prompt
stringlengths 7
926
| completion
stringlengths 15
3.16k
|
|---|---|
2cos2x−3cosx+1=0 тэгшитгэлийн хамгийн их сөрөг шийд ба хамгийн бага эерэг шийдийн ялгаврыг ол.
|
Заавар: c=cos2x орлуулга ашиглан квадрат тэгшитгэлд шилжүүлж бод.
Бодолт: c=cos2x гэвэл 2c2−3c+1=0⇒c1=12, c2=1 болно. cosx=12⇒x=±π3+2πk, cosx=1⇒x=2πk тул хамгийн их сөрөг шийд нь −π3, хамгийн бага эерэг шийд нь π3. Иймд ялгавар нь −π3−π3=−2π3
|
2cos2x−5sinx+1=02cos2x−5sinx+1=0 тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: Үндсэн адилтгал ашиглан дан синусаар илэрхийлээд s=sinxs=sinx орлуулга хийж бод.
Бодолт: 2cos2x−5sinx+1=0⇔2(1−sin2x)−5sinx+1=02cos2x−5sinx+1=0⇔2(1−sin2x)−5sinx+1=0
⇔2sin2x+5sinx−3=0⇔2sin2x+5sinx−3=0
s=sinxs=sinx гэвэл 2s2+5s−3=0⇒s=−5±√52−4⋅2⋅(−3)2⋅2=−5±742s2+5s−3=0⇒s=−5±52−4⋅2⋅(−3)2⋅2=−5±74
тул s1=12s1=12, s2=−3s2=−3 болно. sinx=−3sinx=−3 тэгшитгэл шийдгүй тул
sinx=12⇔x=(−1)kπ6+πksinx=12⇔x=(−1)kπ6+πk
болно.
|
2cos2x−sinx=1 тэгшитгэлийн хамгийн бага эерэг шийд аль нь вэ?
|
Заавар: Өгөгдсөн хариунуудын хамгийн багаас нь эхлэн шийд болох эсэхийг нь шалгаж хамгийн бага шийдийг ол.
Тригонометрийн элдэв янзын бодлогыг амжилттай бодохын тулд 0 (0∘), π6 (30∘), π4 (45∘), π3 (60∘), π2 (90∘) зэрэг утгуудыг зайлшгүй чээжээр мэддэг байх шаардлагатай.
Эдгээрийг √дугаар2 гэсэн нэг ижил томьёогоор боддог бөгөөд дугаарыг олохдоо синус функц нь [0;π2] мужид өсдөг функц тул 0, 1, 2, 3, 4 гэсэн өсөх дарааллыг, косинус функц нь [0;π2] мужид буурдаг функц тул 4, 3, 2, 1, 0 гэсэн буурах дарааллыг ашиглана.
Жишээ нь π3 өнцгийн хувьд синусын дугаар нь 3, косинусын дугаар нь 1 тул sinπ3=√32, cosπ3=√12=12
байна.
Бодолт: Хариунууд дотроос хамгийн бага нь болох π6 тоо шийд болох эсэхийг шалгая.
π6 өнцгийн синусын дугаар нь 1, косинусын дугаар нь 3 юм. Иймд
sinπ6=√12=12, cosπ6=√32
байна. Үүнийг тэгшитгэлд орлуулж шалгавал
2(√32)2−12=32−12=1
буюу шийд болж байна. Иймд тэгшитгэлийн хамгийн бага эерэг шийд нь π6 байна.
|
2e2x2e2x нь доорх функцүүдийн алиных нь уламжлал болох вэ?
|
Заавар: y=aecxy=aecx функцийн уламжлал нь y′=acecxy′=acecx байдаг.
Бодолт: y=e2xy=e2x функцийн уламжлал нь y′=2⋅e2xy′=2⋅e2x байна.
|
2lg√x−13=2−lg(2x−9)2lgx−13=2−lg(2x−9) тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: Тодорхойлогдох муж x>13x>13 тул 0.50.5, 1212 шийд болохгүй. 14 ба 17 шийд болох эсэхийг шалга.
Бодолт: x=14x=14 нь
2lg√14−13=2lg1=02lg14−13=2lg1=0 ба
2−lg(2⋅14−9)=lg100−lg19≠02−lg(2⋅14−9)=lg100−lg19≠0 тул шийд болож чадахгүй.
Иймд x=17x=17 байна (боломжит хувилбар нь зөвхөн B үлдсэн тул шалгах шаардлагагүй).
|
2log0.5(x−2)<log0.5(x+4)2log0.5(x−2)<log0.5(x+4) тэнцэтгэл биш бод.
|
Заавар: 0<a<10<a<1 үед
logax<logay⇔x>y>0logax<logay⇔x>y>0
байна.
Бодолт: Логарифм функцийн аргумент эерэг тул x−2>0,x+4>0⇒x>2x−2>0,x+4>0⇒x>2 тул
D=]2;+∞[D=]2;+∞[ байна. Логарифмийн суурь 1-ээс бага тул 2log0.5(x−2)<log0.5(x+4)⇔log0.5(x−2)2<log0.5(x+4)⇔(x−2)2>x+4.2log0.5(x−2)<log0.5(x+4)⇔log0.5(x−2)2<log0.5(x+4)⇔(x−2)2>x+4. Эндээс x2−5x>0⇔x<0∪5<xx2−5x>0⇔x<0∪5<x. Тодорхойлогдох мужаа тооцвол тэнцэтгэл бишийн шийд 5<x5<x байна.
|
2log0.5(x−2)>log0.5(x+4)2log0.5(x−2)>log0.5(x+4) тэнцэтгэл биш бод.
|
Заавар:
Бодолт: Логарифм функцийн аргумент эерэг тул x−2>0,x+4>0⇒x>2x−2>0,x+4>0⇒x>2 тул
D=]2;+∞[D=]2;+∞[ байна. Логарифмийн суурь 1-ээс бага тул 2log0.5(x−2)>log0.5(x+4)⇔log0.5(x−2)2>log0.5(x+4)⇔(x−2)2<x+4.2log0.5(x−2)>log0.5(x+4)⇔log0.5(x−2)2>log0.5(x+4)⇔(x−2)2<x+4. Эндээс x2−5x<0⇔0<x<5x2−5x<0⇔0<x<5. Тодорхойлогдох мужаа тооцвол тэнцэтгэл бишийн шийд 2<x<52<x<5 байна.
|
2log13(x−2)>log13(2x−1) тэнцэтгэл биш бод.
|
Заавар: f(x)=logax функц нь x>0 мужид тодорхойлогдох бөгөөд 1<a үед өсөх, 0<a<1 үед буурах функц байна.
Бодолт: Тодорхойлогдох муж нь 0<x−2, 0<2x−1 буюу (2;+∞) муж байна. Энэ үед
2log13(x−2)>log13(2x−1)⇔log13(x−2)2>log13(2x−1)
⇔(x−2)2<2x−1⇔x2−6x+5<0
Эндээс (x−1)(x−5)>0 тул x∈(1;5). Тодорхойлогдох мужаа тооцвол тэнцэтгэл бишийн шийд нь (2;5) байна.
Заавар: Хариунаас бод. Тодорхойлогдох муж нь x−2>0, 2x−1>0 буюу x>2 юм.
Бодолт: Тодорхойлогдох мужаас A, C шийд биш. x=3 нь
2log13(3−2)=0>log13(2⋅3−1)=log135
тул шийд болно. Иймд D, E шийд болохгүй тул зөвхөн B буюу (2;5) хариулт үлдэж байна.
|
2log13(x−2)>log13(2x−1)2log13(x−2)>log13(2x−1) тэнцэтгэл бишийг бод.
|
Заавар: Тодорхойлогдох мужаа тооцоод logab>logac⇔(a−1)(b−c)>0logab>logac⇔(a−1)(b−c)>0 болохыг ашигла.
Бодолт: Тодорхойлогдох муж нь x>2x>2 байна. 2log13(x−2)=log13(x−2)2>log13(2x−1)2log13(x−2)=log13(x−2)2>log13(2x−1) ба
log13(x−2)2>log13(2x−1)⇔(13−1)((x−2)2−2x+1)>0log13(x−2)2>log13(2x−1)⇔(13−1)((x−2)2−2x+1)>0 тул x2−4x+4−2x+1=x2−6x+5<0⇒1<x<5x2−4x+4−2x+1=x2−6x+5<0⇒1<x<5 байна. Тодорхойлогдох мужаа тооцвол 2<x<52<x<5 байна.
|
2log3(x−1)=log392log3(x−1)=log39 тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: klogab=logabkklogab=logabk ба log3b=log3c⇒b=clog3b=log3c⇒b=c болохыг ашигла. Тодорхойлогдох мужаа анхаараарай!
