prompt
stringlengths 7
926
| completion
stringlengths 15
3.16k
|
|---|---|
Сурагч эхний өдөр нийт асуултын 1515 ба 3 асуулт, 2 дахь өдөр үлдсэн асуултын 40%40% ба 6 асуулт, 3 дахь өдрийн үдээс өмнө үлдсэн асуултуудынхаа 2323 хэсгийг боловсруулахад 7 асуулт боловсруулаагүй үлдсэн бол шалгалт хэдэн асуулттай байсан бэ?
|
Заавар: Дараах асуултын дагуу хариулж бод.
3 дахь өдөр нийт хэдэн боловсруулаагүй асуулт үлдсэн байсан бэ?
2 дахь өдөр боловсруулаагүй үлдсэн асуултуудын 60%60% нь хэд байсан бэ? Нийт хэдэн боловруулаагүй асуулт үлдсэн байсан бэ?
Анх хэдэн асуулт байсан бэ?
Бодолт: 3 дахь өдөр нийт хэдэн боловсруулаагүй асуулт үлдсэн байсан бэ?
З дахь өдрийн үдээс хойш 1−23=131−23=13 хэсэг буюу 7 асуулт үлдсэн тул нийт 7⋅3=217⋅3=21 боловсруулаагүй асуулт байжээ.
2 дахь өдөр боловсруулаагүй үлдсэн асуултуудын 60%60% нь хэд байсан бэ? Нийт хэдэн боловруулаагүй асуулт үлдсэн байсан бэ?
Энэ 60%60% нь 3 дахь өдөр үлдсэн 21 асуулт болон нэмж боловсруулсан 6 асуултаас бүрдэх тул нийт 27 асуулт болно. Иймд нийт 2760%⋅100%=452760%⋅100%=45 боловсруулаагүй асуулт байжээ.
Анх хэдэн асуулт байсан бэ?
Өмнөхийн адилаар 45+3=4845+3=48 нь 1−15=451−15=45 хэсэг болно. Иймд нийт 48:45=48⋅54=6048:45=48⋅54=60 асуулт байжээ.
|
Сурагч эхний өдөр нийт асуултын 1515 хэсэг ба 8 асуулт, 2 дахь өдөр үлдсэн асуултын 40%40% ба 3 асуулт, 3 дахь өдрийн үдээс өмнө үлдсэн асуултынхаа 2323 хэсгийг боловсруулахад 7 асуулт боловсруулаагүй үлдсэн бол шалгалт хэдэн асуулттай байсан бэ?
|
Заавар: Сүүлийн өдрөөс урагшлуулж тооц.
Бодолт: 3 дахь өдрийн үдээс хойш уг өдрийн 1−23=131−23=13 хэсэг үлдэх тул 3 дахь өдөр нийт 7⋅3=217⋅3=21 асуулт үлдэнэ.
2 дахь өдрийн 3 асуулт ба 3 дахь өдрийн 21 асуулт 2 дахь өдрийн асуултын 100%−40%=60%100%−40%=60% тул
60%↔24100%↔x60%↔24100%↔x
буюу хоёр дахь өдөр x=24⋅10060=40x=24⋅10060=40 асуулт үлдсэн.
Эхний өдрийн 8 асуулт ба хоёр дахь өдрийн 40 асуулт нь нийт асуултын 1−15=451−15=45 хэсэг тул 1515 хэсэг нь 40+84=1240+84=12 асуулт байна. Иймд нийт 5⋅12=605⋅12=60 асуулт байжээ.
|
Сурагч үлгэрийн номын 25%25%-ыг уншив. Нэмж 7 хуудас уншихад 37.5%37.5% уншигдсан байв. Ном хэдэн хуудастай вэ?
|
Заавар: Нэмж уншсан 7 хуудас номын хэдэн хувь болох вэ?
Бодолт: Нэмж уншсан 7 хуудас нь 37.5%−25%=12.5%37.5%−25%=12.5% тул нийт хуудас нь x=712.5%⋅100%=56x=712.5%⋅100%=56 байна.
|
Сурагч үлгэрийн номын 25%25%-ыг уншив. Нэмж 9 хуудас уншихад 37.5%37.5% уншигдсан байв. Ном хэдэн хуудастай вэ?
|
Заавар: Нэмж уншсан 9 хуудас номын хэдэн хувь болох вэ?
Бодолт: Нэмж уншсан 9 хуудас нь 37.5%−25%=12.5%37.5%−25%=12.5% тул нийт хуудас нь x=912.5%⋅100%=72x=912.5%⋅100%=72 байна.
|
Сурагч өдөр бүр ижил тооны хуудас уншин нийт 480 хуудас ном уншиж дуусгав. Хэрвээ сурагч өдөр бүр 16 хуудас нэмж уншсан бол номоо 5 өдрийн өмнө уншиж дуусгах байжээ. Сурагч уг номыг хэдэн өдөр уншиж дуусгасан бэ?
|
Заавар: nk=(n−5)(k+16)=480nk=(n−5)(k+16)=480
тэгшитгэлийг бод.
Бодолт: Сурагч өдөрт kk хуудас, нийт nn өдөрт номоо уншиж дуусгасан гэвэл
nk=(n−5)(k+16)⇒16n−5k=80nk=(n−5)(k+16)⇒16n−5k=80. Эндээс k=16n−805k=16n−805 тул
n⋅16n−805=480⇒n2−5n−150=0n⋅16n−805=480⇒n2−5n−150=0
болно. Иймд
n1,2=5±√(−5)2−4⋅1⋅(150)2⋅1=5±252n1,2=5±(−5)2−4⋅1⋅(150)2⋅1=5±252
Эндээс n=15n=15 гэсэн эерэг шийд нь бодлогын хариу болно.
|
Сургуулийн хашаа 12, 24, 30, 42, 18 метр талууд бүхий 5 өнцөгт хэлбэртэй байв. Хашааг тойруулан гэрлийн шон суулгах болов. Хашааны булан бүрт гэрэл байх шаардлагатай бөгөөд гэрлийн шонгууд хоорондоо ижил зайтай байна. Хамгийн цөөндөө хэдэн шон хийх хэрэгтэй вэ?
|
Заавар: Зэрэгцээ 2 шонгийн хоорондох зай нь хашааны талуудын уртыг хуваана. Нийт шонгийн тоо нь хашааны уртыг уг зайд хуваахад гарна.
Бодолт: Гэрлийн шонгууд хоорондоо ижил mm зайд байсан гэе. Хашааны нийт урт (12+24+30+42+18)=126(12+24+30+42+18)=126 тул 126/m126/m гэрлийн шон хэрэгтэй. Хашааны булангуудад гэрэл байрлах тул тус бүр 12m+112m+1, 24m+124m+1, 30m+130m+1, 42m+142m+1, 18m+118m+1 шон байрлана. Иймд эдгээр нь бүхэл тоонууд байх ёстой бөгөөд энэ нөхцөлийг биелүүлж байхаар хамгийн их mm тоог сонгох хэрэгтэй (энэ үед 126/m126/m хамгийн бага байна). m=ХИЕХ(12,24,30,42,18)=6m=ХИЕХ(12,24,30,42,18)=6 дээрх нөхцөлийг хангана. Энэ үед 126/6=21126/6=21 гэрлийн шон хэрэгтэй.
|
Суудлын тэрэг, жийп хоёр тойрог замаар давхиж байв. Замын 1414 хэсэг нь хотоор дайрдаг. Суудлын тэрэгний хурд хот дотор 2v2v, хотын гадна 9v49v4 ба жийпний хурд хот дотор vv, хотын гадна 3v3v байв. Машинууд нэгэн зэрэг хотод орж ирсэн бөгөөд тойрог замын хотын хэсэг нь SS гэвэл abab дүгээр тойрогт abc⋅Svabc⋅Sv хугацааны дараа нэг нь нөгөөгөө гүйцэж түрүүлнэ. Энэ гүйцэж түрүүлсэн машин дараагийн удаад fgfg дүгээр тойрогт дахин нөгөө машинаа гүйцнэ.
|
Заавар: Суудлын тэрэг S2v+3S9v4=11S6vS2v+3S9v4=11S6v, жийп Sv+3S3v=2Sv>11S6vSv+3S3v=2Sv>11S6v хугацаанд нэг тойрно.
Бодолт: Нэг тойрох хугацаа нь бага бөгөөд өөрийн хурдан хэсэгтээ хотод орж ирж байгаа тул суудлын тэрэг эхэлж жийпийг гүйцнэ.
(k+1)(k+1)-р тойрогт xx нэгж зам яваад суудлын тэрэг жийпийг гүйцсэн гэвэл 0<x<S0<x<S ба
116⋅Sv⋅k+x2v=2Sv⋅(k−1)+xv⇔3x=(12−k)S116⋅Sv⋅k+x2v=2Sv⋅(k−1)+xv⇔3x=(12−k)S
болно. Эндээс
0<(12−k)S<3S⇔9<k<120<(12−k)S<3S⇔9<k<12
болно. kk нь натурал тоо тул k=10k=10, k=11k=11 байх боломжтой. k=10k=10 бол k+1=11k+1=11 дүгээр тойрогт x=2S3x=2S3 зайд гүйцнэ. Энэ үед хугацаа нь
1106⋅Sv+13⋅Sv=563⋅Sv1106⋅Sv+13⋅Sv=563⋅Sv
байна.
k=11k=11 буюу 12-р тойрогт дахин гүйцэж түрүүлнэ. Учир нь 11-р тойрогт суудлын тэрэг гүйцсэнийхээ дараа хөдөөний замд жийпэнд гүйцэгдэх бөгөөд үүний дараа хотын замд дахин гүйцэж түрүүлнэ.
|
Сүүлчийн 48-р гишүүн нь 60, бүх гишүүдийн нийлбэр нь 192 байх арифметик прогрессийн эхний гишүүн аль нь вэ?
|
Заавар: Sn=a1+an2⋅n ашиглан бод.
