prompt
stringlengths 7
926
| completion
stringlengths 15
3.16k
|
|---|---|
3524:x=156 тэгшитгэл бод.
|
Заавар: a:x=b⇔x=a:b
Бодолт: 3524:x=156⇔x=3524:156
байна.
3524:156=7724:116=7724⋅611=74=1.75
тул x=1.75 буюу E хариулт байна.
|
36 кг жинтэй зэс ба тугалганы хайлш 45% зэс агуулна. 60% зэстэй болгохын тулд уг хайлш дээр хэчнээн хэмжээний цэвэр зэс нэмбэл зохих вэ?
|
Заавар:
Бодолт: Тугалгын хэмжээ нь 55% буюу 36⋅55100=36⋅1120=19.8 кг болно. Энэ нь шинэ хайлшны 40% тул
шинэ хайлш нь 19.8⋅10040=49.5 кг болно. Иймд 49.5−36=13.5 кг цэвэр зэс нэмэх шаардлагатай.
|
36x2+6xy+yz−z236x2−y2+2yz−z2 бутархайг хураа.
|
Заавар: Хүртвэр ба хуваарийн ерөнхий хуваагч нь ялгаварыг нь мөн хуваана.
Бодолт: Хүртвэр ба хуваарийн ерөнхий хуваагч нь
(36x2+6xy+yz−z2)−(36x2−y2+2yz−z2)=6xy+y2−yz=y(6x+y−z) илэрхийллийг хуваана. Иймд
өгөгдсөн бутархай зөвхөн y юмуу 6x+y−z-д хуваагдана.
36x2+6xy+yz−z2=(6x+y−z)(6x+z)
36x2−y2+2yz−z2=(6x)2−(y−z)2=(6x+y−z)(6x−y+z)
тул
36x2+6xy+yz−z236x2−y2+2yz−z2=6x+z6x+z−y
байна.
|
38[10(x−5)+x]=4x−614 тэгшитгэл бод.
|
Заавар: ХБЕХ(8,4)=8-aaр тэгшитгэлийн зүүн, баруун талуудыг тус бүр үржүүлж тэнцүүл.
Бодолт: 8(38[10(x−5)+x])=8(4x−614)⇔
8⋅38⋅[10x−50+x]=32x−8⋅254⇔3(11x−50)=32x−2⋅25
буюу 33x−150=32x−50 болно.
Эндээс
33x−32x=−50+150⇔x=100
байна.
|
38x>(1.125+3)⋅411 тэнцэтгэл бишийг бод.
|
Заавар: a>0 бол ax>b⇔x>ba байна.
Бодолт: 38x>(1.125+3)⋅411⇔x>(1.125+3)⋅41138=4.125⋅411⋅83=4.125⋅8⋅433=4 байна. Иймд зөв хариулт нь А байна.
|
3a2+2ab−b22a2+3ab+b2−a2−4ab+3b22a2−ab−b2 илэрхийллийг хялбарчил.
|
Заавар: ℓa2+mab+nb2-ийг a хувьсагчийн хувьд квадрат гурван гишүүнт гэж үзээд язгуураар нь үржигдэхүүнд задал.
Бодолт: 3a2+2ab−b22a2+3ab+b2=(a+b)(3a−b)(a+b)(2a+b)
a2−4ab+3b22a2−ab−b2=(b−a)(3b−a)(a−b)(2a+b)
тул
3a2+2ab−b22a2+3ab+b2−a2−4ab+3b22a2−ab−b2=
=3a−b2a+b+3b−a2a+b=2a+2b2a+b
|
3a3+6a2+5a+10a2−3a+6 бутархай тэгтэй тэнцүү байх a-гийн бүх утгыг ол.
|
Заавар: u(x)v(x)⇔u(x)=0,v(x)≠0
Бодолт: 3a3+6a2+5a+10a2−3a+6=0⇔{3a3+6a2+5a+10=0a2−3a+6≠0⇔
⇔{3a2(a+2)+5(a+2)=0(a−1.5)2+3.75≠0⇔(a+2)(3a2+5)=0
тул a=−2 гэсэн цор ганц шийдтэй.
|
3a3−9a2+2a−6a2+a+5 бутархай тэгтэй тэнцүү байх a-гийн бүх утгыг ол.
|
Заавар: Шууд хариунаас бод.
Бодолт: a=3 үед
3⋅33−9⋅32+3⋅3−6=0 ба 32+3+5≠0 тул 3 нь бидний олох тоонууд дотор байх ёстой. Ийм хариулт нь зөвхөн D хариулт байна.
Үнэндээ
3a3−9a2+2a−6=(a−3)(3a2+2)
тул 3a3−9a2+2a−6=0 тэгшитгэл зөвхөн a=3 шийдтэй байна.
|
3cos2x+cosx⋅sinx=0.6 тэгшитгэл [π2;3π2] завсар хэдэн шийдтэй вэ?
|
Заавар: 3cos2x+cosx⋅sinx=0.6⇔3cos2x+cosx⋅sinx=0.6(sin2x+cos2x)
⇔3+tgx=0.6(tg2x+1)
тэгшитгэл болно. [π2;3π2] мужийн урт π болохыг анхаар.
Бодолт: 3+tgx=0.6(tg2x+1)-д t=tgx орлуулга хийвэл 0.6t2−t−2.4=0 гэсэн t1=3, t2=−43 гэсэн ялгаатай хоёр бодит шийдтэй тэгшитгэл болно. Тангес π үетэй тул эдгээр 2 шийдэд харгалзах шийдүүд [π2;3π2] завсраас олдоно.
|
3log2x+xlog23=183log2x+xlog23=18 тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: alogbc=clogbaalogbc=clogba байдаг. Үнэндээ logabk=klogablogabk=klogab тул
alogbc=clogba⇔logbalogbc=logbclogba=logba⋅logbcalogbc=clogba⇔logbalogbc=logbclogba=logba⋅logbc
байна.
Бодолт: xlog23=3log2xxlog23=3log2x тул 3log2x+xlog23=18⇒2⋅3log2x=18⇒3log2x=323log2x+xlog23=18⇒2⋅3log2x=18⇒3log2x=32
болно. ax=ay⇔x=yax=ay⇔x=y тул log2x=2⇒x=22=4log2x=2⇒x=22=4 байна. Мэдээж x=4x=4 шийд болохыг шалгах төвөгтэй биш.
|
3sin2x+2cos2x+31−sin2x+2sin2x=283sin2x+2cos2x+31−sin2x+2sin2x=28 тэгшитгэлийг
хувиргаж 3sin2x+2cos2x=t3sin2x+2cos2x=t орлуулга хийвэл
t2−abt+cd=0t2−abt+cd=0 тэгшитгэлд шилжих ба t1=27,t2=et1=27,t2=e шийдүүдтэй. Oрлуулгаа буцааж ашиглавал анхны
тэгшитгэл
x=πf+πk,x=−πg+πk,k∈Zx=πf+πk,x=−πg+πk,k∈Z шийдүүд
олдоно.
|
Заавар: 1−sin2x+2sin2x=3−sin2x−2cos2x1−sin2x+2sin2x=3−sin2x−2cos2x
Бодолт: 3sin2x+2cos2x=t3sin2x+2cos2x=t гэвэл
3sin2x+2cos2x+31−sin2x+2sin2x=28⇔t+27t=283sin2x+2cos2x+31−sin2x+2sin2x=28⇔t+27t=28
буюу
t2−28t+27=0t2−28t+27=0
тэгшитгэлд шилж ба t1=27t1=27, t2=1t2=1 гэсэн шийдтэй. Орлуулгаа буцаавал 3sin2x+2cos2x=333sin2x+2cos2x=33, эсвэл 3sin2x+2cos2x=313sin2x+2cos2x=31 байна. Эндээс
[sin2x+2cos2x=3sin2x+2cos2x=1[sin2x+2cos2x=3sin2x+2cos2x=1
Эхний тохиолдолд sin2x≤1sin2x≤1, 2cos2x≤22cos2x≤2 тул sin2x=1sin2x=1, 2cos2x=12cos2x=1 байх ёстой. Эндээс sin2x=1sin2x=1 буюу x=π4+πkx=π4+πk нь шийд болохыг шууд шалгаж болно. Хоёр дахь тохиолдолд
sin2x+2cos2x=1⇔sin2x+cos2x=0⇔tg2x=−1sin2x+2cos2x=1⇔sin2x+cos2x=0⇔tg2x=−1
тул 2x=−3π4+πn⇒x=−32π+πn2x=−3π4+πn⇒x=−32π+πn буюу x=−π2+πkx=−π2+πk (k=n−1k=n−1) болно.
|
3sin2x−7cos2x=1 тэгшитгэл [−π,π] завсарт хэдэн шийдтэй вэ?
|
Заавар:
Бодолт: 3sin2x−7cos2x=1 3sin2x−7cos2x=cos2x+sin2x
sin2x−6sinxcosx+8cos2x=0 тэгшитгэлийн хоёр талыг cos2 - д хуваавал tg2−6tgx+8=0 тэгшитгэл үүсэх бөгөөд орлуулга хийж бодоход tgx=2, tgx=4 хялбар тэгшитгэлүүд үүснэ. y=tgx функцийн график байгуулж, y=2 ба y=4 шулуунуудтай харгалзан огтлолцуулбал өгөгдсөн завсарт 4 шийдтэй гэдэг нь харагдана.
|
3sinx+sin2x<0 тэнцэтгэл бишийг бод.
|
Заавар: Үржвэрт задал.