Шууд шийдийг шалгах аргаар бодож болно.
Бодолт: 2log3(x−1)=log39⇒log3(x−1)2=log39⇒(x−1)2=92log3(x−1)=log39⇒log3(x−1)2=log39⇒(x−1)2=9 болно. Иймд x−1=±3⇒x1=4,x2=−2x−1=±3⇒x1=4,x2=−2 болж байна. x2=−2x2=−2 нь тодорхойлогдох мужид орохгүй гэдгийг тооцвол x=4x=4 байна.
|
2logx2+log4x=522logx2+log4x=52 бол lg(3x+52)=?lg(3x+52)=?
|
Заавар: t=2logx2=logx4t=2logx2=logx4 гэвэл log4x=1tlog4x=1t байна.
Бодолт: t+1t=52⇒t1=2, t2=12t+1t=52⇒t1=2, t2=12 болно. Иймд log4x=12⇒x1=2log4x=12⇒x1=2, log4x=2⇒x2=16log4x=2⇒x2=16 гэсэн шийдүүд гарна. Иймд lg(3⋅2+52)=lg58lg(3⋅2+52)=lg58, log(3⋅16+52)=lg100=2log(3⋅16+52)=lg100=2 байна.
|
2px2−2x+3p−2=02px2−2x+3p−2=0 тэгшитгэлийн нэг язгуур эерэг, нөгөө язгуур сөрөг байх pp параметрийн бүх утгыг ол. Тэнцэтгэл бишийн нэг шийд MM-ээс бага, нөгөө шийд MM-ээс их байх гарцаагүй бөгөөд хүрэлцээт нөхцөлийг ашиглавал a⋅p(bp−c)<0a⋅p(bp−c)<0 болох ба энэ тэнцэтгэл бишийг бодвол d<p<efd<p<ef үед манай тэнцэтгэл бишийн шийдийн нэг нь эерэг, нөгөө нь сөрөг байна.
|
Заавар: x2+px+q=0x2+px+q=0 квадрат тэгшитгэлийн нэг шийд нь эерэг, нөгөө шийд нь сөрөг байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь
q<0q<0 байна. Үнэндээ Виетийн теоремоор q=x1⋅x2q=x1⋅x2 болохыг ашиглаад үүнийг хялбархан баталж болно.
Бодолт: Квадрат тэгшитгэл тул 2p≠02p≠0 байна. Иймд
2px2−2x+3p−2=0⇔x2−1px+3p−22p=02px2−2x+3p−2=0⇔x2−1px+3p−22p=0
байна. Хоёр шийд нь эсрэг тэмдэгтэй байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцлийг ашиглавал
3p−22p<0⇔2p(3p−2)<03p−22p<0⇔2p(3p−2)<0
болно. Иймд 0<p<230<p<23 үед өгсөн тэнцэтгэл бишийн шийдийн нэг нь эерэг, нөгөө нь сөрөг байна.
|
2sin(πx)=√3 тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: arcsin√32=π3.
Бодолт: 2sin(πx)=√3⇔sin(πx)=√32 байна. Эндээс
πx=(−1)karcsin√32+πk=(−1)k⋅π3+πk
буюу
x=(−1)k⋅13+k
байна.
|
2sin2x+5cosx+1=02sin2x+5cosx+1=0 тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: Үндсэн адилтгал ашиглан дан косинусаар илэрхийлээд c=cosxc=cosx орлуулгаар бод.
Бодолт: −2cos2x−5cosx+3=0⇒c=5±√25−4⋅(−2)⋅32⋅(−2)=5±7−4−2cos2x−5cosx+3=0⇒c=5±25−4⋅(−2)⋅32⋅(−2)=5±7−4 ба |c|≤1|c|≤1 тул c=12c=12 болно. cosx=12⇒x=±π3+2πk,k∈Zcosx=12⇒x=±π3+2πk,k∈Z.
|
2sin2x+9cosx−6=02sin2x+9cosx−6=0 тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: Үндсэн адилтгал ашиглан дан косинусаар илэрхийлээд c=cosxc=cosx орлуулгаар бод.
Бодолт: 2cos2x−9cosx+4=0⇒c=9±√81−2⋅4⋅42⋅2=9±74=12,(|c|≤1)2cos2x−9cosx+4=0⇒c=9±81−2⋅4⋅42⋅2=9±74=12,(|c|≤1). cosx=12⇒x=±π3+2πk,k∈Zcosx=12⇒x=±π3+2πk,k∈Z.
|
2sin2x+sinx−1sinx−1>0 тэнцэтгэл бишийг бод.
|
Заавар: sinx=±1 шийд болохгүй тул s=sinx нь |s|<1 гэж үзэж болно.
Бодолт: s=sinx гэвэл s≠±1 тул −1<s<1 ба 2s2+s−1s−1>0 болно. Эндээс
2(s+1)(s−12)s−1>0⇔s−12<0
болох ба −1<s нөхцлийг тооцвол
−1<s<12⇔−1<sinx<12
болно.
sinx<12 тэнцэтгэл бишийн шийд
−7π6+2πn<x<π6+2πn
−1<sinx тэнцэтгэл бишийн шийд x≠3π2+πn тул тэнцэтгэл бишийн шийд нь
−7π6+2πn<x<π6+2πn, x≠3π2+2πn
|
2sin2x>sin2x тэнцэтгэл бишийн x∈[π2;3π2] байх шийдүүдийг ол.
|
Заавар: sin2x=2sinxcosx томьёог ашиглан үржигдэхүүнд задалж бод.
Бодолт: 2sin2x>sin2x⇔sin2x>sinxcosx⇔sinx⋅(sinx−cosx)>0. Иймд {sinx>0sinx>cosx⋃{sinx<0sinx<cosx байна. Эхний тэнцэтгэл бишийн шийд нь x∈[π2;π[ байна. Хоёр дахь тэнцэтгэл бишийн шийд нь x∈]5π4;3π2].
|
2sin33x+5=3cos46x тэгшитгэлийн хамгийн их сөрөг шийд x=abc∘ байна.
|
Заавар: 3cos46x≤3, −2sin33x≤2 ба тэнцэл нь зөвхөн cos26x=1 ба sin3x=−1 үед биелэнэ.
Бодолт: 5=3cos46x−2sin33x≤3+2=5
тул тэнцэл биелэх ёстой. Иймд
{cos26x=1sin3x=−1⇔{1+cos12x2=1sin3x=−1⇔{cos12x=1sin3x=−1
болно. Эндээс x=πk6=−π6+2πn3 байх ёстой. Эдгээрээс хамгийн их сөрөг шийд нь k=−1, n=0 үед −π6 буюу −30∘ байх нь ойлгомжтой.
|
2sinx>1 тэнцэтгэл бишийг 0≤x<2π мужид бод.
|
Заавар: sinx>a тэнцэтгэл бишийн шийд нь
π−arcsina+2πk<x<arcsina+2πk
байдаг.
Бодолт: sinx>12. Хэрэв x өнцгийг цагийн зүүний эсрэг чиглэлд байгуулвал нэгж тойрогтой огтлолцох цэгүүд нь s=12 шулуунаас дээш оршино. Эндээс π6<x<5π6 болно.
|
2x+12+x≥2 тэнцэтгэл бишийг бод.
|
Заавар: Тэнцэтгэл бишийн баруун талыг зүүн талд шилжүүлээд ерөнхий хуваарь өг!
Бодолт: 2x+12+x≥2⇔2x+1−4−2x2+x≥0⇔−32+x≥0 тул 2+x<0 буюу x<−2 байна.
youtube-д бодолт үзэх
|
2x+2x+3=362x+2x+3=36
|
Заавар: 8.2. Квадрат тэгшитгэл, хялбар илтгэгч тэгшитгэл бодож, шийдийг олдог.
Бодолт: 2x+2x+3=2x+8⋅2x=9⋅2x=36⇔2x=4=222x+2x+3=2x+8⋅2x=9⋅2x=36⇔2x=4=22
тул x=2x=2.
|
2x+2−x=3 бол 8x+8−x=?
|
Заавар: a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b).
Бодолт: 8x+8−x=(2x+2−x)3−3⋅2x⋅2−x(2x+2−x)=33−3⋅3=18.
|
2x+2⋅3x+y=563⋅2x+3x+y+1=87} системийг бод.
|
Заавар: 2-р тэгшитгэлийг 3-д хуваа.
Бодолт: {2x+2⋅3x+y=563⋅2x+3x+y+1=87⇔{2x+2⋅3x+y=562x+3x+y=29
I тэгшитгэлээс II тэгшитгэлийг хасвал 3x+y=27 болно. Иймд 2x=29−27=2 юм. Иймд x=1, y=2 буюу (1;2) гэсэн шийдтэй.
|
2x+y=20 бол x2+y2 илэрхийллийн хамгийн бага утгыг ол.
|
Заавар: y=20−2x-ийг x2+y2-д орлуулж хувьсагчийг цөөл.