Бодолт: S48=a1+a482⋅48⇒a1=S4824−a48=19224−60=−52
|
Тарган хүн турах зорилгоор сарын турш эрчимтэй дасгал хийхэд 156 кг-аас 144 кг болж багасав. Өдөр бүрийн жингийн алдагдал нь байгаа жиндээ пропорционал гэж тооцоод тэгшитгэл зохиож биеийн жинг хугацаанаас хамааруулж ол.
|
Заавар: m′(t)=km(t)m′(t)=km(t) байна. m(0)=156m(0)=156, m(1)=144m(1)=144 анхны нөхцөл ашиглаарай.
Бодолт: m′(t)=km(t)⇔∫dm(t)m(t)=k⇔ln|m(t)|=kt+Cm′(t)=km(t)⇔∫dm(t)m(t)=k⇔ln|m(t)|=kt+C
тул m(t)=ekt+C=μektm(t)=ekt+C=μekt болно. m(0)=156m(0)=156 тул μ=156μ=156 ба m(1)=156ek=144m(1)=156ek=144 тул ek=144156=1213ek=144156=1213 болно. Иймд
m(t)=144⋅(1213)tm(t)=144⋅(1213)t
болно.
|
Тахиаг 150∘150∘ хүртэл халаагаад шарах шүүгээнээс гаргав. Гаргаснаас хойш 3 минутын дараа температур нь 90∘90∘ болж буурсан бол tt хугацааны дараах тахианы температур T(t)T(t) аль нь вэ? Тасалгааны температурыг тогтмол 20∘20∘ байсан гэж үз.
|
Заавар: Дулаан алдалт нь биеийн температур болон тасалгааны температурын зөрөөтэй шууд пропорционал хамааралтай тул dTdt=k(T−20∘)dTdt=k(T−20∘) байна.
Бодолт: dT(t)dt=k(T(t)−20∘)⇒d(T(t)−20∘)T(t)−20∘=kdtdT(t)dt=k(T(t)−20∘)⇒d(T(t)−20∘)T(t)−20∘=kdt болно. Тэгшитгэлийн хоёр талыг интегралчилж бодвол
ln|T(t)−20∘|=kt+Cln|T(t)−20∘|=kt+C
T(t)>20∘T(t)>20∘ тул |T(t)−20∘|=T(t)−20∘|T(t)−20∘|=T(t)−20∘ байна. Иймд
T(t)=ek⋅t+C+20∘=μek⋅t+20∘T(t)=ek⋅t+C+20∘=μek⋅t+20∘
T(0)=150∘T(0)=150∘ гэдгээс 150∘=μek⋅0+20∘150∘=μek⋅0+20∘ буюу μ=130∘μ=130∘ болно. Түүнчлэн T(3)=90∘T(3)=90∘ тул 90∘=130∘⋅e3k+20∘90∘=130∘⋅e3k+20∘ буюу ek=(713)13ek=(713)13 байна. Иймд
T(t)=130∘×(713)t3+20∘T(t)=130∘×(713)t3+20∘
болов.
|
Тоосгоны үнэ 250 төгрөг байснаа 200 төгрөг болж буурсан бол хэдэн хувиар хямдарсан бэ?
|
Заавар: xx хувиар үнэ өөрчлөгдөхөд шинэ үнэ нь (1+x100)⋅250=250+2.5x(1+x100)⋅250=250+2.5x байна.
Бодолт: (1+x100)⋅250=250+2.5x=200⇒x=−20(1+x100)⋅250=250+2.5x=200⇒x=−20 тул 20 хувь хямдарсан байна.
|
Тооцоол
|
Заавар:
Бодолт: 58⋅62=602−22=3600−4=3596
102⋅98=1002−22=10000−4=9996
108⋅92=1002−82=10000−64=9936
95⋅105=1002−52=10000−25=9975
196⋅204=2002−42=40000−16=39984
79⋅121=1002−212=10000−441=9559
109⋅91=1002−92=10000−81=9919
|
Тракторчид 240 га талбай хагалжээ. 2 өдрийн турш хагалсан газрын 80%80% нь үлдсэн талбайгаас 2.52.5 дахин бага байв. Тракторчид өдөрт хэдэн га газар хагалсан бэ? Хэдэн өдөрт ажлаа дуусгасан бэ?
|
Заавар: Хоёр өдөр хагалсан газрыг 10 хэсэг гэвэл үлдсэн нь хэдэн хэсэг болох вэ?
Бодолт: Хоёр өдөр хагалсан газрыг 10 хэсэг гэвэл түүний 80 хувь нь 8 хэсэг, үлдсэн газар нь 8⋅2.5=208⋅2.5=20 хэсэг болно. Иймд нийт 30 хэсэг газар нь нийт 240 га болно. Иймд нэг хэсэг нь 240:30=8240:30=8 га болно. Өдөрт 5 хэсэг буюу 5⋅8=405⋅8=40 га хагалах тул ажлаа 240:40=6240:40=6 өдөрт дуусгана.
|
Тракторчид 240 га талбай хагалжээ. 2 өдрийн турш хагалсан газрын 80%80% нь үлдсэн талбайгаас 2.52.5 дахин бага байв. Тракторчид өдөрт хэдэн га хагалсан бэ?
|
Заавар:
Бодолт: Өдөрт aa га, нийт nn өдөр хагалсан гэе. Тэгвэл 2a⋅80100⋅2.5=(n−2)a⇒n=62a⋅80100⋅2.5=(n−2)a⇒n=6. Иймд өдөрт 2406=402406=40 га хагалсан.
|
Тунелийн хоёр талд ажиллаж байгаа 2 машин 60 хоногт зам тавих ёстой. Хэрвээ эхний машин өөрийн ажлын 30%30%-ийг, харин нөгөө нь 2623%2623%-ийг хийвэл тэд хамтдаа 60 м зам тавина. Хэрвээ эхний машин хоёрдахь машины тавих ёстой замын 2/32/3, харин хоёр дахь нь нэг дэхийн ажлын 0,30,3-г хийвэл, нэг дэх машин хоёрдохоос 6 өдөр илүү ажиллана. Машин тус бүр өдөрт хэдэн метр зам тавьдаг вэ?
|
Заавар:
Бодолт: Эхний машин өдөрт xx м зам, хоёр дахь машин өдөр yy м зам тус бүр тавьдаг гэе. Тэгвэл 60 өдөрт харгалзан 60x60x м, 60y60y м зам тавьна. Нэг дэх машины тавих замын 30%30% нь 18x18x м, хоёр дахь машины тавих замын 2623%2623% нь 16y16y м болно. Иймд бодлогын нөхцлөөс 18x+60y=6018x+60y=60 болно. Нэг дэх машин хоёр дахь машины хийх ажлын 2/32/3-ийг хийхэд (23⋅60y):x=40yx(23⋅60y):x=40yx өдөр, хоёр дахь машин нэг дэх машины хийх ажлын 0,30,3-ийг хийхэд 0,3⋅60xy=18xy0,3⋅60xy=18xy өдөр зарцуулна. Иймд 40xy−18yx=640xy−18yx=6. Иймд ⎧⎪⎨⎪⎩18x+16y=6040yx−18xy=6{18x+16y=6040yx−18xy=6 болно. Системийг бодвол x=2;y=1,5x=2;y=1,5
|
Тус бүр 13 ширхэг алимтай bb хайрцаг алимны үнэ cc төгрөг бол aa төгрөгөөр хэдэн ширхэг алим авах вэ?
|
Заавар: Нэг ширхэг алимны үнийг эхлээд ол.
Бодолт: 13b13b ширхэг алимны үнэ cc төгрөг тул нэг ширхэг алимны үнэ c13bc13b байна.
aa төгрөгөөр ac13b=13abcac13b=13abc ширхэг алим авна.
|
Тэгш өнцөгт гурвалжны катетуудын нийлбэр 10 бол гипотенузын урт хамгийн бага байхын тулд гурвалжны талууд ямар урттай байх вэ?
|
Заавар:
Бодолт: Kатетуудыг x, y гипотенузыг z урттай гэе. x+y=10 үед z2=x2+y2-ийн хамгийн бага утгыг олъё.
y=10−x тул z2=x2+(10−x)2=2x2−20x+100=2(x−5)2+50 ба x>0,y>0⇒0<x<10 байна. z2=2(x−5)2+50≥50
функц хамгийн бага утгаа x=5 цэг дээр авах тул z2=50 болно. Иймд x=5, y=5, z=5√2 байна.
|
Тэгш өнцөгтийн гурван талынх нь нийлбэр 2x-тэй тэнцүү бол түүний талбай хамгийн ихдээ ямар байж болох вэ?
|
Заавар: Нийлбэр нь тогтмол тоонуудын үржвэр тэнцүү үедээ хамгийн их утгатай байдаг.
Бодолт: Талуудын урт нь a, b>0 ба 2x=2a+b бол
S=a⋅b=2a⋅b2
2a⋅b үржвэр 2a=b үед хамгийн их утгатай байна. Иймд 4a=2x⇒a=x2,b=2a=x үед хамгийн их буюу
S=x2⋅x=x22
|
Тэгш өнцөгтийн гурван талынх нь нийлбэр 4-тэй тэнцүү бол түүний талбай хамгийн ихдээ ямар байж болох вэ?
|
Заавар: Нийлбэр нь тогтмол тоонуудын үржвэр тэнцүү үедээ хамгийн их утгатай байдаг.
Бодолт: Талуудын урт нь a, b>0 ба x=2a+b бол
S=a⋅b=2a⋅b2
2a⋅b үржвэр 2a=b үед хамгийн их утгатай байна. Иймд 4a=x⇒a=x4,b=2a=x2 үед хамгийн их буюу
S=x4⋅x2=x28
x=4 тул 428=2
Санамж: Нийлбэр нь тогтмол тоонуудын үржвэр тэнцүү үедээ хамгийн их утгаа авдаг чанар нь функцийн ХИ, ХБ утга олох үйлдлийг товчлох боломж олгодог.
|
Тэгш өнцөгтийн гурван талынх нь нийлбэр 6-тай тэнцүү бол түүний талбай хамгийн ихдээ ямар байж болох вэ?
|
Заавар: Нийлбэр нь тогтмол тоонуудын үржвэр тэнцүү үедээ хамгийн их утгатай байдаг.
