6518?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [
"задача вида «оценка + пример», поэтому хочется понять ответ. например, для n = 3 и n =4 какие ответы?",
"для n = 3 ответ совсем просто проверяется, для n = 4 чуть сложнее. но из них можно предположить, что для произвольного n значение k не превосходит n-1. причем для k = n-1 нетрудно строиться пример(один из вариантов — пронумеровать вершины от 1 до n, а стороны между i и (i < j) сделать равными какому-то выражению от j). значит, можно попробовать доказать эту оценку, но как?",
"с помощью индукции! база уже есть. пусть для всех n от 1 до p предположение верно, докажем для n = p + 1.",
"например, что не бывает треугольника с двумя отрезками важности 1. рассмотрите произвольный отрезок ав с важность 1 и две произвольные точки с и d, отличные от а и в. что можно сказать о важности ас и вс, а о паре аd и bd?",
"они совпадают. что если попробовать «склеить» а и в? тогда как раз получится р точек и можно будет использовать предположение индукции. нужно лишь проверить, что «склеивание» будет происходить корректно."
] |
shkolkovo-90081 | диаметром многоугольника называется наибольшее расстояние между его точками. можно ли квадрат со стороной 1 разрезать на три многоугольника, диаметр каждого из которых меньше 1? | нельзя | пусть диаметры всех получившихся многоугольников строго меньше 1. по принципу дирихле, найдутся 2 вершины квадрата, принадлежащие одному из получившихся многоугольников. если это противоположные вершины квадрата, то расстояние между ними равно \sqrt{2,} а значит, диаметр этого многоугольника хотя бы \sqrt{2}>1. если же эти две вершины соседние для квадрата, то расстояние между ними равно 1, но и тогда диаметр соответствующего многоугольника хотя бы 1. противоречие. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3034?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [
"попробуйте найти какие-то пары точек, расстояние между которыми не меньше 1. какие самые очевидные пары можно найти?",
"подумайте над их распределением по многоугольникам. по сколько точек окажется на каждом?"
] |
shkolkovo-90452 | на плоскости нарисована замкнутая 222-звенная ломаная. известно, что два соседних звена ломаной перпендикулярны друг другу, а также никакие два звена ломаной не лежат на одной прямой. какое наибольшее количество точек самопересечений может иметь такая ломаная? | 6049 | оценка. для начала докажем, что больше 6049 самопересечений быть не может. назовём звенья одного направления горизонтальными, а звенья второго направления — вертикальными. расположим плоскость так, чтобы горизонтальные звенья действительно стали горизонтальными. заметим сразу две вещи: . каждая точка самопересечения — это пересечение вертикального и горизонтального звена; . горизонтальные и вертикальные звенья чередуются, поэтому каждых по 111 штук. пронумеруем сверху вниз горизонтальные звенья от 1 до 111 . посмотрим на звено с номером k . каждое пересекающее его вертикальное ребро должно иметь над ним конец, совпадающий с концов некоторого горизонтального ребра. горизонтальных рёбер выше всего k-1 , поэтому на k -м ребре не более 2(k-1) точек самопересечений. эта оценка хорошо работает для k от 1 до 55 : на них суммарно не более 0+2+4+...+2\cdot54=2970 точек самопересечений. аналогичными рассуждениями (но рассматривая нижние концы вертикальных звений) доказывается, что и на звеньях с 57 по 111 суммарно не более 2970 точек самопересечений. для ребра с номером 56 немного улучшим оценку: всего существует 111 вертикальных рёбер, но два из них выходят из концов 56 -го звена, поэтому не могут его пересекать. итого, на 56 звене не более 109 точек самопересечений. значит, суммарно их не больше 2\cdot2970+109=6049. пример. пронумеруем и вертикальные звенья тоже. пусть \cdot1 -е вертикальное ребро соединяет 55 и 56 горизонтальные звенья; \cdot2 -е вертикальное ребро — 54 и 57 горизонтальные звенья; \cdot3 -е вертикальное ребро — 53 и 58 горизонтальные звенья; ... \cdot55 -е вертикальное ребро — 1 и 110 горизонтальные звенья; \cdot56 -е вертикальное ребро — 1 и 111 горизонтальные звенья; \cdot57 -е вертикальное ребро — 2 и 111 горизонтальные звенья; \cdot58 -е вертикальное ребро — 3 и 110 горизонтальные звенья; \cdot59 -е вертикальное ребро — 4 и 109 горизонтальные звенья; ... \cdot111 -е вертикальное ребро — 56 и 57 горизонтальные звенья. аналогичный пример для 222 -звенной ломаной на картинке ниже: | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/4330?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [
"сразу же можно заметить, что у нас отрезки ломаной имеют всего 2 направления. тогда можем для удобства рассмотреть такую плоскость, что одни отрезки горизонтальные, а другие — вертикальные. тогда какие отрезки пересекаются в каждой точке самопересечения и сколько всего отрезков каждого вида?",
"да, верно! каждая точка самопересечения — это пересечение вертикального и горизонтального отрезка, а каждого типа по 111 штук. пронумеруем горизонтальные отрезки и посмотрим на произвольный (пусть k-ый) из них. попробуйте оценить, сколько точек самопересечения с горизонтальными отрезками выше k-ого образуют вертикальные отрезки, пересекающий данный.",
"точно! не более 2(k-1) точек самопересечения. отлично! теперь мы можем оценить общее кол-во точек самопересечения. однако наша оценка работает хорошо только для первой половины отрезков. попробуйте для второй половину оценить аналогично, только снизу.",
"так, попробуем ещё докрутить оценку для центрального (то есть 56-ого) горизонтального отрезка. у нас из всех 111 вертикальных отрезка 2 выходят из нашего. тогда как мы можем оценить кол-во точек пересечения для 56-ого горизонтального отрезка?",
"мы получаем не больше 109 точек самопересечения. тогда всего таких точек не больше 6049. осталось построить пример так, чтобы на каждом ходу нашей оценки выполнялось равенство."
] |
shkolkovo-92126 | единичный квадрат разбили на прямоугольники, в каждом из которых отметили одну сторону. докажите, что сумма длин отмеченных сторон не меньше 1. | первое решение. увеличим каждого прямоугольника сторону, перпендикулярную отмеченной, до 1. при этом его площадь не уменьшится и станет (численно) равной длине выбранной стороны. таким образом, сумма длин выбранных сторон равна сумме площадей удлинённых прямоугольников, которая, в свою очередь, не меньше площади единичного квадрата. _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ второе решение. спроектируем все отмеченные отрезки на одну из сторон квадрата. если она полностью покрыта проекциями, то их суммарная длина не меньше 1. если на стороне есть точка, не покрытая проекциями, то проведём через неё перпендикуляр к стороне. этот перпендикуляр покрыт прямоугольниками, в которых отмечена сторона, параллельная ему (иначе основание перпендикуляра покрыто проекцией отмеченной стороны), значит, суммарная длина этих отрезков равна 1. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3034?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [
"как можно связать сумму длин отмеченных сторон с суммой их площадей?",
"если в каждом прямоугольнике мы сторону, отличную от отмеченной, увеличим до 1, то что можно сказать о сумме площадей новых прямоугольников?",
"она равна сумме отмеченных сторон. почему она не меньше 1?"