Бодолт: f(x)=x2+y2=x2+(20−2x)2 функцийн хамгийн бага утгыг олъё.
f′(x)=2x+2(20−2x)⋅(−2)=10x−80=0⇒x=8
тул x=8 үед
f(8)=82+(20−2⋅8)2=82+42=80
хамгийн бага утгаа авна.
Заавар: ℓ:2x+y=20 шулууны цэгээс координатын эх хүртэлх хамгийн бага зайн квадратыг олох бодлого юм.
d2=x2+y2
Бодолт: Цэгээс шулуун хүртэлх зайн томьёогоор координатын эхээс ℓ шулуун хүртэлх зай
d=20√22+12
тул бидний олох хамгийн бага зайн квадрат d2=2025=80 юм.
|
2x10+3x2+1 олон гишүүнтийг x2+1-д хуваахад гарах үлдэгдлийг ол.
|
Заавар: x2+1 олон гишүүнт нь i, −i гэсэн хоёр комплекс язгууртай тул x2+1=(x−i)(x+i)
2x10+3x2+1=(x−i)(x+i)Q(x)+ax+b
тэнцэлд x=±i утгуудыг орлуулж үз.
Бодолт: 2x10+3x2+1=(x−i)(x+i)Q(x)+ax+b тул Безугийн теоремоор
2i10+3i2+1=−4=a⋅i+b
ба
2(−i)10+3(−i)2+1=−4=a⋅(−i)+b
байна. Эндээс a=0, b=−4 тул үлдэгдэл нь −4 байна.
|
2x2+11x−6=02x2+11x−6=0 тэгшитгэлийн хувьд x1x2+x1+x2x1x2+x1+x2 утгыг ол.
|
Заавар: Виетийн теорем:
ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 квадрат тэгшитгэлийн шийдүүд нь x1x1, x2x2 байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь ⎧⎪
⎪⎨⎪
⎪⎩x1+x2=−bax1⋅x2=ca{x1+x2=−bax1⋅x2=ca
байна.
Бодолт: Виетийн теоремоор x1+x2=−112x1+x2=−112, x1x2=−62x1x2=−62 байна. Иймд
x1x2+x1+x2=−62+(−112)=−172x1x2+x1+x2=−62+(−112)=−172
байна.
|
2x2+1≤x(x+2)2x2+1≤x(x+2)
|
Заавар:
Бодолт: 2x2+1≤x(x+2)⇔2x2+1≤x2+2x⇔x2−2x+1=(x−1)2≤02x2+1≤x(x+2)⇔2x2+1≤x2+2x⇔x2−2x+1=(x−1)2≤0
тул x−1=0x−1=0 буюу x=1x=1 байна.
|
2x2+3x+3=5√2x2+3x+9 тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: t=√2x2+3x+9 гэвэл 2x2+3x+3=t2−6 байна.
Бодолт: t=√2x2+3x+9 орлуулгаар тэгшитгэл
t2−6=5t⇔t2−5t−6=0
квадрат тэгшитгэлд шилжинэ. Эндээс
t1,2=5±√(−5)2−4⋅1⋅(−6)2⋅1=5±72
тул t1=6, t2=−1 болно. Гэтэл t=√2x2+3x+9≥0 тул t=6 байна. Эндээс
2x2+3x+9=62⇔2x2+3x−27=0
болох тул
x1,2=−3±√32−4⋅2⋅(−27)2⋅2=−3±154
тул x1=3, x2=−92 байна.
|
2x2−3x−3=0 бол 4x2+9x2 нь аль вэ?
|
Заавар: 2x2−3x−3=0|:x⇒2x−3x=3
Бодолт: (2x−3x)2=4x2−2⋅2x⋅3x+9x2=32⇒
4x2+9x2=9+12=21
|
2x2−3⋅3x−2=22x2−3⋅3x−2=2 тэгшитгэлийн нэг шийд нь x1=ax1=a нөгөө шийд нь x2=−b−clog62x2=−b−clog62
|
Заавар: Тэгшитгэлийн хоёр талыг 66 суурьтай логарифмчил.
Бодолт: 2x2−3⋅3x−2=2⇔log6{2x2−3⋅3x−2}=log62⇔2x2−3⋅3x−2=2⇔log6{2x2−3⋅3x−2}=log62⇔
(x2−3)log62+(x−2)log63=log62⇔(x2−3)log62+(x−2)log63=log62⇔
(log62)x2+(log63)x−4log62−2log63=0(log62)x2+(log63)x−4log62−2log63=0 болох ба x1=2x1=2 гэсэн илэрхий шийд байгаа тул Виетийн теоремоор нөгөө шийд нь x1⋅x2=−4log62+2log63log62=−4−2log23⇒x2=−2−log63x1⋅x2=−4log62+2log63log62=−4−2log23⇒x2=−2−log63 байна.
|
2x2−4x+5=02x2−4x+5=0 шийдүүд нь α,βα,β бол дараах илэрхийллүүдийн утгыг ол.
|
Заавар: Виетийн теоремоор α+β=−−42=2α+β=−−42=2 ба α⋅β=52α⋅β=52 болно.
Бодолт: (α+1)(β+1)=αβ+(α+β)+1=2+52+1=112(α+1)(β+1)=αβ+(α+β)+1=2+52+1=112;
α3+β3=(α+β)3−3αβ(α+β)=23−3⋅52⋅2=−7α3+β3=(α+β)3−3αβ(α+β)=23−3⋅52⋅2=−7;
α2+β2=(α+β)2−2αβ=22−2⋅52=−1α2+β2=(α+β)2−2αβ=22−2⋅52=−1 болохыг ашиглая.
α5+β5=(α2+β2)(α3+β3)−(αβ)2⋅(α+β)=−1⋅(−7)−254⋅2=−112α5+β5=(α2+β2)(α3+β3)−(αβ)2⋅(α+β)=−1⋅(−7)−254⋅2=−112
(α−β)2=(α+β)2−4αβ=22−4⋅52=−6(α−β)2=(α+β)2−4αβ=22−4⋅52=−6.
|
2x2−a⋅x+6=02x2−a⋅x+6=0 тэгшитгэлийн 1 шийд 3 бол нөгөө шийдийг ол.
|
Заавар: Виетийн теоремоор ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 тэгшитгэлийн шийдүүдийн үржвэр x1⋅x2=cax1⋅x2=ca
байна.
Бодолт: x1⋅x2=3⋅x2=62=3x1⋅x2=3⋅x2=62=3
тул x2=1x2=1 байна.
|
2x2−x≤2302x2−x≤230 тэнцэтгэл бишийн хамгийн их бүхэл шийдийг ол.
|
Заавар: a>1a>1 үед y=axy=ax функц нь өсдөг функц байдаг тул
ax<ay⇔x<yax<ay⇔x<y
байдаг.
Бодолт: 2>12>1 тул
2x2−x≤230⇔x2−x≤302x2−x≤230⇔x2−x≤30
x2−x−30=0x2−x−30=0 тэгшитгэлийн шийдүүд нь x1=−5x1=−5, x2=6x2=6 тул x2−x−30≤0x2−x−30≤0 тэнцэтгэл бишийн шийд нь x1≤x≤x2x1≤x≤x2 буюу
−5≤x≤6−5≤x≤6 байна.
|
2x3−12=x4−1122x3−12=x4−112 тэгшитгэл бод.
|
Заавар: Шугаман тэгшитгэл рүү шилжих хялбар рационал тэгшитгэлийн шийдийг олдог.
Бодолт: 2x3−12=x4−112⇔123⋅(2x)−122=124x−1212⇔5x=5⇔x=12x3−12=x4−112⇔123⋅(2x)−122=124x−1212⇔5x=5⇔x=1
|
2x3−13x2+7x+7=0 тэгшитгэлийн нэг шийд нь x1=−1a бөгөөд үлдэх хоёр шийд нь x2,3=b±√cd2 байна.
|
Заавар: Бүхэл коэффициенттэй
ax3+bx2+cx+d=0
куб зэртэгшитгэлийн рационал шийд нь 1a тооны бүхэл давталт хэлбэртэй байдаг.
Бодолт: x=−12=−0.5 тоо шийд болохыг шалгая.
2(−0.5)3−13(−0.5)2+7(−0.5)+7=
=−0.25−3.25−3.5+7=0
Иймд 2x3−13x2+7x+7=(x+0.5)(ax2+bx+c) байна. Тодорхойгүй коэффициентийн аргаар a, b, c коэффиентүүдийг олбол
2=a,−13=b+0.5a,7=c+0.5b,7=0.5c
буюу a=2,b=−14,c=14 болно.