Бодолт: Талуудын урт нь a, b>0 ба x=2a+b бол
S=a⋅b=2a⋅b2
2a⋅b үржвэр 2a=b үед хамгийн их утгатай байна. Иймд 4a=x⇒a=x4,b=2a=x2 үед хамгийн их буюу
S=x4⋅x2=x28
x=6 тул 628=92=4.5
Санамж: Нийлбэр нь тогтмол тоонуудын үржвэр тэнцүү үедээ хамгийн их утгаа авдаг чанар нь функцийн ХИ, ХБ утга олох үйлдлийг товчлох боломж олгодог.
|
Тэгш өнцөгтийн гурван талынх нь нийлбэр x-тэй тэнцүү бол түүний талбай хамгийн ихдээ ямар байж болох вэ?
|
Заавар: Нийлбэр нь тогтмол тоонуудын үржвэр тэнцүү үедээ хамгийн их утгатай байдаг.
Бодолт: Талуудын урт нь a, b>0 ба x=2a+b бол
S=a⋅b=2a⋅b2
2a⋅b үржвэр 2a=b үед хамгийн их утгатай байна. Иймд 4a=x⇒a=x4,b=2a=x2 үед хамгийн их буюу
S=x4⋅x2=x28
Санамж: Нийлбэр нь тогтмол тоонуудын үржвэр тэнцүү үедээ хамгийн их утгаа авдаг чанар нь функцийн ХИ, ХБ утга олох үйлдлийг товчлох боломж олгодог.
|
Тэгш өнцөгтийн периметр 16 бол талбай нь хамгийн ихдээ хэд байх вэ?
|
Заавар: Тэгш өнцөгтийн талуудын уртыг x, y гэвэл периметр нь 2(x+y), талбай нь x⋅y байна
Бодолт: 2(x+y)=16⇒y=8−x тул талбай нь
S(x)=x(8−x)=8x−x2 болно. S′(x)=8−2x=0⇒x=4 тул хамгийн их утга нь
S(4)=4⋅(8−4)=16.
|
Тэгшитгэлийн системийг бод.
|
Заавар: {ax+by=ecx+dy=f ⟺ (abcd)(xy)=(ef) ⟺ (xy)=1ac−bd(d−b−ca)(ef).
Бодолт: (xy)=14⋅4−5⋅3(4−534)(65)=(4−534)(65)=(−12).
(xy)=14⋅3−5⋅2(3−524)(00)=(00).
(xy)=12⋅5−(−1)⋅(−1)(5112)(16)=19(5⋅1+1⋅61⋅1+2⋅6)=19(1113).
|
Тэгшитгэлийн системийг бод.
{x−y−z=3−x+y+2z=4−y+2z=3
|
Заавар:
Бодолт: Тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргаар бодъё.
(1−1−13−11240−123)
1-р мөрийг 2-р мөр дээр нэмэхэд [(1)+(2)→(2)]
(1−1−1300170−123)
2 ба 3-р мөрүүдийн байрыг соливол [(2)↔(3)]
(1−1−130−1230017)
2-р мөрийг −1-ээр үржүүлбэл [−1×(2)→(2)]
(1−1−1301−2−30017)
2-р мөрийг 1-р мөр дээр нэмэхэд [(2)+(1)→(1)]
(10−3001−2−30017)
3-р мөрийг 3-аар үржүүлж 1-р мөр дээр, 3-р мөрийг 2-оор үржүүлж 2-р мөр дээр тус тус нэмбэл [3×(3)+(1)→(1),2×(3)+(2)→(2)]
(10021010110017)
тул тэгшитгэлийн шийд нь:
x=21,y=11,z=7
|
Төгс тоо натурал тооны квадрат болж чадахгүйг батал. Өөрийн бүх хуваагчдын нийлбэртэй тэнцүү тоог төгс тоо гэнэ. Жишээ нь: 6=1+2+36=1+2+3 төгс тоо болно.
|
Заавар:
Бодолт: n=pα11pα22…pαssn=p1α1p2α2…psαs төгс тооны каноник задаргаа авч үзье. Хэрвээ nn нь натурал тооны квадрат бол
∀i∈{1,2,…,s}:2∣αi∀i∈{1,2,…,s}:2∣αi
байна. Эндээс nn тооны хуваагчдын нийлбэр
T(n)=s∏i=1(1+pi+⋯+pαii)≡1≢2n(mod2)T(n)=∏i=1s(1+pi+⋯+piαi)≡1≢2n(mod2)
болно. Учир нь 2∣αi2∣αi үед
1+pi+p2i+⋯+pαii≡1(mod2)1+pi+pi2+⋯+piαi≡1(mod2)
юм. Иймд төгс тоо натурал тооны квадрат байх боломжгүй юм.
|
Төгсгөлгүй буурах bnbn геометр прогрессийн бүх гишүүдийн нийлбэр нь ∞∑i=1bi=2∑i=1∞bi=2, квадратуудын нийлбэр нь ∞∑i=1b2i=1∑i=1∞bi2=1 бол b1=abb1=ab, q=cdq=cd болох тул кубуудын нийлбэр нь ∞∑i=1b3i=efgh∑i=1∞bi3=efgh байна.
|
Заавар: Төгсгөлгүй буурах геометр прогрессийн бүх гишүүдийн нийлбэр нь S=b11−qS=b11−q байдаг. Геометр прогрессийн гишүүдийн квадрат болон кубууд нь тус бүрдээ геометр прогресс болохыг ашигла.
Бодолт: Нийлбэрийн томьёогоор b11−q=2b11−q=2, b211−q2=1b121−q2=1 байна.
b211−q2=b11−q⋅b11+q=2b11+q=1b121−q2=b11−q⋅b11+q=2b11+q=1 тул
{b1=2−2q2b1=1+q⇒b1=45, q=35{b1=2−2q2b1=1+q⇒b1=45, q=35
болно. Иймд
∞∑i=1b3i=b311−q3=(45)31−(35)3=3249∑i=1∞bi3=b131−q3=(45)31−(35)3=3249
|
Төгсгөлгүй буурах геометр прогрессийн бүх гишүүдийн нийлбэр 9, эхний гишүүн 3 бол 2 дахь гишүүн хэд вэ?
|
Заавар: Төгсгөлгүй буурах геометр прогрессийн нийлбэрийн томьёо ашигла.
Бодолт: S=b11−q⇒9=31−qS=b11−q⇒9=31−q буюу q=23q=23 байна. Иймд b2=b1⋅q=3⋅23=2b2=b1⋅q=3⋅23=2. □◻
|
Төгсгөлгүй буурах геометр прогрессийн эхний 2 гишүүний нийлбэр 2, эхний 3 гишүүний нийлбэр 3 бол бүх гишүүдийнх нь нийлбэр хэдтэй тэнцүү вэ?
|
Заавар: Sn=b1+b1q+⋯+b1qn−1Sn=b1+b1q+⋯+b1qn−1 ба S=b11−qS=b11−q томьёонуудыг ашиглан бод.
Бодолт: S2=b1+b1q=b1(1+q)=2S2=b1+b1q=b1(1+q)=2, S3=b1+b1q+b1q2=b1(1+q+q2)=3S3=b1+b1q+b1q2=b1(1+q+q2)=3 тул q2+q+1q+1=32⇔2q2−q−1=0.q2+q+1q+1=32⇔2q2−q−1=0.
2q2−q−1=0⇒q1=12q2−q−1=0⇒q1=1, q2=−0.5q2=−0.5 болно. Төгсгөлгүй буурах геометр прогрессийн хувьд |q|<1|q|<1 тул q=−0.5q=−0.5 гэж авна.
b1{1+(−0.5)}=0.5b1=2⇒b1=4b1{1+(−0.5)}=0.5b1=2⇒b1=4 тул
S=b11−q=41−(−0.5)=83.S=b11−q=41−(−0.5)=83.
|
Төгсгөлгүй буурах геометр прогрессийн эхний гишүүн 2, хуваарь 1212 бол бүх гишүүдийнх нь нийлбэр хэдтэй тэнцүү вэ?
|
Заавар: S=b11−qS=b11−q ашигла.
Бодолт: S=2+1+12+14+⋯=21−12=4S=2+1+12+14+⋯=21−12=4
|
Уламжлал нь cos3xcos3x байх функц аль нь вэ?
|
Заавар: Бид cos3xcos3x функцийн эх функц буюу тодорхой биш интегралыг бодно.
(sinax)′=acosax⇔∫cosaxdx=sinaxa+C(sinax)′=acosax⇔∫cosaxdx=sinaxa+C
Бодолт: ∫cos3xdx=sin3x3+C∫cos3xdx=sin3x3+C
|
Уламжлал нь sin2xsin2x байх функц аль нь вэ?
|
Заавар: Бид sin2xsin2x функцийн эх функц буюу тодорхой биш интегралыг бодно.
(cosax)′=−asinax⇔∫sinaxdx=−cosaxa+C(cosax)′=−asinax⇔∫sinaxdx=−cosaxa+C
Бодолт: ∫sin2xdx=−cos2x2+C∫sin2xdx=−cos2x2+C
|
Усан бассейныг дүүргэх хоёр хоолой ажилладаг. Эхний хоолойг 10 минут, хоёрдугаар хоолойг 20 минут ажиллуулбал бассейн дүүрнэ. Харин эхний хоолойг 5 минут, хоёрдугаар хоолойг 15 минут ажиллуулахад бассейны 3535 нь дүүрнэ. Тэгвэл тус бүрд нь ажиллуулахад нэгдүгээр хоолой abcabc, хоёрдугаар хоолой dede минутад бассейныг дүүргэнэ.
|
Заавар: I хоолой t1t1 минутад, II хоолой t2t2 минутад бассейныг дүүргэдэг гэвэл 10t1+20t2=110t1+20t2=1, 5t1+15t2=355t1+15t2=35 байна.