] |
|
shkolkovo-92947 | на плоскости проведены 2n окружностей и отмечены все их точки пересечения. оказалось, что всего отмечены 3n+1 точка. докажите, что какие-то 4 отмеченные точки лежат на одной окружности. | будем решать задачу от противного. пусть на каждой окружности не более трех точек пересечения с остальными. тогда всего точек на окружностях(с учетом кратности) не более 2n\times3=6n точек. в через каждую отмеченную точку проходит по крайней мере 2 окружности, тогда точек пересечения не более (6n)/(2)=3n- противоречие с условием. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3034?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [
"некоторые задачи решаются методом «от противного». попробуйте применить его здесь.",
"предположите, что на каждой окружности лежит не более трех точек. покажите из этого, что точек не более 3n."
] |
|
shkolkovo-92948 | на плоскости расположено n точек ( n>3), никакие три из которых не лежат на одной прямой. докажите, что среди треугольников с вершинами в данных точках остроугольные треугольники составляют не более трёх четвертей. | будем перебирать всевозможные четвёрки точек и для каждой четвёрки определять число остроугольных и неостроугольных треугольников, которые они образуют. сложив количества остроугольных треугольников по всем четвёркам точек, получим некоторую сумму S. таким же образом сложив количества неостроугольных треугольников по всем четвёркам точек, получим некоторую сумму s. заметим, что из четырёх точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, хотя бы три образуют тупоугольный или прямоугольный треугольник. в самом деле, если четыре точки A,B,C,D являются вершинами выпуклого четырёхугольника, то один из его углов не меньше 90^{\circ} если же точки таковы, что одна из них, скажем, D, лежит внутри треугольника, образованного оставшимися тремя точками, то один из углов ADB,BDC,CDA тупой. таким образом, один из треугольников ABC,BCD,CDA,DAB всегда является неостроугольным. итак, каждая четвёрка точек дает вклад в сумму s, не меньший 1, а в сумму S — не больше 3. отсюда следует, что S\leq3s. поскольку каждая тройка вершин входит в n-3 четвёрки, каждый треугольник посчитан в соответствующей сумме ( S или s ) ровно n-3 раза. таким образом, имеется (S)/(n-3) остроугольных и (s)/(n-3) неостроугольных треугольников. следовательно, число остроугольных треугольников не более чем в 3 раза превосходит число неостроугольных, тем самым, число остроугольных треугольников составляет не более 3/4 от общего числа треугольников. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3034?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [
"проверять треугольник на остроугольность очень сложно. поэтому выделите какую-то группу вершин и поработайте с ней.",
"рассмотрите группу из четырех вершин, для них задача почему-то должна выполняться. поймите, как из этого получить утверждение задачи."
] |
|
shkolkovo-92953 | на плоскости расположено n точек, причём площадь любого треугольника с вершинами в этих точках не превосходит 1. докажите, что все эти точки можно поместить в треугольник площади 4. | из данных k точек выбираем 3 такие, что треугольник с вершинами в данных точках имеет наибольшую площадь из всех треугольников с вершинами в данных k точках. пусть это будут точки A,B,C (рис.). проведём через точку B прямую LN||AC. каждая из k точек будет лежать по ту же сторону от прямой LN, что и треугольник ABC, ибо иначе площадь треугольника с вершиной в этой точке и основанием AC была бы больше площади треугольника ABC. проведя через точку A прямую LM||BC и через точку C прямую MN||AB, точно так же докажем, что все k точек лежат по ту же сторону от прямых LM и MN, что и точки A,B,C. следовательно, все k точек будут лежать внутри треугольника LMN. площадь этого треугольника состоит из площадей четырёх равных треугольников. поскольку площадь одного из них не превосходит единицы, то площадь всего треугольника LNM не превосходит четырёх. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3034?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [
"в условии есть какое-то ограничение на площадь, а просят доказать другое ограничение. то есть от нас хотят оценить сверху, все это так и намекает рассмотреть что-то самое большое. что именно?",
"рассмотрите треугольник наибольшей площади. поймите, где могут располагаться остальные вершины.",
"докажите, что область, где могут располагаться вершины - треугольник площади в 4 раза больше, чем треугольник наибольшей площади из отмеченных точек."
] |
|
shkolkovo-92967 | на плоскости отмечено n≥4 точек P_{1},P_{2},...,P_{n} общего положения. оказалось, что не существует 4 отмеченных точек, лежащих на одной окружности. для точки P_{\imath} обозначим через a_{\imath} количество окружностей P_{j}P_{k}P_{l}, содержащих строго внутри точку P_{\imath}. докажите, что существует число m(n) такое, что a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=m(n) тогда и только тогда, когда P_{1},P_{2},...,P_{n} являются вершинами выпуклого многоугольника. | рассмотрим четверку точек A,B,C,D. докажем, что ровно 2 точки из четырех лежат внутри окружности, образованной остальными тремя, если ABCD- выпуклый четырехугольник, в остальных случаях меньше. если не существует 4 отмеченных точек, лежащих на одной окружности, то в выпуклом четырехугольнике, найдутся 2 противоположных угла, сумма которых больше 180^{\circ}. тогда именно эти две вершины будут в окружностях, а остальные две — нет. в случаях, когда ABCD- невыпуклый четырехугольник только одна точка будет внутри окружности. тогда для выпуклого четырехугольника m(n)=C_{n}^{4}\times2=(n(n-1)(n-2)(n-3))/(12) для невыпуклого величина будет меньше. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3034?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [
"хорошо бы понять ответ, в явной формуле это сделать сложно. попробуйте найти долю, разобрав выпуклые 4,5-угольники.",
"докажите, что число конструкций из условия в выпуклом многоугольнике ровно половина, а в невыпуклом - меньше. как разбор n=4 помогает доказать оценку?"
] |
|
shkolkovo-92971 | на плоскости проведено 300 прямых, причем никакие две из них не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. докажите, что среди областей, образованных ими, есть не менее (a) 100 (b) 200 треугольников. | (a) возьмём одну из данных прямых и рассмотрим все точки пересечения данных прямых, не лежащие на выбранной прямой, и выберем среди них ближайшую. среди кусков, на которые разрезана плоскость, есть треугольник, одна вершина которого — выбранная точка, а две другие лежат на выбранной прямой. действительно, треугольник, образованный выбранной прямой и двумя прямыми, проходящими через выбранную точку, не могут пересекать другие прямые. мы сопоставили каждой прямой треугольник, причём один и тот же треугольник не может соответствовать более чем трём разным прямым. поэтому количество треугольников не меньше 300/3=100. (b) докажем, что если проведено n≥3 прямых, то число треугольников не меньше (2n-2)/(3). рассмотрим все точки пересечения данных прямых. докажем, что эти точки могут лежать по одну сторону не более чем от двух данных прямых. предположим, что все точки пересечения лежат по одну сторону от трёх данных прямых. эти прямые образуют треугольник ABC. четвёртая прямая не может пересекать только стороны этого треугольника, т.е. она пересекает хотя бы одно продолжение стороны. пусть для определённости она пересекает продолжение стороны AB за точку B в некоторой точке M. тогда точки A и M лежат по разные стороны от прямой BC. получено противоречие. поэтому имеются по крайней мере n-2 прямые, по обе стороны от которых лежат точки пересечения. если мы выберем в полуплоскости, заданной прямой \ell, ближайшую к \ell точку пересечения, то эта точка будет вершиной треугольника, прилегающего к прямой \ell. таким образом, имеется не менее n-2 2 прямых, к которым прилегает по крайней мере по два треугольника, и две прямые, к каждой из которых прилегает хотя бы один треугольник. так как каждый треугольник прилегает ровно к трём прямым, то треугольников не менее (2(n-2)+2)/3. при n=100 получаем не менее 199(1)/(3) треугольников. значит, количество треугольников не меньше 200. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3034?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [
"прямых 300, от нас хотят 100 треугольников, поэтому разумно каждой прямой сопоставить 1 какой-то треугольник.",
"рассмотрите ближайшую точку пересечения к какой-то из прямых. докажите что есть треугольник, где это одна из вершин, а оставшиеся две лежат на прямой.",
"решение пункта а можно немного изменить. если брать треугольники с двух сторон, то их будет 200. такое решение не работает, потому что все точки могут лежать по одну сторону. как можно решить эту проблему?",
"докажите, что все точки пересечения могут лежать по одну сторону только от трех прямых. отсюда получите решение задачи."