2x2−14x+14=0⇔x2−7x+7=0 тэгшитгэлийг бодвол
x2,3=7±√72−4⋅72=7+√212
шийдүүд гарна.
|
2x3−3x2−ax−8=0 тэгшитгэлийн 3 бодит шийдийн аль нэг нь
нөгөө хоёрынхоо үржвэртэй тэнцүү бол a тоог ол.
|
Заавар: Виетийн теорем ашигла:
ax3+bx2+cx+d=0 куб тэгшитгэлийн шийдүүд x1, x2, x3 бол
{x1+x2+x3=−bax1x2+x1x3+x2x3=cax1x2x3=−da
байна.
Бодолт: x1⋅x2=x3 ба Виетийн теоремоор
{x1+x2+x3=32x1x2+x1x3+x2x3=−a2x1x2x3=82 байна. Иймд
x1x2x3=x23=4⇒x3=±2
x3=2 бол 2⋅23−3⋅22−a⋅2−8=0⇒a=−2 ба
|
2x3−6x+a=0 тэгшитгэл гурван шийдтэй байх a-ийн утгуудыг ол.
|
Заавар:
Бодолт: −2x3+6x=a хэлбэрт тэгшитгэлийг бичье. Мөн
f(x)=−2x3+6x ба g(x)=a гэе. Тэгвэл f′(x)=−6x2+6=6(1−x)(1+x) болно.
% after : or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
x … −1 … 1 …
f′(x) − 0 + 0 −
f(x) ↘ −4 ↗ 4 ↘
y=g(x)-ийн график y=a шулуун тул −4<a<4 үед f(x)=g(x) тэгшитгэл гурван шийдтэй байна.
|
2x3−ax2+bx+c<0 тэнцэтгэл бишийн шийд x∈]−∞;−1[∪]1;2[ бол a, b, c -ийн хувьд
{−a−b+c=a−a+b+c=bc−4a+2b+c=−de
тэгшитгэлийн систем гарах ба a=f, b=gh, c=i байна.
|
Заавар: (x−a)(x−b)(x−c)<0, a<b<c тэнцэтгэл бишийн шийдийн муж нь нь
]−∞;a[∪]b;c[
байна.
2x3−ax2+bx+c<0 тэнцэтгэл бишийн шийдийн мужийн хилийн цэгүүд нь 2x3−ax2+bx+c=0 тэгшитгэлийн шийд байна. Иймд тэгшитгэлийн шийдүүд нь −1, 1, 2 болно.
Бодолт: {2⋅(−1)3−a⋅(−1)2−b⋅(−1)2+c=02⋅13−a⋅12+b⋅1+c=02⋅23−a⋅22+b⋅2+c=0⇔{−a−b+c=2−a+b+c=−2−4a+2b+c=−16
2-р тэгшитгэлээс 1-р тэгшитгэлийг хасвал 2b=−2−2=−4⇒b=−2 болно.
Иймд −a−2+c=−2⇒a=c. Эдгээрийг сүүлийн тэгшитгэлд орлуулбал −4a+2⋅(−2)+a=−16⇒a=c=4
байна.
|
2x<1x−6+1 тэнцэтгэл бишийн хамгийн бага эерэг бүхэл шийдийг ол.
|
Заавар: Ерөнхий хуваарь өгч рационал бутархайг тэгтэй жишиж бод.
Бодолт: 2x<1x−6+1⇔2(x−6)x(x−6)<xx(x−6)+x(x−6)x(x−6)
⇔−x2+7x−12x(x−6)<0⇔(x−3)(x−4)x(x−6)>0
Тэнцэтгэл бишийг интервалын аргаар бодвол
x∈]−∞;0[∪]3;4[∪]6;+∞[
Эндээс хамгийн бага эерэг бүхэл шийд нь 7 болох нь харагдаж байна.
|
2x=322x=32 тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: ax=ay⇔x=yax=ay⇔x=y байна.
Бодолт: 2x=32=25⇔x=52x=32=25⇔x=5
|
2xx2−9⋅2x−x2+9=02xx2−9⋅2x−x2+9=0 тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: Үржигдэхүүнд задлах аргаар бод.
Бодолт: 2xx2−9⋅2x−x2+9=0⇔(2x−1)(x2−9)=02xx2−9⋅2x−x2+9=0⇔(2x−1)(x2−9)=0
тул 2x−1=02x−1=0 эсвэл x2−9=0x2−9=0 байна. 2x−1=0⇒x=02x−1=0⇒x=0, x2−9=0⇒x=±3x2−9=0⇒x=±3.
|
2x−12−x≥2 тэнцэтгэл бишийг бод.
|
Заавар: Тэнцэтгэл бишийн баруун талыг зүүн талд шилжүүлээд ерөнхий хуваарь өг!
Бодолт: 2x−12−x≥2⇔2x−1−4+2x2−x≥0⇔4x−52−x≥0
x−54x−2≤0⇔1.25≤x<2
байна.
|
2x−1=4√22x−1=42 тэгшитгэлийн шийд аль нь вэ?
|
Заавар: 4√2=22⋅212=22.542=22⋅212=22.5
Бодолт: 2x−1=4√2=22.5⇔x−1=2.5⇔x=3.52x−1=42=22.5⇔x−1=2.5⇔x=3.5
|
2x−1>17 тэнцэтгэл бишийн шийдийн олонлогийг ол.
|
Заавар: Ерөнхий хуваарь өгч бутархайг тэгтэй жишиж бодно.
2x−1>17⇎2⋅7>1⋅(x−1) болохыг анхаар!
Бодолт: 2x−1>17⇔2x−1−17>0⇔2⋅7−1⋅(x−1)7(x−1)>0
байна. Эндээс \dfrac{15-x}{x-1}>0\Leftrightarrow (x-1)(x-15)<0 тул
1< x<15 буюу x\in]1;15[ байна.
|
2x−1>8⋅√22x−1>8⋅2 тэнцэтгэл бишийн хамгийн бага бүхэл шийдийг ол.
|
Заавар: y=axy=ax функц нь a>1a>1 үед өсөх функц байх тул
x<y⇔ax<ayx<y⇔ax<ay
байна. Харин a<1a<1 үед буурах функц байх тул
x<y⇔ax>ayx<y⇔ax>ay
байна.
Бодолт: 2x−1>8⋅√2⇔2x−1>23⋅212=23.52x−1>8⋅2⇔2x−1>23⋅212=23.5
⇔x−1>3.5⇔x>4.5⇔x−1>3.5⇔x>4.5
байна. Ийм хамгийн бага бүхэл тоо нь x=5x=5 байна.
|
2x−1y+z2x+1y+z⋅(1+4(y2+z2)−x28yz):x−2(y+z)xyz илэрхийллийг хялбарчил.
|
Заавар: 2x−1y+z2x+1y+z=2(y+z)−x2(y+z)+x, 1+4(y2+z2)−x28yz=4(y+z)2−x28yz=(2(y+z)−x)(2(y+z)+x)8yz.
Бодолт: Илэрх.=2x−1y+z2x+1y+z⋅(1+4(y2+z2)−x28yz):x−2(y+z)xyz=2(y+z)−x(−12(y+z)+x⋅(2(y+z)−x)(2(y+z)+x)8yz⋅xyzx−2(y+z)=−(2(y+z)−x)x8=x(x−2(y+z))8
|
2x−2−x=4 бол 8x−8−x=?
|
Заавар: a3−b3=(a−b)3+3ab(a−b) ба 8x=(2x)3, 8−x=(2−x)3 болохыг ашигла.
Бодолт: 8x−8−x=(2x−2−x)3+3⋅2x⋅2−x(2x−2−x)=43+3⋅4=76.
|
2x−3=3x−12x−3=3x−1 тэгшитгэл бод.
|
Заавар: Шугаман тэгшитгэл рүү шилжих хялбар рационал тэгшитгэлийн шийдийг олдог.
Бодолт: Солбиж үржүүлбэл 2(x−1)=3(x−3)2(x−1)=3(x−3) буюу 2x−2=3x−92x−2=3x−9. Эндээс 2x−3x=−9+22x−3x=−9+2 буюу x=7x=7 болно.
|
2x−3y+4z=52x−3y+4z=5, 3x−12y+9z=33x−12y+9z=3 бол x+y+zx+y+z хэдтэй тэнцүү вэ?
|
Заавар: 3x−12y+9z=3⇒x−4y+3z=13x−12y+9z=3⇒x−4y+3z=1 байна.
α(2x−3y+4z)+β(x−4y+3z)=x+y+zα(2x−3y+4z)+β(x−4y+3z)=x+y+z байхаар αα, ββ тоонуудыг олоорой!