Бодолт: Нийт хэсгийг 1 гэвэл 1 минутад I хоолой бассейны 1t11t1 хэсгийг, II хоолой 1t21t2 хэсгийг дүүргэнэ. Иймд
⎧⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪⎩10t1+20t2=15t1+15t2=35{10t1+20t2=15t1+15t2=35
Иймд 10t2=2⋅35−1=15⇒t2=5010t2=2⋅35−1=15⇒t2=50 болох тул
10t1=1−2050⇒t1=50310t1=1−2050⇒t1=503
байна.
|
Усан бассейныг дүүргэх хоёр хоолой ажилладаг. Эхний хоолойг 1010 минут, хоёрдугаар хоолойг 2020 минут ажиллуулбал бассейн дүүрнэ. Харин эхний хоолойг 55 минут, хоёрдугаар хоолойг 1515 минут ажиллуулахад бассейнын 3535 нь дүүрнэ. Тэгвэл тус бүрд нь ажиллуулахад нэгдүгээр хоолой abcabc минут, хоёрдугаар хоолой dede минутад бассейныг дүүргэнэ.
|
Заавар: Эхний хоолойг 55 минут, хоёрдугаар хоолойг 1010 минут ажиллуулахад бассейны хагас нь дүүрнэ. Иймд хоёрдугаар хоолойг 55 минут ажиллуулахад бассейны 35−12=11035−12=110 хэсэг дүүрнэ.
Бодолт: Эхний хоолойг 1010 минут, хоёрдугаар хоолойг 2020 минут ажиллуулбал бассейн дүүрнэ. Иймд эхний хоолойг 55 минут, хоёрдугаар хоолойг 1010 минут ажиллуулахад бассейны хагас нь дүүрнэ. Эндээс хоёрдугаар хоолойг 55 минут ажиллуулахад бассейны 35−12=11035−12=110 хэсэг дүүрэх тул 50 минутад хоёрдугаар хоолой бассейныг дүүргэнэ. Хоёрдугаар хоолойг 2020 минут ажиллуулбал бассейны 205⋅110=25205⋅110=25 хэсэг дүүрнэ. Эндээс 1010 минутанд эхний хоолой бассейны 1−25=351−25=35 хэсгийг дүүргэнэ. Иймд 10:35=50310:35=503 минутад нэгдүгээр хоолой бассейныг дүүргэнэ.
|
Усан онгоц 105 км зайг урсгал дагуу явахдаа урсгал сөрж явахаасаа 2 цагаар хурдан явжээ. Хэрэв тогтмол усанд онгоцны хурд 18 км/цаг бол урсгалын хурдыг ол.
|
Заавар: Урсгалын хурдыг v гэвэл урсгал дагуу хурд нь 18+v, урсгал сөрөх хурд нь 18−v байна.
Бодолт: 10518−v−10518+v=2⇔105(18+v)−105(18−v)=2(18−v)(18+v)
тул
105v=182−v2⇔v2+105v−324=0
болно. Эндээс
v1,2=−105±√(−105)2−4⋅(−324)2=−105±1112
ба v>0 тул v=−105+1112=3 байна.
|
Усан онгоц нуурын усанд 9 км, голын урсгал дагуу 20 км явахдаа 1 цаг зарцуулав. Хэрэв голын урсгалын хурд 3 км/цаг бол онгоцны тогтмол усанд явах хурдыг ол.
|
Заавар: Усан онгоцны хурд v гэвэл урсгал дагуу явах хурд нь v+3 байна.
Бодолт: 9v+20v+3=1 тул
9(v+3)+20v=v(v+3)
буюу
v2−26v−27=0
болно. Эндээс v1=27, v2=−1 гэж гарах ба v>0 байх ёстой тул v=27 нь шийд болно.
|
Усан санг 3 цорго нийлээд 18 цагт дүүргэж байв. Зөвхөн I ба II цоргыг нээхэд усан санг 24 цагийн дотор дүүргэдэг бол III цоргыг дангаар нь нээхэд хэдэн цагийн дотор дүүргэх вэ?
|
Заавар: I ба II цоргоор 18 цагийн дотор усан сангийн ямар хэсгийг дүүргэх вэ?
Бодолт: I ба II цорго 18 цагийн дотор усан сангийн 1824=341824=34 хэсгийг дүүргэнэ. Иймд I цорго үлдсэн хэсэг буюу 1414 хэсгийг 18 цагт дүүргэх ёстой. Иймд нийт хэсгийг 4⋅18=724⋅18=72 цагт дүүргэнэ.
|
Усан санг дүүргэхийн тулд хоёр гоожуур ажиллана. Тэд дангаар ажиллавал I нь 4.5 цаг, II нь 6.75 цагт дүүргэнэ. Эхлээд I-ийг хоёул зэрэг ажиллаж дүүргэх хугацаанд ажиллуулаад хааж, дараа нь II крантыг ажиллуулжээ. II крант хэчнээн цаг ажиллаж усан санг дүүргэх вэ?
|
Заавар: II-ийг ажиллуулах хугацаа нь I-ийг ажиллуулах хугацаатай адилхан буюу хоёулаа зэрэг ажиллаад дүүргэх хугацаатай ижил байна.
Бодолт: Гоожуур тус бүр цагт усан сангийн 14.514.5, 16.7516.75 хэсгүүдийг дүүргэх тул хамтдаа
14.5+16.75=29+427=102714.5+16.75=29+427=1027
хэсгийг дүүргэнэ. Иймд нийт хэсгийг 11027=2.711027=2.7 цагт дүүргэнэ.
|
Усан санг хоёр хоолойн тусламжтайгаар 7.57.5 цагт дүүргэдэг. Хэрвээ зөвхөн I хоолойг нээвэл зөвхөн II хоолойг нээснээс 8 цагаар бага хугацаа зарцуулна. Дан II хоолойг нээвэл хэдий хугацаанд усан сан дүүрэх вэ?
|
Заавар: t1−t2=8t1−t2=8, 11t1+1t2=7.511t1+1t2=7.5 байна.
Бодолт:
|
Уулчин уул өөд авирахдаа эхлээд цагт 800 метр авирав. Дараагийн цаг тутамд өмнөхөөсөө 25 метрээр бага авирсан бол 5700 метрийн өндөрт хэдэн цагийн дараа гарсан вэ?
|
Заавар: Нэг цагт явсан замууд нь −25 ялгавартай арифметик прогрессийн гишүүд ба нийт явсан зам нь уг прогрессийн эхний гишүүдийн нийлбэр байна. Мөн өгсөж буй тул прогрессийн гишүүд бүгд эерэг тоо байна.
Бодолт: Нийт n цаг өгсөөд 5700 метрийн өндөрт гарсан гэвэл
Sn=2a1+(n−1)d2⋅n=2⋅800−25(n−1)2⋅n=5700 байна. Иймд 1600n−25n2+25n=11400⇒n2−65n+456=0 болно. Эндээс n=8, n=57 гэсэн хариу гарах ба 800−25(n−1)>0 байх ёстой тул n=8 байна.
|
Функцийн тодорхойлогдох мужийг ол.
y=logx+1(4−x2)√3−5x−2x2
|
Заавар: logf(x)g(x) бол f(x)>0, f(x)≠1, g(x)>0 байна.
Бутархайн хуваарь 0-ээс ялгаатай байна.
Язгуурын доорх илэрхийлэл сөрөг биш байна.
Бодолт: D:{x+1>0x+1≠14−x2>03−5x−2x2≥0√3−5x−2x2≠0 байна. Эндээс
D:{x>−1x≠0−2<x<2−3<x<12 буюу x∈(−1;0)∪(0;12) байна.
|
Функцүүдийн аль нь тэгш вэ?
|
Заавар: Аливаа x∈D(f)x∈D(f) тооны хувьд f(−x)=f(x)f(−x)=f(x) байдаг функцийг тэгш функц гэдэг.
ctg(−x)=−ctgxctg(−x)=−ctgx, tg(−x)=−tgxtg(−x)=−tgx, sin(−x)=−sinxsin(−x)=−sinx болохыг ашиглаарай.
Бодолт: f(x)=ctgxtg2x+sin2xf(x)=ctgxtg2x+sin2x функц нь
f(−x)=ctg(−x)tg(−2x)+sin(−2x)=−ctgx−tg2x−sin2x=ctgxtg2x+sin2x=f(x)f(−x)=ctg(−x)tg(−2x)+sin(−2x)=−ctgx−tg2x−sin2x=ctgxtg2x+sin2x=f(x)
тул тэгш функц юм.
|
Хадланчид abab га газрыг 7 өдөрт багтаан хадах төлөвлөгөөтэй байв. Агаар муудснаас болж тэд гурван өдөрт нь төлөвлөгөөнөөс 3 га-гаар бага, 3 өдөр нь 5 га-гаар илүү хадаж төлөвлөгөөгөө биелүүлэв.
|
Заавар: Төлөвлөгөөнөөс зөрсөн ажлуудыг тооцоол.
Бодолт: Дутуу хадсан 3 өдөр нийт 3⋅3=93⋅3=9 га дутуу хадсан ба илүү хадсан 3 өдөр нийт 3⋅5=153⋅5=15 га илүү хадах тул зөрөө 15−9=615−9=6 га нь үлдэх 1 хоногт хадах ёстой газар тул өдөр 6 га хадах ёстой байжээ. Иймд нийт 7⋅6=427⋅6=42 га хадах ёстой байжээ.
|
Хайрцагт 2 төрлийн чихэр байсан бөгөөд I төрлийн чихэр II төрлийн чихрээс 20 ширхэгээр олон байжээ. I төрлийн нэг ширхэг чихэр 2 грамм жинтэй, II төрлийн нэг ширхэг чихэр 3 грамм жинтэй. Хайрцагнаас I төрлийн 15 чихэр, II төрлийн 20 чихэр авахад тэдний жин үлдсэн бүх чихрийн жинтэй тэнцүү байв. Анх хайрцагт I ба II төрлийн хэдэн чихэр байсан бэ?
|
Заавар: Шугаман тэгшитгэл рүү шилжих хялбар рационал тэгшитгэл болон хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн систем зохиодог.