] |
|
shkolkovo-47166 | в строчку выписаны 2025 единиц; между каждыми двумя соседними единицами оставлено место для знака арифметического действия. на все свободные места всеми способами вписываются знаки + , - , \times и : , и для каждого способа подсчитывается результат. найдите сумму всех полученных результатов. | 4^{2024} | всего способов расставить знаки 4^{2024} . поделим их на пары, сопоставляя минусам плюсы, а делению — умножение. последняя замена ничего не меняет, а первая делает из числа x число 2-x (знак минус появится везде, кроме первого унарного плюса). отсюда в каждой паре сумма равна двум. например, (1+1-1*1/1*...1)+(1-1+1/1*1/.../1)=2 причём пары различны и числа внутри пары различны. так что в итоге сумма всех полученных чисел равна количеству способов, то есть 4^{2024} . | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3419?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [
"понятно, что сначала нужно посчитать кол-во способов. их 4^2020. понятно, что считать каждый способ не представляется возможным. значит, если бы могли как-то разбить их на группы, сумма в которых как-то явным образом связана с кол-вом чисел в этой группе, то было бы хорошо и удобно. попробуйте как-то удачно разбить эти числа на группы.",
"«разбить на группы», беее… звучит даже как-то страшно. а вот «разбить на пары» уже интереснее. вопрос только по какому критерию разбивать. наверное, вы решали на информатике задачу из егэ, когда берут число, потом инвертируют в нем все разряды(то есть ноль меняют на единицу и наоборот), и складывают, а потом что-то просят найти. так вот, эта задача решалась тем, что сумма начального числа и «инвертированного» равна 255(там было сказано, что число 8 значное). попробуйте здесь также инвертировать знаки и посмотреть на сумму начального числа и инвертированного.",
"не трудно заметить, что сумма инвестированного и начального чисел равна 2, так как от замены деления на умножения ничего не происходит, а от замены минуса на плюса, просто все числа, что после первой единицы сократятся попарно. поэтому сумма начального числа и инвестированного равна 2. но и кол-во чисел в этой группе тоже 2. ого! значит сумма чисел равна…"
] |
shkolkovo-104764 | существует ли биекция между интервалом (0;1) и отрезком [0;1]? | да | давайте занумеруем все рациональные числа интервала (0,1): Q∩(0,1)=\{q_{1},q_{2},q_{3},...}. теперь, чтобы построить биекцию f:(0,1)\to[0,1], давайте сделаем так: f(q_{1})=0,f(q_{2})=1,f(q_{3})=q_{1},f(q_{4})=q_{2},f(q_{5})=q_{3},... то есть мы первое рациональное число из интервала отправляем в ноль отрезка, второе рациональное число из интервала отправляем в единицу отрезка, а дальше рациональные числа из интервала отправляем в рациональные числа отрезка со сдвигом на два номера. иррациональные же числа в интервале переводим в себя же в отерзке, то есть если \alpha∈(0,1)/|Q, то f(\alpha)=\alpha. таким образом, получаем взаимно-однозначное отображение из (0,1) в [0,1]. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3419?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
shkolkovo-79742 | докажите, что из произвольного множества трехзначных чисел, включающего не менее четырех чисел, взаимно простых в совокупности, можно выбрать четыре числа, также взаимно простых в совокупности. | лемма. из любого множества, состоящего не менее чем из пяти трёхзначных чисел, взаимно простых в совокупности, можно удалить одно число так, что оставшиеся также будут взаимно просты в совокупности. доказательство. обозначим через M=\{a_{1},...,a_{k}} множество исходных чисел, через M_{\imath} — множество M без a_{\imath}, а через A_{\imath} — наибольший общий делитель чисел из M_{\imath}. наибольший общий делитель любых чисел A_{\imath} и A_{j},i\neqj, равен наибольшему общему делителю всех чисел a_{1},...,a_{k}, то есть 1, следовательно, A_{1},...,A_{k} попарно взаимно просты. если все они не равны 1, обозначим через p_{\imath} наибольший простой делитель A_{\imath}. в силу попарной взаимной простоты чисел A_{\imath}, числа p_{\imath} попарно различны, и можно считать, что p_{1}<...<p_{k}. тогда A_{1}≥2,A_{2}≥3,A_{3}≥5,A_{4}≥7,A_{5}≥11. так как a_{1}∈M2∪M3∪M4∪M5, то a_{1} делится на A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}≥3\cdot5\cdot7\cdot11=3003, что противоречит трёхзначности a_{1}. следовательно, одно из чисел A_{\imath} равно 1, и числа в соответствующем множестве M_{\imath} взаимно просты в совокупности. применяя лемму, из исходного множества можно последовательно удалить все числа, кроме четырёх, взаимно простых в совокупности. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3419?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
|
shkolkovo-79745 | докажите, что в любом множестве, состоящем из 117 попарно различных трехзначных чисел, можно выбрать 4 попарно непересекающихся подмножества, суммы чисел в которых равны. | покажем, что среди произвольных 106 трехзначных чисел существуют даже четыре непересекающиеся пары с равными суммами. из 106 чисел можно образовать (106\cdot105)/(2)=5460 пар, сумма чисел в каждой паре лежит между 200 и 2000. если пар с каждой суммой не более трёх, то всего пар не более 1800\cdot3=5400, что не так. следовательно, у каких-то четырёх пар суммы совпадают. пары, для которых совпадают суммы, не могут пересекаться: если x+y=x+z, то y=z, и пары совпадают. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3419?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
|
shkolkovo-85749 | дан граф. вова хочет записать в каждую вершину целое число так, чтобы для любой вершины число, записанное в ней, было равно количеству соседних с ней вершин, в которых записано четное число. вова нашел уже 99 способов записать так числа. обязательно ли он может найти ещё хотя бы один? | да, обязательно | докажем, что если есть хотя бы два способа записать так числа, то этих способов четное число. покрасим вершины четной степени в синий цвет, а вершины нечетной степени — в красный. заметим, что данная раскраска удовлетворяет условию: у любой синей вершины четное число синих соседей, у любой красной — нечетное число синих соседей. (*) и наоборот, если раскраска вершин удовлетворяет (*), по ней однозначно восстанавливается расстановка чисел, удовлетворяющая условию. теперь сделаем ещё одну переформулировку. поставим в каждую вершину по лампочке и выключателю. при нажатии выключателя в вершине меняют своё состояние лампочка в самой вершине и все лампочки в соседних с ней вершинах. изначально все лампочки выключены. тогда множества синих вершин, удовлетворяющих (*), это в точности такие множества вершин, что при нажатии на выключатели во всех вершинах этого множества загораются лампочки во всех вершинах графа. будем теперь рассматривать способы выбрать множество выключателей, чтобы загорелись все лампочки. пусть A и B — два различных подходящих множества (хотя бы два множества есть по условию). тогда множество выключателей X=A\DeltaB (симметрическая разность двух множеств) таково, что при нажатии на все выключатели X ни одна из лампочек не меняет своего состояния. при этом X\neq∅, так как A\neqB. наконец, легко видеть, что соответствие A\iffA\DeltaX является разбиением всех подходящих множеств на пары. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3419?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