Бодолт: (2x−3y+4z)−(x−4y+3z)=x+y+z(2x−3y+4z)−(x−4y+3z)=x+y+z тул x+y+z=5−1=4x+y+z=5−1=4 байна.
|
2x−73<5 тэнцэтгэл бишийг хангах x-ийн хамгийн их натурал утгыг ол.
|
Заавар: a>0 бол
ba<c⇔b<ac
Бодолт: 2x−73<5⇔2x−7<3⋅5=15⇔2x<22⇔x<11
тул хамгийн их натурал шийд нь 10 байна.
Заавар: 8.1. Нэг хувьсагчтай шугаман тэнцэтгэл биш зохиодог, тэнцэтгэл бишийн чанаруудыг бичдэг, тайлбарладаг.
Бодолт: 2x−73<5⇔2x−7=3⋅5=15⇔2x<22⇔x<11
тул хамгийн их натурал шийд нь 10 юм.
|
2x−73≥5 тэнцэтгэл бишийг хангах x-ийн хамгийн бага натурал утгыг ол.
|
Заавар: a>0 бол
ba≥c⇔b≥ac
Бодолт: 2x−73≥5⇔2x−7≥3⋅5=15⇔2x≥22⇔x≥11
тул хамгийн бага натурал шийд нь 11 байна.
|
2x−x2+4=x+x3 тэгшитгэл бод.
|
Заавар: Тэгшитгэлийг 6-аар үржүүлж бүхэл коэффициенттэй болгоод бодвол илүү хялбар.
Бодолт: 2x−x2+4=x+x3←×612x−3x+24=6x+2x9x+24=8x9x−8x=−24x=−24
|
2x−y=10 бол x2+y2 илэрхийллийн хамгийн бага утгыг ол.
|
Заавар: y=2x−10-ийг x2+y2-д оруулж хувьсагчийг цөөл.
Бодолт: f(x)=x2+y2=x2+(2x−10)2 функцийн хамгийн бага утгыг олъё.
f′(x)=2x+2(2x−10)⋅2=10x−40=0⇒x=4
тул x=4 үед
f(8)=42+(2⋅4−10)2=42+22=20
хамгийн бага утгаа авна.
|
2x≤162x≤16 тэнцэтгэл бишийг бод.
|
Заавар: 16=2416=24 байна.
a>1a>1 бол ax≤ay⇔x≤yax≤ay⇔x≤y байна
Бодолт: 2x≤16=24⇔x≤42x≤16=24⇔x≤4.
|
2x≤82x≤8 тэнцэтгэл бишийг бод.
|
Заавар: a>1a>1 үед
ax≤ay⇔x≤yax≤ay⇔x≤y
Бодолт: 2x≤8=23⇔x≤32x≤8=23⇔x≤3.
|
2x≥1 тэнцэтгэл биш бод.
|
Заавар: x-ийн эерэг эсвэл сөрөг эсэхийг мэдэхгүй байгаа тохиолдолд 2x≥1⇎2≥x болохыг анхаар!
a(x)>0 бол f(x)≥g(x)⇔a(x)f(x)≥a(x)f(x) a(x)<0 бол
f(x)≥g(x)⇔a(x)f(x)≤a(x)f(x) байна.
Бодолт: x≠0 байна. Хэрвээ x>0 бол 2x≥1⇔2≥x байна. Харин x<0 бол 2x≥1⇔1≤x тул шийдгүй байна. Иймд ерөнхий шийд нь ]0;1] байна.
|
2|x+a|=3a, (a>0) тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: |x+a|={x+a,x+a≥0−x−a,x+a<0
болохыг ашиглан бод.
Бодолт: x+a≥0 үед
2|x+a|=3a⇔2x+2a=3a⇒x=a2
ба a>0 тул a2+a>0 учир шийд болно.
x+a<0 үед
2|x+a|=3a⇔−2x−2a=3a⇒x=−5a2
ба −5a2+a=−3a2<0 тул мөн шийд болно.
Иймд −5a2; a2 гэсэн 2 шийдтэй байна.
|
2∑m=14∑n=2(mn)=?∑m=12∑n=24(mn)=?
|
Заавар: ∑ki=1αai=α∑ki=1ak∑i=1kαai=α∑i=1kak болохыг ашигла.
Бодолт: 2∑m=14∑n=2(mn)=2∑m=1(m4∑n=2n)=2∑m=1m(2+3+4)=92∑m=1m=9⋅(1+2)=27∑m=12∑n=24(mn)=∑m=12(m∑n=24n)=∑m=12m(2+3+4)=9∑m=12m=9⋅(1+2)=27.
|
2−3xx+1≤−3 тэнцэтгэл бишийг бод.
|
Заавар: 2−3xx+1≤−3⇔2−3xx+1+3≤0⇔2−3x+3(x+1)x+1=5x+1≤0.
Бодолт: x+1≠0 тул x+1<0 буюу x<−1 байна.
|
2−3xx+1≥−3 тэнцэтгэл бишийг бод.
|
Заавар: 2−3xx+1≥−3⇔2−3xx+1+3≥0⇔2−3x+3(x+1)x+1=5x+1≥0.
Бодолт: x+1≠0 тул x+1>0 буюу x>−1 байна.
|
2−x5−|1−3x|=1 тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: |a|={a,a≥0\a,a<0
ашиглан модулиас салгаж бод.
Бодолт: |1−3x|={1−3x,1−3x≥0\(1−3x),1−3x<0={1−3x,x≤133x−1,x>13
тул x≤13 үед
2−x5−(1−3x)=1⇔2−x−4−3x4+3x=0
тул −2−4x=0⇒x=−12 байна.
Харин x>13 үед
2−x5−(3x−1)=1⇔2−x−6+3x6−3x=0
тул −4+2x⇒x=2 болно. Гэвч 6−3x≠0 байх ёстой тул энэ тохиолдолд шийдгүй.
|
2−√3 тоо нэг язгуур нь болох квадрат тэгшитгэл зохио.
|
Заавар:
Бодолт: x=2−√3⇒√3=2−x⇒3=(2−x)2⇒x2−4x+1=0.
|
2√5+2x<8−x25+2x<8−x тэнцэтгэл бишийг бод.
|
Заавар: Шууд тэнцэтгэл бишийн 2 талыг квадрат зэрэгт дэвшүүлж бодож болохгүйг хатуу анхаар.
Тодорхойлогдох муж нь 5+2x≥05+2x≥0;
0≤2√5+2x<8−x0≤25+2x<8−x тул 0≤8−x⇒x≤80≤8−x⇒x≤8 байна.
Бодолт: 0≤2√5+2x<8−x0≤25+2x<8−x тул
⎧⎪⎨⎪⎩5+2x≥08−x>04⋅(5+2x)<(8−x)2⇔⎧⎪⎨⎪⎩x≥−2.5x<8(x−2)(x−22)>0{5+2x≥08−x>04⋅(5+2x)<(8−x)2⇔{x≥−2.5x<8(x−2)(x−22)>0
тул −2.5≤x<2−2.5≤x<2.
Нэмэлт: 2√5+2x=8−x25+2x=8−x тэгшитгэлийн шийд нь 22 болж байгаа мөн 5+2x≥05+2x≥0 байхыг харгалзан зөв хариуг шууд сонгож болно.
|
2√x+2=x+3 тэгшитгэл бод.
|
Заавар: Шууд хариунаас бод.
Бодолт: x=−1 бол 2√−1+2=2=−1+3 тул шийд болж байна. Өөр −1 агуулсан шийд байхгүй тул зөв хариулт нь C байна.
|
2√x+5=4⋅2√x−32x+5=4⋅2x−3 тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: Тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талуудыг 22-ийн зэрэг дүрсэд оруул.
2x=2y⇔x=y2x=2y⇔x=y
Бодолт: 3√x+1=3⋅2√x−2⇔3√x+1=31+√x−2⇔√x+1=1+√x−23x+1=3⋅2x−2⇔3x+1=31+x−2⇔x+1=1+x−2. Тэгшитгэлийн 2 талыг квадрат зэрэгт дэвшүүлээд бодвол x+1=1+2√x−2+x−2⇔√x−2=1⇔x=3.x+1=1+2x−2+x−2⇔x−2=1⇔x=3.
|
2√x2−x−2≥|x+1|−22x2−x−2≥|x+1|−2 тэнцэтгэл бишийг бод.
|
Заавар: x+1<0x+1<0 үед |x+1|=−x−1|x+1|=−x−1, x+1≥0x+1≥0 үед |x+1|=x+1|x+1|=x+1-ийг ашиглан модульгүй тэнцэтгэл бишүүдэд шилжүүлж бод.