Бодолт: I төрлийн xx ш чихэр, II төрлийн yy ш чихэр байсан гэе. Тэгвэл x=y+20x=y+20, 2×15+3×20=2×(x−15)+3×(y−20)2×15+3×20=2×(x−15)+3×(y−20) буюу
{x−y=202x+3y=180{x−y=202x+3y=180
болно. Эндээс 5x=240⇒x=485x=240⇒x=48 ба y=x−20=28y=x−20=28 болно.
|
Хайрцагт 75-аас олонгүй хяналтын ажлын материал байсан бөгөөд эдгээрийн хагас нь онц дүн авсан гэдэг нь мэдэгдэж байв. Хамгийн дээд талын 3 материалыг хайрцагнаас гарган авахад үлдсэн материалын 48%48% нь онц дүнтэй байсан бол нийт хэдэн материал байсан бэ?
|
Заавар: Бодлогын нөхцөлд гарч буй тоонууд бүгд бүхэл тоо болохыг анхаар.
Бодолт: Нийт хяналтын ажлын материалын тоог xx гэвэл x2x2 сурагч онц дүн авсан тул xx нь тэгш тоо байна. Гурван материал авсаны дараа x−3x−3 материал үлдэх бөгөөд эдгээрийн 48%48% нь 48(x−3)100=12(x−3)2548(x−3)100=12(x−3)25 ба (12,25)=1(12,25)=1 тул x−3x−3 нь 25-д хуваагдана. Мөн 1≤x≤751≤x≤75 тул x−3=0x−3=0, x−3=25x−3=25, x−3=50x−3=50-ийн аль нэг нь байна. Эдгээрээс xx тэгш байх боломж нь зөвхөн x−3=25x−3=25 тул x=28x=28 байна.
|
Харгалзан 1010, 55, 55 км урт бүхий ABAB, BCBC, CDCD хэсгүүдтэй ABCDABCD маршрутаар автобус явдаг байв. Хувааь ёсоор 99 цагт AA цэгээс гарч BB цэгт 915915, CC цэгт 938938, DD цэгт 923923 цагт хүрэх ёстой. Автобус abab км/цаг тогтмол хурдаар явбал цагийн хуваариас зөрөх зөрөө хамгийн бага байна.
|
Заавар: Хуваариас зөрөх зөрөө нь
z(v)=∣∣∣10v−15∣∣∣+∣∣∣15v−38∣∣∣+∣∣∣20v−23∣∣∣z(v)=|10v−15|+|15v−38|+|20v−23|
байна. z(v)z(v) функцийг [0;+∞][0;+∞] мужид шинжилж хамгийн бага утгыг нь ол.
Бодолт: z(v)=∣∣∣10v−15∣∣∣+∣∣∣15v−38∣∣∣+∣∣∣20v−23∣∣∣=⎧⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎩45v−149120,v≤305v−11120,30<v≤40101120−25v,40<v≤50149120−45v,50<vz(v)=|10v−15|+|15v−38|+|20v−23|={45v−149120,v≤305v−11120,30<v≤40101120−25v,40<v≤50149120−45v,50<v
байна. Эндээс функц v≤40v≤40 үед буурч, v≥40v≥40 үед өсч байна. Иймд хамгийн бага байлгах vv нь 40 км/ц байна.
|
Хоорондоо 24 км зайтай А ба Б хотоос бие биеэ угтан 2 явган хүн гарч 2 цаг 24 минутын дараа уулзав. Хэрвээ А-аас Б хүртэлх замыг 1-р хүн 2-р хүнээс 2 цагаар бага хугацаанд туулдаг бол тус бүр ямар хугацаанд хоёр хотын хооронд явдаг бэ? Тус бүрийн хурдыг ол.
|
Заавар: t1=4 цаг, t2=6 цаг; v1=6 км/цаг, v2=4 км/цаг
Бодолт: Хоёр хүний хурдны нийлбэр нь
24:22460=24:225=24:125=24⋅512=10
км/цаг байна. Эхний хүний хурдыг v гэвэл хоёр дахь хүний хурд 10−v хугацааны зөрөө нь
24v−2410−v=2⇔24(10−v)−24vv(10−v)=2
⇔v2−34v+120=0⇒v1=4,v2=30
ба 10−v>0 байх ёстой тул v=4 байна. Иймд 10−v=6 ба хугацаа нь харгалзан 24/4=6, 24/6=4 цаг байна.
|
Хоёр ажилчин нийлээд 6 цагт дуусгах ажлыг I нь дангаараа 8 цагт дуусгах бол II нь дангаараа ажиллавал хэдэн цагт дуусгах вэ?
|
Заавар: 6 цагт I ажилчин нийт ажлын ямар хэсгийг хийж гүйцэтгэх вэ?
Бодолт: I ажилчин 6 цагийн дотор нийт ажлын 68=3468=34 хэсгийг гүйцэтгэнэ. Иймд II ажилчин 6 цагийн дотор нийт ажлын 1−34=141−34=14 хэсгийг хийж гүйцэтгэх тул нийт ажлыг 4⋅6=244⋅6=24 цагт хийж дуусгана.
|
Хоёр ажилчин хамтарч ажиллавал даалгаварыг 2 цаг 48 минутад биелүүлж чадна. Дангаараа ажиллавал нэгдүгээр ажилчин хоёрдугаараасаа 4 цаг 12 минутын өмнө даалгаврыг биелүүлнэ. Тэгвэл тэд дангаараа ажиллавал: Нэгдүгээр ажилчин abcabc цагт, хоёрдугаар ажилчин defdef цагт даалгаврыг гүйцэтгэнэ.
|
Заавар: I ажилтан t1t1 цагт, II ажилтан t2t2 цагт даалгаврыг гүйцэтгэдэг гэвэл t2−t1=415t2−t1=415, 11t1+1t2=24511t1+1t2=245 болно.
Бодолт: I ажилтан t1t1 цагт, II ажилтан t2t2 цагт даалгаврыг гүйцэтгэдэг, нийт ажлыг SS гэвэл ⎧⎪
⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪
⎪⎩t2−t1=415SSt1+St2=245⇒⎧⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪⎩t2=t1+215t1⋅t2t1+t2=145{t2−t1=415SSt1+St2=245⇒{t2=t1+215t1⋅t2t1+t2=145 болно. Орлуулах аргаар бодвол 5t1(t1+215)=14(t1+t1+215)⇒5t21−7t1−2945=05t1(t1+215)=14(t1+t1+215)⇒5t12−7t1−2945=0 тэгшитгэл үүснэ. Эндээс хугацаа эерэг тул t1=7+√122510=415t1=7+122510=415 байна. Иймд t2=415+415=825t2=415+415=825.
|
Хоёр ажилчин хамтдаа 66 цаг хийх ажлыг нэг нь 1818 цагт хийж дуусгасан бол уг ажлыг нөгөө ажилчин нь дангаараа хэдэн цагт хийж дуусгах вэ?
|
Заавар: Нийлээд ажиллавал 1-р ажилчнаас 186=3186=3 дахин хурдан ажиллана. 2 дахь ажилчин 1-р ажилчнаас хэд дахин хурдан бэ?
Бодолт: 2-р ажилчин 1-р ажилчнаас kk дахин хурдан гэвэл 1+k=3⇒k=21+k=3⇒k=2 байна. Иймд 2-р ажилчин дангаараа 182=9182=9 цагт хийж дуусгана.
|
Хоёр бригад нийлээд 27-оос олон хүнтэй. Эхний бригадын хүний тоо хоёр дахь бригадын хүний тоог 12-оор багасгаад хоёр дахин ихэсгэснээс их ба хоёр дахь бригадын хүний тоо эхний бригадын хүний тоог 10-аар хорогдуулаад 9 дахин нэмэгдүүлснээс их бол нэгдүгээр бригад abab хүнтэй, хоёрдугаар бригад cdcd хүнтэй байжээ.
|
Заавар: I бригад xx хүнтэй, II бригад yy хүнтэй гээд тэнцэтгэл бишийн систем зохио.
Бодолт: Бодлогын өгөгдлийг бичвэл x+y>27x+y>27, x>2(y−12)x>2(y−12), y>9(x−10)y>9(x−10) байна. Тэнцэтгэл бишийн шийдийн муж нь x+y=27x+y=27 шулуунаас дээш орших цэгүүд, x>2(y−12)x>2(y−12) шулуунаас доош орших цэгүүд, y>9(x−10)y>9(x−10) шулуунаас дээш орших цэгүүдийн олонлог байна.
Зургаас харахад энэ мужид орших цорын ганц бүхэл координаттай цэг нь (11,17)(11,17) болох нь харагдаж байна.
|
Хоёр бригад нэг ижил ажлыг тус тусдаа хийхэд II бригад нь I бригадаас 1 цагаар илүү ажиллажээ. Хэрэв I бригад нь 3 хүнээр илүү байсан бол ажлаа 2 цагийн өмнө дуусгах байв. Ажилчдын хөдөлмөрийн бүтээмж нь ижил бол I бригад хэдэн ажилчинтай байсан бэ?
|
Заавар: tt - уг ажлыг нэг хүн ганцаараа хийхэд зарцуулагдах хугацаа, nn нь I бригадын ажилчдын тоо, mm нь II бригадын ажилчдын тоо гээд тэгшитгэл зохио. mm, nn-ийн хамаарлыг олж бүхэл тоонууд болохыг нь ашиглан бод.