shkolkovo-85751 | пусть n,m — натуральные числа, n<m. костя взял 2^{m} карточек и выписал все подмножества множества \{1,2,...,m}, каждое — на лицевой стороне отдельной карточки. оказалось, что как ни разложи эти карточки на две кучи, всегда удается выбрать в одной из куч 2^{n} карточек и выписать на их обратных сторонах все подмножества \{1,2,...,n} (по одному на карточке) так, что записи на всех выбранных карточках окажутся согласованными: для любых двух карточек (A,a),(B,b) (где A,B — записи на лицевых сторонах, a,b — на обратных) верно, что если a⊂b, то A⊂B. докажите, что m≥2n. | заметим, что на обратных сторонах карточек встречается возрастающая по включению последовательность из n+1 множеств: ∅⊂\{1}⊂\{1,2}⊂\{1,2,3}⊂...⊂\{1,2,...,n}(*) если m\leq2n-1, разложим карточки на две кучи: в одной куче карточки, на лицевой стороне которых выписаны множества с четным числом элементов, а в другой — с нечетным. тогда в каждой из куч величина «число элементов множества на лицевой стороне карточки» принимает лишь n различных значений, поэтому ни в одной из куч на лицевых сторонах карточек не найдётся согласованная с последовательностью ( * ) возрастающая цепочка из n+1 множества. и даже более цинично: расслоим карточки на 2n слов по числу элементов, после чего n слоев целиком помещаем в одну кучу, а другие n слоев в другую. ни одна из куч не содержит цепь длины n+1. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3419?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
|
shkolkovo-85752 | дано множество S из 68 натуральных чисел, не превосходящих 2021. докажите, что из множества S можно выбрать три непересекающихся подмножества, у которых равны количества элементов и суммы элементов. | так как по условию нам дано множество, то элементы в нём не повторяются. давайте сначала смотреть на двухэлементные подмножества, их всего C_{68}^{2}=2278 штук. понятно, что у них не могут совпадать суммы, и они пересекаются, так как иначе они просто совпадают. если множеств, подходящих под условие нашлось 3 штуки, то мы победили. но возможных сумм двухэлементных множеств 4040, и если бы их было хотя бы 2\cdot4040+1, то да — мы бы решили задачу. значит, у нас максимум два множества с двумя элементами и одинаковой суммой. давайте теперь посмотрим на возможные подмножества из трёх элементов, их C_{68}^{3}=50116 штук. понятно, что множества с одинаковой суммой могут пересекаться максимум по одному элементу, потому что иначе аналогично предыдущему рассуждению они полностью совпадают. если же все три множества пересекаются по одному элементу, то сумма у них не может быть одинаковая. действительно, в таком случае мы уже нашли подходящие множества из двух элементов. возможных же сумм может быть только 6055, поэтому точно найдётся 9 троек с какой-то одинаковой суммой. пусть это множества A_{1},A_{2},...,A_{9}. давайте теперь рассмотрим граф на 9 вершинах, обозначающих множества. они будут соединяться ребром, если имеют общий элемент, и будем подписывать ребро этим элементом. как мы поняли, кратных рёбер между ними нет, и максимум из одной вершины могут идти 3 ребра с разным элементом. таким образом, не умаляя общности пусть из вершины A_{1} рёбра ведут в A_{2},A_{3},A_{4}, а из A_{5} — в A_{6},A_{7},A_{8}. таким образом, у нас остались вершины A_{1},A_{5} и A_{9}, не соединённые ребром между собой. победа, задача решена. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3419?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
|
shkolkovo-85756 | n≥2 учеников решали 2^{n-1} задач. оказалось, что для каждых двух задач есть ученик, который решил обе эти задачи, и ученик, который решил ровно одну из них. докажите, что есть задача, которую решили все. | сопоставим каждой задаче множество учеников, которые её решили. если множества, сопоставленные двум задачам, совпадают, нет ученика, который решил только одну из них. поэтому все множества различны. разобьём 2^{n} возможных множеств учеников на пары, объединив в пару множество и его дополнение. ясно, что из двух множеств одной пары задачам сопоставили не более одного (если одну задачу решили какие-то ученики, а другую – все остальные, то нет ученика, решившего обе). поскольку пар 2^{n-1}, в каждой паре имеется ровно одно множество, сопоставленное задаче. пустое множество по условию не может быть множеством решивших какую-либо задачу, следовательно, какой-то задаче сопоставлено его дополнение – множество всех учеников. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3419?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
|
shkolkovo-85757 | множества X называется набор его непересекающихся подмножеств, которые в объединении дают X. у множества M взяли три разбиения на 999 подмножеств. оказалось, что для любого подмножества A из первого разбиения, B из второго и C из третьего, |A∩B|+|B∩C|+|C∩A|≥999. какое наименьшее количество элементов может быть в M? | 999^{3}/3 | пусть |M|=S. докажем, что S≥999^{3}/3. рассмотрим все возможные тройки (A,B,C). всего их 999^{3}, и для каждой из них |A∩B|+|B∩C|+|C∩A|≥999. то есть сумма по всем тройкам ≥999^{4}. обозначим её за SUM. с другой стороны, каждый элемент из M считается в SUM, когда два или три из множеств A,B и C содержат этот элемент. способов, когда ровно два из множеств A,B и C содержат этот элемент равно 998, так как множества, содержащие его, определяются однозначно. и ещё есть один способ, когда все три множества A,B и C содержат этот элемент, причём в этом случае элемент считается три раза. то есть каждый элемент считается в SUM ровно 999\cdot3 раз. то есть S\cdot999\cdot3≥999^{4}, откуда S≥999^{3}/3. осталось привести пример. рассмотрим 333 таблицы размера 999\times999. все клетки этих таблиц будут элементами множества S. пусть множество A_{\imath} содержит все клетки i строк всех таблиц и только их; множество B_{\imath} содержит все клетки i столбцов всех таблиц и только их; множество C_{\imath} содержит все клетки i диагонали, т.е. все клетки, у которых сумма координат сравнима с i по модулю 999. нетрудно заметить, что множества \{A_{\imath}},\{B_{\imath}},\{C_{\imath}} образуют разбиения. любые два множества из разных разбиений имеют общий элемент в каждой таблице. значит любые два множества из разных разбиений имеют 333 общих элемента, откуда |A∩B|+|B∩C|+|C∩A|≥999 для любой тройки (A,B,C). | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3419?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