Бодолт:
|
2√x−3=0 тэгшитгэлийн шийд x0 бол x0+1x0−1=?
|
Заавар: Тэгшитгэлээ бодоод гарсан шийдийг x+1x−1-д орлуулна.
Бодолт: 2√x−3=0⇒√x=32⇒x=94 буюу x0=94 байна. Иймд
94+194−1=13454=135=2.6
|
2∫cos5xdx=?2∫cos5xdx=?
|
Заавар: ∫f(x)dx=F(x)+C∫f(x)dx=F(x)+C бол α∫f(ax+b)dx=αaF(ax+b)+Cα∫f(ax+b)dx=αaF(ax+b)+C байдаг.
Бодолт: 2∫cos5xdx=2sin5x5+C.2∫cos5xdx=2sin5x5+C.
|
2⋅12x−3x+1+4x+1−6=02⋅12x−3x+1+4x+1−6=0 тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: 2⋅12x−3x+1+4x+1−6=0⇔3x(2⋅4x−3)+2(2⋅4x−3)=0⇔(3x+2)(2⋅4x−3)=02⋅12x−3x+1+4x+1−6=0⇔3x(2⋅4x−3)+2(2⋅4x−3)=0⇔(3x+2)(2⋅4x−3)=0.
Бодолт:
|
2⋅15x−3x+2−4⋅5x+1+90=02⋅15x−3x+2−4⋅5x+1+90=0 тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: 2⋅15x−3x+2−4⋅5x+1+90=0⇔(3x−10)(2⋅5x−9)=02⋅15x−3x+2−4⋅5x+1+90=0⇔(3x−10)(2⋅5x−9)=0.
Бодолт:
|
2⋅165x2+9x−16=31⋅645x2+9x32⋅165x2+9x−16=31⋅645x2+9x3 тэгшитгэлийн шийд аль нь вэ?
|
Заавар: 165x2+9x=(45x2+9x)2165x2+9x=(45x2+9x)2, 645x2+9x3=45x2+9x645x2+9x3=45x2+9x байна.
Бодолт: t=45x2+9x>0t=45x2+9x>0 гэвэл 2t2−16=31t⇔2t2−31t−16=02t2−16=31t⇔2t2−31t−16=0 болно. Эндээс
t1,2=31±√312−4⋅2⋅(−16)2⋅2=31±334t1,2=31±312−4⋅2⋅(−16)2⋅2=31±334 ба t>0t>0 тул t=16t=16 болно. Иймд 45x2+9x=16⇔5x2+9x=245x2+9x=16⇔5x2+9x=2
буюу 5x2+9x−4=0⇔x=−2∨x=155x2+9x−4=0⇔x=−2∨x=15
|
2⋅3log4x+xlog43=243 тэгшитгэлийн хувьд x>a гэж тодорхойлогдох ба тэгшитгэлийг бодвол bcd шийд гарна.
|
Заавар: alogbc=clogba адилтгалыг ашигла.
Бодолт: Логарифм функцийн тодорхойлогдох муж нь эерэг тоо тул x>0.
alogbc=clogba адилтгалыг ашиглавал 2⋅3log4x+xlog43=3⋅3log4x=243 тул 3⋅3log4x=35 буюу log4x=4. Иймд x=44=256 байна.
|
2⋅3x+1−5⋅9x−2=812⋅3x+1−5⋅9x−2=81 тэгшитгэл бод.
|
Заавар: t=3x>0t=3x>0 гэвэл 6t−5t292=816t−5t292=81 болно.
Бодолт: 6t−5t292=81⇔5t2−486t+6561=06t−5t292=81⇔5t2−486t+6561=0 тул
t1,2=486±√4862−4⋅5⋅65612⋅5=486±32410t1,2=486±4862−4⋅5⋅65612⋅5=486±32410
болно. Эндээс t1=16.2t1=16.2, t2=81t2=81 тул x=log316.2x=log316.2, x=log381=4x=log381=4 гэсэн шийдүүд гарч байна.
|
2⋅4x−17⋅2x+8<02⋅4x−17⋅2x+8<0 тэнцэтгэл биш бод.
|
Заавар: 2x<2y⇔x<y2x<2y⇔x<y
ба α<βα<β бол
(x−α)(x−β)<0⇔x∈(α,β)(x−α)(x−β)<0⇔x∈(α,β)
болохыг ашигла.
Бодолт: 2t2−17t+8=(2t−1)(t−8)=2(t−0.5)(t−8)2t2−17t+8=(2t−1)(t−8)=2(t−0.5)(t−8) тул
2⋅4x−17⋅2x+8<0⇔2(2x−0.5)(2x−8)<0⇔2⋅4x−17⋅2x+8<0⇔2(2x−0.5)(2x−8)<0⇔
0.5<2x<8⇔2−1<2x<23⇔−1<x<3⇔x∈(−1;3)0.5<2x<8⇔2−1<2x<23⇔−1<x<3⇔x∈(−1;3)
|
2⋅9x=6x+3⋅4x тэгшитгэлийн шийдүүдийн нийлбэрийг ол.
|
Заавар: a⋅α2x+b⋅αxβx+c⋅β2x=0 тэгшитгэл нь t=(αβ)x орлуулгаар
at2+bt+c=0
квадрат тэгшитгэлд шилждэг.
Бодолт: Тэгшитгэлийг 4x-д хувааж t=(32)x орлуулга хийвэл
2t2=t+3⇒t1=−1, t2=32
болно. (32)x эерэг байх ёстой тул тэгшитгэл (32)x=32⇒x=1 гэсэн цор ганц шийдтэй. Иймд шийдүүдийн нийлбэр нь 1 байна.
|
3 ба 4-ийн ядаж нэгд нь хуваагддаг 3 оронтой тоонуудын нийлбэрийг ол.
|
Заавар: A3 нь 3-т хуваагддаг 3 оронтой тоонуудын нийлбэр, A4 нь 4-т хуваагддаг 3 оронтой тоонуудын нийлбэр, A3,4 нь 3 ба 4-т зэрэг хуваагддаг 3 оронтой тоонуудын нийлбэр бол бидний олох нийлбэр нь A3+A4−A3,4 байна.
Бодолт: 3-т хуваагддаг 3 оронтой тоонууд нь 102,105,…,999 ба 102+3(n−1)=999⇒n=300 тул нийлбэр нь A3=102+9992⋅300=165150
байна.
4-т хуваагддаг 3 оронтой тоонууд нь 100,104,…,996 ба 100+4(n−1)=996⇒n=225 тул нийлбэр нь A4=100+9962⋅225=123300
байна.
3 ба 4-т зэрэг хуваагддаг 3 оронтой тоонууд нь 108,120,…,996 ба 108+12(n−1)=996⇒n=75 тул A3,4=108+9962⋅75=41400
Иймд бидний олох нийлбэр 165150+123300−41400=247050
|
3 радиустай тойрогт багтсан 4 өнцөгтийн талбай хамгийн ихдээ хэд байх вэ?
|
Заавар: Дөрвөн өнцөгтийн диагоналиудын урт d1, d2 нь диаметрээс хэтрэхгүй байна; Түүнчлэн диагоналиудын хоорондох өнцөг нь θ бол S=12d1d2sinθ байдаг.
Бодолт: d1,d2≤2⋅3=6 тул S=12⋅d1⋅d2⋅sinθ≤18 Иймд sinθ=1 буюу диагоналиуд нь перпендикуляр бөгөөд диаметр (багтсан квадрат) үед хамгийн их талбайтай байна.
|
3(2x+1)(x−3)≤03(2x+1)(x−3)≤0 тэнцэтгэл бишийн хамгийн их бүхэл шийдийг ол.
|
Заавар: Дурын x∈Rx∈R тооны хувьд 2x+1>02x+1>0 болохыг ашиглаарай!
a>0a>0 бол ab≤0⇔b<0ab≤0⇔b<0 байна.
Бодолт: Дурын x∈Rx∈R тооны хувьд 32x+1>032x+1>0 тул
3(2x+1)(x−3)≤0⇔1x−3≤0⇔x<33(2x+1)(x−3)≤0⇔1x−3≤0⇔x<3
байна. Иймд хамгийн их бүхэл шийд нь x=2x=2.
|
3(2x2+x−2)2=8x2+4x−9 тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: t=2x2+x орлуулга ашигла.
Бодолт: t=2x2+x гэвэл 3(t−2)2=4t−9⇔3t2−16t+21=0
тул t1,2=16±√162−4⋅3⋅212⋅3=16±26
t1=3 үед 2x2+x=3⇒x1=1, x2=−32.
t2=73 үед 2x2+x=73⇔6x2+3x−7=0 тул x3,4=−3±√32−4⋅6⋅(−7)2⋅6=−3±√17712
|
3(2x−1)−5(x−3)+6(3x−4)=833(2x−1)−5(x−3)+6(3x−4)=83 тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: Хаалтыг задалж төсөөтэй гишүүдийг эмхэтгэ.