Бодолт:
|
3sinx>2cos2x тэнцэтгэл бишийг бод.
|
Заавар: s=sinx гэвэл 2cos2x=2(1−sin2x) тул 3sinx>2cos2x⇔3s>2−2s2,−1≤s≤1 болно.
Бодолт:
|
3tg2(πx−π8)=1,32<x<3 тэгшитгэл бод.
|
Заавар:
Бодолт: 3tan2(πx−π8)=1 тэгшитгэлийн 32
|
3x+12⋅3√x≥4x⋅3√x+9 тэнцэтгэл бишийн бүхэл шийдийн тоог ол.
|
Заавар: 3x+12⋅3√x≥4x⋅3√x+9⇔
(x−3)(3−4⋅3√x)≥0
Бодолт: Тодорхойлогдох муж нь x≥0 байна. 3√x≥30=1 болохыг тооцвол дурын x бодит тооны хувьд
3−4⋅3√x≤3−4⋅1≤−1<0
байна. Иймд
(x−3)(3−4⋅3√x)≥0⇔x≥0,x−3≤0
буюу x∈[0;3] болно. Энэ завсарт 0,1,2,3 гэсэн 4 ширхэг бүхэл шийд байна.
|
3x+14x=√3 бол √3x+12√x нь аль вэ?
|
Заавар: A=√3x+12√x тооны квадратыг ол.
Бодолт: A2=(√3x+12√x)2=3x+2⋅√3x⋅12√x+14x=3x+14x+√3=2√3=√12
ба A>0 тул A=4√12 байна.
|
3x+23x+2, 32x+432x+4, 35x−235x−2 тоонууд геометр прогресс үүсгэх бол x=?x=?
|
Заавар: 9.1. Дарааллын (арифметик, геометр прогресс, бусад) ерөнхий гишүүний томьёог бичдэг, рекуррент томьёог таньдаг, шалгадаг.
Бодолт: Геометр прогрессийн дараалсан гишүүдийн чанараар
3x+2×35x−2=(32x+4)2⇔36x=34x+83x+2×35x−2=(32x+4)2⇔36x=34x+8
тул 6x=4x+8⇒x=46x=4x+8⇒x=4.
|
3x+2−2732x−9=343x+2−2732x−9=34 тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: t=3xt=3x орлуулга хийж бод. Тодорхойлогдох мужаа тооцож шийдээ шалгаарай.
Бодолт: t=3xt=3x гэвэл 9⋅t−27t2−9=9(t−3)(t−3)(t+3)=9t+3=34⇒t=9⇒x=29⋅t−27t2−9=9(t−3)(t−3)(t+3)=9t+3=34⇒t=9⇒x=2. Хэрвээ 3x+2−27=34(32x−9)3x+2−27=34(32x−9) гэж бодсон бол x=1x=1 гэсэн тодорхойлогдох мужид орохгүй илүү шийд гарна.
|
3x+4+5x−4=8x2−16 тэгшитгэлийг бод
|
Заавар: Ерөнхий хуваарь өгч бодно. Хуваарьт хувьсагчтай илэрхийлэл байгаа тул гарсан шийдээ тодорхойлогдох мужид орох эсэхийг шалгаарай!
Бодолт: 3x+4+5x−4=8x2−16⇔3(x−4)(x+4)(x−4)+5(x+4)(x−4)(x+4)=8x2−16
⇔3x−12+5x+20x2−16=816⇒8x=0 тул x=0 гэсэн шийд гарна.
|
3x2+15x+2√x2+5x+1=2 тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: t=√x2+5x+1 орлуулга ашиглан бод.
Бодолт: t=√x2+5x+1 гэвэл t2=x2+5x+1 ба 3t2=3x2+15x+3 тул
3t2−3+2t=2⇔3t2+2t−5=0
болно. Эндээс t1=1, t2=−53 болно. √x2+5x+1≥0 тул зөвхөн √x2+5x+1=1 байх боломжтой. Эндээс x2+5x=0⇒x1=0,x2=−5
|
3x2+5=5x2−1 тэгшитгэл бод.
|
Заавар: Аливаа нэг гишүүнтийг тэнцэлийн аль нэг талаас нөгөө талд шилжүүлэхэдээ тэмдэгийг нь эсрэгээр солино.
Бодолт: 3x2+5=5x2−1←+1−3x23x2+5+1−3x2=5x2−1+1−3x25+1=5x2−3x26=(52−32)x=22xx=6
|
3x2+x−2x+1 бутархайг хураа.
|
Заавар: Ноогдвор нь ax+b гэвэл (ax+b)(x+1)=3x2+x−2 байна.
Бодолт: (ax+b)(x+1)=ax2+(a+b)x+b=3x2+x−2 тул a=3, b=−2 байна. Иймд 3x−2 нь зөв хариулт юм.
|
3x2−4x+2x(x−1)2=ax+bx−1+c(x−1)2 бол үл мэдэгдэх коэффициентүүдийн хувьд
{a+b=a2a+b−c=ba=c тэгшитгэлийн систем гарах ба эндээс a=c, b=d, c=e гэж олдоно.
|
Заавар: Ерөнхий хуваарь өгч хоёр талын харгалзах коэффициентүүдийг тэнцүүлж бод.
Бодолт: 3x2−4x+2x(x−1)2=ax(x−1)2+bx−1x(x−1)+c(x−1)2x=
=a(x−1)2+bx(x−1)+cxx(x−1)2=(a+b)x2−(2a+b−c)x+ax(x−1)2
тул
{a+b=32a+b−c=4a=2
болно. Иймд b=3−a=3−2=1 ба c=2a+b−4=2⋅2+1−4=1
|
3x2−a⋅x+6=03x2−a⋅x+6=0 тэгшитгэлийн 1 шийд 2 бол нөгөө шийдийг ол.
|
Заавар: ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 квадрат тэгшитгэлийн шийдүүд нь x1x1, x2x2 бол Виетийн теоремоор
x1+x2=cax1+x2=ca
байдаг.
Бодолт: x1=2x1=2 ба ca=63=2ca=63=2 байна. Иймд
2⋅x2=2⇒x2=12⋅x2=2⇒x2=1 байна.
|
3x2−x>27|x−1|3x2−x>27|x−1| тэнцэтгэл бишийг бод.
|
Заавар: a>1a>1 үед ax>ay⇔x>yax>ay⇔x>y тул
3x2−x>27|x−1|⇔3x2−x>33|x−1|⇔x2−x>3|x−1|3x2−x>27|x−1|⇔3x2−x>33|x−1|⇔x2−x>3|x−1| байна.
Бодолт: x≥1x≥1 үед |x−1|=x−1≥0|x−1|=x−1≥0 тул
x2−x>3(x−1)⇔x(x−1)>3(x−1)⇔x>3x2−x>3(x−1)⇔x(x−1)>3(x−1)⇔x>3
x<1x<1 үед |x−1|=−(x−1)|x−1|=−(x−1) ба x−1<0x−1<0 тул
x2−x>−3(x−1)⇔x(x−1)>−3(x−1)⇔x<−3x2−x>−3(x−1)⇔x(x−1)>−3(x−1)⇔x<−3
Хоёр шийдээ нэгтгэвэл x<−3∪x>3⇔|x|>3x<−3∪x>3⇔|x|>3 байна.
|
3x4−10x3+14x2−10x+3=0 тэгшитгэлийн шийдийн олонлог аль нь вэ?
|
Заавар: x2-д хувааж t=x+1x-ийн хувьд квадрат тэгшитгэлд шилжүүлж бод.