Бодолт: tm−tn=1⇒t=mnn−mtm−tn=1⇒t=mnn−m, tn−tn+3=2⇒t=2n(n+3)3tn−tn+3=2⇒t=2n(n+3)3 тул mnn−m=2n(n+3)3⇔3m=(2n+6)(n−m)⇔mnn−m=2n(n+3)3⇔3m=(2n+6)(n−m)⇔
m=(2n+6)n2n+9=n−1−n−92n+9m=(2n+6)n2n+9=n−1−n−92n+9
mm бүхэл ба |n−9|<2n+9|n−9|<2n+9 тул n−9=0⇒n=9n−9=0⇒n=9 байна.
|
Хоёр бригад нэг ижил ажлыг тус тусдаа хийхэд II бригад нь I бригадаас 1 цагаар илүү ажиллажээ. Хэрэв I бригад нь 5 хүнээр илүү байсан бол ажлаа 3 цагийн өмнө дуусгах байв. Ажилчдын хөдөлмөрийн бүтээмж нь ижил бол II бригад хэдэн ажилчинтай байсан бэ?
|
Заавар: tt - уг ажлыг нэг хүн ганцаараа хийхэд зарцуулагдах хугацаа, nn нь I бригадын ажилчдын тоо, mm нь II бригадын ажилчдын тоо гээд тэгшитгэл зохио. mm, nn-ийн хамаарлыг олж бүхэл тоонууд болохыг нь ашиглан бод.
Бодолт: tm−tn=1⇒t=mnn−mtm−tn=1⇒t=mnn−m, tn−tn+5=3⇒t=3n(n+5)5tn−tn+5=3⇒t=3n(n+5)5 тул mnn−m=3n(n+5)5⇔5m=(3n+15)(n−m)⇔mnn−m=3n(n+5)5⇔5m=(3n+15)(n−m)⇔
m=(3n+15)n3n+20=n−1−2n−203n+20m=(3n+15)n3n+20=n−1−2n−203n+20
mm бүхэл ба |2n−20|<3n+20|2n−20|<3n+20 тул 2n−20=0⇒n=102n−20=0⇒n=10 байна. Иймд m=10−1=9m=10−1=9.
|
Хоёр галт тэрэг өөд өөдөөсөө хоёр параллель замаар эхнийх нь 50 км/ц, 2 дахь нь 70 км/ц хурдтай хөдөлж байв. 1 дэх галт тэргэнд явсан зорчигч, 2 дахь галт тэрэг түүний хажуугаар 3 секундэд явж өнгөрөхийг харжээ. Хэрэв хоёр галт тэрэг нэг зүгт явж байсан бол уг зорчигчийн хажуугаар abab секундэд явж өнгөрөх ба 2 дахь галт тэрэгний урт cdecde мет байжээ.
|
Заавар: II галт тэрэгний уртыг xx гэвэл xx зайг 50+70=12050+70=120 км/цаг хурдаар ямар хугацаанд туулах вэ?
Бодолт: 50+70=12050+70=120км/цаг нь I галт тэргэнд байгаа зорчигчид ажиглагдах II галт тэрэгний хурд тул II галт тэрэгний урт нь x=120км/цаг⋅3сек=120⋅1000м3600cek⋅3сек=100мx=120км/цаг⋅3сек=120⋅1000м3600cek⋅3сек=100м
байна.
Хэрвээ нэг чиглэлд явж байсан бол ажиглагдах хурд нь 70−50=2070−50=20км/цаг болох тул гүйцэж түрүүлэх хугацаа нь
100м20км/цаг=100м20⋅1000м3600сек=18сeк100м20км/цаг=100м20⋅1000м3600сек=18сeк
байна.
|
Хоёр насос зэрэг ажиллавал савыг 8 цагт дүүргэнэ. Харин тэдгээрийг дангаар нь ажиллуулбал I насос савыг II-аасаа 12 цагийн түрүүнд дүүргэнэ. I насос дангаараа ажиллавал савыг хэдэн цагт дүүргэх вэ?
|
Заавар: xx, x+12x+12 цагт дүүргэдэг гэвэл тус бүр нэг цагт савны 1x1x ба 1x+121x+12 хэсгүүдийг дүүргэнэ.
Бодолт: Хоёр насос нийлээд нэг цагт савны 1x+1x+121x+1x+12 хэсгийг дүүргэнэ. Нөгөө талаас нийлээд 8 цагт дүүргэх тул нэг цагт савны 1818 хэсгийг дүүргэнэ. Иймд
1x+1x+12=181x+1x+12=18
болно. Ерөнхий хуваар өгч хялбарчилбал
8(x+12)+8x=x(x+12)⇔x2−4x−96=08(x+12)+8x=x(x+12)⇔x2−4x−96=0
болох тул x=−8x=−8, x=12x=12 гэсэн шийдүүд гарах ба x>0x>0 тул x=12x=12 байна.
|
Хоёр оронтой тооны цифрүүдийн нийлбэр 12-той тэнцүү ба нэгжийн орны цифр аравтын орны цифрээс 3 дахин бага бол энэ тоог ол.
|
Заавар: Систем тэгшитгэл зохиох эсвэл тохирох хариуг шалгах аргаар бодож болно.
Бодолт: Олох тоог ¯¯¯¯¯¯xyxy¯ гэе. Тэгвэл x+y=12x+y=12, x=3yx=3y байна. Иймд 3y+y=12⇒y=33y+y=12⇒y=3, x=3⋅3=9⇒¯¯¯¯¯¯xy=93x=3⋅3=9⇒xy¯=93.
|
Хоёр савны I нь 1 л устай, II саванд байсан усны температур 20∘ байв. Хэрэв II саванд байсан усны хагасыг I саванд хийвэл I саванд байгаа усны температур 44∘, хоёр саванд байсан усыг нэг рүү нь нийлүүлбэл 35∘ болох байжээ. Тэгвэл II саванд байсан усны хэмжээ, I саван дахь усны температурыг ол.
|
Заавар: V1=1, V2=v, t1=t, t2=20∘ гэвэл v2⋅20∘+1⋅t=(v2+1)⋅44∘, v⋅20∘+1⋅t=(v+1)⋅35∘ байна.
Бодолт:
|
Хоёр суурингийн хоорондох зай 180 км. Энэ зайг 45 км/цаг хурдтай машин хэдэн цагт туулах вэ?
|
Заавар: t=Svt=Sv байна. Энд SS явсан нийт зам, vv нь тухайн замыг явсан дундаж хурд байна.
Бодолт: t=Sv=180 км45 км/цаг=18045 цаг=4 цагt=Sv=180 км45 км/цаг=18045 цаг=4 цаг байна.
|
Хоёр суурингийн хоорондох зай 180 км. Энэ зайг 50 км/цаг хурдтай машин хэдэн цагт туулах вэ?
|
Заавар: t=Sv байна. Энд S явсан нийт зам, v нь тухайн замыг явсан дундаж хурд байна.
Бодолт: t=Sv=180 км50 км/цаг=18050 цаг=3.6 цаг байна.
|
Хоёр тооны геометр ба арифметик дунджийн харьцаа 0.6 бол энэ хоёр тооны ихийг багад нь харьцуулсан харьцааг ол.
|
Заавар: a,ba,b тоонуудын арифметик дундаж нь a+b2a+b2, геометр дундаж нь √abab байна.
Бодолт: √ab:a+b2=0.6ab:a+b2=0.6 тул 1.2(a+b)=√ab1.2(a+b)=ab байна. a>ba>b гээд тэнцэлийн хоёр талыг bb тоонд хуваавал
0.3(ab+1)=√ab0.3(ab+1)=ab
t=√abt=ab гэвэл 3t2−10t+3=03t2−10t+3=0 тул
t1,2=10±√102−4⋅3⋅32⋅3=10±86t1,2=10±102−4⋅3⋅32⋅3=10±86
a>ba>b тул t>1t>1 байх ёстой. Иймд t=√ab=10+86=3t=ab=10+86=3 байна. Иймд ab=32=9ab=32=9 байна.
|
Хоёр тооны нийлбэрийн квадратаас тэдгээрийн квадратуудыг хасахад 21462146 гарах бол үржвэр нь аль вэ?
|
Заавар: (a+b)2−(a2+b2)=2146(a+b)2−(a2+b2)=2146.
Бодолт:
|
Хоёр тооны нэгийг 50%50% ихэсгэж, нөгөөг x%x% ихэсгэхэд үржвэр нь 80%80% ихсэв. xx-ийн утгыг ол.
|
Заавар: aa тоог x%x% ихэсгэвэл a+x%100%a=a(1+x100)a+x%100%a=a(1+x100) болно.
Бодолт: Тоонуудыг mm, nn
m(1+50100)⋅n(1+x100)=mn(1+80100)m(1+50100)⋅n(1+x100)=mn(1+80100)
байна. Иймд (1+50100)⋅(1+x100)=(1+80100)(1+50100)⋅(1+x100)=(1+80100)
тул 1.5(100+x)=1.8⋅100⇒x=1801.5−100=201.5(100+x)=1.8⋅100⇒x=1801.5−100=20 байна.
|
Хоёр хайлшид алт, мөнгө 2:3; 3:7 харьцаатай байв. 14:31 харьцаатай шинэ хайлш бэлтгэхийн тулд дээрх хоёр хайлшнаас ямар харьцаатай авбал зохих вэ?
|
Заавар: I хайлшаас m кг, II хайлшаас n кг авсан гэж үзвэл. Нийт алтны хэмжээ нь 2m2+3+3n3+7, мөнгөний хэмжээ 3m2+3+7n3+7 байна.
Бодолт: Шинэ хайлшны алтны хэмжээ нь 2m5+3n10=4m+3n10, мөнгөний хэмжээ 3m5+7n10=6m+7n10 тул
4m+3n6m+7n=1431⇒124m+93n=84m+98n⇔mn=18
байна.
|
Хоёр хайлшид алт, мөнгө 2:3; 3:7 харьцаатай байв. 5:11 харьцаатай шинэ хайлш бэлтгэхийн тулд дээрх хоёр хайлшнаас ямар харьцаатай авбал зохих вэ?
|
Заавар: I хайлшаас m кг, II хайлшаас n кг авсан гэж үзвэл. Нийт алтны хэмжээ нь 2m2+3+3n3+7, мөнгөний хэмжээ 3m2+3+7n3+7 байна.