Бодолт: 3(2x−1)−5(x−3)+6(3x−4)=83⇔6x−3−5x+15+18x−24=83⇔(6−5+18)x−12=83⇔19x=83+12⇔19x=95⇔x=95:19=53(2x−1)−5(x−3)+6(3x−4)=83⇔6x−3−5x+15+18x−24=83⇔(6−5+18)x−12=83⇔19x=83+12⇔19x=95⇔x=95:19=5
|
3+3cosx=2sin2x3+3cosx=2sin2x тэгшитгэлийн 0<α1<α2<α3<…0<α1<α2<α3<… байх шийдүүдийн хувьд α3+α7=aπα3+α7=aπ ба aa бүхэл тоо бол түүнийг ол.
|
Заавар:
Бодолт: 3+3cosx=2sin2x=2(1−cos2x)⇒2cos2x+3cosx+1=03+3cosx=2sin2x=2(1−cos2x)⇒2cos2x+3cosx+1=0 тул
cosx=−1∨cosx=−12⇒x=π+2πk∨x=±2π3+2πk.cosx=−1∨cosx=−12⇒x=π+2πk∨x=±2π3+2πk. Иймд α1=2π3α1=2π3, α2=πα2=π, α3=4π3α3=4π3, α4=8π3α4=8π3, α5=3πα5=3π, α6=10π3α6=10π3, α7=14π3α7=14π3. α3+α7=4π3+14π3=6πα3+α7=4π3+14π3=6π. Иймд a=6a=6.
|
3+43+x+2x−1=5 бол x=?
|
Заавар: 3+43+x+2x−1=5⇔4(x−1)4x−1=2 тул 4x−4=8x−2.
Бодолт: 4x−4=8x−2⇒4x=−2⇒x=−12 байна.
|
3+52+74+98+1116+⋯+2n+32n+⋯3+52+74+98+1116+⋯+2n+32n+⋯ нийлбэрийг ол.
|
Заавар: A=3+52+74+98+1116+⋯+2n+32n+⋯A=3+52+74+98+1116+⋯+2n+32n+⋯ гээд 2A−A2A−A илэрхийллийг хялбарчил.
Бодолт: A=∞∑n=02n+32nA=∑n=0∞2n+32n тул
2A−A=2∞∑n=02n+32n−∞∑n=02n+32n=∞∑n=02n+32n−1−∞∑n=02n+32n=6+∞∑n=12n+32n−1−∞∑n=02n+32n=6+∞∑n=12(n−1)+52n−1−∞∑n=02n+32n=6+∞∑n=02n+52n−∞∑n=02n+32n=6+∞∑n=022n=6+21−12=102A−A=2∑n=0∞2n+32n−∑n=0∞2n+32n=∑n=0∞2n+32n−1−∑n=0∞2n+32n=6+∑n=1∞2n+32n−1−∑n=0∞2n+32n=6+∑n=1∞2(n−1)+52n−1−∑n=0∞2n+32n=6+∑n=0∞2n+52n−∑n=0∞2n+32n=6+∑n=0∞22n=6+21−12=10
тул A=10A=10 байна.
|
3+xx2−3x+23+xx2−3x+2 рационал бутархайг зэрэгт цуваанд задлахад x3x3-ийн өмнөх коэффициент хэдтэй тэнцүү байх вэ?
|
Заавар: 3+xx2−3x+2=3+x(x−1)(x−2)=Ax−1+Bx−23+xx2−3x+2=3+x(x−1)(x−2)=Ax−1+Bx−2 байх AA, BB тоонуудыг олж бод.
Бодолт: 3+xx2−3x+2=Ax−1+Bx−2=A(x−2)(x−1)(x−2)+B(x−1)(x−1)(x−2)=(A+B)x−2A−Bx2−3x+23+xx2−3x+2=Ax−1+Bx−2=A(x−2)(x−1)(x−2)+B(x−1)(x−1)(x−2)=(A+B)x−2A−Bx2−3x+2
тул A+B=1A+B=1, −2A−B=3−2A−B=3 буюу A=−4A=−4, B=5B=5 байна. Иймд
3+xx2−3x+2=−4x−1+5x−2=41−x−521−x2=4(1+x+x2+x3+⋯)−52(1+x2+x24+x38+⋯)3+xx2−3x+2=−4x−1+5x−2=41−x−521−x2=4(1+x+x2+x3+⋯)−52(1+x2+x24+x38+⋯)
байна. Задаргааны x3x3-ийн өмнөх коэффициент нь 4−52⋅18=59164−52⋅18=5916 байна.
|
3+xx2−3x+23+xx2−3x+2 рационал бутархайг зэрэгт цуваанд задлахад x4x4-ийн өмнөх коэффициент хэдтэй тэнцүү байх вэ?
|
Заавар: 3+xx2−3x+2=3+x(x−1)(x−2)=Ax−1+Bx−23+xx2−3x+2=3+x(x−1)(x−2)=Ax−1+Bx−2 байх AA, BB тоонуудыг олж бод.
Бодолт: 3+xx2−3x+2=Ax−1+Bx−2=A(x−2)(x−1)(x−2)+B(x−1)(x−1)(x−2)=(A+B)x−2A−Bx2−3x+23+xx2−3x+2=Ax−1+Bx−2=A(x−2)(x−1)(x−2)+B(x−1)(x−1)(x−2)=(A+B)x−2A−Bx2−3x+2
тул A+B=1A+B=1, −2A−B=3−2A−B=3 буюу A=−4A=−4, B=5B=5 байна. Иймд
3+xx2−3x+2=−4x−1+5x−2=41−x−521−x2=4(1+x+x2+x3+⋯)−52(1+x2+x24+x38+⋯)3+xx2−3x+2=−4x−1+5x−2=41−x−521−x2=4(1+x+x2+x3+⋯)−52(1+x2+x24+x38+⋯)
байна. Задаргааны x3x3-ийн өмнөх коэффициент нь 4−52⋅116=12332=327324−52⋅116=12332=32732 байна.
|
3+x|x+1|−2=1 тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: Тодорхойлогдох мужийг анхаар.
|x+1|={x+1,x+1≥0\x−1,x+1<0 байна.
Бодолт: Тодорхойлогдох муж нь |x+1|≠2 тул x≠1 ба x≠−3 байна.
x+1≥0 үед 3+x(x+1)−2=1⇔3+x=x−1⇔3≠−1 тул шийдгүй.
x+1<0 үед 3+x−(x+1)−2=1⇔3+x=−x−3⇔x=−3 болно. Гэвч −3 нь тодорхойлогдох мужид орохгүй тул шийд биш. Иймд тэгшитгэл бодит тоон шийдгүй байна.
|
3,7,11,…3,7,11,… дарааллын 5-р гишүүнийг ол.
|
Заавар: Гишүүн бүр нь өмнөх гишүүнээсээ 4-өөр их байна.
Бодолт: Гишүүд 4, 4-өөр нэмэгдэх тул
3,7,11,15,193,7,11,15,19
болно. Иймд 5-р гишүүн нь 1919 юм.
|
3-т хуваагддаг бүх 3 оронтой тооны нийлбэрийг ол.
|
Заавар: Эдгээр тоонууд нь эхний гишүүн нь 102, сүүлийн гишүүн нь 999 байх 3 ялгавартай арифметик прогрессийн дараалсан гишүүд байна. Нийт хэдэн гишүүн байгаа вэ?
Бодолт: 999=102+3(n−1)⇒n=300 байна. a1=102, a300=999 тул эхний 300 гишүүний нийлбэр нь S300=102+9992⋅300=165150 байна.
|
3.1x−0.2=5.1x−113.1x−0.2=5.1x−11 тэгшитгэлийг бодоорой!
|
Заавар: Үл мэдэгдэгчтэй ба үл мэдэгдэгчгүй хэсгийг ялгаж ax=bax=b хэлбэрт шилжүүл.
Бодолт: 3.1x−0.2=5.1x−11⇔11−0.2=5.1x−3.1x⇔10.8=2x⇔2x=10.83.1x−0.2=5.1x−11⇔11−0.2=5.1x−3.1x⇔10.8=2x⇔2x=10.8
тул x=10.8:2=5.4x=10.8:2=5.4 байна.
|
3.1x−0.4=5.1x−223.1x−0.4=5.1x−22 тэгшитгэлийг бодоорой!
|
Заавар: Үл мэдэгдэгчтэй ба үл мэдэгдэгчгүй хэсгийг ялгаж ax=bax=b хэлбэрт шилжүүл.