Бодолт: x=0 нь тэгшитгэлийн шийд болохгүй тул
3x4−10x3+14x2−10x+3=0⇔
3(x2+1x2+2)−10(x+1x)+8=0⇔
3(x+1x)2−10(x+1x)+8=0
байна. t=x+1x гэвэл 3t2−10t+8=0⇒t1,2=10±√102−4⋅3⋅82⋅3 тул t1=2, t2=43 байна. Иймд x+1x=2⇒x1=1, x+1x=43⇒x2=13, x3=3 байна.
|
3x:72=18:36 бол x=?
|
Заавар: Энгийн бутархай хэлбэрт бичээд бод.
Бодолт: 3x:72=18:36 ⇔ 3x72=1836 ⇔ x24=12 ⇔ x=12⋅24=12.
|
3x=363x=36 бол x=log3a+bx=log3a+b ба xx-ийн бүхэл хэсэг нь cc байна.
|
Заавар: ax=b⇔x=logabax=b⇔x=logab
x∈Rx∈R тооны бүхэл хэсэг нь түүнээс хэтрэхгүй хамгийн их бүхэл тоо юм.
[x]=n⇔n≤x<n+1,n∈N[x]=n⇔n≤x<n+1,n∈N
Бодолт: 3x=36⇔x=log336=log34+log39=log34+23x=36⇔x=log336=log34+log39=log34+2
ба
33<3x=36<34⇒3≤x<4⇒[x]=333<3x=36<34⇒3≤x<4⇒[x]=3
байна.
|
3x=813x=81 тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: 81 ийг 3 ийн зэрэг байдлаар бич.
Бодолт: 81=34=3x81=34=3x тул x=4.x=4.
|
3xy−6x2=y−2x+4 тэгшитгэлийн бүхэл тоон шийдүүд нь (x1,y1)=(a,b), (x2,y2)=(c,de), (x3,y3)=(fg,hi) ба x1>x2>x2 байна.
|
Заавар: 3xy−6x2=y−2x+4⇔(y−2x)(3x−1)=4
Бодолт: x, y нь бүхэл тоо учир y−2x, 3x−1 нь бүхэл тоонууд байна. 4-ийн 3-д хуваахад 2 (−1) үлдэгдэл өгдөг хуваагчид нь 2, −1, −4 тул 3x−1=2∨−1∨−4 буюу x=1∨0∨−1 байх ба энэ үед харгалзан y−2x=2∨−4∨−1 тул y=4∨−4∨−3 байна. Иймд (1,4); (0,−4); (−1,−3)
|
3x−25x+1≤3x−25x−33x−25x+1≤3x−25x−3 тэнцэтгэл бишийг бод.
|
Заавар: 3x−25x+1≤3x−25x−3⇔4(3x−25)(x+1)(x−3)≥03x−25x+1≤3x−25x−3⇔4(3x−25)(x+1)(x−3)≥0 ба 3x−25≥0⇔x≥2log353x−25≥0⇔x≥2log35 байна. Мөн −1<2log35<3−1<2log35<3 болохыг харуул.
Бодолт:
|
3x−9x2−x−6=0 шийдийг ол.
|
Заавар: f(x)g(x)=0⇔f(x)=0, g(x)≠0
Бодолт: 3x−9x2−x−6=0⇔3x−9=0, x2−x−6≠0
ба 3x−9=0⇒x=3 боловч 32−3−6=0 тул шийд болохгүй. Иймд тэгшитгэл шийдгүй байна.
|
3x≥273x≥27 тэнцэтгэл бишийг бод.
|
Заавар: 27=3327=33 гэдгийг тооцон 33 суурьтай loglog ав.
Бодолт: 3x≥27=33⇔x≥33x≥27=33⇔x≥3.
|
3x⋅52x−3=453x⋅52x−3=45 тэгшитгэл бод.
|
Заавар: ax=bax=b хэлбэрт шилжүүл.
Бодолт: 3x⋅52x−3=45⇔3x⋅52x53=453x⋅52x−3=45⇔3x⋅52x53=45
⇔75x=45⋅53=752⇔x=2⇔75x=45⋅53=752⇔x=2
|
3y+13−16−y6=9y+17+33y+13−16−y6=9y+17+3 тэгшитгэл бод.
|
Заавар: Ерөнхий хуваарь өгч хялбарчил.
Бодолт: 3y+13−16−y6=9y+17+3⇔14(3y+1)−7(16−y)=6(9y+1)+3⋅42⇔52y+14−112+7y=54y+6+126⇔59y−98=54y+132⇔5y=230⇔y=230:5=463y+13−16−y6=9y+17+3⇔14(3y+1)−7(16−y)=6(9y+1)+3⋅42⇔52y+14−112+7y=54y+6+126⇔59y−98=54y+132⇔5y=230⇔y=230:5=46
|
3|sinx−1|=9 тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: 3a=3b⇔a=b
|a−b|=|a|+|b|⇔ab<0
Бодолт: 3|sinx−1|=9=32⇔|sinx−1|=2
байна. Нөгөө талаас
|sinx−1|≤|sinx|+|1|≤2
тэнцэлдээ хүрэхийн тулд
sinx<0,|sinx|=1
буюу sinx=−1 байна. Иймд x=−π2+2πn байна.
|
3|x−a|=5a, (a>0) тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: a>0 тоо бол
|x|=a⇔x=±a
Бодолт: 3|x−a|=5a⇔|x−a|=5a3⇔x−a=±5a3
тул x=a±5a3 буюу x1=a+5a3=8a3, x2=a−5a3=−2a3 гэсэн шийдүүдтэй.
|
3∑i=12∑j=1(i⋅j2)∑i=13∑j=12(i⋅j2) нийлбэрийг бод.
|
Заавар: {an}{an} дарааллын хувьд
n∑i=mai=am+am+1+⋯+an∑i=mnai=am+am+1+⋯+an
n∑i=mcan=cn∑i=man∑i=mncan=c∑i=mnan
Бодолт: 3∑i=12∑j=1(i⋅j2)=3∑i=1(i2∑j=1j2)=3∑i=1(2∑j=1j2)i=2∑j=1j2⋅3∑i=1i=(12+22)⋅(1+2+3)=5⋅6=30∑i=13∑j=12(i⋅j2)=∑i=13(i∑j=12j2)=∑i=13(∑j=12j2)i=∑j=12j2⋅∑i=13i=(12+22)⋅(1+2+3)=5⋅6=30
|
3−4x≤3163−4x≤316 тэнцэтгэл бишийг бод.
|
Заавар: a>1a>1 үед y=axy=ax функц нь өсдөг функц байдаг тул
ax<ay⇔x<yax<ay⇔x<y
байдаг.
Бодолт: 3>13>1 тул
3−4x≤316⇔−4x≤16⇔x≥16−4=−43−4x≤316⇔−4x≤16⇔x≥16−4=−4
Иймд x∈[−4;+∞[x∈[−4;+∞[ байна.
|
3−x=5 тэгшитгэл бод.
|
Заавар: a−x=b⇔x=a−b
Бодолт: 3−x=5⇔x=3−5=−2
|
3−y+5y6=12−y8 тэгшитгэл бод.
|
Заавар: ХБЕХ(6,2,8)=24 тоогоор тэгшитгэлийг үржүүлж хялбарчил.
Бодолт: 3−y+5y6=12−y8×2472−24y+20y=12−3y72−12=24y−20y−3yy=60
|
3−√x+1=|2x−2| тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: y=3−√x+1, y=|2x−2| функцүүдийн графикийг байгуулж тохирох шийдийг ол.
Бодолт:
Графикаас харахад хоёр муруй x1=0 ба 1<x2<2 абсцисстай цэгүүдэд огтолцож байна. B хариултаас бусад нь энэ нөхцлийг хангахгүйг харуулахад төвөгтэй биш.
|
3√127−x3=−6 тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: 3 нь сондгой тоо тул
a=b⇔a3=b3⇔3√a=3√b
байна.
Бодолт: 3√127−x3=−6⇔127−x3=(−6)3⇔x3=343⇔x=3√343=7
|
3√223, 3√2x2x3, 88 тоонууд өсөх геометр прогресс үүсгэх бол qq-г ол.
|
Заавар:
Бодолт: (3√2x)2=8⋅3√2⇒(2x)23=23⋅213=2103⇒x23=283⇒x=±16(2x3)2=8⋅23⇒(2x)23=23⋅213=2103⇒x23=283⇒x=±16
q=±3√323√2=±3√16=±23√2q=±32323=±163=±223 болно. Өсөх геометр прогресс гэдгийг тооцвол q=23√2q=223 болно.
|
3√27x>39x327x>39x бод.
|
Заавар: y=3xy=3x нь эрс өсдөг функц тул
3x>3y⇔x>y3x>3y⇔x>y
ба n√a=a1nan=a1n, aman=am−naman=am−n болохыг ашигла.