Бодолт: Шинэ хайлшны алтны хэмжээ нь 2m5+3n10=4m+3n10, мөнгөний хэмжээ 3m5+7n10=6m+7n10 тул
4m+3n6m+7n=511⇒44m+33n=30m+35n⇔mn=17
байна.
|
Хоёр хоолойг зэрэг ажиллуулахад 48 минутад дүүрэх усан санг I-ээр нь 2 цагт дүүргэнэ. Хэрэв 1 минутад II хоолойгоор I-ээс 5050 м.куб ус илүү ордог бол усан сангийн эзлэхүүнийг ол.
|
Заавар: Нэг минутанд тус бүр aa ба bb м.куб ус ордог гээд тэгшитгэл зохиож бод.
Бодолт: Усан сангийн эзлэхүүн VV гэвэл V=48(a+b)=120a, b=a+50V=48(a+b)=120a, b=a+50
болно. Иймд
48(a+b)=48(2a+50)=120a⇒a=10048(a+b)=48(2a+50)=120a⇒a=100
болно. Эндээс V=120a=12000V=120a=12000 м.куб болов.
|
Хоёр хотын хооронд суудлын галт тэрэг 2 цаг, ачааны галт тэрэг 3 цаг явна. Хоёр талаас нэгэн зэрэг угталцан гарвал ямар хугацааны дараа зөрөх вэ?
|
Заавар:
Бодолт: Sv1=2, Sv2=3. Sv1+v2=1v1S+v2S=112+13=65=115 цаг буюу 1 цаг 12 мин.
|
Хоёр хотын хооронд суудлын галт тэрэг 2 цаг, ачааны галт тэрэг 4 цаг явна. Хоёр талаас нэгэн зэрэг угталцан гарвал ямар хугацааны дараа зөрөх вэ?
|
Заавар:
Бодолт: Sv1=2Sv1=2, Sv2=4Sv2=4. Sv1+v2=1v1S+v2S=112+14=43=113Sv1+v2=1v1S+v2S=112+14=43=113 цаг буюу 1 цаг 20 мин.
|
Хоёр эерэг тооны нэгийг нь 40%40%-аар ихэсгэж, нөгөө нь 40%40%-аар багасгавал үржвэр нь хэрхэн өөрчлөгдөх вэ?
|
Заавар: aa тоог nn хувь ихэсгэвэл a(1+n100)a(1+n100), багасгавал a(1−n100)a(1−n100) болно.
Бодолт: Тоонуудыг aa, bb гэвэл a(1+40100)a(1+40100), b(1−40100)b(1−40100) болж өөрчлөгдөх ба үржвэр
a(1+40100)⋅b(1−40100)=ab(12−40100⋅40100)=ab(1−16100)a(1+40100)⋅b(1−40100)=ab(12−40100⋅40100)=ab(1−16100)
тул 16%16% багасана.
|
Хоёр экскаватор нэгэн зэрэг ажиллавал 4 цагийн дотор суваг ухаж дуусгана. Нэг экскаватор нь ганцаараа суваг ухвал нөгөөгөөсөө 6 цагаар илүү хугацааг зарцуулна. Экскаваторууд тус тусдаа ажиллавал ямар хугацаанд суваг ухаж дуусгах вэ?
|
Заавар:
Бодолт: 4a+4b=14a+4b=1, a=b+6a=b+6 тул
4b+6+4b=1⇔b2−2b−24=0⇒b1=6,b2=−44b+6+4b=1⇔b2−2b−24=0⇒b1=6,b2=−4
болно. b>0b>0 тул b=4b=4, a=4+6=10a=4+6=10 байна.
|
Хоёр өрлөгчин хамтдаа 20 хоногт хана өрөв. Хэрвээ тус тусдаа өрвөл эхний өрлөгчин нөгөөгөөсөө 9 өдрөөр илүү ажиллана гэвэл энэ ажлыг тус бүртээ хэдэн өдөрт дуусгах вэ?
|
Заавар: Нийт ажлыг 1 бүхэл гэвэл n1−n2=9n1−n2=9, 20=11n1+1n220=11n1+1n2 байна.
Бодолт:
|
Хуваарь нь 22 байх {b1,b2,b3,…,b10}{b1,b2,b3,…,b10} геометр прогрессийн дараалсан гишүүд ба A=b1⋅b3⋅b5⋅b7⋅b9A=b1⋅b3⋅b5⋅b7⋅b9, B=b2⋅b4⋅b6⋅b8⋅b10B=b2⋅b4⋅b6⋅b8⋅b10 бол BABA утгыг ол.
|
Заавар: q=bn+1bnq=bn+1bn болохыг ашигла.
Бодолт: BA=b2⋅b4⋅b6⋅b8⋅b10b1⋅b3⋅b5⋅b7⋅b9=b2b1⋅b4b3⋅b6b5⋅b8b7⋅b10b9←q=bn+1bn=2⋅2⋅2⋅2⋅2=25←q=2BA=b2⋅b4⋅b6⋅b8⋅b10b1⋅b3⋅b5⋅b7⋅b9=b2b1⋅b4b3⋅b6b5⋅b8b7⋅b10b9←q=bn+1bn=2⋅2⋅2⋅2⋅2=25←q=2
|
Хувьцаа эзэмшигчдийн хурлаас бүтээгдэхүүний нэр төрлийг олшруулах замаар компанийн ашгийг нэмэгдүүлэх шийдвэр гарчээ. Эдийн засгийн шинжилгээний дүнд:
|
Заавар:
Бодолт: 62+55+48+41+34+27+20+13+6=30662+55+48+41+34+27+20+13+6=306 төгрөг.
|
Худалдагчийн зарсан даавууны 3434 нь 15 метр бол хэдэн метр даавуу зарсан бэ?
|
Заавар: nn метр даавууны 3434 нь хэдэн метр болох вэ?
Бодолт: n⋅34=15⇒n=15⋅43=20n⋅34=15⇒n=15⋅43=20
|
Хурдан галт тэрэг 60 км/цаг, суудлын галт тэрэг 40 км/цаг хурдтай ба хоёр хотын хооронд тэд 5 цагийн зөрөөтэй явдаг бол хоёр хотын хоорондох зайг ол.
|
Заавар: Хоёр хотын хоорондох зайг S гэвэл t1=S60, t2=S40 байна.
Бодолт: t2>t1 тул t2−t1=S40−S60=5 байна. Иймд 3S−2S120=5⇒S=600 байна.
|
Хэрвээ ab=cd бол аль нь зөв бэ?
|
Заавар: Пропорцын чанар ашигла.
ab=cd=k⇒a=kb, c=kd тул a−c=k(b−d)⇒k=a−cb−d болно. Иймд
ab=cd=a−cb−d
Бодолт: Пропорцийн чанараар a−cb−d=cd байна.
|
Хэрвээ гүдгэр 4 өнцөгтийн хамгийн бага өнцөг нь 18∘, бага өнцгөөс нь эхлэн өнцгүүдийг цагийн зүүний дагуу жагсаан бичихэд арифметик прогрессийн гишүүд болж байсан бол бага өнцгийн эсрэг орших өнцгийг ол.
|
Заавар: Гүдгэр 4 өнцөгтийн дотоод өнцгүүдийн нийлбэр 360∘.
Бодолт: Гүдгэр 4 өнцөгтийн дотоод өнцгүүдийн нийлбэр 360∘ тул
a1+a2+a3+a4=2(a1+a4)=360∘
байна. Иймд a4=180∘−18∘=162∘ байна. Нөгөө талаас a4=a1+3d тул 3d=162∘−18∘⇒d=48∘ байна. a1-ийн эсрэг өнцөг нь a3=18∘+2⋅48∘=114∘ байна.
|
Хэрвээ энэ жилийн ЭЕШ-ийг 2016 оны 6-р сарын 20-нд зохион байгуулна гэвэл элсэлтийн шалгалт хүртэл хэдэн өдөр үлдсэн бэ?
Жич: Өдрийг 2015 оны ЭЕШ-ийн өдөртэй дүйцүүлж авлаа. Мөн өдрийг 2016-01-01-ээс эхэлж тоолно. Жишээ нь 2016-01-02 өдөр шалгалт байсан бол нэг өдөр үлдсэн гэх мэтээр.
|
Заавар: Сарын сүүлийн өдрүүд хүртэл хэд хоног байхыг тоолоорой! Мөн 2016 он өндөр жил тул II сар 29 хоногтой.
Бодолт: 30+29+31+30+31+20=17130+29+31+30+31+20=171 хоног.
|
Хэрэв 0<a<b бол √(a−b)2+√(a+b)2+|−1−a| аль нь вэ?
|
Заавар: |a|={a,a≥0\a,a<0 ба √a2=|a| болохыг ашигла.
Бодолт: √(a−b)2=|a−b|=b−a, √(a+b)2=|a+b|=a+b, |−1−a|=−(−1−a)=a+1 байна. Иймд √(a−b)2+√(a+b)2+|−1−a|=2b+a+1.
|
Хэрэв 23x=0 бол 23+x=?
|
Заавар: ab=0 ⇔ a=0 юмуу b=0 байна.
Бодолт: 23x=0 ⇔ 23=0 юмуу x=0. Нэг дэх нь боломжгүй тул x=0. Иймд 23+x=23.
|
Хэрэв 23x=6423x=64 бол x=?x=?
|
Заавар: 64=2664=26. Хэрэв a≠1a≠1 бол ab=ac⇔b=cab=ac⇔b=c.
Бодолт: 23x=26⇔3x=623x=26⇔3x=6 тул x=63=2x=63=2.
|
Хэрэв 2x+3=−32x+3=−3 бол −7x+5=?−7x+5=?
|
Заавар: xx-ийн утгыг олоод −7x+5−7x+5-д орлуулна.
Бодолт: 2x+3=−3⇒2x=−6⇒x=−32x+3=−3⇒2x=−6⇒x=−3 тул
−7x+5=−7⋅(−3)+5=21+5=26−7x+5=−7⋅(−3)+5=21+5=26
|
Хэрэв a+33a+5=23 бол a=?
|
Заавар: ab=cd бол ad=bc байдаг.
Бодолт: a+33a+5=23 тул 3(a+3)=2(3a+5) буюу 3a+9=6a+10.
Эндээс 3a=−1⇒a=−13. Шийдийг шалгаж үзье (бид анхнаасаа тодорхойлогдох мужийг тооцоогүй тул үүнийг заавал хийх хэрэгтэй).