shkolkovo-85759 | в каждом зоопарке обитает ровно 100 видов животных. зоопарки бывают двух типов: с вайфаем и без вайфая. для любой пары зоопарков разного типа есть вид животных, который содержится в обоих зоопарках. докажите, что все виды животных можно разделить на три непересекающихся списка так, чтобы в каждом зоопарке обитали животные не менее чем из двух списков. | проинтерпретируем задачу следующим образом: дано несколько синих и красных множеств, в каждом ровно 100 элементов. известно, что любое синее и любое красное множество имеют непустое пересечение. надо доказать, что все элементы множеств можно покрасить в три цвета (назовём эти цвета 1,2 и 3 ) так, чтобы в каждом множестве были элементы всех трёх цветов. причешем задачу. по-очереди выкинем все множества, которые совпадают с какими-то другими. но сделаем это так, чтобы после всех выкидываний или осталось одно множество, или остались множества двух цветов. понятно, что если решить задачу для новой системы множеств, то и для исходной она тоже будет решена. случай 1. остались и синие, и красные множества. выберем такие два множества — синее S и красное R — пересечение которых содержит больше всего элементов; пусть x элементов. отметим, что x\neq100. 1 ) если x=99, то раскрасим S∩R в цвет 1, два элемента из S/|R и R/|S в цвет 2, все остальные элементы не из S∪R в цвет 3. эта раскраска подходит. действительно, любое множество A пересекается или с S, или с R, то есть его элементы не могут быть только 3 -го цвета. но и только 1 -го или 2 -го цвета они быть не могут, так как 1 -го цвета ровно 99 элементов, а 2 -го цвета – 2 элемента. 2 ) если 1\leqx\leq98, то раскрасим S∩R в цвет 1, по одному элементу из S/|R и R/|S тоже в цвет 1, а остальные элементы из S/|R и R/|S в цвет 2, все остальные элементы не из S∪R в цвет 3. эта раскраска подходит. действительно, любое множество A пересекается или с S, или с R, то есть его элементы не могут быть только 3 -го цвета. но и только 1 -го или второго цвета они быть не могут. докажем это. почему все элементы из A не могут быть цвета 1? пусть могут. есть всего x+2 элемента 1 -го цвета, поэтому множество из 100 элементов 1 -го цвета при x\neq98 вообще существовать не может, а при x=98 оно пересекается с R и с S по 99 элементам, что противоречит выбору S и R как пары разноцветных множеств с максимальным пересечением. почему все элементы из A не могут быть цвета 2? пусть могут. пусть для определенности A – красное множество. тогда A и S пересекаются не более чем по x элементам цвета 2 (из выбора пары R и S как пары разноцветных множеств с максимальным пересечением). значит, A должно пересекаться с R не менее чем по 100-x элементам цвета 2, но в R всего 100-x-1 элемент цвета 2. случай 2. осталось только одно множество. как угодно покрасим его элементы в два цвета. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3419?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [] |
|
shkolkovo-89078 | докажите, что количество разбиений числа n в сумму не более, чем k слагаемых, каждое из которых не превосходит \ell, равно количеству разбиений числа k\ell-n в сумму не более, чем k слагаемых, каждое из которых не превосходит \ell. | рассмотрим диаграмму юнга для каждого разбиения n на сумму. дополним её до прямоугольника k\ell (поскольку слагаемых \leqk и каждое из них \leq\ell, то мы так можем сделать). заметим, что дополнение можно рассматривать как диаграмму юнга для разбиения числа k\ell-n на слагаемые. причем получится, что слагаемых тоже не более, чем k и каждое из них не будет превосходить \ell. в итоге, каждому разбиению на слагаемые числа n мы сопоставили разбиение числа k\ell-n. в обратную сторону соответствие строится аналогичным образом. поскольку мы смогли построить однозначное соответствие в обе стороны, то это соответствие будет биекцией. следовательно, количества разбиений равны. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3419?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [
"нужно доказать равенство количеств. для такого часто помогает построение биекций. диаграмма юнга это что-то про количество клеточек, а то есть про площадь. попробуйте найти геометрическое соответствие.",
"что такое kl-n? наверно, n - количество клеток в диаграмме, а kl - площадь прямоугольника с соответствующими сторонами."
] |
|
shkolkovo-89079 | докажите, что количество разбиений числа N на нечетные слагаемые равно количеству разбиений числа N на попарно различные слагаемые. | пусть имеется разложение n=(a_{1}+...+a_{1})+(a_{2}+...+a_{2})+...+(a_{k}+...+a_{k}) где a_{1},a_{2},...,a_{k} — различные нечетные числа, причем a_{\imath} повторяется в разложении k_{\imath} раз. рассмотрим разложение чисел k_{\imath} по различным степеням двойки: k_{\imath}=2^{t_{i}}+2^{s_{i}}+.... тогда легко видеть, что число n разлагается в сумму n=(2^{t_{1}}a_{1}+2^{s_{1}}a_{1}+...)+...+(2^{t_{k}}a_{k}+2^{s_{k}}a_{k}+...) причем все слагаемые в этой сумме различны. наоборот, если имеется разложение числа n на различные натуральные слагаемые, то каждое слагаемое представим в виде 2^{p}q, где p — целое, а q — нечетное, можно заменить это слагаемое на 2^{p} слагаемых, равных q. получим разложение n на нечетные слагаемые. нетрудно видеть, что нами построено взаимно однозначное соответствие между разложениями первого и второго вида, следовательно количества разложений первого и второго типа равны. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3419?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [
"рассмотрим разложение на нечетные числа, выделим из них группу равных, как их сгруппировать в сумму различных, чтоб еще и по группам не было равных сумм?",
"чтобы избежать равных сумм, можно пытаться сохранять нечетные простые множители. в этом очень сильно помогает двоичная система счисления ( в ней умножение на 2 приписывает 0).",
"поймите, что данный алгоритм работает в 2 стороны, тогда вы получили биекцию."