Бодолт: 3√27x>39x⇔31−x2>31−2x⇔1−x2>1−2x⇔x>0327x>39x⇔31−x2>31−2x⇔1−x2>1−2x⇔x>0
тул x∈(0;+∞)x∈(0;+∞) байна.
Заавар: n√am=amnamn=amn ба aman=am−naman=am−n болохыг ашигла.
Бодолт: 3√27x>39x⇔333x2>332x⇔31−3x2>31−2x327x>39x⇔333x2>332x⇔31−3x2>31−2x
болно. y=3xy=3x нь өсдөг функц тул 31−3x2>31−2x⇔1−3x2>1−2x⇔x>031−3x2>31−2x⇔1−3x2>1−2x⇔x>0
байна.
|
3√333, 3√3x3x3, 2727 тоонууд өсөх геометр прогресс үүсгэх бол qq-г ол.
|
Заавар:
Бодолт: (3√3x)2=27⋅3√3⇒(3x)23=33⋅313=3103⇒x23=383⇒x=±24(3x3)2=27⋅33⇒(3x)23=33⋅313=3103⇒x23=383⇒x=±24
q=±3√323√2=±3√16=±23√2q=±32323=±163=±223 болно. Өсөх геометр прогресс гэдгийг тооцвол q=23√2q=223 болно.
Бодолт: (3√2x)2=8⋅3√2⇒(2x)23=23⋅213=2103⇒x23=283⇒x=±16(2x3)2=8⋅23⇒(2x)23=23⋅213=2103⇒x23=283⇒x=±16
q=±3√323√2=±3√16=±23√2q=±32323=±163=±223 болно. Өсөх геометр прогресс гэдгийг тооцвол q=23√2q=223 болно.
|
3√6x+4−3√4−6x=3x тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: a=3√6x+4, b=3√4−6x гэвэл a3+b3=8 ба a3−b3=12x=4(a−b) байна. Хэрвээ a=b бол 6x+4=4−6x⇒x=0 болно. Хэрвээ a≠b бол
a3−b3=4(a−b)⇒a2+ab+b2=4
болно. Цаашид a=u+v, b=u−v гээд бодно. Энэ үед x=a−b3=2v3 байна.
Бодолт: Заавар ёсоор цааш үргэжлүүлбэл
{(u+v)2+(u−v)3=8(u+v)2+(u+v)(u−v)+(u−v)2=4⇔{u3+3uv2=43u2+v2=4
тул
u3+3u(4−3u2)=4⇔2u3−3u+1=(u−1)(2u2+2u−1)=0
болно. Иймд u1=1, u2,3=−2±√22−4⋅2⋅(−1)4=−1±√32 болно.
u1=1 үед v1=±1 тул a=2, b=0 эсвэл a=0, b=2 болно. Эндээс x=±23 гэсэн шийд гарч байна.
u=−1+√32 үед
3⋅4−2√34+v2=4⇒v=±√4+6√32
тул
x=2v3=±√4+6√33
Харин u=−1−√32 үед
3⋅4+2√34+v2=4⇒v2=4−6√34<0
тул шийдгүй.
Ингээд шийдүүдээ нэгтгэвэл x∈{0,±23,±√4+6√33} болно.
|
3√7,k√7,773,7k,7 тоонууд геометр прогресс үүсгэх бол k=?k=?
|
Заавар: a,b,ca,b,c тоонууд геометр прогрессийн дараалсан гишүүд байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь ac=b2ac=b2 байдаг.
Бодолт: 3√7,k√7,773,7k,7 тоонууд геометр прогресс үүсгэх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь
3√7⋅7=(k√7)2⇔743=72k⇔43=2k73⋅7=(7k)2⇔743=72k⇔43=2k
тул k=32k=32 байна.
|
3√8−2x8−2x3 илэрхийллийг зэргийн цуваанд задлахад 4-р гишүүн нь аль илэрхийлэл байх вэ?
|
Заавар: 3√8−2x=2⋅3√1−x4=2⋅(1+(−x4))138−2x3=2⋅1−x43=2⋅(1+(−x4))13
гээд өргөтгөсөн биномын томьёо ашигла.
Бодолт: 2⋅(1+(−x4))132⋅(1+(−x4))13 илэрхийллийг өргөтгөсөн биномын томьёо ашиглан цуваанд задлавал
2+2⋅(131)(−x4)+2⋅(132)(−x4)2+2⋅(133)(−x4)3+⋯2+2⋅(131)(−x4)+2⋅(132)(−x4)2+2⋅(133)(−x4)3+⋯
тул 4-р гишүүн нь
2⋅13(13−1)(13−2)3!⋅−143x3=−52592x32⋅13(13−1)(13−2)3!⋅−143x3=−52592x3
байна.
|
3√9−√x+1+3√7+√x+1=4 тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: a=3√9−√x+1, b=3√7+√x+1 гэвэл a+b=4, a3+b3=16 болно.
Бодолт: {a+b=4a3+b3=16 систем тэгшитгэлийг бодъё.
a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)=4(a2−ab+b2)=16
тул a2−ab+b2=4 болно. b=4−a-г орлуулбал
a2−ab+b2=a2−a(4−a)+(4−a)2=4
буюу
3a2−12a+12=0⇔a=2
болно. Иймд
a=3√9−√x+1=2⇒9−√x+1=8⇒x=0
болно. x=0 шийд болохыг шалгахад төвөгтэй биш.
|
3√x+1=3⋅3√x−23x+1=3⋅3x−2 тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: Тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талуудыг 33-ийн зэрэг дүрсэд оруул.
3x=3y⇔x=y3x=3y⇔x=y
Бодолт: 2√x+5=4⋅2√x−3⇔2√x+5=22+√x−3⇔√x+5=2+√x−32x+5=4⋅2x−3⇔2x+5=22+x−3⇔x+5=2+x−3. Тэгшитгэлийн 2 талыг квадрат зэрэгт дэвшүүлээд бодвол x+5=4+4√x−3+x−3⇔√x−3=1⇔x=4.x+5=4+4x−3+x−3⇔x−3=1⇔x=4.
|
3√x3−61=4 тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: 3 нь сондгой тоо тул
a=b⇔a3=b3⇔3√a=3√b
байна.
Бодолт: 3√x3−61=4⇔x3−61=43⇔x3=125⇔x=3√125=5
|
3√−12+√8+x=−2 тэгшитгэл бод.
|
Заавар: n сондгой натурал тоо бол a=b⇔an=bn, тэгш бол a=b⇒an=bn болохыг ашигла.
Бодолт: 3√−12+√8+x=−2⇔−12+√8+x=(−2)3⇔
√8+x=4⇒8+x=42⇒x=8
байна. Үүнийг тэгшитгэлд орлуулж шалгаж үзвэл
3√−12+√8+8=3√−12+4=3√−8=−2
болох тул шийд болно.
Санамж: Тэгшитгэлийг бодох явцад ⇒ байх хувиргалт ашигласан тохиолдолд шийдийг заавал шалгах шаардлагатай.
|
3⋅16x+2⋅81x=5⋅36x тэгшитгэлийн шийдүүдийн нийлбэрийг ол.
|
Заавар: Тэгшитгэлийг 81x-д хувааж t=(49)x гэж орлуул.
Бодолт: 3⋅16x+2⋅81x=5⋅36x⇔3⋅(49)2x+2=5⋅(49)x
t=(49)x гэвэл 3t2−5t+2=0⇒t1=1, t2=23 болно. Иймд x1=log491=0, x2=log4923=12 байна. Иймд шийдүүдийн нийлбэр нь 0+12=0.5 байна.
|
4 нэгж талтай квадратын өнцгүүдээс нь нэг, нэг квадрат салган авч үлдсэн хэсгээр тэгш өнцөгт параллелепипед хэлбэрийн сав хийлээ. Савны эзлэхүүн хамгийн ихдээ хэд байх вэ?
Таслан авсан квадратын талыг x гэвэл эзлэхүүн нь V=4x3−abx2+cdx болох ба түүний хамгийн их эзлэхүүн нь V=efghi байна.
|
Заавар: Параллелепипедийн талуудын урт 4−2x, 4−2x, x байна. Уламжлал ашиглан V(x) функцийг шинжил.