−13+33⋅(−13)+5=−1+9−3+15=812=23. буюу шийд болж байна.
|
Хэрэв a+b+c=0 бол a3+b3+c3=?
|
Заавар: (a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a2b+a2c+b2a+b2c+c2a+c2b)+6abc
3(ab+bc+ac)(a+b+c)=a2b+a2c+b2a+b2c+c2a+c2b+3abc
ашигла.
Бодолт: (a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a2b+a2c+b2a+b2c+c2a+c2b)+6abc=a3+b3+c3+3(ab2+a2b+abc)+3(ac2+a2c+abc)+ +3(bc2+b2c+abc)−3abc=a3+b3+c3+3(a+b+c)(ab+ac+bc)−3abc
Энд a+b+c=0-ийг орлуулбал 0=a3+b3+c3−3abc болж a3+b3+c3=3abc байна.
|
Хэрэв a=5 ба b=8 бол a+aba−ab=?
|
Заавар: a+aba−ab=ab+aab−a=b+1b−1 байна.
Бодолт: a+aba−ab=b+1b−1=8+18−1=97.
|
Хэрэв f(x)=2x+1f(x)=2x+1 ба g(x)=3x−5g(x)=3x−5 бол f(g(2))=?f(g(2))=?
|
Заавар: Эхлээд g(2)g(2) утгыг ол.
Бодолт: g(2)=3⋅2−5=1g(2)=3⋅2−5=1 тул
f(g(2))=f(1)=2⋅1+3=5f(g(2))=f(1)=2⋅1+3=5
|
Хэрэв f(x)=3x2−x+5f(x)=3x2−x+5 бол f(3)=?f(3)=?
|
Заавар: f(x)=3x2−x+5f(x)=3x2−x+5-д x=3x=3-ийг орлуулж бод.
Бодолт: f(3)=3⋅32−3+5=29f(3)=3⋅32−3+5=29.
|
Хэрэв f(x)=7x2+3, g(x)=2x−9 бол g(f(2))=?
|
Заавар: Давхар функцийг хамгийн дотор талаас нь эхлэн бодох нь ихэнхи тохиолдолд эвтэйхэн байдаг.
Бодолт: f(2)=7⋅22+3=31 тул g(f(2))=g(31)=2⋅31−9=53 байна.
|
Хэрэв f(x)=kx2+(k+1)x функцийн график дээр A(1;5) цэг оршдог бол k-ийн утга хэд байх вэ?
|
Заавар:
Бодолт: A цэг график дээр орших тул f(1)=5 байна. Иймд 5=k⋅12+(k+1)⋅1 буюу k=2.
|
Хэрэв f(x)=x2+xf(x)=x2+x ба f(a−1)=−14f(a−1)=−14 бол a=?a=?
|
Заавар: f(a−1)=(a−1)2+(a−1)=a2−af(a−1)=(a−1)2+(a−1)=a2−a.
Бодолт: a2−a=−14a2−a=−14 тул a2−a+14=(a−1/2)2=0a2−a+14=(a−1/2)2=0 байна. Иймд a=12a=12.
|
Хэрэв f(x)=x5−3 функцийн тодорхойлогдох муж −5<x<15 бол функцийн утгын мужийг ол.
|
Заавар: a<b ба 0≤c бол ac<bc байна. Түүнчлэн a<b бол a−c<b−c байна.
Бодолт: −5<x<15⇔−1<x5<3⇔−4<x5−3<0⇔−4<f(x)<0.
|
Хэрэв f(x)=x−13x+2 бол f-ийн урвуу функц f−1(x)-ийг ол.
|
Заавар:
Бодолт: Тодорхойлолт ёсоор f(f−1(x))=x байна. Иймд x=f(f−1(x))=f−1(x)−13f−1(x)+2. Эндээс (3f−1(x)+2)x=f−1(x)−1 буюу
(3x−1)f−1(x)=−1−2x⇒f−1(x)=2x+11−3x
болов.
|
Хэрэв lg(x+3)−lg(x−1)=1lg(x+3)−lg(x−1)=1 бол x=?x=?
|
Заавар: aa, bb, cc эерег тоонууд бөгөөд a≠1a≠1 бол logab−logac=logabclogab−logac=logabc, logaa=1logaa=1, logab=logac⇔b=clogab=logac⇔b=c байна.
Бодолт: lg(x+3)−lg(x−1)=1⇒lgx+3x−1=lg10⇔x+3x−1=10.lg(x+3)−lg(x−1)=1⇒lgx+3x−1=lg10⇔x+3x−1=10.
Эндээс x+3=10(x−1)⇒9x=13⇒x=139x+3=10(x−1)⇒9x=13⇒x=139
⇒⇒ хувиргалт ашигласан тул шийдийг шалгая.
lg(139+3)−lg(139−1)=lg409−lg49=lg40949=lg10=1lg(139+3)−lg(139−1)=lg409−lg49=lg40949=lg10=1
тул шийд болж байна.
|
Хэрэв log2(x+5)=4log2(x+5)=4 бол x=?x=?
|
Заавар: logab=c⇔b=aclogab=c⇔b=ac.
Бодолт: log2(x+5)=4⇔x+5=24log2(x+5)=4⇔x+5=24 тул x=24−5=16−5=11x=24−5=16−5=11.
|
Хэрэв x1,x2x1,x2 нь x2+(4+√2)x+3+4√23=0x2+(4+2)x+3+423=0
тэгшитгэлийн шийдүүд бол x1x2x1x2, x2x1x2x1
шийдтэй бүхэл коэффициенттэй квадрат тэгшитгэл зохио.
|
Заавар: Виетийн теоремоор
⎧⎪⎨⎪⎩x1+x2=−4−√2x1⋅x2=3+4√23{x1+x2=−4−2x1⋅x2=3+423
Бодолт: x1x2+x2x1=x21+x22x1⋅x2=(x1+x2)2−2x1x2x1x2=(−4−√2)2−6−8√233+4√23=12+16√239+4√23=36+16√29+4√2=4x1x2+x2x1=x12+x22x1⋅x2=(x1+x2)2−2x1x2x1x2=(−4−2)2−6−8233+423=12+16239+423=36+1629+42=4
ба
x1x2⋅x2x1=1x1x2⋅x2x1=1
тул Виетийн урвуу теоремоор бидний олох тэгшитгэл
x2−4x+1=0x2−4x+1=0
болно.
|
Хэрэв x1,x2x1,x2 нь x2+px−1=0x2+px−1=0, p∈Zp∈Z
тэгшитгэлийн шийдүүд бол x1x22x1x22, x2x21x2x12
шийдтэй бүхэл коэффициенттэй квадрат тэгшитгэл зохио.
|
Заавар: Виетийн теоремоор
{x1+x2=−px1⋅x2=−1{x1+x2=−px1⋅x2=−1
Бодолт: x1x22+x2x21=x31+x32x21⋅x22=(x1+x2)3−3x1x2(x1+x2)x21⋅x22=(−p)3−3⋅(−1)⋅(−p)(−1)2=−p3−3px1x22+x2x12=x13+x23x12⋅x22=(x1+x2)3−3x1x2(x1+x2)x12⋅x22=(−p)3−3⋅(−1)⋅(−p)(−1)2=−p3−3p
ба
x1x22⋅x2x21=1x1⋅x2=−1x1x22⋅x2x12=1x1⋅x2=−1
тул Виетийн урвуу теоремоор бидний олох тэгшитгэл
x2+p(p2+3)x−1=0x2+p(p2+3)x−1=0
болно.
|
Хэрэв x2−3x−4<0 бол шийдүүдийн олонлог нь:
|
Заавар: (x−x1)(x−x2)<0, x1<x2 тэнцэтгэл бишийн шийдийн муж нь x1<x<x2 байдаг.
Бодолт: x2−3x−4=0 тэгшитгэлийн шийдүүд x1,2=3±√32−4⋅1⋅(−4)2=3±52 буюу x1=4, x2=−1. Иймд x2−3x−4=(x−(−1))(x−4)=(x+1)(x−4)<0. тул шийд нь −1<x<4.
|
Хэрэв xx ба yy эерэг бүхэл тоонууд бол дараах тоонуудаас аль нь үргэлж эерэг бүхэл тоо байх вэ?
1. x+yx+y 2. x−yx−y 3. xyxy
|
Заавар: Хэрвээ аль нэг нь биелэх боломжгүй бол жишээ гаргаж харуулаарай.
Бодолт: 2 нь биелэхгүй боломжгүй. Жишээ нь 11, 22 гэсэн эерэг бүхэл тоонуудын хувьд 1−2<01−2<0 тул сөрөг тоо болж байна. Нөгөө хоёр нь биелэх ойлгомжтой юм.
|
Хэрэв yx=52 бол 25x2−4y2=?
|
Заавар: y=52x.
Бодолт: 25x2−4y2=25x2−4(52x)2=25x2−4⋅254x2=25x2−25x2=0.
|
Хэрэв |2x−5|=3 бол x=?
|
Заавар: |a|=b⇔a=b∨a=−b байна.
Бодолт: |2x−5|=3 ⇔ 2x−5=3 юмуу 2x−5=−3 байна. 2x−5=3 үед x=4, 2x−5=−3 үед x=1 гэсэн шийдүүд гарна.
|
Хэрэв миний санасан тоон дээр түүнтэй адил тоог, мөн түүний 3737-ийн нэмбэл 25122512 гарна. Миний санасан тоог ол.
|
Заавар:
Бодолт: 2512:237=512:177=512⋅717=212=10122512:237=512:177=512⋅717=212=1012
|
Хэрэв −7x+5=26−7x+5=26 бол 2x+3=?2x+3=?
|
Заавар: xx-ийн утгыг олоод 2x+32x+3-д орлуулна.
Бодолт: −7x+5=26⇒−7x=21⇒x=21−7=−3−7x+5=26⇒−7x=21⇒x=21−7=−3 тул
2x+3=2⋅(−3)+3=−6+3=−32x+3=2⋅(−3)+3=−6+3=−3
|
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.