] |
|
shkolkovo-89261 | двое игроков ставят крестики и нолики на бесконечной клетчатой бумаге, причём на каждый крестик первого игрока второй отвечает 100 ноликами. докажите, что первый может добиться, чтобы некоторые четыре крестика образовали квадрат (со сторонами, параллельными линиям клеток). | зададим систему координат с точкой начала отсчета в одном из центров клетки доски и осями, параллельными прямым, содержащим стороны клеток. назовем клеткой (i,j) клетку, центр которой в заданной системе координат имеет координаты (i,j). зафиксируем натуральное число n. приведем стратегию игры за первого игрока. проведем [n^{0.03}] итерации следующего алгоритма: найдем натуральное число k такое, что в каждом из множеств клеток \{(i,k-i)}_{\imath≈1}^{n} и \{(k-i,i)}_{\imath≈1}^{n} нет отмеченных. в каждом из данных множеств отметим ⌊n^{0.99^{]}} клеток крестиком: на каждом четном ходу будет ставить крестик в одну из клеток первого множества, на каждом нечетном — из второго. так, мы можем отметить по крайней мере n/200 крестиков в каждом множестве, что при достаточно большом n больше, чем ⌊n^{0.99^{]}}. рассмотрим клетчатую бумагу после последней итерации алгоритма. назовем множество клеток (i,j) для всех i,j=\overline{1,...,n} особенным квадратом. в каждую клетку A особого квадрата запишем число C_{A}, равное количеству пар клеток, которые стоят в одной диаогнале, а на пересечении соответствующей вертикале и горизонтале стоит A (см. рис). во-первых, для любой клетки A число в C_{A} не превосходит числа ⌊n^{0.03^{]}} — количества диагоналей, на которой расставлены крестики. во-вторых, сумма всех чисел в особенном квадрате не меньше, чем ⌊n^{1.98}n^{0.03^{]}}=⌊n^{2.01^{]}} — число всевозможных пар клеток, стоящих на одной диагонали. после последней итерации алгоритма в особенном квадрате не более 101\cdot2n^{0.99}n^{0.03}=202n^{1.02}<⌊n^{1.03^{]}} клеток, отмечено ноликом — это общее количество ходов, которое было соверешенно на данный момент. достаточно показать, что существует не меньше [n^{1.03}] клеток особенного квадрата, число которых не меньше 101, тогда по принципу дирихле, найдется клетка, число в которой хотя бы 101, наконец, поставив крестик в нее, мы добьемся победы на следующем ходу. предположим противное. тогда существует не более ⌊n^{1.03^{]}} клеток, числа каждой из которых не превосходят ⌊n^{0.03^{]}}, следовательно, в остальных ⌊n^{2^{]}}-⌊n^{1.03^{]}} клетках сумма не превосходит 101. таким образом, сумма чисел всех клеток в особенном квадрате не превосходит ⌊n^{1.03^{]}}\cdot⌊n^{0.03^{]}}+101^{(}⌊n^{2^{]}}-⌊n^{1.03^{]}}) но, как мы выяснили раннее, это число не меньше, чем ⌊n^{2.01^{]}}, что при достаточно больших n это невозможно. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3419?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [
"каким свойствами должен обладать предпоследний ход первого игрока, если последний является победным?",
"ясно, что должно существовать не менее 101 свободной клетки, такие поставив крестик в любую из них, будет образован квадрат из крестиков. довольно трудно следить за всеми клетками доски одновременно. давайте ограничимся квадратом n на n - назовем его особенным, где n достаточно большое число (позже мы покажем, что оно существует) и будет ставить в остальные крестики в остальные поля. наша цель - доказать, что после алгоритма заполнения остальных клеток появится искомая клетка.",
"если a>=2, то за время его выполнения второй игрок поставит не менее 100n^2 ходов, следовательно, может заполнить квадрат, а значит такой алгоритм не поможет образовать искомую клетку. с другой же стороны если a<2, то при достаточно больших 100n^a < n^2, следовательно, после выполнения любого такого алгоритма в особенном квадрате еще останутся свободные клетки, что является необходимым условием для возможности победы. теперь давайте определимся с тем, в какие клетки плоскости мы можем ставить остальные крестики.",
"ясно, что в любом квадрате, который мы стремимся построить как минимум две противоположные вершины должны являться крестиками, клеток, стоящих в одной горизонтале или вертикале с клеткой особенного квадрата. кроме этого, обе из этих клеток должны стоять на одной из диагоналей клеток нашей доски. так, естественным будет попытка заполнить часть одной из диагоналей, которые лежат в одной вертикале/горизонтале с какой-то из клеток особенного квадрата. при каком a мы свободны заполнить по крайней мере n^a клеток этого множества, при необходимом a?",
"при любом a<1. давайте не будет мелочиться и поставим в каждой из двух частей (первая часть - множество клеток, стоящих в одной вертикале с какой-то вертикалей особенного квадрата) каждой новой диагонали n^{0.99}. это возможно, потому что каждый раз мы можем выбирать диагональ каждая клетка которой свободна. при каком a количество n^a диагоналей будет достаточно, для того, в особенном квадрате появилась клетка, для которой существует не менее 101 пары крестиков, стоящий в одной диагонале.",
"пусть мы получили n^a диагоналей, в каждой из частей которой не менее n^0.99. тогда общее количество пар крестиков, стоящих в одной диагонале, равно n^a n^{0.99} n^{0.99}, то есть n^{1.98+a}. ясно, что если а <= 0.02, то общее количество пар меньше n^2, следовательно, возможна расстановка крестиков, когда для каждого клетки особенного квадрата стоит не более 1 квадрата - а значит искомых клеток может не найтись. так a > 0.02. тогда положим a = 0.03.",
"числом клетки особенного квадрата назовем количество данных пар клеток. чему может быть равно число клетки? чему может быть равна сумма всех чисел клеток особенного квадрата?",
"число клетки не превосходит общего количества заполненных диагоналей - n^0.03. сумма чисел всех клеток равна количеству пар, стоящих в одной диагонале, но в разных частях. их количество, как было посчитано ранее, не менее n^{2.01}. предположим противное - каждая из еще не занятых клеток имеет число не более 101. какое противоречие теперь можно получить?",
"предъявите оценку снизу для суммы чисел всех клеток особенного квадрата и покажите, что она больше, чем n^{2.01}."
] |
|
shkolkovo-90597 | докажите, что можно покрасить все натуральные числа в два цвета, так чтобы не нашлось бесконечной одноцветной арифметической прогрессии. | будем красить в два цвета: красный и синий. первое число (единицу) покрасим в красный цвет, следующие два в синий, следующие три в красный и так далее. рассмотрим любую арифметическую прогрессию, состоящую из натуральных чисел. пусть первый элемент равен n, а шаг — d. нетрудно видеть, что найдется хотя бы d красных чисел, идущих подряд, первое из которых больше n. тогда в этой прогрессии есть красное число. аналогично в этой прогрессии есть синее число. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3419?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [
"чтобы не встретилось одноцветной прогрессии с шагом 1, необходимо сделать так, чтобы последовательность не стала одноцветной. как в этом ключе забраковать другие прогрессии?",
"чтобы избежать одноцветных прогрессий, достаточно покрасить много подряд идущих чисел в один цвет (чтобы он обязательно встретился)."
] |
|
shkolkovo-90601 | назовём множество арифметических прогрессий последовательным, если их длины равны, разности совпадают, а первые члены — последовательные натуральные числа. докажите, что при любой покраске натурального ряда в 10 цветов найдутся 100 последовательных одноцветных арифметических прогрессий длины 1000. | разобьем все натуральные числа на блоки состоящие из 100 подряд идущих чисел. назовем блоки одинаковыми, если у них i -ые числа покрашены в один цвет. покрасим одинаковые блоки в один цвет. тогда цветов не более 10^{100}. по теореме ван дер вардена существует одноцветная арифметическая прогрессия длины 100. поймем, что нашли 100 последовательных одноцветных арифметических прогрессий длины 1000. действительно, i -ые числа каждого блока составляют одноцветную арифметическую прогрессию длины 1000. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3419?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [
"в задаче что-то говорится про арифметические прогрессии и покраску чисел натурального ряда. похоже на теорему ван дер вардена. найдите ее здесь.",
"разбейте числа на сотни подряд идущих и примените теорему ван дер вардена."