Бодолт: V(x)=(4−2x)(4−2x)x=4x3−16x2+16x
болох ба
V′(x)=12x2−32x+16=0⇒x=23, x=2
болно. Иймд
Vmax=V(23)=(4−2⋅23)2⋅23=42027
|
4 харандаа, 7 бал, 3 үзэг нийлээд 2310 төгрөгийн үнэтэй. 3 харандаа, 5 бал, 2 үзэг нийлээд 1620 төгрөгний үнэтэй бол 1 харандаа, 1 бал нийлээд хэдэн төгрөг вэ?
|
Заавар: 1 ширхэг харандаа xx төгрөг, 1 ширхэг бал yy төгрөг, 1 ширхэг үзэг zz төгрөг гэвэл 4x+7y+3z=23104x+7y+3z=2310, 3x+5y+2z=16203x+5y+2z=1620 байна. x+yx+y хэдтэй тэнцүү вэ?
Бодолт: 4x+7y+3z=23104x+7y+3z=2310 тэгшитгэлийг −2−2-аар, 3x+5y+2z=16203x+5y+2z=1620 тэгшитгэлийг 33-аар үржүүлээд нэмбэл
−2(4x+7y+3z)+3(3x+5y+2z)=−2⋅2310+3⋅1620−2(4x+7y+3z)+3(3x+5y+2z)=−2⋅2310+3⋅1620
буюу
x+y=−4620+4860=240x+y=−4620+4860=240
байна.
|
4 эерэг тооны эхний гурав нь арифметик прогресс, сүүлийн 3 нь геометр прогрессийн дараалсан гишүүд болох бөгөөд эхний гурван тооных нь нийлбэр 12, сүүлийн гурван тооных нь нийлбэр 19 бол сүүлийн тоог ол.
|
Заавар: a,b,c тоонууд энэ дарааллаараа
а) арифметик прогрессийн дараалсан гишүүд ⇔a+c=2b;
б) геометр прогрессийн дараалсан гишүүд ⇔ac=b2.
Бодолт: 4 тоогоо 0<x,y,z,w гэе. Тэгвэл
{2y=x+zz2=ywx+y+z=12y+z+w=19
1 ба 3-р тэгшитгэлүүдийг нэмбэл 3y=12⇒y=4. Иймд
{z2=4wz+w=15⇒z2+4z−60=0.
Эндээс z1,2=−4±√42−4⋅(−60)2=−4±162. z>0 тул z=−4+162=6⇒62=4w⇒w=9.
|
4-т хуваагддаг бүх 3 оронтой тооны нийлбэрийг ол.
|
Заавар: Эдгээр тоонууд нь эхний гишүүн нь 100, сүүлийн гишүүн нь 996 байх 4 ялгавартай арифметик прогрессийн дараалсан гишүүд байна. Нийт хэдэн гишүүн байгаа вэ?
Бодолт: 996=100+4(n−1)⇒n=225 байна. a1=100, a225=996 тул эхний 225 гишүүний нийлбэр нь S225=100+9962⋅225=123300 байна.
|
4.3x−0.8=6.3x−13.24.3x−0.8=6.3x−13.2 тэгшитгэлийг бодоорой!
|
Заавар: Хувьсагчтай ба хувьсагчгүй хэсгийг ялгаж ax=bax=b хэлбэрт шилжүүл.
Бодолт: 4.3x−0.8=6.3x−13.2⇔13.2−0.8=6.3x−4.2x⇔12.4=2x⇔2x=12.44.3x−0.8=6.3x−13.2⇔13.2−0.8=6.3x−4.2x⇔12.4=2x⇔2x=12.4
тул x=12.4:2=6.2x=12.4:2=6.2 байна.
|
4.5%4.5% нь 45-ийн 12%12% болох тоог ол.
|
Заавар: Олох тоог xx гэвэл xx тооны 4.5%4.5% нь x⋅4.5100x⋅4.5100 байна. 4545-ийн 12%12% хэдтэй тэнцүү байх вэ?
Бодолт: 4545-ийн 12%12% нь 45⋅1210045⋅12100 байна. Иймд
x⋅4.5100=45⋅12100⇒x=45⋅124.5=120x⋅4.5100=45⋅12100⇒x=45⋅124.5=120
байна.
|
40 л багтаамжтай хоёр адилхан савны нэгэнд спирт, нөгөөд нь ус байсан ба хоёулаа нийлээд 40 л байжээ. I савыг усаар дүүргэж, түүнээсээ II савыг дүүргээд буцааж I сав руу 15 л уусмал хийхэд I саванд буй спиртийн хэмжээ II саванд байснаас 2 дахин их байжээ. Эндээс анх I саванд abc л спирт, II саванд def л ус байсан гэж гарна.
|
Заавар: Үйлдэл тус бүрээр хоёр саван дахь спиртийн хэмжээг бод.
Бодолт: Спиртийн хэмжээг x, усны хэмжээг y гэвэл x+y=40 байна. I үйлдлийн дараа I саван дахь спиртийн хэмжээ нь x−x40y, II саван дах спиртийн хэмжээ x40y байна. II үйлдлийн дараа I саван дахь спиртийн хэмжээ нь x−x40y+x40y40⋅15, II саван дахь спиртийн хэмжээ x40y−x40y40⋅15 байна. Иймд 1−y40+3y320=2(y40+3y320)⇒y=643⇒x=40−643=563.
|
40 м даавуугаар хүүхдийн 8, том хүний 6 дээл оёжээ. Хүүхдийн дээлэнд 2 м даавуу ордог бол том хүний дээлэнд хэдэн метр даавуу ордог вэ?
|
Заавар: Хүүхдийн дээл хийхэд нийт хэдэн метр даавуу ашигласан бэ?
Том хүний дээл хийхэд нийт хэдэн метр даавуу ашигласан бэ?
Бодолт: Хүүхдийн дээл хийхэд нийт 2⋅8=162⋅8=16 метр даавуу ашигласан. Иймд том хүний дээл хийхэд нийт 40−16=2440−16=24 метр давуу ашигласан. 6 дээл хийхэд 24 метр даавуу ашигласан тул нэг том хүний дээлэнд 246=4246=4 метр давуу ордог.
|
40 хүн 20 өдөр хийх ажлыг 16 өдөрт хийж дуусгах шаардлагатай бол хэдэн хүн нэмж авах вэ?
|
Заавар:
Бодолт: Нэг хүн өдөрт нийт ажлын 120⋅40=1800120⋅40=1800 хэсгийг хийнэ. nn хүн уг ажлыг 1616 өдөрт хийсэн гэвэл n800×16=1⇒n=50n800×16=1⇒n=50 болно. Иймд нэмж 50−40=1050−40=10 хүн хэрэгтэй.
|
40∘-ийн 40л, 39∘-ийн 39л, …, 2∘-ийн 2л, 1∘-ийн 1л халуун ус өөр өөр саванд байжээ. Бүгдийг нь нэг том саванд юүлбэл хэдэн градустай ус болох вэ?
|
Заавар: 12+22+⋯+4021+2+⋯+40-г тооцоол.
12+22+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6 болохыг санаарай!
Бодолт: 12+22+⋯+4021+2+⋯+40=40⋅(40+1)⋅(2⋅40+1)640⋅(40+1)2=2(2⋅40+1)6=27
|
44(x+1)=5√16x+10044(x+1)=16x+1005 тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: n√ak=akn, (am)n=amnakn=akn, (am)n=amn
тул 5√16x+100=(42)x+1005=42(x+100)516x+1005=(42)x+1005=42(x+100)5 байна.
Мөн a>0a>0 бол ax=ay⇔x=yax=ay⇔x=y
байдаг.
Бодолт: 44(x+1)=42(x+100)5⇔4(x+1)=2x+2005⇔18x=18044(x+1)=42(x+100)5⇔4(x+1)=2x+2005⇔18x=180 тул x=10x=10 байна.
|
44, x−4x−4, x+4x+4 тоонууд энэ дарааллаараа өсдөг геометр прогресс үүсгэнэ. Энэ прогрессийн хуваарийг ол.
|
Заавар: aa, bb, cc тоонууд геометр прогрессийн дараалсан гишүүд байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь b2=acb2=ac байна.
Бодолт: (x−4)2=4(x+4)⇔x2−12x=0(x−4)2=4(x+4)⇔x2−12x=0 тул x=0∨12x=0∨12 байна. x=0x=0 бол 44, −4−4, 44 гэсэн геометр үүсгэх ба өсдөг геометр прогресс биш. x=12x=12 бол 44, 88, 1616 гэсэн өсдөг геометр прогресс болох ба q=84=2q=84=2 байна.
|
450 км зайтай хоёр хотын хоорондох зайг газрын зураг дээр 15 сантиметрээр зурав. Газрын зургийн масштабыг олоорой.
|
Заавар: 1 км нь 1000 м, 1 м нь 100 см тул 1 км нь 100000 см-тэй тэнцүү байна.