Бодолт: 3.1x−0.4=5.1x−22⇔22−0.4=5.1x−3.1x⇔21.6=2x⇔2x=21.63.1x−0.4=5.1x−22⇔22−0.4=5.1x−3.1x⇔21.6=2x⇔2x=21.6
тул x=21.6:2=10.8x=21.6:2=10.8 байна.
|
30 м.куб багтаамжтай усан сангийн усыг шавхаж, дараа нь өмнөх хэмжээнд хүртэл усаар дүүргэхэд нийт 8 цаг зарцуулав. Хэрвээ шахуургаар нэг цагт шахах усны хэмжээ нь усыг шавхахаас 4 м.кубээр бага байдаг бол усан санг дүүргэхэд ямар хугацаа зарцуулсан бэ?
|
Заавар:
Шавхах Шахах Хамаарал
1 цагт m1m1 м.куб m2m2 м.куб m1=m2+4m1=m2+4
Хугацаа t1t1 цаг t2t2 цаг t1+t2=8t1+t2=8
Хэмжээ m1⋅t1=30m1⋅t1=30 м.куб m2⋅t2=30m2⋅t2=30 м.куб
бидний олох зүйл маань t2t2 байна.
Бодолт: {m1⋅t1=30m2⋅t2=30⇔{(m2+4)⋅(8−t2)=30m2⋅t2=30⇔{8m2−m2⋅t2+32−4t2=30m2⋅t2=30{m1⋅t1=30m2⋅t2=30⇔{(m2+4)⋅(8−t2)=30m2⋅t2=30⇔{8m2−m2⋅t2+32−4t2=30m2⋅t2=30
тул m2=28+4t28=7+t22m2=28+4t28=7+t22 болно. Иймд m2⋅t2=7+t22⋅t2=30m2⋅t2=7+t22⋅t2=30 байна.
t22+7t2−60=0t22+7t2−60=0 тэгшитгэлийг бодвол t2=5∨t2=−12t2=5∨t2=−12 болох ба t2t2 эерэг тул t2=5t2=5 байна. Иймд усан санг 5 цагийн хугацаанд дүүргэжээ.
|
30%30% нь 3√535 байх тоо аль нь вэ?
|
Заавар: 30%30% --- 3√535, 100%100% --- xx гэвэл 3√530=x1003530=x100 байна.
Бодолт: 3√530=x100⇒x=10√53530=x100⇒x=105 байна.
|
31+log3(2x5)=22+log2331+log3(2x5)=22+log23
тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: 31+log3(2x5)=22+log23⇔3⋅2x5=22⋅2log23=1231+log3(2x5)=22+log23⇔3⋅2x5=22⋅2log23=12.
Бодолт:
|
31+|x+3|<1 тэнцэтгэл бишийг бод.
|
Заавар: 0 шийд болох эсэхийг шалгаад хариунаас бод.
Бодолт: x=0 үед 31+|0+3|=34<1 тул шийд болно. Нөгөө талаас 0-ийг агуулсан цорын ганц хариулт нь ]−∞;−5[∪]−1;+∞[ тул зөв хариулт болно.
|
312+log3sinx+612=912+log9cosx312+log3sinx+612=912+log9cosx тэгшитгэл нь
|
Заавар: 312+log3sinx=312⋅3log3sinx=√3⋅sinx312+log3sinx=312⋅3log3sinx=3⋅sinx үүнтэй төстэйгөөр 912+log9cosx912+log9cosx илэрхийллийг хувирга.
cosαcosx−sinαsinx=cos(x+α)cosαcosx−sinαsinx=cos(x+α) томьёог ашиглавал acosx−bsinx=√a2+b2cos(x+α)acosx−bsinx=a2+b2cos(x+α) байна. Энд αα нь cosα=a√a2+b2cosα=aa2+b2, sinα=b√a2+b2sinα=ba2+b2 байх өнцөг.
Логарифм функцийн аргумент эерэг тоо байх ёстой тул анхны тэгшитгэлийн тодорхойлогдох муж нь sinx>0sinx>0, cosx>0cosx>0 байна.
Бодолт: 312+log3sinx+612=912+log9cosx⇔√3sinx+√6=3cosx312+log3sinx+612=912+log9cosx⇔3sinx+6=3cosx болно.
√3sinx+√6=3cosx⇔3cosx−√3sinx=√6⇔3sinx+6=3cosx⇔3cosx−3sinx=6⇔
⇔√12cos(x+α)=√6⇔12cos(x+α)=6 ба cosα=3√12=√32, sinα=√3√12=12cosα=312=32, sinα=312=12 тул α=π6α=π6 байна. Иймд cos(x+π6)=√22cos(x+π6)=22 тул x1=−π6+π4+2πn, n∈Zx1=−π6+π4+2πn, n∈Z ба x1=−π6−π4+2πm, m∈Zx1=−π6−π4+2πm, m∈Z
sinx>0sinx>0, cosx>0cosx>0 байх xx өнцөг нь I мужийнх тул x=−π6+π4+2πn=π12+2πnx=−π6+π4+2πn=π12+2πn байна.
|
32+xx−28⋅31x+9≤032+xx−28⋅31x+9≤0 тэнцэтгэл бишийг бод.
|
Заавар: t=31xt=31x гэвэл 32+xx−28⋅31x+9≤0⇔3t2−28t+9≤032+xx−28⋅31x+9≤0⇔3t2−28t+9≤0 болно.
Бодолт: 3t2−28t+9=03t2−28t+9=0 тэгшитгэлийн шийдүүд
t1,2=28±√282−4⋅3⋅92⋅3=28±266t1,2=28±282−4⋅3⋅92⋅3=28±266
буюу t1=13t1=13, t2=9t2=9 тул
3t2−28t+9≤0⇔13<t<93t2−28t+9≤0⇔13<t<9
болно. Иймд
13=3−1<31x<9=32⇔−1<1x<213=3−1<31x<9=32⇔−1<1x<2
болно. Тэнцэтгэл бишийн x<0x<0 байх шийд нь
−1⋅x>1>2x⇔−x>1⇔x<−1−1⋅x>1>2x⇔−x>1⇔x<−1
x>0x>0 байх шийд нь
−x<1<2x⇔1<2x⇔12<x−x<1<2x⇔1<2x⇔12<x
тул тэнцэтгэл бишийн шийд нь
]−∞;−1]∪[12;+∞]]−∞;−1]∪[12;+∞]
байна.
|
320 км зайтай хоёр хотоос ачааны ба суудлын машин зэрэг угталцан гарч 4 цаг яваад уулзав. Хэрэв ачааны машины хурд 30 км/цаг бол суудлын машины хурдыг ол.
|
Заавар: Хоёр машин нийлээд цагт хэдэн км зам явах вэ?
Бодолт: Хоёр машин нийлээд цагт 3204=80 км зам явна. Үүний 30 км-ийг нь ачааны машин явах тул суудлын тэрэг 50 км/цаг хурдтай.
|
320 км зайтай хоёр хотын хоорондох зайг газрын зураг дээр 16 сантиметрээр зурав. Газрын зургийн масштабыг олоорой.
|
Заавар: 1 км нь 1000 м, 1 м нь 100 см тул 1 км нь 100000 см-тэй тэнцүү байна.
Бодолт: 360 км=360×10000 см=3600000 см360 км=360×10000 см=3600000 см байна. Иймд
16:36000000=1:200000016:36000000=1:2000000
байна.
|
33, x−3x−3, x+3x+3 тоонууд энэ дарааллаараа өсдөг геометр прогресс үүсгэнэ. Энэ прогрессийн хуваарийг ол.
|
Заавар: aa, bb, cc тоонууд геометр прогрессийн дараалсан гишүүд байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь b2=acb2=ac байна.
Бодолт: (x−3)2=3(x+3)⇔x2−9x=0(x−3)2=3(x+3)⇔x2−9x=0 тул x=0∨9x=0∨9 байна. x=0x=0 бол 33, −3−3, 33 гэсэн геометр үүсгэх ба өсдөг геометр прогресс биш. x=9x=9 бол 33, 66, 1212 гэсэн өсдөг геометр прогресс болох ба q=63=2q=63=2 байна.
|
341000341000 тоог стандарт дүрсээр бич.
|
Заавар: Эхний матрицын мөрийг ii-р мөрийг хоёр дахь матрицын jj-р баганаар скаляр үржүүлэхэд гардаг. MM нь n×mn×m буюу nn мөр mm баганатай матриц, NN нь m×km×k буюу mm мөр kk баганатай матриц бол эдгээрийн үржвэр нь MNMN нь n×kn×k матриц байна.
Бодолт: (−53)⋅(24)=(−5⋅2+3⋅4)=(2)(−53)⋅(24)=(−5⋅2+3⋅4)=(2)
Бодолт:
|
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.