] |
|
shkolkovo-92113 | найдите сумму всех двузначных чисел, состоящих из одной чётной цифры и одной нечётной цифры (чётные цифры — это 0,2,4,6,8 , нечётные — все остальные). | 2450 | первое решение. если цифра в разряде десятков нечётна (таких случаев 5), то каждому подходящему числу можно сопоставить неподходящее число на единицу больше. в каждом таком десятке будет 5 пар, поэтому сумма неподходящих чисел в таких десятках на 5\cdot5=25 больше. если цифра в разряде десятков чётна (таких случаев 4, потому что 0 не может быть числом десятков двузначного числа), то каждому подходящему числу можно сопоставить неподходящее число на единицу меньше. в каждом таком десятке будет 5 пар, поэтому сумма неподходящих чисел в таких десятках на 5\cdot4=20 меньше. в итоге сумма S подходящих на 25-20=5 меньше, чем сумма неподходящих. так как все двузначные числа учитываются приведённым соответствием, то получаем уравнение S+(S+5)=10+11+...+99=(90(10+99))/(2)=4905 S=2450 второе решение. отдельно сгруппируем суммы подходящих чисел с первой нечётной цифрой и отдельно с первой чётной, а далее заметим, что в каждом десятке по 5 подходящих чисел (10+12+14+16+18+30+32+...+98)+(21+23+25+27+29+41+...+89)= 5((10+30+50+70+90)+(0+2+4+6+8))+5((20+40+60+80))+4(1+3+5+7+9)= 5\cdot(250+20+200)+4\cdot25=5\cdot490=2450 | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/7463?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [
"попробуем выписать такие числа подряд! какую закономерность можно заметить?",
"выпишите подряд подходящие числа, у которых первая цифра нечётная, и отдельно, у которых первая цифра чётная! сколько подходящих чисел в каждом десятке?",
"группировка слагаемых поможет нам быстро справиться с вычислениями)"
] |
shkolkovo-94000 | (a) пусть дано семейство двухэлементных множеств. среди любых p=3 множеств хотя бы 2 имеют общий элемент. всегда ли можно разбить это семейство на 3 подсемейства так, чтобы в каждом подсемействе любые два множества пересекались? (b) на какое минимальное количество подсемейств можно гарантированно разбить это семейство, чтобы в каждом подсемействе любые два множества пересекались? (c) та же задача для произвольного p. | (a) да; (b) на 3; (c) на 2p-3 | (a) если все множества пересекаются, то достаточно и одного подсемейства. итак пусть есть два непересекающихся множества, назовём элементы первого 1 и 2, второго — 3 и 4. тогда если имеются множества 1 и 5,2 и 6, то тройка 1 и 5,2 и 6,3 и 4 не удовлетворяет условию. значит множества, содержащие по элементу 1 и 2, не содержащие 3 и 4, это либо множества только с 1 (либо только с 2, случаи симметричны), либо пара множеств 1 и 5,2 и 5. то же можно сказать и про множества, содержащие по элементу из 3 и 4. тогда глобально можем выделить три случая (остальные симметричны). первый случай: не существует множеств, содержащих элемент 2 и второй не из 1,3,4 и не существует множеств, содержащих элемент 4 и второй не из 1,2,3. тогда искомые подсемейства можно предъявить так: в первом все множества, содержащие 1, во втором все множества, не лежащие в первом подсемействе, содержащие элемент 3, в третьем все оставшиеся множества. второй случай: не существует множеств, содержащих элемент 2 и второй не из 1,3,4 и не существует множеств, содержащих элементы 3 и 4, не содержащие 1 и 2, помимо 3 и 5,4 и 5. тогда искомые подсемейства можно предъявить так: в первом все множества, содержащие 1, во втором множества 3 и 4,3 и 5,4 и 5, в третьем все оставшиеся. третий случай: не существует множеств, содержащих элементы 1 и 2, не содержащих элементы 3 и 4, помимо 1 и 5,2 и 5 и не существует множеств, содержащих элементы 3 и 4, не содержащих 1 и 2, помимо 3 и 6,4 и 6 (5 и 6 могут совпадать). тогда искомые подсемейства можно предъявить так: в первом множества 1 и 2,1 и 5,2 и 5, во втором множества 3 и 4,3 и 6,4 и 6, в третьем все оставшиеся. нетрудно убедиться, что действительно во всех случаях в каждоподсемействе любые два множества имеют общий элемент. (b) доказательство существования разбиения пунктом выше. предъявим пример, при котором двух множеств не хватит. пусть наше семейство — всевозможные пары различных элементов множества 1,2,3,4,5. всего таких множеств (5\cdot4)/(2)=10. если их можно разбить на два подсемейства указанным образом, хотя бы в одном подсемействе разбиения будет хотя бы 5 множеств. без ограничения общности скажем, что в нём есть множества 1 и 2,1 и 3. тогда если в нём есть ещё множество с двойкой, то это только 2 и 3, в таком случае других множеств в подсемействе быть не может, итого 3<5 множеств. если множеств с двойкой больше нет, то все содержат 1, а таких множеств всего 4<5. (c) для начала докажем существование разбиения. если для любых p-1 множеств у каких-то двух из них найдётся общий элемент, можно осуществить спуск от p к p-1. (для маленького p=3 утверждение доказано). итак пусть есть p-1 непересекающихся множеств, назовём элементы первого 1 и 2, второго — 3 и 4,...,2p-3 и 2p-2. тогда если имеются множества 1 и 2p-1,2 и 2p, то p множеств 1 и 2p-1,2 и 2p,3 и 4,...,2p-3 и 2p-2, в них никакие два не имеют общего элемента, противоречие с условием. значит, множества, содержащие по элементу из 1 и 2, не содержащие элементов от 3,4,...,2p-2 это либо множества только с 1 (либо только с 2, случаи симметричны), либо пара множеств 1 и 2p-1,2 и 2p-1. то же можно сказать и про множества, содержащие по элементу из 3 и 4,...,2p-3 и 2p-2. тогда если среди элементов 1 и 2 есть элемент, скажем 1, с которым нет множеств с элементами помимо 1,2,...,2p-2, то выберем в качестве подсемейств следующие множества: все множества, содержащие 2, все ещё не лежащие ни в одном подсемействе множества, содержащие 3,..., все ещё не лежащие ни в одном подсемействе множества, содержащие 2p-2. если же среди 1,2 любой содержится в множестве с каким-то кроме 1,2,...,2p-2, то для пары элементов 1 и 2 существует не более одного элемента не из 1,2,...,2p-2, с которыми они в множествах, притом в каждой паре для обоих элементов существуют множества с таким элементом. назовём такой элемент 2p-1. выберем подсемейства следующим образом: множества 1 и 2,1 и 2p-1,2 и 2p-1 в первом, во втором все множества, содержащие третий элемент, в третьем все ещё не лежащие в подсемействах множества, содержащие четвёртый элемент, ..., в 2p-3 все множества, ещё не лежащие в подсемействах, содержащие 2p-2. теперь приведём пример семейства множеств, удовлетворяющих условиям, которые не удастся разбить на 2p-4 подсемейства, чтобы в подсемействах любая пара множеств имела общий элемент. пусть имеются элементы 1,2...,2p-2,2p-1, а множества — всевозможные пары двух различных. условие на существование общего элемента в какой-то паре множеств из любых p множеств выполняется в силу количественных соображений (участий в p множествах 2p, а возможных участников-элементов 2p-1). множеств же всего ((2p-1)\cdot(2p-2))/(2). итак, любое подсемейство это либо всевозможные пары множеств на трёх элементах, либо какой-то набор множеств, содержащих общий элемент. тогда если семейств первого вида k, а всего семейств менее 2p-3, то семейства второго вида содержат не более (2p-2)+(2p-3)+...(k+3). всего получается множеств в семействе не более 3k+(2p-2)+(2p-3)+...+(k+3), для p>2 величина максимальна при k=0, в таком случае она равна (2p-2)+(2p-3)+...+3, а это строго меньше суммы чисел от 1 до 2p-2, а значит, и нашего числа множеств. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3419?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [
"попробуем сконструировать 3 подсемейства, чтобы в каждом любые два множества пересекались. логично тогда выбрать непересекающиеся множества, скажем, из элементов 1 и 2, 3 и 4 в первые два подсемейства. что можно сказать про остальные множества, содержащие элементы 1 или 2, при этом не содержащие 3 и 4?",
"ага, либо не существует множеств, содержащих один из элементов 1 и 2, либо таких множеств всего два с одним общим элементом, то есть 1 и 5, 2 и 5. то же с элементами 3 и 4. осталось разобрать три случая (остальные симметричны).",
"пример на 3 в пункте а уже построили, причём кажется с трудом. потому хочется попробовать сделать оценку именно на это число.",
"какое бы семейство множеств можно выбрать, чтобы любые три имели общий элемент?",
"действительно, например, выбрать все множества на пяти элементах. из соображений пункта а осталось оценить количество множеств в семействах и понять, что их меньше, чем общее количество множеств.",
"основываясь на пунктах а и б, а именно на их доказательствах хочется выдвинуть гипотезу о том, что ответ 2p-3. давайте начнём с доказательства существования разбиения. также выберем максимально возможное количество попарно не пересекающихся множеств, сколько их и что тогда можно сказать про остальные?",
"действительно, непересекающихся множеств не более p-1, далее по аналогии с пунктом а можем сказать о множествах, содержащих элементы помимо выбранных 2p-1. осталось разобрать случаи и предъявить искомые семейства.",
"теперь построим пример семейства множеств, аналогичный пункту б. теперь уже всевозможные множества из двух элементов на 2p-1 вершинах. мы уже доказывали, каков вид подсемейств, тогда если количество подсемейств, содержащих 3 элемента равно k, то общее число множеств в 2p-4 подсемействах максимум 3k+(2p-2)+(2p-3)+...+(k+2), остаётся сравнить его с фактическим числом множеств (и показать, что оно меньше для любого k)."
] |
shkolkovo-94339 | имеется множество C, состоящее из n элементов. сколькими способами можно выбрать в C два подмножества A и B так, чтобы (a) множества A и B не пересекались; (b) множество A содержалось бы в множестве B? | 3^{n} оба пункта | (a) будем выбирать подмножества A и B следующим образом: сначала выберем множество D=A∪B мощности |D|=d\leqn и выберем из него подмножество A. тогда D/|A=B. для каждого d существует C_{n}^{d} способов выбрать множество D. для каждого выбранного D существует 2^{d} способов выбрать множество A, а множдество B задастся однозначно. получается, что для каждого d мы имеем C_{n}^{d}\cdot2^{d} случаев. просуммируем по всем d и получим: \sum_{\imath≈0}^{n}C_{n}^{\imath}\cdot2^{\imath}=(1+2)^{n}=3^{n} (b) этот пункт можно решить аналогично предыдущему (сказав, что достаточно выбрать непересекающиеся множества B и A/|B), но мы сделаем немного иначе. для каждого элемента a имеется 3 состояния: 1) a не лежит ни в A, ни в B; 2) a лежит в B, но не в A; 3) a лежит и в A, и в B. тогда, поскольку определение состояния каждого элемента однозначно задает нам A и B и наоборот, то мы получаем, что всего случаев будет 3^{n}. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3419?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [
"попробуем сначала выбрать множество, равное объединению множеств a и b, а из него выберем подмножество a. как тогда восстановить множество b?",
"верно! множество b однозначно восстанавливается, как разность двух множеств. чтобы найти количество способов выбрать a, зафиксируем d — мощность объединения d множеств a и b. количество множеств d находится легко, как число сочетаний. а как найти количество множеств a?",
"верно! это просто количество различных подмножеств множества d. теперь необходимо просуммировать получившееся выражения для d = 0, ..., n. чему равна эта сумма?",
"когда мы считаем количество подмножеств у какого-нибудь множества, то для каждого элемента выбираем одно из двух состояний: состоит он в множестве или нет. можно ли сделать что-нибудь похожее для нашей задачи?",
"верно! всего есть три состояния: элемент содержится в множествах a и b; содержится в b, но не в a и не входит ни в a, ни в b. каково тогда способов выбрать множества a и b?"
] |
shkolkovo-94410 | пусть n — нечётное натуральное число. докажите, что наборов из k различных натуральных чисел, меньших n , сумма чисел в которых дает остаток 1 по модулю n, столько же, сколько наборов из k различных натуральных чисел, меньших n , сумма чисел в которых дает остаток 2 по модулю n. | пусть A — множество всех таких наборов \{a_{1},...,a_{k}} , что a_{1}+...+a_{k}≡1(modn) B — множество всех таких наборов \{b_{1},...,b_{k}}, что b_{1}+...+b_{k}≡2(modn) построим биекцию между множествами A и B. для этого каждому набору \{a_{1},...,a_{k}} из множества A поставим в соответствие набор \{2a_{1},...,2a_{k}}, который лежит в B, поскольку 2a_{1}+...+2a_{k}=2(a_{1}+...+a_{k})≡2(modn) полученное отображение является биекцией, поскольку каждому набору \{b_{1},...,b_{k}}∈B соответствует и единственен набор \{(b_{1})/(2),...,(b_{k})/(2)}∈A. | {
"classes": null,
"difficulty": null,
"hardness": null,
"img_solution": null,
"img_statement": null,
"link": "https://3.shkolkovo.online/catalog/3419?SubjectId=7&Page=1",
"next": null,
"number": null,
"previous": null,
"remark": null,
"solution2": null,
"source": null,
"topics": null,
"type": null
} | [
"вспомните самый популярный способ доказательства равномощности множеств.",
"мы хотим построить биекцию между данными множествами. каким способом это можно сделать?",
"давайте каждому набору, сумма чисел которого сравнима с 1 по модулю n, ставить в соответствие набор, в котором каждый элемент получается домножением соответствующего элемента первого набора на 2. докажите, что построенное отображение является биекцией."
] |
Subsets and Splits