Бодолт: 450 км=450×10000 см=4500000 см450 км=450×10000 см=4500000 см байна. Иймд
15:45000000=1:300000015:45000000=1:3000000
байна.
|
4545-ийн 12%12% нь aa тооны 5%5%-тай тэнцдэг бол aa тоог олоорой.
|
Заавар: nn тооны k%k% нь n100⋅kn100⋅k байдаг.
Бодолт: 4545-ийн 12%12% нь 45100⋅1245100⋅12, aa тооны 5%5% нь a100⋅5a100⋅5 тул
45100⋅12=a100⋅5⇒a=45⋅125=9⋅12=10845100⋅12=a100⋅5⇒a=45⋅125=9⋅12=108
байна.
|
49:(323−5x)=16 тэгшитгэл бод.
|
Заавар: a:b=c⇔a:c=b
тул
94:(323−5x)=16⇔94:16=323−5x
байна.
Бодолт: 49:(323−5x)=16⇔49:16=323−5x⇔5x=323−49:16
ба
323−49:16=113−49⋅61=113−83=1 тул 5x=1⇒x=15.
|
4:x=2:34:x=2:3 тэнцэтгэлийг хангах xx-ийн утгыг ол.
|
Заавар: a:b=c:d⇒ad=bca:b=c:d⇒ad=bc
Бодолт: 4:x=2:3⇒4⋅3=x⋅2⇒x=64:x=2:3⇒4⋅3=x⋅2⇒x=6
|
4cos2x+sin2x=1 тэгшитгэлийг бодъё. Давхар өнцгийн синусын томьёо болон үндсэн адилтгал ашиглавал
acos2x+bsinxcosx−sin2x=0
болно. sinx≠c тул sin2x тоонд тэгшитгэлийн 2 талыг хувааж өгвөл
actg2x+bctgx−1=0
байна. Эндээс ctgx=de эсвэл ctgx=1f тул тэгшитгэлийн шийд нь
x=3πg+πk,x=arcctg1h+πk
|
Заавар: sin2x=2sinxcosx, 1=sin2x+cos2x гэвэл нэгэн төрлийн тэгшитгэлд шилжинэ.
Бодолт: 4cos2x+sin2x=1 тэгшитгэлийг бодъё. Давхар өнцгийн синусын томьёо болон үндсэн адилтгал ашиглавал
4cos2x+2sinxcosx=sin2x+cos2x
тул
3cos2x+2sinxcosx−sin2x=0
болно. sinx≠0 тул sin2x тоонд тэгшитгэлийн 2 талыг хувааж өгвөл
3ctg2x+2ctgx−1=0
тэгшитгэлд шилжинэ. Эндээс ctgx=−1 эсвэл ctgx=13 тул тэгшитгэлийн шийд нь
x=3π4+πk,x=arcctg13+πk
|
4cosx+4sinx илэрхийллийн хамгийн их утгыг ол.
|
Заавар: cosx+sinx=√2sin(x+45∘) болохыг ашигла.
Бодолт: 4cosx+4sinx=4√2sin(x+45∘)≤4√2 байна. Тэнцэл нь x=45∘ үед биелэх тул хамгийн их утга нь 4√2 байна.
|
4cosx−sin2x>0 тэнцэтгэл бишийг бод.
|
Заавар: Үржвэрт задал.
Бодолт:
|
4lg10x−5lg100x≥0 тэнцэтгэл бишийг бод.
|
Заавар: t=lgx орлуулга ашиглан рационал тэнцэтгэл бишид шилжүүлж бод.
Бодолт: t=lgx гэвэл
lg10x=lg10+lgx=1+t, lg100x=lg100+lgx=2+t тул
41+t−52+t≥0⇔4(2+t)−5(1+t)(1+t)(2+t)≥0
байна. Эндээс
t−3(t+1)(t+2)≤0
тул
t∈]−∞;−2[∪]−1;3]
болно. Орлуулгаа буцаавал
x∈]10−∞;10−2[∪]10−1;103[⇔
x∈(0;0.01)∪(0.1;1000]
|
4log0.3x+1log0.3x+1≤log0.3x+1 тэнцэтгэл бишийн шийдийг ол.
|
Заавар: t=log0.3x орлуулга ашиглан бод. Суурь нь 1-ээс бага тул y=log0.3x функц буурна. Өөрөөр хэлбэл
0<x1<x2⇔log0.3x1>log0.3x2
Бодолт: t=log0.3x гэвэл
4t+1t+1≤t+1⇔4t+1−t2−2t−1t+1≤0⇔
t(2−t)t+1≤0⇔t(t−2)t+1≥0
тул
t∈]−1;0]∪[2;+∞[
болно.
−1<log0.3x≤0⇔0.3−1>x≥0.30⇔103>x≥1
ба
2≤log0.3x<+∞⇔0.32≥x>0.3+∞=limx→+∞0.3x=0⇔9100≥x>0
тул тэнцэтгэл бишийн шийд (0;9100]∪[1;103) байна.
|
4log25x2+log3√327=41+log25x−4log25x4log25x2+log3327=41+log25x−4log25x тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэрийг ол.
|
Заавар: t=4log25xt=4log25x орлуулга хийж бод. (3√3)2=27(33)2=27 тул log3√327=2log3327=2 байна.
Бодолт: 4log25x2=42log25x=t24log25x2=42log25x=t2, 41+log25x=4⋅4log25x=4t41+log25x=4⋅4log25x=4t тул
4log25x2+log3√327=41+log25x−4log25x⇔t2+2=3t4log25x2+log3327=41+log25x−4log25x⇔t2+2=3t
болно. Иймд t1,2=−(−3)±√(−3)2−4⋅1⋅12⋅1t1,2=−(−3)±(−3)2−4⋅1⋅12⋅1
буюу t1=2t1=2, t2=1t2=1 болно.
4log25x=2⇒2log25x=1⇒x1=54log25x=2⇒2log25x=1⇒x1=5, 4log25x=1⇒log25x=0⇒x2=14log25x=1⇒log25x=0⇒x2=1 болно. Иймд нийлбэр нь 5+1=65+1=6 байна.
|
4sin2x+sin2x=1 тэгшитгэлийг бодъё. Давхар өнцгийн синусын томьёо болон үндсэн адилтгал ашиглавал
asin2x+bsinxcosx−cos2x=0
болно. cosx≠c тул cos2x тоонд тэгшитгэлийн 2 талыг хувааж өгвөл
atg2x+btgx−1=0
тэгшитгэлд шилжинэ. Эндээс tgx=de эсвэл tgx=1f тул тэгшитгэлийн шийд нь
x=3πg+πk,x=arctg1h+πk
|
Заавар: sin2x=2sinxcosx, 1=sin2x+cos2x гэвэл нэгэн төрлийн тэгшитгэлд шилжинэ.
Бодолт: 4sin2x+sin2x=1 тэгшитгэлийг бодъё. Давхар өнцгийн синусын томьёо болон үндсэн адилтгал ашиглавал
4sin2x+2sinxcosx=sin2x+cos2x
тул
3sin2x+2sinxcosx−cos2x=0
болно. cosx≠0 тул cos2x тоонд тэгшитгэлийн 2 талыг хувааж өгвөл
3tg2x+2tgx−1=0
тэгшитгэлд шилжинэ. Эндээс tgx=−1 эсвэл tgx=13 тул тэгшитгэлийн шийд нь
x=3π4+πk,x=arctg13+πk
|
4sin2xcosx−1=cosx4sin2xcosx−1=cosx тэгшитгэлийн 0∘<x<90∘0∘<x<90∘ муж дахь хамгийн бага шийдийг ол.
|
Заавар: Үндсэн адилтгалаас
sin2x=(1−cosx)(1+cosx)sin2x=(1−cosx)(1+cosx)
байна.
Бодолт: 4sin2xcosx−1=cosx⇔4(1−cosx)(1+cosx)cosx=1+cosx4sin2xcosx−1=cosx⇔4(1−cosx)(1+cosx)cosx=1+cosx
ба 0∘<x<90∘0∘<x<90∘ үед cosx≠−1cosx≠−1 тул
4(1−cosx)cosx=1⇔4cos2x−4cosx+1=(2cosx−1)2=04(1−cosx)cosx=1⇔4cos2x−4cosx+1=(2cosx−1)2=0
болно. Иймд cosx=12cosx=12 ба 0∘<x<90∘0∘<x<90∘ шийд нь x=60∘x=60∘ байна.
|
4sin2x−14cos2x=1 тэгшитгэл [−π,π] завсарт хэдэн шийдтэй вэ?
|
Заавар:
Бодолт: 3sin2x−7cos2x=1 3sin2x−7cos2x=cos2x+sin2x
sin2x−6sinxcosx+8cos2x=0 тэгшитгэлийн хоёр талыг cos2 - д хуваавал tg2−6tgx+8=0 тэгшитгэл үүсэх бөгөөд орлуулга хийж бодоход tgx=2, tgx=4 хялбар тэгшитгэлүүд үүснэ. y=tgx функцийн график байгуулж, y=2 ба y=4 шулуунуудтай харгалзан огтлолцуулбал өгөгдсөн завсарт 4 шийдтэй гэдэг нь харагдана.
|
4sin3x−3sinx<cos6x тэнцэтгэл биш аль тэнцэтгэл биштэй эквивалент вэ?
|
Заавар: sin3α=3sinα−4sin3α
cos2α=1−2sin2α
томьёонуудыг ашигла.
Бодолт: sin3x=3sinx−4sin3x ба cos6x=1−2sin23x тул
4sin3x−3sinx<cos6x⇔−sin3x<1−2sin23x
ба s=sin3x гэвэл
−s<1−2s2⇔2s2−s−1<0⇔−12<s<1
тул анхны тэнцэтгэл биш −12<sin3x<1 тэнцэтгэл биштэй эквивалент байна.
|
4sin42x−5cos34x=9 тэгшитгэлийн хамгийн бага эерэг шийд
x=ab∘ байна.
|
Заавар: −1≤sinx,cosx≤1 болохыг ашигла.
Бодолт: −1≤sinx,cosx≤1 тул 4sin42x−5cos34x≤4⋅14−5⋅(−1)3=9
ба тэнцэл зөвхөн sin2x=1, cos4x=−1 үед биелэнэ.
sin2x=1⇒2x=π2+2πk буюу x=π4+πk ба k=0 үед x=π4 нь хамгийн бага эерэг шийд нь бөгөөд энэ үед cos4⋅π4=cosπ=−1 тул анхны тэгшитгэлийн ч шийд болно. Иймд бидний олох хамгийн бага өнцөг нь 45∘ юм.
|
4sin42x−8cos34x=124sin42x−8cos34x=12 тэгшитгэлийн ерөнхий шийд нь x=πa+πkbx=πa+πkb, хамгийн их сөрөг шийд нь x=−πcx=−πc ба шийд нь 2016<x<20172016<x<2017 нөхцлийг хангахын тулд k=defgk=defg байна.
|
Заавар: Тэгшитгэлийн зүүн гар талыг дээрээс нь үнэл.
Бодолт: |sin2x|≤1|sin2x|≤1 ба |cos4x|≤1|cos4x|≤1 тул 4sin42x−8cos34x≤4+8=124sin42x−8cos34x≤4+8=12 байх ба зөвхөн sin42x=1sin42x=1 ба cos34x=−1cos34x=−1 үед л тэнцэлдээ хүрэх нь ойлгомжтой.
sin42x=1⇔sin22x=1⇔1−cos4x2=1⇔cos4x=−1sin42x=1⇔sin22x=1⇔1−cos4x2=1⇔cos4x=−1
байна. Мэдээж энэ үед cos34x=−1cos34x=−1 тул зөвхөн cos4x=−1cos4x=−1 тэгшитгэлийг бодоход л хангалттай. Иймд 4x=π+2πk⇒x=π4+πk24x=π+2πk⇒x=π4+πk2
π>3.1415π>3.1415 гэсэн ойролцоо утгыг нь ашиглан 2015<3.1415(1+2k)42015<3.1415(1+2k)4 тэнцэтгэл бишийг бодвол 1282<k1282<k болно. k=1283k=1283 үед x=π2+1283π4≈2016.1x=π2+1283π4≈2016.1 шийд 2016<x<20172016<x<2017 нөхцлийг хангахыг шалгахад төвөгтэй биш.
|
4sinx−3cos2x−k=04sinx−3cos2x−k=0 тэгшитгэл 0≤x<2π0≤x<2π завсарт яг 2 шийдтэй байх kk-ийн утгын мужийг ол.
|
Заавар: cos2x=1−2sin2xcos2x=1−2sin2x. Цааш нь s=sinxs=sinx гэсэн орлуулга хийхэд гарах квадрат тэгшитгэл нь s∈]−1;1[s∈]−1;1[ байх яг нэг шийдтэй юмуу s=±1s=±1 гэсэн 2 шийдтэй байж болно.
Учир нь sinx=asinx=a, a∈]−1;1[a∈]−1;1[ тэгшитгэл нь [0;2π[[0;2π[ завсарт 2 ялгаатай шийдтэй байна. Харин a=−1a=−1 юмуу a=1a=1 байхад яг нэг шийдтэй.
Бодолт: 4sinx−3cos2x−k=4sinx−3(1−2sin2x)−k=6sin2x+4sinx−3−k=04sinx−3cos2x−k=4sinx−3(1−2sin2x)−k=6sin2x+4sinx−3−k=0
s=sinxs=sinx гэвэл 6s2+4s−3−k=06s2+4s−3−k=0 болно. Энэ тэгшитгэл s1=−1,s2=1s1=−1,s2=1 гэсэн шийдтэй байхаар kk-г сонгох боломжгүй. Иймд 6s2+4s−3−k=06s2+4s−3−k=0 тэгшитгэл s∈]−1;1[s∈]−1;1[ байх яг нэг шийдтэй байна.
Энэ нь y=f(s)=6s2+4s−3y=f(s)=6s2+4s−3 парабол y=ky=k шулуунтай s∈]−1;1[s∈]−1;1[ байх яг нэг цэгээр огтлолцоно гэсэн үг.
Эндээс f(−1)<k<f(1)f(−1)<k<f(1), эсвэл s=−42⋅6=−13s=−42⋅6=−13 (параболын оройн цэгийн абсцисс) болохыг зургаас төвөггүй харж болно. Иймд 6−4−3<k<6+4−36−4−3<k<6+4−3 эсвэл 6(−13)2+4(−13)−3−k=06(−13)2+4(−13)−3−k=0 байна. Хариу −1<k<7−1<k<7 эсвэл k=−113k=−113 байна.
|
4x(x2−9x3)+(3x+2)⋅(x−4)+(6x2+1)2 олон гишүүнтийн зэргийг тодорхойл.
|
Заавар: P(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0, an≠0 олон гишүүнтийн зэрэг n байна.
Бодолт: P(x)=4x(x2−9x3)+(3x+2)⋅(x−4)+(6x2+1)2=4x3−36x4+3x2−10x−8+36x4+12x2+1=4x3+51x2−10x−7
тул зэрэг нь 3 байна.
|
4x+2−6442x−16=454x+2−6442x−16=45 тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: t=4xt=4x орлуулга хийж бод. Тодорхойлогдох мужаа тооцож шийдээ шалгаарай.
Бодолт: t=4xt=4x гэвэл 16⋅t−4t2−16=16(t−4)(t−4)(t+4)=16t+4=45⇒t=16⇒x=216⋅t−4t2−16=16(t−4)(t−4)(t+4)=16t+4=45⇒t=16⇒x=2. Хэрвээ 4x+2−64=45(42x−16)4x+2−64=45(42x−16) гэж бодсон бол x=1x=1 гэсэн тодорхойлогдох мужид орохгүй илүү шийд гарна.
|
4x2+1x2=2x+6−1x тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: t=2x−1x орлуулга ашиглан бод.
Бодолт: t=2x−1x⇒t2=4x2−2⋅2x⋅1x+1x2=4x2+1x2−4
тул
t2+4=t+6⇔t2−t−2=0⇔t1=−1,t2=2
болно. t=−1 үед
2x−1x=−1⇔2x2+x−1=0⇔x1=−1, x2=12
t=2 үед
2x−1x=2⇔2x2−2x−1=0⇔x3=1+√32, x4=1−√32
|
4x2−2x+m=04x2−2x+m=0 тэгшитгэлийн хоёр шийд −1−1 ба 1-ийн хооронд
байх mm-ийн утгуудыг ол.
|
Заавар: 4x2−2x+m=04x2−2x+m=0 параболын оройн цэгийн абсцисс нь x0=−−22⋅4=14x0=−−22⋅4=14 тул хоёр шийдүүд нь 14±α14±α, α>0α>0 хэлбэртэй байна. 14+α≤1⇒−1≤14−α14+α≤1⇒−1≤14−α тул зөвхөн хоёр шийд нь 11-ээс бага нөхцлийг шалгахад л хангалттай.
Бодолт: Заавар ёсоор хоёр шийд нь хоёулаа 11-ээс хэтрэхгүй байх нөхцлийг шалгахад л хангалттай.
⎧⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪⎩4⋅12−2⋅1+m≥0(−2)2−4⋅4⋅m≥014≤1⇔⎧⎨⎩m≥−214≥m{4⋅12−2⋅1+m≥0(−2)2−4⋅4⋅m≥014≤1⇔{m≥−214≥m
тул m∈[−2;14]m∈[−2;14] байна.
|
4x2−5x+14x−1−x2−11−x илэрхийллийг хялбарчил.
|
Заавар: x1, x2 нь ax2+bx+c квадрат гурван гишүүнтийн язгуурууд бол:
ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)
Бодолт: 4x2−5x+1=0⇒x1,2=5±√52−4⋅4⋅12⋅4 тул x1=1, x2=14 байна. Иймд
4x2−5x+1=4(x−1)(x−14)=(x−1)(4x−1)
Мөн x2−1=x2−12=(x−1)(x+1) тул
Илэрх.=4x2−5x+14x−1−x2−11−x=(x−1)(4x−1)4x−1−(x−1)(x+1)1−x←x−11−x=−1=x−1+x+1=2x
|
4x3+2x2+4x−52x+3 хуваалтын үлдэгдлийг ол.
|
Заавар: 4x3+2x2+4x−5=(2x+3)Q(x)+R
тэнцэлд x=−32 утгыг орлуулж үз.
Бодолт: 2⋅(−32)+3=0 тул
4(−32)3+2(−32)2+4(−32)−5=0⋅Q(−32)+R⇒
R=−272+92−6−5=−20
байна.
|
4x>2564x>256 тэнцэтгэл бишийг бод.
|
Заавар: 256256-г 4-ийн зэрэгт байдлаар бич.
Бодолт: 4x>256=44⇔x>44x>256=44⇔x>4.
|
4x−5⋅2x−12+2=04x−5⋅2x−12+2=0 тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар:
Бодолт: t=2x−12t=2x−12 гэвэл t2=22x−1⇒4x=2t2t2=22x−1⇒4x=2t2. Эндээс 2t2−5t+2=0⇒t1,2=5±√25−4⋅2⋅22⋅2=5±34.2t2−5t+2=0⇒t1,2=5±25−4⋅2⋅22⋅2=5±34. t1=0.5=2−1⇒x1−12=−1⇒x1=−0.5t1=0.5=2−1⇒x1−12=−1⇒x1=−0.5, t2=2=21⇒x2−12=1⇒x2=1.5t2=2=21⇒x2−12=1⇒x2=1.5.
|
4x≤2564x≤256 тэнцэтгэл бишийг бод.
|
Заавар: 256256-г 4-ийн зэрэгт байдлаар бич.
Бодолт: 4x≤256=44⇔x≤44x≤256=44⇔x≤4.
|
4x⋅5x+1=5⋅202−x4x⋅5x+1=5⋅202−x тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: 4x⋅5x+1=5⋅202−x⇔5⋅4x⋅5x=5⋅202−x⇔20x=202−x4x⋅5x+1=5⋅202−x⇔5⋅4x⋅5x=5⋅202−x⇔20x=202−x.
Бодолт:
|
4x⋅x2−4x+1+16=4x24x⋅x2−4x+1+16=4x2 тэгшитгэлийн шийдүүдийн квадратуудын нийлбэр аль вэ?
|
Заавар: Үржигдэхүүнд задалж бод.
Бодолт: 4x⋅x2−4x+1+16=4x2⇔(4x−4)(x2−4)=04x⋅x2−4x+1+16=4x2⇔(4x−4)(x2−4)=0.
Иймд x=1,x=−2,x=2⇒x=1,x=−2,x=2⇒ квадратуудын нийлбэр нь 9.
|
4−3x≤4214−3x≤421 тэнцэтгэл бишийг бод.
|
Заавар: a>1a>1 үед y=axy=ax функц нь өсдөг функц байдаг тул
ax<ay⇔x<yax<ay⇔x<y
байдаг. Мөн a<0a<0 бол
ax≤b⇔x≤baax≤b⇔x≤ba
Бодолт: 4>14>1 тул
4−3x≤421⇔−3x≤21⇔x≥21−3=−74−3x≤421⇔−3x≤21⇔x≥21−3=−7
Иймд x∈[−7;+∞[x∈[−7;+∞[ байна.
|
4−7⋅5x52x+1−12⋅5x+4≤234−7⋅5x52x+1−12⋅5x+4≤23 тэнцэтгэл бишд 5x=t5x=t орлуулга хийн хувиргавал abt2−3t−415t2−36t+cd≥0abt2−3t−415t2−36t+cd≥0 хэлбэрт шилжинэ. Уг тэнцэтгэл бишээ бодвол шийдийн олонлог t≤−12,e5<t≤45,t>ft≤−12,e5<t≤45,t>f болно. Дээрх орлуулгаа ашиглавал анхны тэнцэтгэл бишийн шийдийн олонлог x>log5g,log525<x≤log5h5x>log5g,log525<x≤log5h5 байна.
|
Заавар: y=5xy=5x нь өсдөг функц тул
5x1<5x2⇔x1<x25x1<5x2⇔x1<x2
Бодолт: 4−7⋅5x52x+1−12⋅5x+4≤234−7⋅5x52x+1−12⋅5x+4≤23 тэнцэтгэл бишд 5x=t5x=t орлуулга хийн хувиргавал 4−7t5t2−12t+4≤23⇔10t2−3t−415t2−36t+12≥04−7t5t2−12t+4≤23⇔10t2−3t−415t2−36t+12≥0 хэлбэрт шилжинэ. 10t2−3t−415t2−36t+12≥0⇔10(t+12)(t−45)15(t−2)(t−25)≥010t2−3t−415t2−36t+12≥0⇔10(t+12)(t−45)15(t−2)(t−25)≥0-ийг интервалын аргаар бодвол t≤−12∪25<t≤45∪t>2t≤−12∪25<t≤45∪t>2 болно.
Дээрх орлуулгаа буцааж анхны тэнцэтгэл бишийг бодвол 5x≤−125x≤−12 (шийдгүй), 25≤5x≤4525≤5x≤45, 5x>25x>2 буюу log525<x≤log545,x>log52log525<x≤log545,x>log52 байна.
|
4√2x2+x+6=√x+2 тэгшитгэлийн шийдүүдийн нийлбэрийг ол.
|
Заавар: Тэгшитгэлийн 2 талыг 4 зэрэгт дэвшүүлж бод.
Бодолт: 4√2x2+x+6=√x+2⇒2x2+x+6=(x+2)2⇒x2−3x+2=0 болно. Эндээс x1=1, x2=2 гэсэн шийдүүд гарч байна. Тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгш зэрэгт дэвшүүлэхэд шийд нэмэгдэх боломжтой тул шийдүүдийг шалгаж үзье. x1=1 үед
4√2⋅12+1+6=4√9=√3
ба
√1+2=√3
тул шийд болж байна. x2=2 үед
4√2⋅22+2+6=4√16=2
ба
√2+2=2
тул мөн л шийд болно. Иймд нийлбэр нь 1+2=3 байна.
Санамж. Хэрвээ шийдүүдийг шалгалгүйгээр x2−3x+2=0 тэгшитгэлд Виетийн теорем ашиглан нийлбэр олбол шийд болохгүй тоог нийлбэрт тооцох боломжтойг анхаарна уу!
|
4√x+8−4√8−x=2 тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: a=4√x+8, b=4√8−x гэвэл a4+b4=16, a−b=2 байна.
Бодолт: a=4√x+8, b=4√8−x гэвэл a4+b4=16, a−b=2 тул
a4+(a−2)4=16⇔2a4−8a3+24a2−32a=0
болно. Энэ тэгшитгэл a=0, a=2 гэсэн хялбар шийдүүдтэй тул
2a(a−2)(a2−2a+8)=0
болж задарна. D=(−2)2−4⋅1⋅8<0 тул a2−2a+8≠0, a=0 үед b=4√8−x=−2 болоход хүрэх тул зөвхөн a=2 үед анхны тэгшитгэл шийдтэй байна. Иймд 4√x+8=2⇒x=8 ба шийд болохыг нь шалгах төвөгтэй биш юм.
|
4√x2−7x+114=2√3 тэгшитгэлийг бод.
|
Заавар: Тэгшитгэлийн хоёр талыг 4 зэрэгт дэвшүүл.
Бодолт: 4√x2−7x+114=2√3⇔x2−7x+114=(2√3)4=144⇔
x3−7x−30=0⇔x=7±√49+1202=7±132
тул x1=10, x2=−3 болно.
|
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.